第3～4章 综合练习 2023--2024学年湘教版七年级数学下册

1 / 28 2024 年 湘教版 七年级下册 第三——第四单元常考题型汇总 一、因式分解的基础概念和题型 1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A．（x+2）＝x2+4x+1 B．3a（b+c）＝3ab+3ac C．x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y） D．（x﹣1）（y﹣1）＝xy﹣x﹣y+1 【答案】C 2．已知多项式 2�3 − �2 +�分解因式后有一个因式是� + 1，则�的值为（ ） A．3 B．−3 C．1 D．−1 【答案】A 3．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A．− �2 + �2 B．− �2 − �2 C．�2 + �2 D．− �2 + �2 【答案】A 4．多项式 3�2�2 − 15�3�3 − 12�2�2�的公因式是（ ） A．3�2�2 B．−15�3�3 C．3�2�2� D．−12�2�2� 【答案】A 【解析】【解答】∵3�2�2 − 15�3�3 − 12�2�2� = 3�2�2 1 − 5�� − 4� ， ∴公因式是 3�2�2， 故答案为：A。 【分析】利用公因式的定义求解即可。 5．对于任何整数�，多项式(4�+ 5)2 − 9都能被（ ） A．8整除 B．�整除 C．(� − 1)整除 D．(2� − 1)整除 【答案】A 【解析】【解答】解：(4� + 5)2 − 9 = 4� + 5 + 3 4�+ 5 − 3 = 4� + 8 （4�+ 2） = 8 �+ 2 （2�+ 1） ∴对于任何整数�，多项式(4�+ 5)2 − 9都能被 8整除. 故答案为：A. 【分析】将多项式(4�+ 5)2 − 9因式分解为 8 �+ 2 （2�+ 1）即可得到答案. 2 / 28 6．下列可以用完全平方公式因式分解的是（ ） A．4a2-4a-1 B．4a2＋2a＋1 C．1-4a＋4a2 D．2a2＋4a＋1 【答案】C 【解析】【解答】解：A、4a2-4a-1不能用完全平方公式因式分解，错误； B、4a2＋2a＋1不能用完全平方公式因式分解，错误； C、1-4a＋4a2=（1-2a）2，能用完全平方公式因式分解，正确； D、2a2＋4a＋1不能用完全平方公式因式分解，错误. 故答案为：C. 【分析】根据因式分解的完全平方公式法：a2±2ab+b2=（a±b）2，对各选项进行判断即可. 7．若 x+y+z=2，x2﹣（y+z）2=8时，x﹣y﹣z= ． 【答案】4 【解析】【解答】解：∵x2﹣（y+z）2=8， ∴（x﹣y﹣z）（x+y+z）=8， ∵x+y+z=2， ∴x﹣y﹣z=8÷2=4， 故答案为：4． 【分析】首先把 x2﹣（y+z）2=8的左边分解因式，再把 x+y+z=2代入即可得到答案． 8．已知 2� + � = 6，则代数式 4�2 − �2 + 12�的值为（ ） A．30 B．36 C．42 D．48 【答案】B 9．给出下面四个多项式：①�2 − ��；②�2 − �2；③�2 − 2�� + �2；④�2 + �2，其中含因式(� − �)的 多项式有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】【解答】解：①�2 − �� = �(� − �)； ②�2 − �2 = (� + �)(� − �)； ③�2 − 2�� + �2 = (� − �)2； ④�2 + �2不能分解因式； 其中含因式(� − �)的多项式为：①②③，共 3个， 故答案为：C. 3 / 28 【分析】先分解因式，再进行判断即可． 10． 下列多项式因式分解： ①�2 − 6�� + 9�2 = (� − 3�)2；②16 + �4 = (4 + �2)(4 − �2)；③25��2 + 10�� + 5� = 5�(5�� − 2�)； ④�2 − (2�)2 = (� − 2�)(� + 2�)，其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】【解答】解：①�2 − 6�� + 9�2 = (� − 3�)2，因式分解正确，符合题意； ②16 + �4不能进行因式分解，不符合题意； ③25��2 + 10�� + 5� = 5�(5�� + 2� + 1)，因式分解错误，不符合题意； ④�2 − (2�)2 = (� − 2�)(� + 2�)，因式分解正确，符合题意； 故答案为：B． 【分析】根据乘法公式和提公因式法分解因式后逐一分析判定即可． 11．多项式 4 − �2分解因式，其结果是（ ） A．( − � + 2)2 B．(� + 2)2 C．(4 − �)(4 + �) D．(2 + �)(2 − �) 【答案】D 【解析】【解答】解：4 − �2 = (2 + �)(2 − �) 故答案为：D. 【分析】直接利用平方差公式分解即可. 12．若多项式x2 − 4xy − 2y + x + 4y2因式分解后有一个因式为 x-2y，则另一个因式为（ ） A．x+2y+1 B．x+2y-1 C．x-2y+1 D．x-2y-1 【答案】C 【解析】【解答】解： x2 − 4xy − 2y + x + 4y2 = �2 − 4xy + 4y2 + �− 2� = � − 2� 2 + � − 2� = � − 2� � − 2� + 1 ， 故答案为：C. 【分析】将原式重新分组，进而理由完全平方公式和提公因式法因式分解，即可求解. 13．将多项式：16�2 + 1加上一个单项式后，使它能够在我们所学范围内进行因式分解，则此单项式不 能是（ ） A．-2 B．−15�2 C．8m D．-8m 【答案】B 【解析】【解答】解：A、16m2+1﹣2＝16m2﹣1＝（4m+1）（4m﹣1），不符合题意； 4 / 28 B、16m2+1﹣15m2＝m2+1，不能分解，符合题意； C、16m2+1+8m＝（4m+1）2，不符合题意； D、16m2+1﹣8m＝（4m﹣1）2，不符合题意． 故答案为：B. 【分析】多项式加上 A选项中的整式后，能利用平方差公式分解，据此可判断 A选项；多项式加上 B选 项中的整式后，得到的多项式式是二项式，这个二项式中的两项没有公因式可提取，虽都能写成一个整式 的完全平方，但两项符号相同，故不能使用平方差公式分解，据此可判断 B选项；多项式加上 C选项中 的整式后，能利用完全平方公式分解，据此可判断 C选项；多项式加上 D选项中的整式后，能利用完全 平方公式分解，据此可判断 D选项. 14．若 4x2+mx+25是一个完全平方公式，则实 m= . 【答案】±20 【解析】【解答】解：∵4x2+mx+25是完全平方式， ∴4x2+mx+25=（2x±5）2； ∴ 2� ± 5 2 = 4�2 ± 20� + 25， ∴m=±20； 故答案为：±20. 【分析】根据完全平方公式进行计算，即可解答. 15．如果多项式 9x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个多项式的平方，那么加上的多项式可以是 (应写尽写) 【答案】814 � 4或±6x 【解析】【解答】解：①若 9x2是乘积二倍项， 则81 4 � 4 + 9�2 + 1 = 92 � 2 + 1 2 ， ∴加上的单项式为814 � 4， ②若 9x2和平方项， 则 9x2±6x+1=（3x±1）2， ∴加上的单项式为±6x； 综上所述，加上的单项式是814 � 4或±6x. 故答案为：814 � 4或±6x. 【分析】根据完全平方公式将 9x2是分类乘积二倍项和平方项分别进行求解即可. 二、常见的因式分解扩展题型 5 / 28 16．已知 x2+y2+4x-6y+13=0，则代数式 x+y的值为（ ） A．-1 B．1 C．25 D．36 【答案】B 17． 若 � = 2018� + 2019，� = 2018� + 2020，� = 2018� + 2021， 则多项式 �2 + �2 + �2 − �� − �� − �� = 【答案】3 【解析】【解答】解：�2 + �2 + �2 − �� − �� − �� = �(� − �) + �(� − �) + �(� − �) 结合条件，可进一步化简成 2c-a-b=3. 故答案为：3. 【分析】按规律整理式子后对每一组进行因式分解，先代入条件算出每个括号，继续代入算出最终值. 18．教材中的探究启发我们：通过用不同的方法计算同一图形的面积，可以探求出计算多项式乘法或分解 因式的新途径.例如，选取图 1中的正方形、长方形硬纸片共 6 块，拼出一个如图 2所示的长方形，计算 它的面积可以得到相应的等式： a2 + 3ab + 2b2 = a + 2b (a + �)或 a + 2b a + b = a2 + 3ab + 2b2. （1）请根据图 3写出代数恒等式，并根据所写恒等式计算 x − 2y − 3 2. （2）若 x2 + y2 + z2 = 1，xy + yz + xz = 3，求 x +y+z的值. （3）试借助图 1 的硬纸片，利用拼图的方法把二次多项式 3a2 + 7ab + 2b2分解因式，并把所拼的图 形画在虚线方框内. 【答案】（1）解：由题意得：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac++2bc， ∴(x − 2y − 3)2 = x2 + 4y2 + 9 − 4xy − 6x + 12y； （2）解：∵x2+y2+z2=1，xy+yz+xz=3， ∴x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)=1+2×3， 6 / 28 即 x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=7， ∴(x+y+z)2=7， ∴x+y+z=± 7； （3）解：如图所示： 3a2+7ab+2b2=(3a+b)(a+2b). 【解析】【分析】（1）根据大正方形的面积=3个小正方形的面积+6个长方形的面积可列出恒等式，再根据 所写的恒等式计算(x-2y-3)2即可； （2）将第一个等式与第二个等式的 2倍相加后再结合（1）中的结论变形为(x+y+z)2=7，最后再开平方即 可； （3）先画出图形，再根据 3个边长为 a的正方形的面积+2个边长为 b的正方形的面积+7个长为 a，宽为 b的长方形的面积=整个长方形的面积，即可分解. 19．阅读材料： 因为x2 +2x − 3 = x + 3 x − 1 ，，这说明多项式x2 + 2x − 3有一个因式为 x−1，我们把 x=1代入此多 项式发现 x=1能使多项式x2 + 2x − 3的值为 0. 解决问题： （1）若 x−3是多项式x2 + kx + 12的一个因式，求 k 的值. （2）x-3和 x-4时多项式 x3+mx2+12x+n的两个因式，试求 m、n的值. （3）在(2)的条件下，把多项式x3 +mx2 + 12x + n分解因式. 【答案】（1）解：∵x-3是多项式 x2+kx+12的一个因式， ∴当 x=3时，x2+kx+12=0， ∴9+3k+12=0， 解得 k=-7， ∴k的值为-7； （2）解：∵x-3与 x-4时多项式 x3+mx2+12x+n的两个因式， ∴当 x=3和 x=4时，x3+mx2+12x+n=0， ∴ 27 + 9�+ 36+ � = 0 64+ 16�+ 48+ � = 0 7 / 28 解得 � =− 7， � = 0 ∴m的值为-7，n的值为 0； （3）解：∵m=-7，n=0， ∴x3+mx2+12x+n=x3-7x2+12x， ∴x3-7x2+12x =x(x2-7x+12) =x(x-3)(x-4). 【解析】【分析】（1）由阅读材料可得，当 x=3时，x2+kx+12=0，从而将 x=3代入方程可求出 k的值； （2）由阅读材料可得，当 x=3和 x=4时，x3+mx2+12x+n=0，从而将 x=3和 x=4分别代入方程可得关于字 母 m、n的方程组，求解可得 m、n的值； （3）将（2）中求出的 m、n的值代入 x3+mx2+12x+n后，先利用提取公因式法分解因式，再利用十字相 乘法进行第二次分解可. 20．要把多项式 am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出 a，把它的后两项分成组， 并提出 b，从而得 am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)．这时，由于 a(m+n)+b(m+n)中又有公因式(m+n)，于是 可提公因式(m+ n)，从而得到(m+ n)(a+ b)，因此有 am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)= (m+n)(a+b) ． 这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个 因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解． （1） ab-ac+bc-b2= (ab-ac)+(bc-b2)=a(b-c)- b(b-c)= . （2）因式分解： x2-(p+q)x+pq； （3）因式分解：x2y-4y-2x2+8． （4）已知三角形的三边长分别是 a，b，c，且满足 a2+2b2+c2=2b(a+c)，试判断这个三角形的形状，并 说明理由． 【答案】（1）(b-c)(a-b) （2）解：原式=(x-p)(x-q)； （3）解：原式=(x2y-2x2)+(-4y+8) =x2(y-2)-4(y-2) =(y-2)(x2-4) =(y-2)(x+2)(x-2)； （4）解：∵ a2+2b2+c2=2b(a+c) ， ∴ a2+2b2+c2=2ab+2bc， 8 / 28 ∴ a2+2b2+c2-2ab-2bc=0， ∴(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)=0， ∴(a-b)2+(b-c)2=0， ∴a-b=0，b-c=0， ∴a=b，b=c， ∴a=b=c， ∴这个三角形是等边三角形. 【解析】【解答】解：（1） ab-ac+bc-b2= (ab-ac)+(bc-b2)=a(b-c)- b(b-c) =(b-c)(a-b)； 故答案为：(b-c)(a-b)； 【分析】（1）先把它的前两项分成组，并提出 a，把它的后两项分成组，并提出-b，从而得 ab-ac+bc-b2=a(b-c)- b(b-c)，由于 a(b-c)- b(b-c)中又有公因式(b-c)，于是可提公因式(b-c)，从而得到(b-c)(a-b)； （2）观察这个三项式发现：常数项是 p与 q的乘积，而一次项系数刚好是 p与 q和的相反数，于是直接 利用十字相乘法分解因式即可； （3）把多项式进行二二分组提取公因式后， 它们的另一个因式正好相同 ，从而再利用提取公式法继续 分解，最后再利用平方差公式进行第三次分解即可； （4）先将等式的右边展开移到左边，左边拆项后进行三三分组，每一组利用完全平方公式法进行分解因 式，然后根据偶数次幂的非负性，由两个非负数的和为 0，则每一个数都等于 0可得出 a=b=c，进而根据 三边相等的三角形是等边三角形可作出判断，得出结论. 21． （1）分解因式： ①4�2 − 12xy + 9�2 = ； ②�2 + 4y + 4 = . （2）根据以上两式，试求当 x，y各取何值时，4�2 − 12xy + 10�2 + 4y + 9的值最小?请求出最小值. 【答案】（1）(2x-3y)2；(y+2) （2）解：4x2-12xy+10y2+4y+9 =4x2-12xy+9y2+y2+4y+4+5 =(2x-3y)2+(y+2)2+5 ∵(2x-3y)2≥0，（y+2）2≥0， ∴当(2x-3y)=0，（y+2）=0，即：x=-3，y=-2时，代数式 4x2-12xy+10y2+4y+9的值最小.且最小值为 5. 【解析】【解答】解：（1）①原式=（2x）2-2×2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2. ②原式=y2+2·y·2+22=(y+2)2. 9 / 28 故答案为：(2x-3y)2，(y+2)2. 【分析】（1）①根据完全平方公式“a2-2ab+b2=(a-b)2”即可求解； ②根据完全平方公式“a2-2ab+b2=(a-b)2”即可求解； （2）由题意现将多项式拆项并结合完全平方公式可得：4x2-12xy+9y2+y2+4y+4+5=(2x-3y)2+(y+2)2+5，然后 根据偶次方的非负性即可求解. 22． 下面是某同学对多项式(�2 − 4� + 2)(�2 − 4� + 6) + 4进行因式分解的过程． 解：设�2 − 4� = �， 原式= (� + 2)(� + 6) + 4 （第一步） = �2 + 8� + 16 （第二步） = (� + 4)2 （第三步） = (�2 − 4� + 4)2 （第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是什么？ （2）该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式(�2 − 2�)(�2 − 2� + 2) + 1进行因式分解． 【答案】（1）解：完全平方公式 （2）解：不彻底。[(� − 2)2]2 （3）解：[(� − 1)2]2 【解析】【解答】解：（3）设 x2-2x=y， 则(�2 − 2�)(�2 − 2� + 2) + 1 = �（� + 2） + 1 = �2 + 2� + 1 =（� + 1） 2 = �2 − 2� + 1 2 = (� − 1)2 2 【分析】（1）根据该同学作答的步骤结合完全平方公式的特点即可得到答案； （2）由�2 − 4� + 4可分解为（x-2）2， 可知分解不彻底；利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）设 x2-2x=y，再根据例题的分解方法进行因式分解即可. 23．数学教科书中这样写道：“我们把多项式�2 + 2�� + �2及�2 − 2�� + �2叫做完全平方式”，如果一个多 10 / 28 项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这 个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以 将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式�2 +2� − 3 = (�2 +2� + 1) − 4 = (� + 1)2 − 4 = (� + 1 + 2)(� + 1 − 2) = (� + 3)(� − 1)；例如求代数式 2�2 + 4� − 6的最小值 2�2 + 4� − 6 = 2(�2 + 2� − 3) = 2(� + 1)2 − 8．可知当� =− 1 时，2�2 + 4� − 6有最小值，最小值是−8，根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：�2 − 4�− 5 = ． （2）当 a，b为何值时，多项式�2 + �2 − 4� + 6� + 18有最小值，并求出这个最小值． （3）当 a，b为何值时，多项式�2 − 2�� + 2�2 − 2� − 4� + 30有最小值，并求出这个最小值． 【答案】（1）（m+1）（m-5） （2）解：a2+b2-4a+6b+18 =(a2-4a+4)+(b2+6b+9)+5 =(a-2)2+(b+3)2+5，（2分） ∴当 a=2，b=-3时，a2+b2-4a+6b+28有最小值为 5； （3）解：a2-2ab+2b2-2a-4b+30 =a2+(-2ab-2a)+(b2+2b+1)+(b2-6b+9)+20 =a2-2a(b+1)+(b+1)2+(b-3)2+20 =(a-b-1)2+(b-3)2+20，（2分） 当 a=4，b=3时，原式取最小值 20． ∴当 a=4，b=3时，多项式 a2-2ab+2b2-2a-4b+28有最小值 20． 【解析】【解答】解：（1）�2 − 4�− 5 = (�2 − 4�+ 4) − 9 = �− 2 2 − 9 = �− 2+ 3 �− 2 − 3 = �+ 1 �− 5 故答案为：（m+1）（m-5）. 【分析】（1）根据阅读材料中因式分解的方法，先利用完全平方公式将�2 − 4�− 5变形为 �− 2 2 − 9， 再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先利用配方法将多项式�2 + �2 − 4� + 6� + 18变形为(a-2)2+(b+3)2+5，再根据非负数的性质求解即可； （3）先利用配方法将多项式�2 − 2�� + 2�2 − 2� − 4� + 30变形为 (a-b-1)2+(b-3)2+20， 再根据非负数的 性质求解即可. 11 / 28 24．【学习材料】拆项添项法 在对某些多项式进行因式分解时， 需要把多项式中的某一项拆成两项或多项， 或者在多项式中添上两个 仅符号相反的项． 例 1 分解因式： �4 + 4 解：原式 = �4 + 4�2 + 4 − 4�2 = �2 + 2 2 − 4�2 = �2 − 2� + 2 �2 + 2� + 2 例 2 分解因式： �3 + 5� − 6 解：原式 = �3 − � + 6� − 6 = � �2 − 1 + 6(� − 1) = (� − 1) �2 + � + 6 【知识应用】请根据以上材料中的方法， 解决下列问题： （1）分解因式： �2 + 16� − 36 = （2） 运用拆项添项法分解因式： �4 + 4�4． （3） 化简： � 3−�2−4 �−2 ． 【答案】（1）(x-2)(x+18) （2）(�2 + 2�2 − 2��)(�2 + 2�2 + 2��). （3）解：�3−�2−4 �−2 = �3−4�−(�2+4−4�) �−2 = � �2−4 −(�−2)2 �−2 = �(�+2)(�−2)−(�−2)2 �−2 =(�−2) �(�+2)−(�−2)�−2 = � 2 + �+ 2. 【解析】【解答】解：（1）原式=�2 + 16� + 64 − 36 − 64 = � + 8 2 − 100 = (� + 8 − 10)(� + 8 + 10) = (� − 2)(� + 18). 故答案为：(x-2)(x+18)； （2）原式=�4 + 4�4 +4�2�2 − 4�2�2 = (�2 + 2�2)2 − 4�2�2 = (�2 +2�2 − 2��)(�2 + 2�2 + 2��)； 故答案为：�2 + �+ 2. 【分析】（1）添上符号互为相反的两项 64、-64即可利用公式法分解； （2）添上符号互为相反的两项 4x2y2、-4x2y2即可利用公式法分解； （3）分子添上符号互为相反的两项 4x、-4x即可利用公式法分解后约分化简. 25．【学习材料】拆项添项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两 个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法，如： 例 1：分解因式：x4+4y4 解：原式＝x4+4y4＝x4+4x2y2+4y4﹣4x2y2 ＝（x2+2y2）2﹣4x2y2＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy） 例 2：分解因式：x3+5x﹣6 12 / 28 解：原式＝x3﹣x+6x﹣6＝x（x2﹣1）+6（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x+6） 我们还可以通过拆项对多项式进行变形，如 例 3、把多项式 a2+b2+4a﹣6b+13写成 A2+B2的形式． 解：原式＝a2+4a+4+b2﹣6b+9＝（a+2）2+（b﹣3）2 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）分解因式：x2+2x﹣8＝ ； （2）分解因式：x4+4＝ ； （3）关于 x的二次三项式 x2﹣20x+111在 x＝ 时，有最小值； （4）已知M＝x2+6x+4y2﹣12y+m（x，y均为整数，m是常数），若M恰能表示成 A2+B2的形式，求 m 的值． 【答案】（1）（x+4）（x﹣2） （2）（x2+2+2x）（x2+2﹣2x） （3）10 （4）解：M＝（x2+6x+9）+（4y2﹣12y+9）+m﹣18 ＝（x+3）2+（2y﹣3）2+m﹣18， ∵若M恰能表示成 A2+B2的形式， ∴m﹣18＝0， ∴m＝18， 答：m的值为 18． 【解析】【解答】解：（1）x2+2x-8=（x+4）（x-2）； 故答案为：（x+4）（x-2）； （2）x4+4 =（x2）2+4x2+22-4x2=（x2+2）2-22x2=（x2+2）2-（2x）2=（x2+2+2x）（x2+2-2x）； 故答案为：（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）； （3）∵x2﹣20x+111 =x2﹣20x+100+11=（x-10）2+11，（x-10）2≥0， ∴当 x=10时，（x-10）2+11有最小值，最小值为 11； 故答案为：10； 【分析】（1）根据十字交叉相乘法，x2=x.x，-8=4×（-2），再结合 4x+（-2x）=2x，可以得到：x2+2x-8=（x+4） （x-2）； （2）先把 x4写成（x2）2的形式，把 4写成 22的形式，再把 x4+4 =（x2）2+4x2+22-4x2，再根据完全平方公 式把（x2）2+4x2+22写成（x2+2）2的形式；再用平方差公式把（x2+2）2-（2x）2写成（x2+2+2x）（x2+2-2x） 的形式即可； 13 / 28 （3）先把 x2﹣20x+111 写成（x-10）2+11的形式，再根据（x-10）2的非负性可知，x=10时，（x-10）2+11 有最小值，最小值为 11； （4）由已知M＝x2+6x+4y2﹣12y+m﹣18可以写成：（x+3）2+（2y﹣3）2+m﹣18的形式，所以若M恰能 表示成 A2+B2的形式时 m﹣18＝0所以此时 m＝18． 三、三线八角基础题型汇总 26． 下列说法正确的是( ) A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 D．在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 27．下列说法正确的是（ ） A．在同一平面内， �，�，� 是直线， 且 � ∥ �，� ∥ �，则 � ∥ � B．在同一平面内， �，�，� 是直线， 且 � ⊥ �，� ⊥ �，则 � ⊥ � C．在同一平面内， �，�，� 是直线， 且 � ∥ �，� ⊥ �，则 � ∥ � D．在同一平面内， �，�，� 是直线， 且 � ∥ �，� ∥ �，则 � ⊥ � 【答案】A 【解析】【解答】解：A、∵a∥b，b∥c，∴a∥c，故此选项正确，符合题意； B、在同一平面内，∵a⊥b，b⊥c，∴a∥c，故此选项错误，不符合题意； C、在同一平面内，∵a∥b，b⊥c，∴a⊥c，故此选项错误，不符合题意； D、在同一平面内，∵a∥b，b∥c，∴a∥c，故此选项错误，不符合题意. 故答案为：A. 【分析】由平行于同一直线的两条直线互相平行，可判断 A、D选项；由同一平面内垂直于同一直线的两 条直线互相平行，可判断 B选项；根据平行线的性质，如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，那么该 直线也与平行线中的另一条直线平行，据此可判断 C选项. 28．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ） 14 / 28 A．②③ B．①②③ C．③④ D．①②④ 【答案】D 【解析】【解答】解：图①②④中，∠1和∠2是同位角， 故答案为：D． 【分析】根据同位角的定义逐项判断即可。 29．如图所示，小亮借助直尺和三角板，根据“一重合、二靠紧、三移动、四画线”的步骤完成了“过直线�� 外一点�画直线��//��”．其依据是（ ） A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，内错角相等 C．同旁内角互补，两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】A 30．如图，下列条件中能判定 AE∥CD的是（ ） A．∠A=∠C B．∠A+∠ABC=180° C．∠C=∠CBE D．∠A=∠CBE 【答案】C 【解析】【解答】A.∠A=∠C不能判断 CD∥AE B.∠A+∠ABC=180°得出 AD∥BC 15 / 28 C.∠C=∠CBE得出 CD∥AE D.∠C=∠CBE得出 AD∥BC 故答案为：C． 【分析】根据平行线的判定逐项判定即可。 31．下列图形中，由�� ∥ ��，能得到∠1 = ∠2的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 32．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路.小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为 合理，这一想法体现的数学依据是（ ） A．两点确定一条直线 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 33．下列说法正确的有（ ） ①同位角相等；②两点之间的所有连线中，线段最短；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④两点之间的距离是两点间的线段；⑤已知同一平面内∠��� = 70°，∠��� = 30°，则∠��� = 100°． A．② B．②③ C．②③④ D．②③⑤ 【答案】A 34．如图，把长方形����沿��折叠后，使����落在����处，若∠1 = 40°，则∠���的度数为 ． 【答案】110° 16 / 28 35．如图 1的长方形纸带中∠��� = 25°，将纸带沿 EF折叠成图 2，再沿 BF折叠成图 3，则图 3中∠��� 度数是（ ） A．105° B．120° C．130° D．145° 【答案】A 【解析】【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠DEF=∠BFE=25°， ∴∠CFE=180°-3∠BFE=75°. 故答案为：A. 【分析】由二直线平行，内错角相等，得∠DEF=∠BFE=25°，由折叠的性质可得∠CFE=180°-3∠BFE，从 而代入计算可得答案. 36．已知M，N分别是长方形纸条 ABCD边 AB，CD上两点（AM＞DN），如图 1所示，沿M，N所在直 线进行第一次折叠，点 A，D的对应点分别为点 E，F，EM交 CD于点 P；如图 2所示，继续沿 PM进行 第二次折叠，点 B，C的对应点分别为点 G，H，若∠1＝∠2，则∠CPM的度数为（ ） A．74° B．72° C．70° D．68° 【答案】B 37．如图，若∠1=∠2，DE∥BC，则：①FG∥DC；②∠AED=∠ACB；③CD平分∠ACB；④∠1+∠B=90°； ⑤∠BFG=∠BDC，⑥∠FGC=∠DEC+∠DCE，其中正确的结论是（ ） A．①②③ B．①②⑤⑥ C．①③④⑥ D．③④⑥ 17 / 28 【答案】B 【解析】【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠DCB=∠1，∠AED=∠ACB，故②正确； ∵∠1=∠2， ∴∠2=∠DCB， ∴FG∥DC，故①正确； ∴∠BFG=∠BDC，故⑤正确； ∴∠FGC=∠DEC+∠DCE，故⑥正确； 而 CD不一定平分∠ACB，∠1+∠B不一定等于 90°，故③，④错误； 故答案为：B 【分析】由平行线的性质得出内错角相等、同位角相等，得出②正确；再由已知条件证出∠2=∠DCB， 得出 FG∥DC，①正确；由平行线的性质得出⑤正确；进而得出⑥∠FGC=∠DEC+∠DCE正确，即可得 出结果． 38． 如图，平原上有 A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池. （1）请你画图确定蓄水池 H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小； （2）计划把河水引入蓄水池 H中，怎样开渠最短并说明根据.(画图后说明依据) 【答案】（1）解： （2）解： 39．如图，AD⊥BC于 D，EF⊥BC于 F，点 E在线段 AC上，∠4=∠C． （1）∠1与∠2是否相等，请说明理由； 18 / 28 （2）若∠4=2∠3，求∠C的度数． 【答案】（1）解：∠1=∠2，理由如下：∵AD⊥BC于 D，EF⊥BC于 F，∴∠ADC=∠EFC=90°，∴AD∥EF， ∴∠1=∠3，∵∠4=∠C．∴AC∥DG，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2； （2）解：∵∠4=2∠3，∠4=∠C．∴∠C=2∠3，∵AD⊥BC于 D，∴∠3+∠C=90°，∴∠3+2∠3=90°， ∴∠3=30°，∴∠C=60°． 【解析】【分析】（1）先证明 AD//EF可得∠1=∠3，再证明 AC//DG，可得∠2=∠3，即可得到∠1=∠2； （2）先利用∠4=2∠3，∠4=∠C，可得∠C=2∠3，再利用三角形的内角和求出∠3=30°，即可得到∠C=60°。 40．如图，CD⊥AB于 D，FE⊥AB于 E，∠ACD+∠F＝180°. （1）求证：AC∥FG； （2）若∠A＝45°，∠BCD：∠ACD＝2：3，求∠BCD的度数. 【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，FE⊥AB， ∴∠AFH＝∠ADC＝90°， ∴EF//DC， ∴∠AHE＝∠ACD， ∵∠ACD+∠F＝180°. ∴∠AHE+∠F＝180°， ∵∠AHE+∠EHC＝180°， ∴∠EHC＝∠F， ∴AC//FG； （2）解：∵∠BCD：∠ACD＝2：3， ∴设∠BCD＝2x，∠ACD＝3x， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠A+∠ACD＝90°， 45°+3x＝90°， 解得 x＝15°， 19 / 28 ∴∠BCD＝2x＝30°. 答：∠BCD的度数为 30°. 【解析】【分析】（1）根据 CD⊥AB，FE⊥AB，可得 EF∥DC，由平行线的性质得∠AHE＝∠ACD，结合 已知可得∠EHC＝∠F，然后根据同位角相等两直线平行可求解； （2）根据∠BCD：∠ACD＝2：3，可以设∠BCD＝2x，∠ACD＝3x，根据 CD⊥AB，可得 45°＋3x＝90°， 求出 x的值，则∠BCD的度数可求解. 41．如图，EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°，试说明∠ADC＝90°．请完善解答过程，并在括号内填 写相应的理论依据． 解：∵∠1＝∠C，（已知） ∴GD∥ ▲ ．（ ） ∴∠2＝∠DAC．（ ） ∵∠2+∠3＝180°，（已知） ∴∠DAC+∠3＝180°．（等量代换） ∴AD∥EF．（ ） ∴∠ADC＝∠ ▲ ．（ ） ∵EF⊥BC，（已知） ∴∠EFC＝90°．（ ） ∴∠ADC＝90°．（等量代换） 【答案】解：如图， ∵∠1＝∠C，（已知） ∴�� ∥ ��，（同位角相等，两直线平行） ∴∠2＝∠DAC，（两直线平行，内错角相等） 20 / 28 ∵∠2+∠3＝180°，（已知） ∴∠DAC+∠3＝180°，（等量代换） ∴�� ∥ ��，（同旁内角互补，两直线平行） ∴∠ADC＝∠EFC，（两直线平行，同位角相等） ∵EF⊥BC，（已知） ∴∠EFC＝90°，（垂直的定义） ∴∠ADC＝90°．（等量代换） 【解析】【分析】先利用平行线的判断得出 AD//EF，再利用平行线的性质可得∠ADC=∠EFC=90°。 四、关于平移的常考题型 42．下列四个图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：A、 能通过其中一个四边形平移得到，故此选项不符合题意； B、 能通过其中一个四边形平移得到，故此选项不符合题意； C、 能通过其中一个四边形平移得到，故此选项不符合题意； D、不能通过其中一个四边形平移得到，故此选项符合题意. 故答案为：D. 【分析】由于平移不会改变图形的形状、大小及方向，只能改变图形的位置，从而一一判断得出答案. 43．如图，将直角三角形 ABC沿 AB方向平移 4个单位长度得到三角形 DEF，CG＝3，EF＝7，则图中阴 影部分的面积为 ． 【答案】22 【解析】【解答】解：∵Rt△ABC沿 AB的方向平移 AD距离得△DEF， ∴△DEF≌△ABC， ∴EF＝BC＝7，S△DEF＝S△ABC， ∴S△ABC﹣S△DBG＝S△DEF﹣S△DBG， ∴S 四边形ACGD＝S 梯形BEFG， ∵CG＝3， 21 / 28 ∴BG＝BC﹣CG＝7﹣3＝4， ∴S 梯形BEFG= 12 （BG+EF）•BE= 1 2 （4+7）×4＝22． 故答案为：22． 【分析】根据平移的性质可得△DEF≌△ABC，即得 S△DEF＝S△ABC，从而求出 S 四边形ACGD＝S 梯形BEFG，根据 梯形的面积公式计算即可. 44．某会场台阶的截面图如图所示，要在上面铺上红地毯，则至少需要 m的地毯才能铺完整个 台阶． 【答案】7.5 五、平行线中的拐点模型 45．如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若∠1 = 35°，则∠2的度数为（ ） A．55° B．45° C．35° D．30° 【答案】A 【解析】【解答】解： 延长 AE与 CD的延长线交于点 F， ∵AB//CD，∠AEG=90°， ∴∠F=∠1，∠GEF=90°， ∵∠1=35°， ∴∠F=35°， ∴∠2=180°-∠GEF-∠F=180°-35°-90°=55°. 故答案为：A. 【分析】延长 AE与 CD的延长线交于点 F，根据平行线的性质得到∠F=∠1=35°，再根据三角形内角和定 理即可求出∠2的度数，即可求解. 22 / 28 46．如图所示，∠��� = 90°，�� ∥ ��，则�与�一定满足的等式是（ ）． A．� + � = 180° B．� + � = 90° C．� = 3� D．� − � = 90° 【答案】D 47． 课题学习：平行线问题中的转化思想. 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”.与平行线有关的角 都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁.当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的 辅助线将其补充完整.将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想.有这样一道典型问题： 例题：如图（1）.已知�� ∥ ��，点�在直线��、��之间，探究∠���与∠�、∠�之间的关 系. 解：过点�作�� ∥ ��. ∵ �� ∥ ��，�� ∥ ��， ∴ �� ∥ �� ∥ ��， ∴ ∠� = ∠���，∠� = ∠��� ∵ ∠��� = ∠��� + ∠���， ∴ ∠��� = ∠� + ∠�. 【学以致用】 （1）如图（1），当∠� = 30°，∠� = 35°时，∠��� = ； （2）①如图（2），已知�� ∥ ��，若∠� = 135°，∠� = 130°，求出∠���的度数. ②如图（3），在①的条件下，若��、��分别平分∠���和∠���，求∠���的度数. 【答案】（1）65° （2）解：①过点�作�� ∥ ��，如图： 23 / 28 ∵ �� ∥ ��，�� ∥ ��， ∴ �� ∥ �� ∥ ��， ∴ ∠� + ∠��� = 180°，∠� + ∠��� = 180° 又∵ ∠� = 135°，∠� = 130° ∴ ∠��� = 180° − 135° = 45°， ∠��� = 180° − 130° = 50°， ∴ ∠��� = ∠��� + ∠��� = 45° + 50° = 95°， ②∵ ∠��� = 135°，��平分∠���， ∴ ∠��� = 12∠��� = 1 2 × 135° = 67.5°， ∵ ∠��� = 130°，��平分∠���， ∴ ∠��� = 65°， 由（1）问可知：∠��� = ∠��� + ∠��� = 67.5° + 65° = 132.5°， 48．如图①，已知�� ∥ ��，��，��的交点为�，现作如下操作：第一次操作，分别作∠���和∠���的平 分线，交点为�1；第二次操作，分别作∠���1和∠���1的平分线，交点为�2；第三次操作，分别作∠���2 和∠���2的平分线，交点为�3…第�次操作，分别作∠����−1和∠����−1的平分线，交点为��．如图②， 若∠�� = �°，则∠���的度数是 ． 【答案】2��° 49． 综合与实践：综合与实践活动课上，孙老师让同学们以“奇妙的平行线”为主题开展数学活动．如图 1， ∠��� = 90°，点�、�分别在射线��和��上，�� ∥ ��． 24 / 28 （1）若∠��� = 150°，则∠���= 度；探究中小聪同学发现，过点�作�� ∥ ��即可得到∠��� 的度数，请直接写出∠���的度数； （2）小明同学发现：无论∠���如何变化，∠��� − ∠���的值始终为定值，并给出了一种证明该发现 的辅助线作法：如图 2，过点�作�� ∥ ��，交��于�，请你根据小明同学提供的辅助线，先确定该定值， 并说明理由； （3）如图 3，把“∠��� = 90°”改为“∠��� = �”（0＜�＜180°），其它条件保持不变，猜想∠���与∠��� 的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）60 （2）解：如图 2，∵ �� ∥ ��， ∴ ∠��� + ∠��� = 180°， ∵ ∠��� = 90°， ∴ ∠��� = 180° −∠��� = 180° − 90° = 90°， ∵ �� ∥ ��， ∴ ∠��� = ∠���， ∵ �� ∥ ��， ∴ ∠��� = ∠���， ∴ ∠��� = ∠���， ∵ ∠��� − ∠��� = ∠��� −∠��� = ∠��� = 90°， ∴无论∠���如何变化，∠��� − ∠���的值始终为定值，该定值为 90°； （3）解：∠��� −∠���的值始终为定值，该定值为 180° − �；如图 4， 25 / 28 过点�作�� ∥ ��，交��于�， ∵ �� ∥ ��， ∴ ∠���+ ∠��� = 180°， ∵ ∠��� = �， ∴ ∠��� = 180° −∠��� = 180° − �， ∵ �� ∥ ��， ∴ ∠��� = ∠���， ∵ �� ∥ ��， ∴ ∠��� = ∠���， ∴ ∠��� = ∠���， ∵ ∠��� − ∠��� = ∠��� −∠��� = ∠��� = 180° − �， ∴无论∠���如何变化，∠��� − ∠���的值始终为定值，该定值为 180° − �； 【解析】【解答】解：（1）∵∠FAB=150°， ∴∠EAB=180°-∠FAB=30°， 过点 F作 FG∥AB， ∴∠EAB=∠EFG=30°， ∵∠EFH=90°， ∴∠HFG=90°-∠EFG=60°， ∵AB∥CD，FG∥AB， ∴FG∥CD， ∴∠HCD=∠HFG=60°； 故答案为：60； 【分析】（1）先由邻补角算出∠EAB=30°，过点 F作 FG∥AB，由二直线平行，同位角相等，得 ∠EAB=∠EFG=30°，由角的和差得∠HFG=90°-∠EFG=60°，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得 FG∥CD，由二直线平行，同位角相等，得∠HCD=∠HFG=60°； （2）由二直线平行，同旁内角互补，可得∠FAM=180°-∠EFH=90°，由二直线平行，内错角相等，得 ∠AMC=∠HCD=∠BAM，从而根据角的和差、等量代换及角的构成可求出 ∠FAB-∠HCD=∠FAB-∠BAM=∠FAM=90°，得出结论； （3）由二直线平行，同旁内角互补，可得∠FAN=180°-∠EFH=180°-�，由二直线平行，内错角相等，得 ∠ANC=∠HCD=∠BAN，从而根据角的和差、等量代换及角的构成可求出 ∠FAB-∠HCD=∠FAB-∠BAN=∠FAN=180°-�，得出结论. 26 / 28 50． 问题探究： （1）如图 1，�� ∥ ��，点 P在直线��上方（∠��� > ∠���）． ①请在拐点 P处作直线��平行∥平行线； ②探究∠���、∠���、∠���之间的数量关系为_▲_． （2）问题拓展：如图 2，�� ∥ ��，点 P在直线��上方，∠���的角平分线��所在的直线和∠���的角 平分线��所在的直线交于点 G（点 G在直线��的下方），请写出∠���和∠���之间的数量关系，并证明． （3）问题迁移：如图 3，�� ∥ ��，点 P在直线��上方，��、��、��、��分别是∠���、∠���、∠���、 ∠���的三等分线，且∠���∠��� = ∠��� ∠��� = ∠��� ∠��� = ∠��� ∠��� = 2 3．直线��与直线��交于点M，直线��与直线�� 交于点 N（点 N在直线��的下方）．设∠��� − ∠��� = �，请直接写出�与∠�的数量关系： ． 【答案】（1）解：①如图 1，直线MN即为过点 P且平行于直线 AB的直线： ②∠AEP=∠CFP+∠EPF （2）解：∠EPF+2∠EGF=180°，理由如下： 如图 2，设∠AEM=x，∠DFN=y， ∵EM平分教 AEP，FN平分∠DFP， ∴∠AEP=2x，∠PFD=2y， 由（1）得∠EPF=∠AEP-∠CFP=2y-（180°-2x）=2y+2x-180°， 即� + � = 90° + 12∠�， ∵AC∥CD， ∴∠CHM=∠AEM=x， ∵∠CHM=∠GHF=x，∠HFG=∠DFN=y， 故∠� = 180° − (∠��� + ∠���)， 整理得：∠� = 90° − 12∠�， 27 / 28 ∴2∠G+∠P=180°.​ ​ ​ ​ （3）� = 13∠� 【解析】【解答】解：（1）②∵MN∥AB，AB∥CD， ∴MN∥CD∥AB， ∴∠AEP=∠NPE，∠CFP=∠NPF， ∴∠AEP=∠NPE=∠NPF+∠EPF=∠CFP+∠EPF， 即∠AEP=∠CFP+∠EPF， 故答案为：∠AEP=∠CFP+∠EPF. （3）设∠AEP=x，∠CFP=y， ∵∠AEP=∠P+∠CFP， ∴∠P=x-y，∠BEP=180°-x，∠PFD=180°-y， ∵ EG、ES、FM、FT分别是∠AEP、∠BEP、∠CFP、∠DFP的三等分线 ，且∠���∠��� = ∠��� ∠��� = ∠��� ∠��� = ∠��� ∠��� = 2 3， ∴∠��� = ∠��� = 13∠��� = 60° − 1 3 �，∠��� = 2 3∠��� = 2 3 �， ∠��� = 13∠��� = 60° − 1 3 �，∠��� = 2 3 �， ∴∠��� = ∠��� + ∠��� = 60° + 13 �，∠��� = ∠��� + ∠��� = 60° + 1 3 �， 又∵∠� = ∠��� − ∠��� = 60° + 13 � − ∠���，∠� = ∠��� − ∠��� = 60° + 1 3 � − ∠���， ∠MRE=∠NRT， ∴∠�−∠� = 60° + 13 � − ∠��� − 60° + 1 3 � − ∠��� = 1 3 � − � = 1 2∠�， ∵∠EMF-∠ENF=α ， ∴� = 13∠�； 故答案为：� = 13∠�. 【分析】（1）①过点 P且平行于直线 AB的直线即可； ②根据平行于同一直线的两直线平行可得MN∥CD∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得 ∠AEP=∠NPE，∠CFP=∠NPF，即可推得∠AEP=∠CFP+∠EPF； （2）设∠AEM=x，∠DFN=y，由角平分线的定义可得∠AEP=2x，∠PFD=2y，结合（1）可求得 x+y=90°+12∠P， 根据两直线平行，同位角相等可得∠CHM=∠AEM=x，推得∠G=90°-12∠P，即可证明； 28 / 28 （3）设∠AEP=x，∠CFP=y，推得∠P=x-y，∠BEP=180°-x，∠PFD=180°-y，结合三等点可得∠��� = 60° − 1 3 �，∠��� = 2 3 �，∠��� = 60° − 1 3 �，∠��� = 2 3 �，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和 可得∠M和∠N的值，即可求解. 2024年 湘教版 七年级下册 第三——第四单元常考题型汇总 一、因式分解的基础概念和题型 1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．（x+2）＝x2+4x+1 B．3a（b+c）＝3ab+3ac C．x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y） D．（x﹣1）（y﹣1）＝xy﹣x﹣y+1 2．已知多项式分解因式后有一个因式是，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A． B． C． D． 4．多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 5．对于任何整数，多项式都能被（　　） A．8整除 B．整除 C．整除 D．整除 6．下列可以用完全平方公式因式分解的是（　　） A．4a2-4a-1 B．4a2＋2a＋1 C．1-4a＋4a2 D．2a2＋4a＋1 7．若x+y+z=2，x2﹣（y+z）2=8时，x﹣y﹣z=　 　． 8．已知，则代数式的值为（　　） A．30 B．36 C．42 D．48 9．给出下面四个多项式：①；②；③；④，其中含因式的多项式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10． 下列多项式因式分解： ①；②；③；④，其中正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 11．多项式分解因式，其结果是（　　） A． B． C． D． 12．若多项式因式分解后有一个因式为x-2y，则另一个因式为（　　） A．x+2y+1 B．x+2y-1 C．x-2y+1 D．x-2y-1 13．将多项式：加上一个单项式后，使它能够在我们所学范围内进行因式分解，则此单项式不能是（　　） A．-2 B． C．8m D．-8m 14．若4x2+mx+25是一个完全平方公式，则实m=　 　. 15．如果多项式9x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个多项式的平方，那么加上的多项式可以是　 　(应写尽写) 二、常见的因式分解扩展题型 16．已知x2+y2+4x-6y+13=0，则代数式x+y的值为（　　） A．-1 B．1 C．25 D．36 17． 若 ， 则多项式 　 　 18．教材中的探究启发我们：通过用不同的方法计算同一图形的面积，可以探求出计算多项式乘法或分解因式的新途径.例如，选取图 1中的正方形、长方形硬纸片共 6 块，拼出一个如图2所示的长方形，计算它的面积可以得到相应的等式： 或 . （1）请根据图 3写出代数恒等式，并根据所写恒等式计算. （2）若 求 x +y+z的值. （3）试借助图1 的硬纸片，利用拼图的方法把二次多项式 分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框内. 19．阅读材料： 因为，这说明多项式有一个因式为x1，我们把x=1代入此多项式发现 x=1能使多项式的值为0. 解决问题： （1）若x3是多项式的一个因式，求 k 的值. （2）x-3和x-4时多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，试求m、n的值. （3）在(2)的条件下，把多项式分解因式. 20．要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后两项分成组，并提出b，从而得am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)．这时，由于a(m+n)+b(m+n)中又有公因式(m+n)，于是可提公因式(m+ n)，从而得到(m+ n)(a+ b)，因此有am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)= (m+n)(a+b) ． 这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解． （1） ab-ac+bc-b2= (ab-ac)+(bc-b2)=a(b-c)- b(b-c)=　 　. （2）因式分解： x2-(p+q)x+pq； （3）因式分解：x2y-4y-2x2+8． （4）已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2+2b2+c2=2b(a+c)，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 21． （1）分解因式： 　 　； 　 　. （2）根据以上两式，试求当x，y各取何值时，的值最小?请求出最小值. 22． 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是什么？ （2）该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 23．数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式；例如求代数式的最小值．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：　 　． （2）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． （3）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 24．【学习材料】拆项添项法 在对某些多项式进行因式分解时， 需要把多项式中的某一项拆成两项或多项， 或者在多项式中添上两个仅符号相反的项． 例 1 分解因式： 解：原式 例 2 分解因式： 解：原式 【知识应用】请根据以上材料中的方法， 解决下列问题： （1）分解因式： 　 　 （2） 运用拆项添项法分解因式： ． （3） 化简： ． 25．【学习材料】拆项添项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法，如： 例1：分解因式：x4+4y4 解：原式＝x4+4y4＝x4+4x2y2+4y4﹣4x2y2 ＝（x2+2y2）2﹣4x2y2＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy） 例2：分解因式：x3+5x﹣6 解：原式＝x3﹣x+6x﹣6＝x（x2﹣1）+6（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x+6） 我们还可以通过拆项对多项式进行变形，如 例3、把多项式a2+b2+4a﹣6b+13写成A2+B2的形式． 解：原式＝a2+4a+4+b2﹣6b+9＝（a+2）2+（b﹣3）2 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）分解因式：x2+2x﹣8＝　 　； （2）分解因式：x4+4＝　 　； （3）关于x的二次三项式x2﹣20x+111在x＝　 　时，有最小值； （4）已知M＝x2+6x+4y2﹣12y+m（x，y均为整数，m是常数），若M恰能表示成A2+B2的形式，求m的值． 三、三线八角基础题型汇总 26． 下列说法正确的是(　　) A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 D．在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 27．下列说法正确的是（　　） A．在同一平面内， 是直线， 且 ，则 B．在同一平面内， 是直线， 且 ，则 C．在同一平面内， 是直线， 且 ，则 D．在同一平面内， 是直线， 且 ，则 28．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（　　） A．②③ B．①②③ C．③④ D．①②④ 29．如图所示，小亮借助直尺和三角板，根据“一重合、二靠紧、三移动、四画线”的步骤完成了“过直线外一点画直线”．其依据是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，内错角相等 C．同旁内角互补，两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 30．如图，下列条件中能判定AE∥CD的是（　　） A．∠A=∠C B．∠A+∠ABC=180° C．∠C=∠CBE D．∠A=∠CBE 31．下列图形中，由，能得到的是（　　） A． B． C． D． 32．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路.小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 33．下列说法正确的有（　　） ①同位角相等；②两点之间的所有连线中，线段最短；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④两点之间的距离是两点间的线段；⑤已知同一平面内，，则． A．② B．②③ C．②③④ D．②③⑤ 34．如图，把长方形沿折叠后，使落在处，若，则的度数为　 　． 35．如图1的长方形纸带中，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中度数是（　　） A．105° B．120° C．130° D．145° 36．已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AM＞DN），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P；如图2所示，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若∠1＝∠2，则∠CPM的度数为（　　） A．74° B．72° C．70° D．68° 37．如图，若∠1=∠2，DE∥BC，则：①FG∥DC；②∠AED=∠ACB；③CD平分∠ACB；④∠1+∠B=90°；⑤∠BFG=∠BDC，⑥∠FGC=∠DEC+∠DCE，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②⑤⑥ C．①③④⑥ D．③④⑥ 38． 如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池. （1）请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小； （2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据.(画图后说明依据) 39．如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，点E在线段AC上，∠4=∠C． （1）∠1与∠2是否相等，请说明理由； （2）若∠4=2∠3，求∠C的度数． 40．如图，CD⊥AB于D，FE⊥AB于E，∠ACD+∠F＝180°. （1）求证：AC∥FG； （2）若∠A＝45°，∠BCD：∠ACD＝2：3，求∠BCD的度数. 41．如图，EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°，试说明∠ADC＝90°．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：∵∠1＝∠C，（已知） ∴GD∥ ▲ ．（ ） ∴∠2＝∠DAC．（ ） ∵∠2+∠3＝180°，（已知） ∴∠DAC+∠3＝180°．（等量代换） ∴AD∥EF．（ ） ∴∠ADC＝∠ ▲ ．（ ） ∵EF⊥BC，（已知） ∴∠EFC＝90°．（ ） ∴∠ADC＝90°．（等量代换） 四、关于平移的常考题型 42．下列四个图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（　　） A． B． C． D． 43．如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移4个单位长度得到三角形DEF，CG＝3，EF＝7，则图中阴影部分的面积为　 　． 44．某会场台阶的截面图如图所示，要在上面铺上红地毯，则至少需要　 　m的地毯才能铺完整个台阶． 五、平行线中的拐点模型 45．如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若，则的度数为（　　） A．55° B．45° C．35° D．30° 46．如图所示，，，则与一定满足的等式是（　　）． A． B． C． D． 47． 课题学习：平行线问题中的转化思想. 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”.与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁.当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整.将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想.有这样一道典型问题： 例题：如图（1）.已知，点在直线、之间，探究与、之间的关系. 解：过点作. ，， ， ， ， . 【学以致用】 （1）如图（1），当，时，　 　； （2）①如图（2），已知，若，，求出的度数. ②如图（3），在①的条件下，若、分别平分和，求的度数. 48．如图①，已知，，的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为第次操作，分别作和的平分线，交点为．如图②，若，则的度数是　 　． 49． 综合与实践：综合与实践活动课上，孙老师让同学们以“奇妙的平行线”为主题开展数学活动．如图1， ，点、分别在射线和上，． （1）若，则=　 　度；探究中小聪同学发现，过点作即可得到的度数，请直接写出的度数； （2）小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过点作，交于，请你根据小明同学提供的辅助线，先确定该定值，并说明理由； （3）如图3，把“”改为“” （），其它条件保持不变，猜想与的数量关系，并说明理由． 50． 问题探究： （1）如图1，，点P在直线上方（）． ①请在拐点P处作直线平行∥平行线； ②探究、、之间的数量关系为_▲_． （2）问题拓展：如图2，，点P在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点G（点G在直线的下方），请写出和之间的数量关系，并证明． （3）问题迁移：如图3，，点P在直线上方，、、、分别是、、、的三等分线，且．直线与直线交于点M，直线与直线交于点N（点N在直线的下方）．设，请直接写出与的数量关系：　 　． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年 湘教版 七年级下册 第三——第四单元常考题型汇总 一、因式分解的基础概念和题型 1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．（x+2）＝x2+4x+1 B．3a（b+c）＝3ab+3ac C．x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y） D．（x﹣1）（y﹣1）＝xy﹣x﹣y+1 【答案】C 2．已知多项式分解因式后有一个因式是，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 3．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 4．多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】∵， ∴公因式是， 故答案为：A。 【分析】利用公因式的定义求解即可。 5．对于任何整数，多项式都能被（　　） A．8整除 B．整除 C．整除 D．整除 【答案】A 【解析】【解答】解： 对于任何整数，多项式都能被8整除. 故答案为：A. 【分析】将多项式因式分解为即可得到答案. 6．下列可以用完全平方公式因式分解的是（　　） A．4a2-4a-1 B．4a2＋2a＋1 C．1-4a＋4a2 D．2a2＋4a＋1 【答案】C 【解析】【解答】解：A、4a2-4a-1不能用完全平方公式因式分解，错误； B、4a2＋2a＋1不能用完全平方公式因式分解，错误； C、1-4a＋4a2=（1-2a）2，能用完全平方公式因式分解，正确； D、2a2＋4a＋1不能用完全平方公式因式分解，错误. 故答案为：C. 【分析】根据因式分解的完全平方公式法：a2±2ab+b2=（a±b）2，对各选项进行判断即可. 7．若x+y+z=2，x2﹣（y+z）2=8时，x﹣y﹣z=　 　． 【答案】4 【解析】【解答】解：∵x2﹣（y+z）2=8， ∴（x﹣y﹣z）（x+y+z）=8， ∵x+y+z=2， ∴x﹣y﹣z=8÷2=4， 故答案为：4． 【分析】首先把x2﹣（y+z）2=8的左边分解因式，再把x+y+z=2代入即可得到答案． 8．已知，则代数式的值为（　　） A．30 B．36 C．42 D．48 【答案】B 9．给出下面四个多项式：①；②；③；④，其中含因式的多项式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】【解答】解：①； ②； ③； ④不能分解因式； 其中含因式的多项式为：①②③，共3个， 故答案为：C. 【分析】先分解因式，再进行判断即可． 10． 下列多项式因式分解： ①；②；③；④，其中正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【解析】【解答】解：①，因式分解正确，符合题意； ②不能进行因式分解，不符合题意； ③，因式分解错误，不符合题意； ④，因式分解正确，符合题意； 故答案为：B． 【分析】根据乘法公式和提公因式法分解因式后逐一分析判定即可． 11．多项式分解因式，其结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解： 故答案为：D. 【分析】直接利用平方差公式分解即可. 12．若多项式因式分解后有一个因式为x-2y，则另一个因式为（　　） A．x+2y+1 B．x+2y-1 C．x-2y+1 D．x-2y-1 【答案】C 【解析】【解答】解： ， 故答案为：C. 【分析】将原式重新分组，进而理由完全平方公式和提公因式法因式分解，即可求解. 13．将多项式：加上一个单项式后，使它能够在我们所学范围内进行因式分解，则此单项式不能是（　　） A．-2 B． C．8m D．-8m 【答案】B 【解析】【解答】解：A、16m2+1﹣2＝16m2﹣1＝（4m+1）（4m﹣1），不符合题意； B、16m2+1﹣15m2＝m2+1，不能分解，符合题意； C、16m2+1+8m＝（4m+1）2，不符合题意； D、16m2+1﹣8m＝（4m﹣1）2，不符合题意． 故答案为：B. 【分析】多项式加上A选项中的整式后，能利用平方差公式分解，据此可判断A选项；多项式加上B选项中的整式后，得到的多项式式是二项式，这个二项式中的两项没有公因式可提取，虽都能写成一个整式的完全平方，但两项符号相同，故不能使用平方差公式分解，据此可判断B选项；多项式加上C选项中的整式后，能利用完全平方公式分解，据此可判断C选项；多项式加上D选项中的整式后，能利用完全平方公式分解，据此可判断D选项. 14．若4x2+mx+25是一个完全平方公式，则实m=　 　. 【答案】±20 【解析】【解答】解：∵4x2+mx+25是完全平方式， ∴4x2+mx+25=（2x±5）2； ∴， ∴m=±20； 故答案为：±20. 【分析】根据完全平方公式进行计算，即可解答. 15．如果多项式9x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个多项式的平方，那么加上的多项式可以是　 　(应写尽写) 【答案】或±6x 【解析】【解答】解：①若9x2是乘积二倍项， 则， ∴加上的单项式为， ②若9x2和平方项， 则9x2±6x+1=（3x±1）2， ∴加上的单项式为±6x； 综上所述，加上的单项式是或±6x. 故答案为：或±6x. 【分析】根据完全平方公式将9x2是分类乘积二倍项和平方项分别进行求解即可. 二、常见的因式分解扩展题型 16．已知x2+y2+4x-6y+13=0，则代数式x+y的值为（　　） A．-1 B．1 C．25 D．36 【答案】B 17． 若 ， 则多项式 　 　 【答案】3 【解析】【解答】解： 结合条件，可进一步化简成2c-a-b=3. 故答案为：3. 【分析】按规律整理式子后对每一组进行因式分解，先代入条件算出每个括号，继续代入算出最终值. 18．教材中的探究启发我们：通过用不同的方法计算同一图形的面积，可以探求出计算多项式乘法或分解因式的新途径.例如，选取图 1中的正方形、长方形硬纸片共 6 块，拼出一个如图2所示的长方形，计算它的面积可以得到相应的等式： 或 . （1）请根据图 3写出代数恒等式，并根据所写恒等式计算. （2）若 求 x +y+z的值. （3）试借助图1 的硬纸片，利用拼图的方法把二次多项式 分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框内. 【答案】（1）解：由题意得：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac++2bc， ∴； （2）解：∵x2+y2+z2=1，xy+yz+xz=3， ∴x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)=1+2×3， 即x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=7， ∴(x+y+z)2=7， ∴x+y+z=； （3）解：如图所示： 3a2+7ab+2b2=(3a+b)(a+2b). 【解析】【分析】（1）根据大正方形的面积=3个小正方形的面积+6个长方形的面积可列出恒等式，再根据所写的恒等式计算(x-2y-3)2即可； （2）将第一个等式与第二个等式的2倍相加后再结合（1）中的结论变形为(x+y+z)2=7，最后再开平方即可； （3）先画出图形，再根据3个边长为a的正方形的面积+2个边长为b的正方形的面积+7个长为a，宽为b的长方形的面积=整个长方形的面积，即可分解. 19．阅读材料： 因为，这说明多项式有一个因式为x1，我们把x=1代入此多项式发现 x=1能使多项式的值为0. 解决问题： （1）若x3是多项式的一个因式，求 k 的值. （2）x-3和x-4时多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，试求m、n的值. （3）在(2)的条件下，把多项式分解因式. 【答案】（1）解：∵x-3是多项式x2+kx+12的一个因式， ∴当x=3时，x2+kx+12=0， ∴9+3k+12=0， 解得k=-7， ∴k的值为-7； （2）解：∵x-3与x-4时多项式x3+mx2+12x+n的两个因式， ∴当x=3和x=4时，x3+mx2+12x+n=0， ∴ 解得 ∴m的值为-7，n的值为0； （3）解：∵m=-7，n=0， ∴x3+mx2+12x+n=x3-7x2+12x， ∴x3-7x2+12x =x(x2-7x+12) =x(x-3)(x-4). 【解析】【分析】（1）由阅读材料可得，当x=3时，x2+kx+12=0，从而将x=3代入方程可求出k的值； （2）由阅读材料可得，当x=3和x=4时，x3+mx2+12x+n=0，从而将x=3和x=4分别代入方程可得关于字母m、n的方程组，求解可得m、n的值； （3）将（2）中求出的m、n的值代入x3+mx2+12x+n后，先利用提取公因式法分解因式，再利用十字相乘法进行第二次分解可. 20．要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后两项分成组，并提出b，从而得am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)．这时，由于a(m+n)+b(m+n)中又有公因式(m+n)，于是可提公因式(m+ n)，从而得到(m+ n)(a+ b)，因此有am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)= (m+n)(a+b) ． 这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解． （1） ab-ac+bc-b2= (ab-ac)+(bc-b2)=a(b-c)- b(b-c)=　 　. （2）因式分解： x2-(p+q)x+pq； （3）因式分解：x2y-4y-2x2+8． （4）已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2+2b2+c2=2b(a+c)，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）(b-c)(a-b) （2）解：原式=(x-p)(x-q)； （3）解：原式=(x2y-2x2)+(-4y+8) =x2(y-2)-4(y-2) =(y-2)(x2-4) =(y-2)(x+2)(x-2)； （4）解：∵ a2+2b2+c2=2b(a+c) ， ∴ a2+2b2+c2=2ab+2bc， ∴ a2+2b2+c2-2ab-2bc=0， ∴(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)=0， ∴(a-b)2+(b-c)2=0， ∴a-b=0，b-c=0， ∴a=b，b=c， ∴a=b=c， ∴这个三角形是等边三角形. 【解析】【解答】解：（1） ab-ac+bc-b2= (ab-ac)+(bc-b2)=a(b-c)- b(b-c) =(b-c)(a-b)； 故答案为：(b-c)(a-b)； 【分析】（1）先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后两项分成组，并提出-b，从而得 ab-ac+bc-b2=a(b-c)- b(b-c)，由于a(b-c)- b(b-c)中又有公因式(b-c)，于是可提公因式(b-c)，从而得到(b-c)(a-b)； （2）观察这个三项式发现：常数项是p与q的乘积，而一次项系数刚好是p与q和的相反数，于是直接利用十字相乘法分解因式即可； （3）把多项式进行二二分组提取公因式后， 它们的另一个因式正好相同 ，从而再利用提取公式法继续分解，最后再利用平方差公式进行第三次分解即可； （4）先将等式的右边展开移到左边，左边拆项后进行三三分组，每一组利用完全平方公式法进行分解因式，然后根据偶数次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0可得出a=b=c，进而根据三边相等的三角形是等边三角形可作出判断，得出结论. 21． （1）分解因式： 　 　； 　 　. （2）根据以上两式，试求当x，y各取何值时，的值最小?请求出最小值. 【答案】（1）(2x-3y)2；(y+2) （2）解：4x2-12xy+10y2+4y+9 =4x2-12xy+9y2+y2+4y+4+5 =(2x-3y)2+(y+2)2+5 ∵(2x-3y)2≥0，（y+2）2≥0， ∴当(2x-3y)=0，（y+2）=0，即：x=-3，y=-2时，代数式4x2-12xy+10y2+4y+9的值最小.且最小值为5. 【解析】【解答】解：（1）①原式=（2x）2-2×2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2. ②原式=y2+2·y·2+22=(y+2)2. 故答案为：(2x-3y)2，(y+2)2. 【分析】（1）①根据完全平方公式“a2-2ab+b2=(a-b)2”即可求解； ②根据完全平方公式“a2-2ab+b2=(a-b)2”即可求解； （2）由题意现将多项式拆项并结合完全平方公式可得：4x2-12xy+9y2+y2+4y+4+5=(2x-3y)2+(y+2)2+5，然后根据偶次方的非负性即可求解. 22． 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是什么？ （2）该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】（1）解：完全平方公式 （2）解：不彻底。 （3）解： 【解析】【解答】解：（3）设x2-2x=y， 则 【分析】（1）根据该同学作答的步骤结合完全平方公式的特点即可得到答案； （2）由可分解为（x-2）2， 可知分解不彻底；利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）设x2-2x=y，再根据例题的分解方法进行因式分解即可. 23．数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式；例如求代数式的最小值．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：　 　． （2）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． （3）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】（1）（m+1）（m-5） （2）解：a2+b2-4a+6b+18 =(a2-4a+4)+(b2+6b+9)+5 =(a-2)2+(b+3)2+5，（2分） ∴当a=2，b=-3时，a2+b2-4a+6b+28有最小值为5； （3）解：a2-2ab+2b2-2a-4b+30 =a2+(-2ab-2a)+(b2+2b+1)+(b2-6b+9)+20 =a2-2a(b+1)+(b+1)2+(b-3)2+20 =(a-b-1)2+(b-3)2+20，（2分） 当a=4，b=3时，原式取最小值20． ∴当a=4，b=3时，多项式a2-2ab+2b2-2a-4b+28有最小值20． 【解析】【解答】解：（1） 故答案为：（m+1）（m-5）. 【分析】（1）根据阅读材料中因式分解的方法，先利用完全平方公式将变形为，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先利用配方法将多项式变形为(a-2)2+(b+3)2+5，再根据非负数的性质求解即可； （3）先利用配方法将多项式变形为 (a-b-1)2+(b-3)2+20， 再根据非负数的性质求解即可. 24．【学习材料】拆项添项法 在对某些多项式进行因式分解时， 需要把多项式中的某一项拆成两项或多项， 或者在多项式中添上两个仅符号相反的项． 例 1 分解因式： 解：原式 例 2 分解因式： 解：原式 【知识应用】请根据以上材料中的方法， 解决下列问题： （1）分解因式： 　 　 （2） 运用拆项添项法分解因式： ． （3） 化简： ． 【答案】（1）(x-2)(x+18) （2）. （3）解： =. 【解析】【解答】解：（1）原式=. 故答案为：(x-2)(x+18)； （2）原式=； 故答案为：. 【分析】（1）添上符号互为相反的两项64、-64即可利用公式法分解； （2）添上符号互为相反的两项4x2y2、-4x2y2即可利用公式法分解； （3）分子添上符号互为相反的两项4x、-4x即可利用公式法分解后约分化简. 25．【学习材料】拆项添项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法，如： 例1：分解因式：x4+4y4 解：原式＝x4+4y4＝x4+4x2y2+4y4﹣4x2y2 ＝（x2+2y2）2﹣4x2y2＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy） 例2：分解因式：x3+5x﹣6 解：原式＝x3﹣x+6x﹣6＝x（x2﹣1）+6（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x+6） 我们还可以通过拆项对多项式进行变形，如 例3、把多项式a2+b2+4a﹣6b+13写成A2+B2的形式． 解：原式＝a2+4a+4+b2﹣6b+9＝（a+2）2+（b﹣3）2 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）分解因式：x2+2x﹣8＝　 　； （2）分解因式：x4+4＝　 　； （3）关于x的二次三项式x2﹣20x+111在x＝　 　时，有最小值； （4）已知M＝x2+6x+4y2﹣12y+m（x，y均为整数，m是常数），若M恰能表示成A2+B2的形式，求m的值． 【答案】（1）（x+4）（x﹣2） （2）（x2+2+2x）（x2+2﹣2x） （3）10 （4）解：M＝（x2+6x+9）+（4y2﹣12y+9）+m﹣18 ＝（x+3）2+（2y﹣3）2+m﹣18， ∵若M恰能表示成A2+B2的形式， ∴m﹣18＝0， ∴m＝18， 答：m的值为18． 【解析】【解答】解：（1）x2+2x-8=（x+4）（x-2）； 故答案为：（x+4）（x-2）； （2）x4+4 =（x2）2+4x2+22-4x2=（x2+2）2-22x2=（x2+2）2-（2x）2=（x2+2+2x）（x2+2-2x）； 故答案为：（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）； （3）∵x2﹣20x+111 =x2﹣20x+100+11=（x-10）2+11，（x-10）2≥0， ∴当x=10时，（x-10）2+11有最小值，最小值为11； 故答案为：10； 【分析】（1）根据十字交叉相乘法，x2=x.x，-8=4×（-2），再结合4x+（-2x）=2x，可以得到：x2+2x-8=（x+4）（x-2）； （2）先把x4写成（x2）2的形式，把4写成22的形式，再把x4+4 =（x2）2+4x2+22-4x2，再根据完全平方公式把（x2）2+4x2+22写成（x2+2）2的形式；再用平方差公式把（x2+2）2-（2x）2写成（x2+2+2x）（x2+2-2x）的形式即可； （3）先把x2﹣20x+111 写成（x-10）2+11的形式，再根据（x-10）2的非负性可知，x=10时，（x-10）2+11有最小值，最小值为11； （4）由已知M＝x2+6x+4y2﹣12y+m﹣18可以写成：（x+3）2+（2y﹣3）2+m﹣18的形式，所以若M恰能表示成A2+B2的形式时m﹣18＝0所以此时m＝18． 三、三线八角基础题型汇总 26． 下列说法正确的是(　　) A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 D．在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 27．下列说法正确的是（　　） A．在同一平面内， 是直线， 且 ，则 B．在同一平面内， 是直线， 且 ，则 C．在同一平面内， 是直线， 且 ，则 D．在同一平面内， 是直线， 且 ，则 【答案】A 【解析】【解答】解：A、∵a∥b，b∥c，∴a∥c，故此选项正确，符合题意； B、在同一平面内，∵a⊥b，b⊥c，∴a∥c，故此选项错误，不符合题意； C、在同一平面内，∵a∥b，b⊥c，∴a⊥c，故此选项错误，不符合题意； D、在同一平面内，∵a∥b，b∥c，∴a∥c，故此选项错误，不符合题意. 故答案为：A. 【分析】由平行于同一直线的两条直线互相平行，可判断A、D选项；由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，可判断B选项；根据平行线的性质，如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，那么该直线也与平行线中的另一条直线平行，据此可判断C选项. 28．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（　　） A．②③ B．①②③ C．③④ D．①②④ 【答案】D 【解析】【解答】解：图①②④中，∠1和∠2是同位角， 故答案为：D． 【分析】根据同位角的定义逐项判断即可。 29．如图所示，小亮借助直尺和三角板，根据“一重合、二靠紧、三移动、四画线”的步骤完成了“过直线外一点画直线”．其依据是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，内错角相等 C．同旁内角互补，两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】A 30．如图，下列条件中能判定AE∥CD的是（　　） A．∠A=∠C B．∠A+∠ABC=180° C．∠C=∠CBE D．∠A=∠CBE 【答案】C 【解析】【解答】A.∠A=∠C不能判断CD∥AE B.∠A+∠ABC=180°得出AD∥BC C. ∠C=∠CBE得出CD∥AE D. ∠C=∠CBE得出AD∥BC 故答案为：C． 【分析】根据平行线的判定逐项判定即可。 31．下列图形中，由，能得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 32．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路.小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 33．下列说法正确的有（　　） ①同位角相等；②两点之间的所有连线中，线段最短；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④两点之间的距离是两点间的线段；⑤已知同一平面内，，则． A．② B．②③ C．②③④ D．②③⑤ 【答案】A 34．如图，把长方形沿折叠后，使落在处，若，则的度数为　 　． 【答案】110° 35．如图1的长方形纸带中，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中度数是（　　） A．105° B．120° C．130° D．145° 【答案】A 【解析】【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠DEF=∠BFE=25°， ∴∠CFE=180°-3∠BFE=75°. 故答案为：A. 【分析】由二直线平行，内错角相等，得∠DEF=∠BFE=25°，由折叠的性质可得∠CFE=180°-3∠BFE，从而代入计算可得答案. 36．已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AM＞DN），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P；如图2所示，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若∠1＝∠2，则∠CPM的度数为（　　） A．74° B．72° C．70° D．68° 【答案】B 37．如图，若∠1=∠2，DE∥BC，则：①FG∥DC；②∠AED=∠ACB；③CD平分∠ACB；④∠1+∠B=90°；⑤∠BFG=∠BDC，⑥∠FGC=∠DEC+∠DCE，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②⑤⑥ C．①③④⑥ D．③④⑥ 【答案】B 【解析】【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠DCB=∠1，∠AED=∠ACB，故②正确； ∵∠1=∠2， ∴∠2=∠DCB， ∴FG∥DC，故①正确； ∴∠BFG=∠BDC，故⑤正确； ∴∠FGC=∠DEC+∠DCE，故⑥正确； 而CD不一定平分∠ACB，∠1+∠B不一定等于90°，故③，④错误； 故答案为：B 【分析】由平行线的性质得出内错角相等、同位角相等，得出②正确；再由已知条件证出∠2=∠DCB，得出FG∥DC，①正确；由平行线的性质得出⑤正确；进而得出⑥∠FGC=∠DEC+∠DCE正确，即可得出结果． 38． 如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池. （1）请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小； （2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据.(画图后说明依据) 【答案】（1）解： （2）解： 39．如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，点E在线段AC上，∠4=∠C． （1）∠1与∠2是否相等，请说明理由； （2）若∠4=2∠3，求∠C的度数． 【答案】（1）解：∠1=∠2，理由如下：∵AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∴∠ADC=∠EFC=90°，∴AD∥EF，∴∠1=∠3，∵∠4=∠C．∴AC∥DG，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2； （2）解：∵∠4=2∠3，∠4=∠C．∴∠C=2∠3，∵AD⊥BC于D，∴∠3+∠C=90°，∴∠3+2∠3=90°，∴∠3=30°，∴∠C=60°． 【解析】【分析】（1）先证明AD//EF可得∠1=∠3，再证明AC//DG，可得∠2=∠3，即可得到∠1=∠2； （2）先利用∠4=2∠3，∠4=∠C，可得∠C=2∠3，再利用三角形的内角和求出∠3=30°，即可得到∠C=60°。 40．如图，CD⊥AB于D，FE⊥AB于E，∠ACD+∠F＝180°. （1）求证：AC∥FG； （2）若∠A＝45°，∠BCD：∠ACD＝2：3，求∠BCD的度数. 【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，FE⊥AB， ∴∠AFH＝∠ADC＝90°， ∴EF//DC， ∴∠AHE＝∠ACD， ∵∠ACD+∠F＝180°. ∴∠AHE+∠F＝180°， ∵∠AHE+∠EHC＝180°， ∴∠EHC＝∠F， ∴AC//FG； （2）解：∵∠BCD：∠ACD＝2：3， ∴设∠BCD＝2x，∠ACD＝3x， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠A+∠ACD＝90°， 45°+3x＝90°， 解得x＝15°， ∴∠BCD＝2x＝30°. 答：∠BCD的度数为30°. 【解析】【分析】（1）根据CD⊥AB，FE⊥AB，可得EF∥DC，由平行线的性质得∠AHE＝∠ACD，结合已知可得∠EHC＝∠F，然后根据同位角相等两直线平行可求解； （2）根据∠BCD：∠ACD＝2：3，可以设∠BCD＝2x，∠ACD＝3x，根据CD⊥AB，可得45°＋3x＝90°，求出x的值，则∠BCD的度数可求解. 41．如图，EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°，试说明∠ADC＝90°．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：∵∠1＝∠C，（已知） ∴GD∥ ▲ ．（ ） ∴∠2＝∠DAC．（ ） ∵∠2+∠3＝180°，（已知） ∴∠DAC+∠3＝180°．（等量代换） ∴AD∥EF．（ ） ∴∠ADC＝∠ ▲ ．（ ） ∵EF⊥BC，（已知） ∴∠EFC＝90°．（ ） ∴∠ADC＝90°．（等量代换） 【答案】解：如图， ∵∠1＝∠C，（已知） ∴，（同位角相等，两直线平行） ∴∠2＝∠DAC，（两直线平行，内错角相等） ∵∠2+∠3＝180°，（已知） ∴∠DAC+∠3＝180°，（等量代换） ∴，（同旁内角互补，两直线平行） ∴∠ADC＝∠EFC，（两直线平行，同位角相等） ∵EF⊥BC，（已知） ∴∠EFC＝90°，（垂直的定义） ∴∠ADC＝90°．（等量代换） 【解析】【分析】先利用平行线的判断得出AD//EF，再利用平行线的性质可得∠ADC=∠EFC=90°。 四、关于平移的常考题型 42．下列四个图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：A、 能通过其中一个四边形平移得到，故此选项不符合题意； B、 能通过其中一个四边形平移得到，故此选项不符合题意； C、 能通过其中一个四边形平移得到，故此选项不符合题意； D、不能通过其中一个四边形平移得到，故此选项符合题意. 故答案为：D. 【分析】由于平移不会改变图形的形状、大小及方向，只能改变图形的位置，从而一一判断得出答案. 43．如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移4个单位长度得到三角形DEF，CG＝3，EF＝7，则图中阴影部分的面积为　 　． 【答案】22 【解析】【解答】解：∵Rt△ABC沿AB的方向平移AD距离得△DEF， ∴△DEF≌△ABC， ∴EF＝BC＝7，S△DEF＝S△ABC， ∴S△ABC﹣S△DBG＝S△DEF﹣S△DBG， ∴S四边形ACGD＝S梯形BEFG， ∵CG＝3， ∴BG＝BC﹣CG＝7﹣3＝4， ∴S梯形BEFG （BG+EF）•BE （4+7）×4＝22． 故答案为：22． 【分析】根据平移的性质可得△DEF≌△ABC，即得S△DEF＝S△ABC，从而求出S四边形ACGD＝S梯形BEFG，根据梯形的面积公式计算即可. 44．某会场台阶的截面图如图所示，要在上面铺上红地毯，则至少需要　 　m的地毯才能铺完整个台阶． 【答案】 五、平行线中的拐点模型 45．如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若，则的度数为（　　） A．55° B．45° C．35° D．30° 【答案】A 【解析】【解答】解： 延长AE与CD的延长线交于点F， ∵AB//CD，∠AEG=90°， ∴∠F=∠1，∠GEF=90°， ∵∠1=35°， ∴∠F=35°， ∴∠2=180°-∠GEF-∠F=180°-35°-90°=55°. 故答案为：A. 【分析】延长AE与CD的延长线交于点F，根据平行线的性质得到∠F=∠1=35°，再根据三角形内角和定理即可求出∠2的度数，即可求解. 46．如图所示，，，则与一定满足的等式是（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 47． 课题学习：平行线问题中的转化思想. 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”.与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁.当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整.将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想.有这样一道典型问题： 例题：如图（1）.已知，点在直线、之间，探究与、之间的关系. 解：过点作. ，， ， ， ， . 【学以致用】 （1）如图（1），当，时，　 　； （2）①如图（2），已知，若，，求出的度数. ②如图（3），在①的条件下，若、分别平分和，求的度数. 【答案】（1） （2）解：①过点作，如图： ，， ， ， 又， ， ， ， ②，平分， ， ，平分， ， 由（1）问可知：， 48．如图①，已知，，的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为第次操作，分别作和的平分线，交点为．如图②，若，则的度数是　 　． 【答案】 49． 综合与实践：综合与实践活动课上，孙老师让同学们以“奇妙的平行线”为主题开展数学活动．如图1， ，点、分别在射线和上，． （1）若，则=　 　度；探究中小聪同学发现，过点作即可得到的度数，请直接写出的度数； （2）小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过点作，交于，请你根据小明同学提供的辅助线，先确定该定值，并说明理由； （3）如图3，把“”改为“” （），其它条件保持不变，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）60 （2）解：如图2，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 无论如何变化，的值始终为定值，该定值为 ； （3）解：的值始终为定值，该定值为；如图4， 过点作，交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 无论如何变化，的值始终为定值，该定值为； 【解析】【解答】解：（1）∵∠FAB=150°， ∴∠EAB=180°-∠FAB=30°， 过点F作FG∥AB， ∴∠EAB=∠EFG=30°， ∵∠EFH=90°， ∴∠HFG=90°-∠EFG=60°， ∵AB∥CD，FG∥AB， ∴FG∥CD， ∴∠HCD=∠HFG=60°； 故答案为：60； 【分析】（1）先由邻补角算出∠EAB=30°，过点F作FG∥AB，由二直线平行，同位角相等，得∠EAB=∠EFG=30°，由角的和差得∠HFG=90°-∠EFG=60°，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得FG∥CD，由二直线平行，同位角相等，得∠HCD=∠HFG=60°； （2）由二直线平行，同旁内角互补，可得∠FAM=180°-∠EFH=90°，由二直线平行，内错角相等，得∠AMC=∠HCD=∠BAM，从而根据角的和差、等量代换及角的构成可求出∠FAB-∠HCD=∠FAB-∠BAM=∠FAM=90°，得出结论； （3）由二直线平行，同旁内角互补，可得∠FAN=180°-∠EFH=180°-，由二直线平行，内错角相等，得∠ANC=∠HCD=∠BAN，从而根据角的和差、等量代换及角的构成可求出∠FAB-∠HCD=∠FAB-∠BAN=∠FAN=180°-，得出结论. 50． 问题探究： （1）如图1，，点P在直线上方（）． ①请在拐点P处作直线平行∥平行线； ②探究、、之间的数量关系为_▲_． （2）问题拓展：如图2，，点P在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点G（点G在直线的下方），请写出和之间的数量关系，并证明． （3）问题迁移：如图3，，点P在直线上方，、、、分别是、、、的三等分线，且．直线与直线交于点M，直线与直线交于点N（点N在直线的下方）．设，请直接写出与的数量关系：　 　． 【答案】（1）解：①如图1，直线MN即为过点P且平行于直线AB的直线： ②∠AEP=∠CFP+∠EPF （2）解：∠EPF+2∠EGF=180°，理由如下： 如图2，设∠AEM=x，∠DFN=y， ∵EM平分教AEP，FN平分∠DFP， ∴∠AEP=2x，∠PFD=2y， 由（1）得∠EPF=∠AEP-∠CFP=2y-（180°-2x）=2y+2x-180°， 即， ∵AC∥CD， ∴∠CHM=∠AEM=x， ∵∠CHM=∠GHF=x，∠HFG=∠DFN=y， 故， 整理得：， ∴2∠G+∠P=180°.​​​​ （3） 【解析】【解答】解：（1）②∵MN∥AB，AB∥CD， ∴MN∥CD∥AB， ∴∠AEP=∠NPE，∠CFP=∠NPF， ∴∠AEP=∠NPE=∠NPF+∠EPF=∠CFP+∠EPF， 即∠AEP=∠CFP+∠EPF， 故答案为：∠AEP=∠CFP+∠EPF. （3）设∠AEP=x，∠CFP=y， ∵∠AEP=∠P+∠CFP， ∴∠P=x-y，∠BEP=180°-x，∠PFD=180°-y， ∵ EG、ES、FM、FT分别是∠AEP、∠BEP、∠CFP、∠DFP的三等分线 ，且， ∴，， ，， ∴，， 又∵，，∠MRE=∠NRT， ∴， ∵∠EMF-∠ENF=α ， ∴； 故答案为：. 【分析】（1）①过点P且平行于直线AB的直线即可； ②根据平行于同一直线的两直线平行可得MN∥CD∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠AEP=∠NPE，∠CFP=∠NPF，即可推得∠AEP=∠CFP+∠EPF； （2）设∠AEM=x，∠DFN=y，由角平分线的定义可得∠AEP=2x，∠PFD=2y，结合（1）可求得x+y=90°+∠P，根据两直线平行，同位角相等可得∠CHM=∠AEM=x，推得∠G=90°-∠P，即可证明； （3）设∠AEP=x，∠CFP=y，推得∠P=x-y，∠BEP=180°-x，∠PFD=180°-y，结合三等点可得，，，，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠M和∠N的值，即可求解. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 12 2024 年 湘教版 七年级下册 第三——第四单元常考题型汇总 一、因式分解的基础概念和题型 1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A．（x+2）＝x2+4x+1 B．3a（b+c）＝3ab+3ac C．x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y） D．（x﹣1）（y﹣1）＝xy﹣x﹣y+1 2．已知多项式 2�3 − �2 +�分解因式后有一个因式是� + 1，则�的值为（ ） A．3 B．−3 C．1 D．−1 3．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A．− �2 + �2 B．− �2 − �2 C．�2 + �2 D．− �2 + �2 4．多项式 3�2�2 − 15�3�3 − 12�2�2�的公因式是（ ） A．3�2�2 B．−15�3�3 C．3�2�2� D．−12�2�2� 5．对于任何整数�，多项式(4�+ 5)2 − 9都能被（ ） A．8整除 B．�整除 C．(� − 1)整除 D．(2� − 1)整除 6．下列可以用完全平方公式因式分解的是（ ） A．4a2-4a-1 B．4a2＋2a＋1 C．1-4a＋4a2 D．2a2＋4a＋1 7．若 x+y+z=2，x2﹣（y+z）2=8时，x﹣y﹣z= ． 8．已知 2� + � = 6，则代数式 4�2 − �2 + 12�的值为（ ） A．30 B．36 C．42 D．48 9．给出下面四个多项式：①�2 − ��；②�2 − �2；③�2 − 2�� + �2；④�2 + �2，其中含因式(� − �)的 多项式有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10． 下列多项式因式分解： ①�2 − 6�� + 9�2 = (� − 3�)2；②16 + �4 = (4 + �2)(4 − �2)；③25��2 + 10�� + 5� = 5�(5�� − 2�)； ④�2 − (2�)2 = (� − 2�)(� + 2�)，其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．多项式 4 − �2分解因式，其结果是（ ） A．( − � + 2)2 B．(� + 2)2 C．(4 − �)(4 + �) D．(2 + �)(2 − �) 12．若多项式x2 − 4xy − 2y + x + 4y2因式分解后有一个因式为 x-2y，则另一个因式为（ ） A．x+2y+1 B．x+2y-1 C．x-2y+1 D．x-2y-1 13．将多项式：16�2 + 1加上一个单项式后，使它能够在我们所学范围内进行因式分解，则此单项式不 能是（ ） 2 / 12 A．-2 B．−15�2 C．8m D．-8m 14．若 4x2+mx+25是一个完全平方公式，则实 m= . 15．如果多项式 9x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个多项式的平方，那么加上的多项式可以是 (应写尽写) 二、常见的因式分解扩展题型 16．已知 x2+y2+4x-6y+13=0，则代数式 x+y的值为（ ） A．-1 B．1 C．25 D．36 17． 若 � = 2018� + 2019，� = 2018� + 2020，� = 2018� + 2021， 则多项式 �2 + �2 + �2 − �� − �� − �� = 18．教材中的探究启发我们：通过用不同的方法计算同一图形的面积，可以探求出计算多项式乘法或分解 因式的新途径.例如，选取图 1中的正方形、长方形硬纸片共 6 块，拼出一个如图 2所示的长方形，计算 它的面积可以得到相应的等式： a2 + 3ab + 2b2 = a + 2b (a + �)或 a + 2b a + b = a2 + 3ab + 2b2. （1）请根据图 3写出代数恒等式，并根据所写恒等式计算 x − 2y − 3 2. （2）若 x2 + y2 + z2 = 1，xy + yz + xz = 3，求 x +y+z的值. （3）试借助图 1 的硬纸片，利用拼图的方法把二次多项式 3a2 + 7ab + 2b2分解因式，并把所拼的图 形画在虚线方框内. 19．阅读材料： 因为x2 +2x − 3 = x + 3 x − 1 ，，这说明多项式x2 + 2x − 3有一个因式为 x−1，我们把 x=1代入此多 项式发现 x=1能使多项式x2 + 2x − 3的值为 0. 解决问题： （1）若 x−3是多项式x2 + kx + 12的一个因式，求 k 的值. 3 / 12 （2）x-3和 x-4时多项式 x3+mx2+12x+n的两个因式，试求 m、n的值. （3）在(2)的条件下，把多项式x3 +mx2 + 12x + n分解因式. 20．要把多项式 am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出 a，把它的后两项分成组， 并提出 b，从而得 am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)．这时，由于 a(m+n)+b(m+n)中又有公因式(m+n)，于是 可提公因式(m+ n)，从而得到(m+ n)(a+ b)，因此有 am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)= (m+n)(a+b) ． 这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个 因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解． （1） ab-ac+bc-b2= (ab-ac)+(bc-b2)=a(b-c)- b(b-c)= . （2）因式分解： x2-(p+q)x+pq； （3）因式分解：x2y-4y-2x2+8． （4）已知三角形的三边长分别是 a，b，c，且满足 a2+2b2+c2=2b(a+c)，试判断这个三角形的形状，并 说明理由． 21． （1）分解因式： ①4�2 − 12xy + 9�2 = ； ②�2 + 4y + 4 = . （2）根据以上两式，试求当 x，y各取何值时，4�2 − 12xy + 10�2 + 4y + 9的值最小?请求出最小值. 22． 下面是某同学对多项式(�2 − 4� + 2)(�2 − 4� + 6) + 4进行因式分解的过程． 解：设�2 − 4� = �， 原式= (� + 2)(� + 6) + 4 （第一步） = �2 + 8� + 16 （第二步） = (� + 4)2 （第三步） = (�2 − 4� + 4)2 （第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是什么？ （2）该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式(�2 − 2�)(�2 − 2� + 2) + 1进行因式分解． 23．数学教科书中这样写道：“我们把多项式�2 + 2�� + �2及�2 − 2�� + �2叫做完全平方式”，如果一个多 项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这 个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以 4 / 12 将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式�2 +2� − 3 = (�2 +2� + 1) − 4 = (� + 1)2 − 4 = (� + 1 + 2)(� + 1 − 2) = (� + 3)(� − 1)；例如求代数式 2�2 + 4� − 6的最小值 2�2 + 4� − 6 = 2(�2 + 2� − 3) = 2(� + 1)2 − 8．可知当� =− 1 时，2�2 + 4� − 6有最小值，最小值是−8，根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：�2 − 4�− 5 = ． （2）当 a，b为何值时，多项式�2 + �2 − 4� + 6� + 18有最小值，并求出这个最小值． （3）当 a，b为何值时，多项式�2 − 2�� + 2�2 − 2� − 4� + 30有最小值，并求出这个最小值． 24．【学习材料】拆项添项法 在对某些多项式进行因式分解时， 需要把多项式中的某一项拆成两项或多项， 或者在多项式中添上两个 仅符号相反的项． 例 1 分解因式： �4 + 4 解：原式 = �4 + 4�2 + 4 − 4�2 = �2 + 2 2 − 4�2 = �2 − 2� + 2 �2 + 2� + 2 例 2 分解因式： �3 + 5� − 6 解：原式 = �3 − � + 6� − 6 = � �2 − 1 + 6(� − 1) = (� − 1) �2 + � + 6 【知识应用】请根据以上材料中的方法， 解决下列问题： （1）分解因式： �2 + 16� − 36 = （2） 运用拆项添项法分解因式： �4 + 4�4． （3） 化简： � 3−�2−4 �−2 ． 25．【学习材料】拆项添项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两 个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法，如： 例 1：分解因式：x4+4y4 解：原式＝x4+4y4＝x4+4x2y2+4y4﹣4x2y2 ＝（x2+2y2）2﹣4x2y2＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy） 例 2：分解因式：x3+5x﹣6 解：原式＝x3﹣x+6x﹣6＝x（x2﹣1）+6（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x+6） 我们还可以通过拆项对多项式进行变形，如 例 3、把多项式 a2+b2+4a﹣6b+13写成 A2+B2的形式． 解：原式＝a2+4a+4+b2﹣6b+9＝（a+2）2+（b﹣3）2 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）分解因式：x2+2x﹣8＝ ； 5 / 12 （2）分解因式：x4+4＝ ； （3）关于 x的二次三项式 x2﹣20x+111在 x＝ 时，有最小值； （4）已知M＝x2+6x+4y2﹣12y+m（x，y均为整数，m是常数），若M恰能表示成 A2+B2的形式，求 m 的值． 三、三线八角基础题型汇总 26． 下列说法正确的是( ) A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 D．在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 27．下列说法正确的是（ ） A．在同一平面内， �，�，� 是直线， 且 � ∥ �，� ∥ �，则 � ∥ � B．在同一平面内， �，�，� 是直线， 且 � ⊥ �，� ⊥ �，则 � ⊥ � C．在同一平面内， �，�，� 是直线， 且 � ∥ �，� ⊥ �，则 � ∥ � D．在同一平面内， �，�，� 是直线， 且 � ∥ �，� ∥ �，则 � ⊥ � 28．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ） A．②③ B．①②③ C．③④ D．①②④ 29．如图所示，小亮借助直尺和三角板，根据“一重合、二靠紧、三移动、四画线”的步骤完成了“过直线�� 外一点�画直线��//��”．其依据是（ ） 6 / 12 A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，内错角相等 C．同旁内角互补，两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 30．如图，下列条件中能判定 AE∥CD的是（ ） A．∠A=∠C B．∠A+∠ABC=180° C．∠C=∠CBE D．∠A=∠CBE 31．下列图形中，由�� ∥ ��，能得到∠1 = ∠2的是（ ） A． B． C． D． 32．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路.小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为 合理，这一想法体现的数学依据是（ ） A．两点确定一条直线 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段最短 7 / 12 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 33．下列说法正确的有（ ） ①同位角相等；②两点之间的所有连线中，线段最短；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④两点之间的距离是两点间的线段；⑤已知同一平面内∠��� = 70°，∠��� = 30°，则∠��� = 100°． A．② B．②③ C．②③④ D．②③⑤ 34．如图，把长方形����沿��折叠后，使����落在����处，若∠1 = 40°，则∠���的度数为 ． 35．如图 1的长方形纸带中∠��� = 25°，将纸带沿 EF折叠成图 2，再沿 BF折叠成图 3，则图 3中∠��� 度数是（ ） A．105° B．120° C．130° D．145° 36．已知M，N分别是长方形纸条 ABCD边 AB，CD上两点（AM＞DN），如图 1所示，沿M，N所在直 线进行第一次折叠，点 A，D的对应点分别为点 E，F，EM交 CD于点 P；如图 2所示，继续沿 PM进行 第二次折叠，点 B，C的对应点分别为点 G，H，若∠1＝∠2，则∠CPM的度数为（ ） A．74° B．72° C．70° D．68° 37．如图，若∠1=∠2，DE∥BC，则：①FG∥DC；②∠AED=∠ACB；③CD平分∠ACB；④∠1+∠B=90°； ⑤∠BFG=∠BDC，⑥∠FGC=∠DEC+∠DCE，其中正确的结论是（ ） 8 / 12 A．①②③ B．①②⑤⑥ C．①③④⑥ D．③④⑥ 38． 如图，平原上有 A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池. （1）请你画图确定蓄水池 H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小； （2）计划把河水引入蓄水池 H中，怎样开渠最短并说明根据.(画图后说明依据) 39．如图，AD⊥BC于 D，EF⊥BC于 F，点 E在线段 AC上，∠4=∠C． （1）∠1与∠2是否相等，请说明理由； （2）若∠4=2∠3，求∠C的度数． 40．如图，CD⊥AB于 D，FE⊥AB于 E，∠ACD+∠F＝180°. （1）求证：AC∥FG； （2）若∠A＝45°，∠BCD：∠ACD＝2：3，求∠BCD的度数. 41．如图，EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°，试说明∠ADC＝90°．请完善解答过程，并在括号内填 9 / 12 写相应的理论依据． 解：∵∠1＝∠C，（已知） ∴GD∥ ▲ ．（ ） ∴∠2＝∠DAC．（ ） ∵∠2+∠3＝180°，（已知） ∴∠DAC+∠3＝180°．（等量代换） ∴AD∥EF．（ ） ∴∠ADC＝∠ ▲ ．（ ） ∵EF⊥BC，（已知） ∴∠EFC＝90°．（ ） ∴∠ADC＝90°．（等量代换） 四、关于平移的常考题型 42．下列四个图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ） A． B． C． D． 43．如图，将直角三角形 ABC沿 AB方向平移 4个单位长度得到三角形 DEF，CG＝3，EF＝7，则图中阴 影部分的面积为 ． 44．某会场台阶的截面图如图所示，要在上面铺上红地毯，则至少需要 m的地毯才能铺完整个 台阶． 五、平行线中的拐点模型 45．如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若∠1 = 35°，则∠2的度数为（ ） 10 / 12 A．55° B．45° C．35° D．30° 46．如图所示，∠��� = 90°，�� ∥ ��，则�与�一定满足的等式是（ ）． A．� + � = 180° B．� + � = 90° C．� = 3� D．� − � = 90° 47． 课题学习：平行线问题中的转化思想. 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”.与平行线有关的角 都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁.当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的 辅助线将其补充完整.将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想.有这样一道典型问题： 例题：如图（1）.已知�� ∥ ��，点�在直线��、��之间，探究∠���与∠�、∠�之间的关 系. 解：过点�作�� ∥ ��. ∵ �� ∥ ��，�� ∥ ��， ∴ �� ∥ �� ∥ ��， ∴ ∠� = ∠���，∠� = ∠��� ∵ ∠��� = ∠��� + ∠���， ∴ ∠��� = ∠� + ∠�. 【学以致用】 （1）如图（1），当∠� = 30°，∠� = 35°时，∠��� = ； （2）①如图（2），已知�� ∥ ��，若∠� = 135°，∠� = 130°，求出∠���的度数. 11 / 12 ②如图（3），在①的条件下，若��、��分别平分∠���和∠���，求∠���的度数. 48．如图①，已知�� ∥ ��，��，��的交点为�，现作如下操作：第一次操作，分别作∠���和∠���的平 分线，交点为�1；第二次操作，分别作∠���1和∠���1的平分线，交点为�2；第三次操作，分别作∠���2 和∠���2的平分线，交点为�3…第�次操作，分别作∠����−1和∠����−1的平分线，交点为��．如图②， 若∠�� = �°，则∠���的度数是 ． 49． 综合与实践：综合与实践活动课上，孙老师让同学们以“奇妙的平行线”为主题开展数学活动．如图 1， ∠��� = 90°，点�、�分别在射线��和��上，�� ∥ ��． （1）若∠��� = 150°，则∠���= 度；探究中小聪同学发现，过点�作�� ∥ ��即可得到∠��� 的度数，请直接写出∠���的度数； （2）小明同学发现：无论∠���如何变化，∠��� − ∠���的值始终为定值，并给出了一种证明该发现 的辅助线作法：如图 2，过点�作�� ∥ ��，交��于�，请你根据小明同学提供的辅助线，先确定该定值， 并说明理由； （3）如图 3，把“∠��� = 90°”改为“∠��� = �”（0＜�＜180°），其它条件保持不变，猜想∠���与∠��� 的数量关系，并说明理由． 50． 问题探究： （1）如图 1，�� ∥ ��，点 P在直线��上方（∠��� > ∠���）． ①请在拐点 P处作直线��平行∥平行线； 12 / 12 ②探究∠���、∠���、∠���之间的数量关系为_▲_． （2）问题拓展：如图 2，�� ∥ ��，点 P在直线��上方，∠���的角平分线��所在的直线和∠���的角 平分线��所在的直线交于点 G（点 G在直线��的下方），请写出∠���和∠���之间的数量关系，并证明． （3）问题迁移：如图 3，�� ∥ ��，点 P在直线��上方，��、��、��、��分别是∠���、∠���、∠���、 ∠���的三等分线，且∠���∠��� = ∠��� ∠��� = ∠��� ∠��� = ∠��� ∠��� = 2 3．直线��与直线��交于点M，直线��与直线�� 交于点 N（点 N在直线��的下方）．设∠��� − ∠��� = �，请直接写出�与∠�的数量关系： ．