专题06 等比数列前n项和（2）（四大题型）-【中职专用】2024-2025学年中职高二数学数列专题分类同步精练（人教版2021·拓展模块一）

专题06 等比数列的前n项和（2） 题型一 求等差数列的前n项和 例1 已知等比数列的首项为2，公比为3，则（   ） A．162 B．486 C．242 【答案】C 【分析】根据等比数列求和公式求解即可. 【详解】依题意，知等比数列的首项为2，公比为3， 所以. 故选：C. 变式1 若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由表达式可知利用等比数列求和公式计算即可. 【详解】由可知， 该表达式是一个以首项为1，公比为3的等比数列，共有项 故， 故选：C. 例2 已知等比数列的前项和为，公比为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列求和公式直接求解即可. 【详解】由等比数列求和公式得：. 故选：C. 变式2 等比数列1，，，，…的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件求出等比数列的公比，利用等比数列求和公式求其前项和. 【详解】设该数列为，数列的公比为，由已知，，所以， 所以数列的前项和， 故选：D. 例3 已知等比数列中，，则 . 【答案】 【分析】 根据等比数列的求和公式即可求解. 【详解】， 故答案为： 变式3 若等比数列的首项为，公比为2，则的前项和 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的前项和公式计算即得. 【详解】依题意得． 故答案为： 题型二 等差数列前n项和的基本量计算 例4 已知等比数列的公比为q，前n项和为．若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据等比数列通项公式将展开计算即可. 【详解】，解得. 故选：B. 变式4 设等比数列的前n项和为，已知，，则（    ） A．6 B．12 C．18 D．48 【答案】B 【分析】首先根据已知条件得到，从而得到，再求即可. 【详解】因为，所以. 所以，解得. 所以. 故选：B 例5 设正项等比数列的前项和为，若，则公比为（    ） A．2或 B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据已知条件列方程求得. 【详解】依题意， 即， ，依题意， 所以，由于，故解得. 故选：B 变式5 已知等比数列的前n项和为，若，则的公比（    ） A． B． C．或1 D．或1 【答案】B 【分析】根据等比数列的前n项和公式运算求解，注意讨论公比是否为1. 【详解】当时，则，不合题意，舍去； 当时，则，解得； 综上所述：. 故选：B. 例6 设等比数列的前n项和为，公比，，则满足条件的一个的值为 ． 【答案】3（答案不唯一，只要即可） 【分析】根据已知条件及等比数列的前n项和公式求出的范围，从而得出结果. 【详解】由等比数列的前n项和公式可得， 则，解得．（答案不唯一，只要即可） 故答案为：3. 变式6 等比数列的前项和为，，，使成立的最小自然数 ． 【答案】11 【分析】由等比数列求和公式列出不等式，求出答案. 【详解】由题意得：， 所以，解得：，由于，， 故使成立的最小自然数为11. 故答案为：11 题型三 求特殊等差数列的前n项和 例7 设等比数列的前项和为，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等比数列性质得，成等比数列，即，解方程即得解. 【详解】由等比数列性质得，成等比数列，即,故答案为B 变式7 等比数列前10项和为48，前20项和为60，则这个数列前30项和为（   ） A．75 B．68 C．63 D．54 【答案】C 【详解】解析过程同上 例8 已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（    ） A．30 B．60 C．90 D．120 【答案】D 【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案. 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为 则， 又，则，解得， 故数列的所有项之和是. 故选：D 变式8 已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】D 【分析】利用前100项中奇数项和与偶数项和的关系. 【详解】设，则， 又因为，所以， 所以. 故选: D 例9 已知数列满足，. (1)记，写出，，并求数列的通项公式； (2)求的前12项和. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）由数列的通项公式可求出，从而得到，又由可知数列是以3为首项，以3为公比的等比数列.故； （2）由数列的通项公式可得数列是以2为首项，以3为公比的等比数列，然后根据等比数列求和求解即可. 【详解】（1）解：由题意得： 当时，① 当时，② 由② ，即，③ 把③ 代入①，得 故，且，， 所以数列是以3为首项，以3为公比的等比数列.故. （2）把① 代入②，得，且 所以数列是以2为首项，以3为公比的等比数列，故， 于是 . 变式9 已知数列的通项公式，求由其奇数项所组成的数列的前项和． 【答案】． 【分析】判断出是等比数列，所以其奇数项也成等比数列，确定其首项和公比，直接利用等比数列的前项公式求和即可． 【详解】由，得．又因为， 所以是等比数列，其公比，首项． 所以的奇数项也成等比数列，公比为，首项为， 所以． 题型四 的关系 例10 数列的前项和为，首项，若，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，由得，两式相减，可得，所以数列是以2为公比的等比数列，从而可求出结果. 【详解】解：当时，，得 当时，由得， 所以，即， 所以数列是以2为公比，2为首项的等比数列， 所以， 所以， 故选：B 变式10 如果等比数列的前项和，则常数（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】求出，通过列方程求解. 【详解】解：由已知， ， ， 因为数列为等比数列，则， ，解得. 故选：C. 例11 数列的前项和满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由求解． 【详解】． 故选A． 变式11 若数列的前项和，则的通项公式是(　 　) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ ∴， ∴， 整理得 又，解得． ∴数列是首项为1，公比为的等比数列， ∴．选A． 例12 记为数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，再结合等比数列的概念，即可求出结果； （2）由（1）可知数列是以为首项，公差为的等差数列，根据等差数列的前项和公式，即可求出结果. 【详解】（1）解：当时，，解得； 当且时， 所以 所以是以为首项，为公比的等比数列所以； （2）解：由（1）可知， 所以， 又 , 所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 所以数列的前项和. 变式12 已知数列的前项和为，，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1），（2） 【详解】试题分析：（1）由已知，根据数列前项和和与通项的关系，求出，从而求出数列的通项公式； （2）由（1）可求出数列的通项公式，根据其特点，采用分组求和法，将其分为等差数列与等比数列两组进行求和，再根据等差数列与等比数列前项和公式进行运算，从而求出. 试题解析：（1）∵，∴， ∴， 当时，，又也满足，故. 又，∴. （2）∵， ∴. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 等比数列的前n项和（2） 题型一 求等差数列的前n项和 例1 已知等比数列的首项为2，公比为3，则（   ） A．162 B．486 C．242 变式1 若，则的值为（    ） A． B． C． D． 例2 已知等比数列的前项和为，公比为，若，则（    ） A． B． C． D． 变式2 等比数列1，，，，…的前项和为（    ） A． B． C． D． 例3 已知等比数列中，，则 . 变式3 若等比数列的首项为，公比为2，则的前项和 ． 题型二 等差数列前n项和的基本量计算 例4 已知等比数列的公比为q，前n项和为．若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式4 设等比数列的前n项和为，已知，，则（    ） A．6 B．12 C．18 D．48 例5 设正项等比数列的前项和为，若，则公比为（    ） A．2或 B．3 C．2 D． 变式5 已知等比数列的前n项和为，若，则的公比（    ） A． B． C．或1 D．或1 例6 设等比数列的前n项和为，公比，，则满足条件的一个的值为 ． 变式6 等比数列的前项和为，，，使成立的最小自然数 ． 题型三 求特殊等差数列的前n项和 例7 设等比数列的前项和为，则 A． B． C． D． 变式7 等比数列前10项和为48，前20项和为60，则这个数列前30项和为（   ） A．75 B．68 C．63 D．54 例8 已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（    ） A．30 B．60 C．90 D．120 变式8 已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 例9 已知数列满足，. (1)记，写出，，并求数列的通项公式； (2)求的前12项和. 变式9 已知数列的通项公式，求由其奇数项所组成的数列的前项和． 题型四 的关系 例10 数列的前项和为，首项，若，则 A． B． C． D． 变式10 如果等比数列的前项和，则常数（    ） A． B．1 C． D．2 例11 数列的前项和满足：，则（    ） A． B． C． D． 变式11 若数列的前项和，则的通项公式是(　 　) A． B． C． D． 例12 记为数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 变式12 已知数列的前项和为，，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$