专题05 等比数列的定义（1）（四大题型）-【中职专用】2024-2025学年中职高二数学数列专题分类同步精练（人教版2021·拓展模块一）

专题05 等比数列的定义（1） 题型一 等比数列的概念 例1 小明同学用60元恰好购买了3本课外书，若三本书的单价既构成等差数列，又构成等比数列，则其中一本书的单价必然是（    ） A．25元 B．18元 C．20元 D．16元 变式1 已知数列的通项公式为，则数列是（    ） A．以1为首项，为公比的等比数列 B．以3为首项，为公比的等比数列 C．以1为首项，3为公比的等比数列 D．以3为首项，3为公比的等比数列 例2 如果某地某天某病毒患者的确诊数量为，且每个患者的传染力为2（即一人可以造成2人感染），则3天后的患者人数将会是原来的（    ） A．8倍 B．15倍 C．16倍 D．31倍 变式2 下列三个数依次成等比数列的是（    ） A．1，4，8 B．，2，4 C．9，6，4 D．4，6，8 例3 已知数列为等比数列，则 . 变式3 若－1，2，a，b成等比数列，则 ． 题型二 等比数列的通项公式 例4 已知等比数列的公比为，，则（    ） A．9 B．6 C．12 D．8 变式4 记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．63 B．64 C．127 D．128 例5 已知，等比数列，，，…，的第4项为（    ） A．12 B． C．9 D． 变式5 已知是等比数列的前项和，若，则数列的公比是（    ） A．或1 B．或1 C． D． 例6 数列满足，（），则数列的通项公式是 . 变式6 已知数列为等比数列，，，则 ；数列的前4项和为 ． 题型三 等比中项 例7 若成等比数列，则实数的值是（    ）． A．5 B．或5 C．4 D．或4 变式7 等比数列中，，，则与的等比中项为（    ） A．12 B． C． D．30 例8 在等比数列中，，则（    ） A． B．3 C． D．2 变式8 等比数列中，若，则（    ） A．8 B．6 C． D．1 例9 在等差数列中，，公差为d，且成等比数列，则d= ． 变式9 在数列中，，则与的等比中项为 ． 题型四 等比数列的性质 例10 已知数列为等比数列，，为函数的两个零点，则（    ） A．10 B．12 C．32 D．33 变式10 已知数列是公比不为1的正项等比数列，则是成立的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 例11 在各项均为正数的等比数列中，，则（    ） A．2 B．3 C． D． 变式11 已知等比数列的公比为，则（    ） A．20 B．24 C．28 D．32 例12 已知等比数列满足，，则 ． 变式12 已知正项等比数列满足，，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 等比数列的定义（1） 题型一 等比数列的概念 例1 小明同学用60元恰好购买了3本课外书，若三本书的单价既构成等差数列，又构成等比数列，则其中一本书的单价必然是（    ） A．25元 B．18元 C．20元 D．16元 【答案】C 【分析】根据非零常数列的定义，结合题意即可直接得出结果. 【详解】因为这3本书的单价既是等差数列，又是等比数列， 所以该数列为非零常数列， 则每本书的单价为元. 故选：C. 变式1 已知数列的通项公式为，则数列是（    ） A．以1为首项，为公比的等比数列 B．以3为首项，为公比的等比数列 C．以1为首项，3为公比的等比数列 D．以3为首项，3为公比的等比数列 【答案】A 【分析】由通项公式可知，这是等比数列，然后利用等比数列的定义求出首项和公比即可. 【详解】因为，，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列. 故选：A 例2 如果某地某天某病毒患者的确诊数量为，且每个患者的传染力为2（即一人可以造成2人感染），则3天后的患者人数将会是原来的（    ） A．8倍 B．15倍 C．16倍 D．31倍 【答案】B 【分析】 根据题意表示出3天后患者人数，即可得答案. 【详解】解：由题意可得，1天后患者人数为，2天后患者人数为，3天后患者人数为， 所以3天后的患者人数将会是原来的15倍. 故选：B. 变式2 下列三个数依次成等比数列的是（    ） A．1，4，8 B．，2，4 C．9，6，4 D．4，6，8 【答案】C 【分析】 根据等比数列的知识求得正确答案. 【详解】 ，A选项错误；，B选项错误. 因为，所以9，6，4依次成等比数列，C选项正确. ，D选项错误. 故选：C 例3 已知数列为等比数列，则 . 【答案】－3 【详解】 由题意，知a2＝9，且第2项与第4项符号一致，所以a＝－3. 变式3 若－1，2，a，b成等比数列，则 ． 【答案】4 【分析】根据等比数列的定义列式求出即可得解. 【详解】根据题意，有， 解得，，所以． 故答案为：4 题型二 等比数列的通项公式 例4 已知等比数列的公比为，，则（    ） A．9 B．6 C．12 D．8 【答案】A 【分析】由等比数列的通项公式可求. 【详解】因为等比数列的公比为，， 则. 故选：A. 变式4 记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．63 B．64 C．127 D．128 【答案】C 【分析】利用基本量法可求首项和公式，再利用求和公式可求. 【详解】由条件可知，的公比， 由题意得，，解得，所以． 故选：C. 例5 已知，等比数列，，，…，的第4项为（    ） A．12 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】根据等比中项的性质求出，即可求出公比，从而求出等比数列的第项. 【详解】因为等比数列，，，…，则 解得或， 又，所以， 则，所以公比， 等比数列的第项为. 故选：B 变式5 已知是等比数列的前项和，若，则数列的公比是（    ） A．或1 B．或1 C． D． 【答案】A 【分析】分别利用等比数列的通项公式和前项和公式，解方程组可得或. 【详解】设等比数列的首项为，公比为，依题意得， 解得或. 故选：A. 例6 数列满足，（），则数列的通项公式是 . 【答案】 【分析】构造等比数列即可得解. 【详解】因为，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，即. 故答案为：. 变式6 已知数列为等比数列，，，则 ；数列的前4项和为 ． 【答案】 81 48 【分析】求出数列的公比，进而求出通项即可求得；再利用分组求和法计算得解. 【详解】等比数列中，由，得数列的公比，通项， 所以； 数列的前4项和为. 故答案为：81；48 题型三 等比中项 例7 若成等比数列，则实数的值是（    ）． A．5 B．或5 C．4 D．或4 【答案】D 【分析】根据题意，结合等比中项列出方程，即可求解. 【详解】因为成等比数列，可得，解得. 故选：D． 变式7 等比数列中，，，则与的等比中项为（    ） A．12 B． C． D．30 【答案】C 【分析】根据等比中项定义直接求解即可. 【详解】记与的等比中项为G， 则， 所以. 故选：C 例8 在等比数列中，，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】利用等比中项的性质即可求出的值. 【详解】在等比数列中，有，解得. 故选：A 变式8 等比数列中，若，则（    ） A．8 B．6 C． D．1 【答案】A 【分析】因为是等比数列，所以的偶数项也是等比数列，由此可以利用等比中项性质求出结果. 【详解】因为是等比数列， ∴成等比数列， ∴，且， ∴. 故选：A 例9 在等差数列中，，公差为d，且成等比数列，则d= ． 【答案】2 【分析】利用等差数列通项公式基本量计算和等比中项的性质得到方程，求出公差，检验后得到答案. 【详解】等差数列中，，公差为d，且成等比数列， 可得， 即为，化为，解得或， 若，即有4，6，9成等比数列，满足要求； 若，即有1，0，0不成等比数列．则成立． 故答案为：2 变式9 在数列中，，则与的等比中项为 ． 【答案】 【分析】根据等比中项的性质即可得出答案. 【详解】设与的等比中项为，则. 故答案为： 题型四 等比数列的性质 例10 已知数列为等比数列，，为函数的两个零点，则（    ） A．10 B．12 C．32 D．33 【答案】C 【分析】根据韦达定理及下标和性质计算可得. 【详解】因为，为函数的两个零点， 即，为关于的方程的两根， 所以，又为等比数列，所以. 故选：C 变式10 已知数列是公比不为1的正项等比数列，则是成立的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用下标和性质判断充分性，根据通项公式化简可判断必要性. 【详解】由下标和性质可知，若，则； 记数列是公比为，若，则，即， 因为数列是公比不为1的正项等比数列，所以，得. 综上，则是成立的充要条件. 故选：A 例11 在各项均为正数的等比数列中，，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质，结合对数运算计算得解. 【详解】在正项等比数列中，， 所以. 故选：B 变式11 已知等比数列的公比为，则（    ） A．20 B．24 C．28 D．32 【答案】D 【分析】根据题意结合等比数列性质运算求解. 【详解】由题意可知， 所以. 故选：D. 例12 已知等比数列满足，，则 ． 【答案】12 【分析】 根据给定条件，利用等比数列性质计算即可. 【详解】等比数列满足，，由，得. 故答案为：12 变式12 已知正项等比数列满足，，则 . 【答案】32 【分析】由等比数列的性质可求得，进而可求出，再根据等比数列的性质即可得解. 【详解】由题，解得（舍去）， 由，得，则， 由，得. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$