专题04 等差数列前n项和（2）（四大题型）-【中职专用】2024-2025学年中职高二数学数列专题分类同步精练（人教版2021·拓展模块一）

专题04 等差数列的前n项和（2） 题型一 求等差数列的前n项和 例1 记为等差数列的前n项和．若，，则（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质得到方程组，求出首项和公差，利用等差数列求和公式求出答案. 【详解】由等差数列的性质得①， ②， 由①得，代入②得，解得， 故， 故. 故选：C 变式1 已知数列为等差数列，前项和为，若，则等于（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2048 【答案】B 【分析】利用等差数列的下标和性质与求和公式即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 例2 在等差数列中，，则的前10项和 . 【答案】155 【分析】由等差数列求和公式即可得解. 【详解】由题意. 故答案为：155. 变式2 在等差数列中，，则的前项和 . 【答案】 【分析】利用等差数列的求和公式可求得的值. 【详解】因为是等差数列，所以. 故答案为：. 例3 已知数列为等差数列． (1)，，求； (2)若，求． 【答案】(1)11 (2) 【分析】(1)根据等差数列的定义求出首项公差即可；(2)根据等差数列的性质和前项和公式求解. 【详解】（1）设公差为， 由，解得，所以， （2）因为，所以. 变式3 已知是等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式基本量列出方程，求出公差，进而求出通项公式； （2）在第一问的基础上，求出，得到不等式，求出，结合，得到的最小值. 【详解】（1）设数列的公差为，因为， 所以. 解得. 所以. （2）， 所以. 令，得， 解得：（舍去）. 因为，所以的最小值是12. 题型二 等差数列前n项和的基本量计算 例4 记等差数列的前项和为，已知，则公差（    ） A．-1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据等差数列求和公式得到方程组，求出公差. 【详解】由等差数列求和公式得， 解得. 故选：A 变式4 已知为等差数列的前n项和，若，，则公差（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由等差数列的性质和定义求值可得. 【详解】因为，所以，所以． 故选：D 例5 已知等差数列的前7项和，则 【答案】3 【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式及性质计算即得. 【详解】在等差数列中，，解得，又， 又，所以. 故答案为：3 变式5 已知等差数列的前5项和，且满足，则等差数列的公差为 . 【答案】3 【分析】设出公差，利用等差数列通项公式和求和公式基本量计算得到方程组，求出公差. 【详解】设公差为， 故，解得， 故公差为3. 故答案为：3 例6 设数列是公差不为零的等差数列，是数列的前n项和，且，，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】结合已知条件，利用等差数列前项和公式求出和公差，然后利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】不妨设数列的公差为，且， 则由可得，    ①， 由可得，    ②， 联立①②可得，，， 从而. 变式6 记为等差数列的前项和，已知，. （1）求公差及的通项公式； （2）求，并求的最小值. 【答案】（1），；（2），最小值为. 【解析】（1）设的公差为，由题意得，再由可得，从而可求出的通项公式； （2）由（1）得，从而可求出其最小值 【详解】（1）设的公差为，由题意得. 由得. 所以的通项公式为. （2）由（1）得. 所以时，取得最小值，最小值为 题型三 求特殊等差数列的前n项和 例7 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2﹣5n+2，则数列{|an|}的前10项和为（　　） A．56 B．58 C．62 D．60 【答案】D 【分析】求出数列{an}的正负分界点，a3＝S3﹣S2＝（﹣4）﹣（﹣4）＝0，数列{|an|}的前10项和：S＝S10﹣2S3即可得解. 【详解】Sn＝n2﹣5n+2的最小值是当n2.5时取得， ∵n是自然数，取值计算： n＝2时，Sn＝22﹣5×2+2＝﹣4， n＝3时，Sn＝32﹣5×3+2＝﹣4， a3＝S3﹣S2＝（﹣4）﹣（﹣4）＝0， ∴n≥4时，an＞0，n≤3时，an≤0， a1＝S1＝1﹣5+2＝﹣2， ∴数列{|an|}的前10项和： S＝S10﹣2S3＝（100﹣50+2）﹣2（9﹣15+2）＝60． 故选：D． 变式7 等差数列 共2n+1个项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则n=（    ） A．10 B．13 C．11 D．22 【答案】A 【分析】结合等差数列前项和公式求得正确答案. 【详解】等差数列 共2n+1个项， 其中奇数项有个，偶数项有个， 设等差数列的公差为， 奇数项和 ①， 偶数项和 ②， ①-②得， 则. 故选：A 例8 已知数列是首项为25，公差为的等差数列，则数列的前30项的和为 . 【答案】458 【分析】由已知求出数列的通项与前项和，数列的前30项的和为，求值即可. 【详解】数列是首项为25，公差为的等差数列， 则有，数列的前项和， 若，则且， 数列的前30项的和 . 故答案为：458 变式8 在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝ . 【答案】2 【分析】由及＝5d即可求解. 【详解】解:由,得, 所以＝5d＝10，所以d＝2. 故答案为：2. 例9 在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求的值． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式可得答案； （2）确定数列的正负项，分类讨论，去绝对值可求答案. 【详解】（1）设其公差为d，由题意可得． 解得，， ∴，． （2）设数列的前n项和为，则由（1）可得，，， 由（1）知，令，得，当时，， 当时，可得， 当时，可得 ， 因为，所以， 所以． 变式9 已知数列的通项公式为 (1)求数列的前项和； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等差数列求和进行求解. （2）根据错位相减法进行数列求和. 【详解】（1）解：由题意得： ，则为等差数列，首项． ∴． （2） ∴① ∴② ①-②得， ∴ ． 题型四 的关系 例10 设数列的前项和为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用公式进行求解即可. 【详解】由于数列的前项和， 所以，， 所以. 故选：A 变式10 已知数列的前项和为，则（    ） A．13 B．15 C．17 D．19 【答案】A 【分析】利用即可得答案. 【详解】， 故选： 例11 已知数列的前项和为，且， ． 【答案】 【解析】由可求得结果. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 变式11 数列的前项和为,则通项公式 . 【答案】 【分析】由 ，再结合已知条件求解即可. 【详解】解：因为数列的前项和为, 所以当时，， 当时，，不满足上式， 即通项公式， 故答案为. 例12 已知是等差数列的前n项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）为何值时，取得最大值并求其最大值． 【答案】（1）；（2）n=4时取得最大值. 【分析】（1）利用公式，进行求解； （2）对进行配方，然后结合由，可以求出的最大值以及此时的值. 【详解】（1）由题意可知：，当时，， 当时，， 当时，显然成立，∴数列的通项公式； （2）， 由，则时，取得最大值28， ∴当为4时，取得最大值，最大值28． 变式12 已知数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）利用与的关系即可求出数列的通项公式； （2）直接利用等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）当，， 又因为当，也满足上式，     故． （2）由， 故数列为首项为，公比为的等比数列， 故 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 等差数列的前n项和（2） 题型一 求等差数列的前n项和 例1 记为等差数列的前n项和．若，，则（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 变式1 已知数列为等差数列，前项和为，若，则等于（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2048 例2 在等差数列中，，则的前10项和 . 变式2 在等差数列中，，则的前项和 . 例3 已知数列为等差数列． (1)，，求； (2)若，求． 变式3 已知是等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的最小值. 题型二 等差数列前n项和的基本量计算 例4 记等差数列的前项和为，已知，则公差（    ） A．-1 B． C． D．2 变式4 已知为等差数列的前n项和，若，，则公差（    ） A． B．1 C．2 D．3 例5 已知等差数列的前7项和，则 变式5 已知等差数列的前5项和，且满足，则等差数列的公差为 . 例6 设数列是公差不为零的等差数列，是数列的前n项和，且，，求数列的通项公式． 变式6 记为等差数列的前项和，已知，. （1）求公差及的通项公式； （2）求，并求的最小值. 题型三 求特殊等差数列的前n项和 例7 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2﹣5n+2，则数列{|an|}的前10项和为（　　） A．56 B．58 C．62 D．60 变式7 等差数列 共2n+1个项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则n=（    ） A．10 B．13 C．11 D．22 例8 已知数列是首项为25，公差为的等差数列，则数列的前30项的和为 . 变式8 在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝ . 例9 在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求的值． 变式9 已知数列的通项公式为 (1)求数列的前项和； (2)设，求数列的前项和． 题型四 的关系 例10 设数列的前项和为，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式10 已知数列的前项和为，则（    ） A．13 B．15 C．17 D．19 例11 已知数列的前项和为，且， ． 变式11 数列的前项和为,则通项公式 . 例12 已知是等差数列的前n项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）为何值时，取得最大值并求其最大值． 变式12 已知数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$