专题04 等差数列前n项和（1）（四大题型）-【中职专用】2024-2025学年中职高二数学数列专题分类同步精练（人教版2021·拓展模块一）

专题04 等差数列的前n项和（1） 题型一 求等差数列的前n项和 例1 已知等差数列的前项和为，则（    ） A．14 B．26 C．28 D．32 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，，可求得，利用前项和公式可求. 【详解】设等差数列的公差为， 则， 则，所以. 故选：B. 变式1 记等差数列的前n项和为.若，，则（    ） A．49 B．63 C．70 D．126 【答案】B 【分析】利用等差数列的项的“等和性”得到，再运用等差数列的前n项和公式计算即得. 【详解】因是等差数列，故，于是 故选：B 例2 设是等差数列，且，，则数列的前项和的最大值是 ． 【答案】4 【分析】计算出，然后再利用二次函数的性质求解。 【详解】是等差数列，且，， 数列是首项为3，公差为的等差数列， ， 时，数列的前项和取最大值4． 故答案为：4 变式2 已知数列的前项和为，若则 . 【答案】 【分析】由分组求和法以及等差数列求和公式即可运算求解. 【详解】由题意. 故答案为：190. 例3 求数列的通项公式为；设为数列的前项和，求使成立的的取值集合. 【答案】 【分析】根据等差数列的求和公式可得，解不等式即可. 【详解】由知：，且数列为等差数列， 所以， 由得：，即，解得， 所以的取值集合为. 变式3 在数列中，，.求的通项公式. 【答案】 【分析】利用累加法以及等差数列的求和公式可求出结果. 【详解】因为， 所以当时， ， 又适合上式， 所以. 题型二 等差数列前n项和的基本量计算 例4 已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】由等差数列求和公式结合已知列方程即可求解. 【详解】由题意设等差数列的首项、公差分别为， 因为，所以， 从而. 故选：D. 变式4 设等差数列的前项和为若，，则（    ） A．99 B．101 C．2500 D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的定义和前项和公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，则， 而且，所以. 故选：A. 例5 设等差数列的前项和为，则 . 【答案】 【分析】根据题意结合等差数列的通项与前项和公式列出方程组求解即可. 【详解】设公差为， 由， 得，解得. 故答案为：. 变式5 等差数列的前n项和为，且，则 ． 【答案】2 【分析】 利用等差中项的性质代入等差数列前n项和公式计算求解即可. 【详解】， 故答案为：2. 例6 记为等差数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)数列满足，，求数列的前21项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，即可写出通项公式； （2）由，应用等差数列前n项和公式求和即可. 【详解】（1）设公差为，由题设有，解得，， 所以. （2）由题设， . 所以数列的前21项和为211. 变式6 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为， (1)若，求数列的通项公式； (2)若，求 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）利用已知条件，结合等差数列和等比数列的通项即可得出公差和公比，即可求得结果. （2）利用已知求出，再利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）设的公差为，的公比为， 由，得， 又，得， 与联立，解得（舍去）或， 因此数列的通项公式为. （2）由，得，解得或， 当时，由得，则， 当时，由得，则， 综上，或. 题型三 求特殊等差数列的前n项和 例7 已知等差数列共有项，其偶数项之和为，奇数项之和为，则该数列的公差为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分别写出奇偶项的和，做差可解出. 【详解】，，，. 故选：D． 变式7 一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（    ） A．4 B．8 C．12 D．20 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质得到方程组，求出，从而求出数列的项数. 【详解】根据等差数列的性质得：，， 解得：，故该数列的项数为. 故选：B 例8 已知数列的通项公式为，，则其前项的和为 . 【答案】 【分析】利用分组求和直接计算. 【详解】由， 当时，， 当时，， 所以 ， 故答案为：. 变式8 等差数列的第10项为23，第25项为-22，则= ． 【答案】2059 【分析】先利用基本元的思想，列方程组求得的值，并求得通项公式.判断中哪些项是正数，哪些项是负数.正数部分取绝对值后等于本身，负数部分取绝对值后等于相反数.再根据等差数列前项和公式求得对应的结果. 【详解】由题意可知，，，解得，，所以.由，得，又，所以从第18项开始数列的各项为负.而. 所以 例9 在等差数列中，已知公差，，前项和． (1)求； (2)求和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用等差数列前项和公式求解； （2）直接写出前项的绝对值进行求和 【详解】（1）根据等差数列的前项和公式：，解得；． （2）由题意，，于是． 变式9 求下列两题： (1)等差数列前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求该数列的公差； (2)项数为奇数的等差数列，奇数项和为44，偶数项和为33，求该数列的中间项． 【答案】(1)5；(2)11． 【分析】（1）利用前12项中奇数项和偶数项和的比和前12项的总和列出方程，求出前12项的奇数项和偶数项的和，然后即可求出公差. （2）根据等差数列奇数项和偶数项之比可求出项数，然后根据等差数列求和性质即可求解. 【详解】（1）解：由题意得： 设等差数列的首项为，公差为，奇数项和为，偶数项的和为 则由题意得：，解得： 由等差数列性质可知：解得： 故该数列的公差为. （2）设等差数列中共有项，则奇数项有项，偶数项由项，中间项为第项，记作，奇数项和为，偶数项的和为 由等差数列前项和的性质，可知 又 所以，解得： 又因为，所以 所以这个数列的中间项为，共有项. 题型四 的关系 例10 已知数列的前n项和是（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 【答案】A 【分析】由数列的前n项和公式分别求得，即可得到和. 【详解】由，所以，， 所以， 故选：A. 变式10 设是数列的前项和，已知，则数列（    ） A．是等比数列，但不是等差数列 B．是等差数列，但不是等比数列 C．是等比数列，也是等差数列 D．既不是等差数列，也不是等比数列 【答案】B 【分析】根据与的关系求出通项，然后可知答案. 【详解】当时，，当时，， 综上，的通项公式为， 数列为等差数列 同理，由等比数列定义可判断数列不是等比数列. 故选：B 例11 已知数列的前项和,则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据前项和表达式，通过分类讨论，当时，当时，利用，即可求出数列的通项公式. 【详解】在数列中，， 当时，， 当时，， ∵， ∴， 故答案为：. 变式11 数列的前项和，则该数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】先由求出，再求，进行验证，即可得出结果. 【详解】因为， 所以， 又也满足上式， 所以. 故答案为： 例12 已知等差数列的前n项和，写出它的前3项，并求这个数列的通项公式． 【答案】. 【分析】根据前n项和公式即可得到结果. 【详解】由， 当时，； 当时，； 当时，； 则公差， 则通项公式. 变式12 已知数列的前n项和为，，，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据以及可得该数列是等差数列，然后根据等差数列的、写出数列的通项公式即可. （2）有题意可知，然后根据裂项求和即可求得. 【详解】（1）解：由题意得： 由题意知，则 又，所以是公差为2的等差数列，则； （2）由题知 则 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 等差数列的前n项和（1） 题型一 求等差数列的前n项和 例1 已知等差数列的前项和为，则（    ） A．14 B．26 C．28 D．32 变式1 记等差数列的前n项和为.若，，则（    ） A．49 B．63 C．70 D．126 例2 设是等差数列，且，，则数列的前项和的最大值是 ． 变式2 已知数列的前项和为，若则 . 例3 求数列的通项公式为；设为数列的前项和，求使成立的的取值集合. 变式3 在数列中，，.求的通项公式. 题型二 等差数列前n项和的基本量计算 例4 已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 变式4 设等差数列的前项和为若，，则（    ） A．99 B．101 C．2500 D． 例5 设等差数列的前项和为，则 . 变式5 等差数列的前n项和为，且，则 ． 例6 记为等差数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)数列满足，，求数列的前21项和. 变式6 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为， (1)若，求数列的通项公式； (2)若，求 题型三 求特殊等差数列的前n项和 例7 已知等差数列共有项，其偶数项之和为，奇数项之和为，则该数列的公差为（    ）． A． B． C． D． 变式7 一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（    ） A．4 B．8 C．12 D．20 例8 已知数列的通项公式为，，则其前项的和为 . 变式8 等差数列的第10项为23，第25项为-22，则= ． 例9 在等差数列中，已知公差，，前项和． (1)求； (2)求和． 变式9 求下列两题： (1)等差数列前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求该数列的公差； (2)项数为奇数的等差数列，奇数项和为44，偶数项和为33，求该数列的中间项． 题型四 的关系 例10 已知数列的前n项和是（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 变式10 设是数列的前项和，已知，则数列（    ） A．是等比数列，但不是等差数列 B．是等差数列，但不是等比数列 C．是等比数列，也是等差数列 D．既不是等差数列，也不是等比数列 例11 已知数列的前项和,则数列的通项公式为 . 变式11 数列的前项和，则该数列的通项公式为 ． 例12 已知等差数列的前n项和，写出它的前3项，并求这个数列的通项公式． 变式12 已知数列的前n项和为，，，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$