专题03 等差数列的定义（2）（四大题型）-【中职专用】2024-2025学年中职高二数学数列专题分类同步精练（人教版2021·拓展模块一）

专题03 等差数列的定义（2） 题型一 等差数列的概念 例1 设数列，是项数相同的等差数列，若，，，则数列的第37项为（    ） A．1 B．0 C．100 D．3700 【答案】C 【分析】根据题意确定数列是常数列即可. 【详解】根据题意，， 又数列，是项数相同的等差数列， 所以数列是常数列， 所以数列的第37项为100. 故选：C. 变式1 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往16km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付的车费为（    ） A．23.2 B．24.4 C．25.6 D．26.8 【答案】C 【分析】根据出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，车费增加1.2元，构成一个等差数列求解. 【详解】根据题意，当出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，车费增加1.2元，可知车费构成等差数列， 记表示走4km的车费，公差， 那么，当出租车行驶至16km时，， 所以. 故选：C. 例2 数列1，1，1，…，1，…必为（    ） A．等差数列，但不是等比数列 B．等比数列，但不是等差数列 C．既是等差数列，又是等比数列 D．既不是等差数列，也不是等比数列 【答案】C 【分析】根据等差数列和等比数列的定义即可判断. 【详解】数列1，1，1，…，1，…是公差为0的等差数列，也是公比为1的等比数列. 故选：C. 变式2 与命题“若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b”等价的命题是（    ） A．若a，b，c不成等差数列，则 B．若2b＝a＋c，则a，b，c成等差数列 C．若，则a，b，c不成等差数列 D．若a，b，c成等差数列，则 【答案】C 【分析】求出命题的逆否命题即可. 【详解】因为原命题与其逆否命题等价， 命题“若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b”的逆否命题为“若，则a，b，c不成等差数列”. 故选:C. 题型二 等差数列的通项公式 例3 数列-3，1，5，9，…的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】根据题意可知数列为等差数列， 首项，公差， 所以. 故选：B 变式3 已知数列满足，，，则的值为 A．12 B．15 C．39 D．42 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义可得数列为等差数列，求出通项公式即可． 【详解】由题意得 所以为等差数列，，，选择B 例4 已知等差数列的前三项依次为,,，则此数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件确定出公差d,再由通项公式即可得到答案. 【详解】等差数列中，，可得， 由通项公式可得， 故选B. 变式4 数列3，5，7，9，…的通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义求得. 【详解】由于， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以. 故选：C 例5 等差数列中，为的前n项和，，，则 ． 【答案】9 【分析】设出公差，根据等差数列求和公式列出方程，求出公差，进而求出. 【详解】设公差为，由题意得， 因为，所以， 故. 故答案为：9 变式5 已知数列，则数列的通项公式 ． 【答案】 【分析】取倒数后得为等差数列，再由等差数列的通项公式求解． 【详解】由题意得，故是首项为1，公差为1的等差数列， 得，即， 故答案为： 题型三 等差中项 例6 在等差数列中，，则（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】直接利用等差数列的性质求解即可. 【详解】由是等差数列，则是和的等差中项， 所以， 则，. 故选：A 变式6 已知，，则、的等差中项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差中项的定义可求得结果. 【详解】、的等差中项为. 故选：B. 例7 数1与4的等差中项，等比中项分别是（    ） A．， B．，2 C．，2 D．， 【答案】D 【分析】利用等差中项与等比中项的定义分别进行求解即可. 【详解】根据等差中项的定义可知，1与4的等差中项为； 根据等比中项的定义可得，1与4的等比中项G满足G2＝1×4＝4，G＝±2. 故选：D. 变式7 若、、成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差中项的性质可求得的值. 【详解】因为、、成等差数列，则. 故选：A. 例8 在等差数列中，若，则 . 【答案】 【分析】根据等差中项的性质可求得的值. 【详解】在等差数列中，， 解得. 故答案为：. 变式8 与的等差中项是 ． 【答案】8 【分析】根据等差中项的定义求解即可. 【详解】设与的等差中项是， 则， . 故答案为：8 题型四 等差数列的性质 例9 设等差数列的公差为，前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据等差数列下标和性质以及的公式计算出，然后计算公差。 【详解】， 故。 故选：C 变式9 已知等差数列的通项公式为，则公差为（    ） A．5 B．4 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用等差数列的定义求解即可. 【详解】等差数列的通项公式为， 则公差为. 故选：D. 例10 记为等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．10 D．3 【答案】D 【分析】根据题意，由等差数列的求和公式代入计算，即可得到结果. 【详解】，即. 故选：D 变式10 在等差数列中，，则（    ） A．14 B．15 C．16 D．18 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，进而求出. 【详解】在等差数列中，，则，公差， 所以. 故选：D 例11 已知数列为等差数列，，则 ． 【答案】12 【分析】解法一：利用等差数列的性质将已知中的进行转化，从而求解； 解法二：利用等差数列的通项公式求解. 【详解】解法一 ：因为，所以． 解法二 ：设数列的公差为d，则， 从而． 故答案为：12 变式11 已知等差数列中，，则 . 【答案】 【分析】借助等差数列性质计算即可得. 【详解】，故. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 等差数列的定义（2） 题型一 等差数列的概念 例1 设数列，是项数相同的等差数列，若，，，则数列的第37项为（    ） A．1 B．0 C．100 D．3700 变式1 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往16km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付的车费为（    ） A．23.2 B．24.4 C．25.6 D．26.8 例2 数列1，1，1，…，1，…必为（    ） A．等差数列，但不是等比数列 B．等比数列，但不是等差数列 C．既是等差数列，又是等比数列 D．既不是等差数列，也不是等比数列 变式2 与命题“若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b”等价的命题是（    ） A．若a，b，c不成等差数列，则 B．若2b＝a＋c，则a，b，c成等差数列 C．若，则a，b，c不成等差数列 D．若a，b，c成等差数列，则 题型二 等差数列的通项公式 例3 数列-3，1，5，9，…的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 变式3 已知数列满足，，，则的值为 A．12 B．15 C．39 D．42 例4 已知等差数列的前三项依次为,,，则此数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 变式4 数列3，5，7，9，…的通项公式（    ） A． B． C． D． 例5 等差数列中，为的前n项和，，，则 ． 变式5 已知数列，则数列的通项公式 ． 题型三 等差中项 例6 在等差数列中，，则（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 变式6 已知，，则、的等差中项为（    ） A． B． C． D． 例7 数1与4的等差中项，等比中项分别是（    ） A．， B．，2 C．，2 D．， 变式7 若、、成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 例8 在等差数列中，若，则 . 变式8 与的等差中项是 ． 题型四 等差数列的性质 例9 设等差数列的公差为，前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 变式9 已知等差数列的通项公式为，则公差为（    ） A．5 B．4 C．2 D．3 例10 记为等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．10 D．3 变式10 在等差数列中，，则（    ） A．14 B．15 C．16 D．18 例11 已知数列为等差数列，，则 ． 变式11 已知等差数列中，，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$