专题03 等差数列的定义（1）（四大题型）-【中职专用】2024-2025学年中职高二数学数列专题分类同步精练（人教版2021·拓展模块一）

专题03 等差数列的定义（1） 题型一 等差数列的概念 例1 小明同学用60元恰好购买了3本课外书，若三本书的单价既构成等差数列，又构成等比数列，则其中一本书的单价必然是（    ） A．25元 B．18元 C．20元 D．16元 变式1 下列数列中等差数列的是（    ） A． B． C． D． 例2 已知数列的通项公式为，在下列各数中，不是的项的是（　　） A．1 B． C．3 D．2 变式2 已知等差数列-5，-3，-1，1，3，…，则下列不是该数列的项的是 A．11 B．79 C．33 D．52 题型二 等差数列的通项公式 例3 已知数列，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 变式3 若等差数列满足，则（    ） A．3 B． C．1 D． 例4 已知等差数列的前项和为，，，则的值为（    ） A．70 B．80 C．90 D．100 变式4 某统计数据共有13个样本，它们依次成公差的等差数列，若第60百分位数为30，则它们的平均数为（    ） A．19 B．25 C．21 D．23 例5 在等差数列中，，则 ． 变式5 已知等差数列的通项公式为，则公差 . 题型三 等差中项 例6 如果三个数，，成等差数列，则的值为（   ） A．4 B．3 C．1 D． 变式6 已知在各项均为正数的等差数列中，有连续四项依次为m，a，4m，b，则等于（    ） A． B． C． D．4 例7 若1，，2成等差数列，则（    ） A． B． C． D．3 变式7 在中，三个内角成等差数列，则（    ） A． B． C． D．1 例8 2和4的等差中项为 ，等比中项为 ． 变式8 已知，.若a，b，c成等差数列，则 . 题型四 等差数列的性质 例9 记等差数列的前项和为，则 . 变式9 已知等差数列的前项和为，，则 ． 例10 在等差数列中，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式10 公差不为零的等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 例11 某射手射击所得环数的分布列如下: 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 若成等差数列，则（    ） A．7.3 B．8.9 C．9 D．9.4 变式11 在等差数列中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 等差数列的定义（1） 题型一 等差数列的概念 例1 小明同学用60元恰好购买了3本课外书，若三本书的单价既构成等差数列，又构成等比数列，则其中一本书的单价必然是（    ） A．25元 B．18元 C．20元 D．16元 【答案】C 【分析】根据非零常数列的定义，结合题意即可直接得出结果. 【详解】因为这3本书的单价既是等差数列，又是等比数列， 所以该数列为非零常数列， 则每本书的单价为元. 故选：C. 变式1 下列数列中等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的定义判断. 【详解】对于A，，相邻两项的差为常数，是等差数列； 对于B，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 对于C，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 对于D，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 故选：A 例2 已知数列的通项公式为，在下列各数中，不是的项的是（　　） A．1 B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据通项公式，逐项判断即可得出结果. 【详解】因为， 若，则，即是的项； 若，则，即是的项； 若，则，即是的项； 若，则，即不是的项； 故选D 变式2 已知等差数列-5，-3，-1，1，3，…，则下列不是该数列的项的是 A．11 B．79 C．33 D．52 【答案】D 【分析】先求得等差数列的公差，然后求得数列的通项公式，利用通项公式可以判断出选项是否符合题意. 【详解】由于数列的首项为，公差为，故数列的通项公式为.当时，，不符合题意，故选. 题型二 等差数列的通项公式 例3 已知数列，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两数列的项的特征，易推得由公共项构成的新数列项的特征，写出通项公式化简即得. 【详解】因数列是首项为1，公差为2的等差数列，而数列是首项为1，公差为3的等差数列， 则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1，公差为6的等差数列， 故. 故选：D. 变式3 若等差数列满足，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，由通项公式写出和，都代入中，化简即可求出. 【详解】设等差数列的公差为，则，， 因为，可得， 所以有，解得， 故选：B. 例4 已知等差数列的前项和为，，，则的值为（    ） A．70 B．80 C．90 D．100 【答案】D 【分析】根据条件求出公差，再利用等差数列求和公式求出. 【详解】设等差数列的公差为， 则， 所以， 故选：D. 变式4 某统计数据共有13个样本，它们依次成公差的等差数列，若第60百分位数为30，则它们的平均数为（    ） A．19 B．25 C．21 D．23 【答案】B 【分析】先确定第60百分位数是从小到大的第个数，然后利用及等差数列性质即得答案. 【详解】解关于整数的不等式组可得，所以. 由于，故由已知有. 由于成等差数列，所以. 故选：B. 例5 在等差数列中，，则 ． 【答案】3 【分析】根据给定条件，利用首项表示公差，再借助等差数列通项计算即得. 【详解】令等差数列的公差为，由，得， 因此，所以. 故答案为：3 变式5 已知等差数列的通项公式为，则公差 . 【答案】2 【分析】根据数列的通项公式，即可得出数列的公差. 【详解】等差数列的通项公式为，所以， 所以公差. 故答案为： 题型三 等差中项 例6 如果三个数，，成等差数列，则的值为（   ） A．4 B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】由等差中项定义可解. 【详解】由，，成等差数列， 则，得. 故选：A 变式6 已知在各项均为正数的等差数列中，有连续四项依次为m，a，4m，b，则等于（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质可得的等式关系，再计算即可. 【详解】因为，，，为等差数列，所以，， 所以，，所以. 故选：A． 例7 若1，，2成等差数列，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意，结合等差数列的定义，列出方程，即可求解. 【详解】由1，，2成等差数列，可得，解得. 故选：C. 变式7 在中，三个内角成等差数列，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由条件可知，结合求得，从而代入得解. 【详解】因为成等差数列，所以； 又，所以，即，所以， 所以. 故选：C. 例8 2和4的等差中项为 ，等比中项为 ． 【答案】 3 【分析】根据等比中项以及等差中项的定义即可求解. 【详解】2和4的等差中项为， 2和4的等比中项为， 故答案为：3， 变式8 已知，.若a，b，c成等差数列，则 . 【答案】6 【分析】用等差中项的性质求解即可. 【详解】因为，b，成等差数列， 所以，解得. 故答案为：6 题型四 等差数列的性质 例9 记等差数列的前项和为，则 . 【答案】160 【分析】根据等差数列下标和的性质与等差数列前n项求和公式计算即可求解. 【详解】由题意知，，得， 所以， 所以. 故答案为：160 变式9 已知等差数列的前项和为，，则 ． 【答案】12 【分析】根据题意，由等差数列的前项和以及等差数列的性质可得，进而计算可得答案． 【详解】解：根据等差数列的性质可得，， 由等差数列的前项和公式得，． 故答案为：12． 例10 在等差数列中，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由等差数列的性质，，求出，再由求值即可. 【详解】等差数列中，有， ，得，则. 故选：D. 变式10 公差不为零的等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】根据等差数列的前n项和公式结合等差数列的性质即可得解. 【详解】设公差为， ， ，∴，． 故选：C． 例11 某射手射击所得环数的分布列如下: 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 若成等差数列，则（    ） A．7.3 B．8.9 C．9 D．9.4 【答案】B 【分析】根据随机变量的分布列特征及题设条件列出方程组，求出的值，代入均值公式计算即得. 【详解】由题意可得：，解得， 故. 故选：B. 变式11 在等差数列中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列下标和性质直接求解即可. 【详解】，，. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$