专题02 数列的通项（2）（四大题型）-【中职专用】2024-2025学年中职高二数学数列专题分类同步精练（人教版2021·拓展模块一）

专题02 数列的通项（2） 题型一 观察法求通项 例1 数列的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析给定数列各项的特征，再求出符合意义的一个通项公式. 【详解】数列的分子都是1，分母依次为，则第n项的分母为， 所以数列，的一个通项公式是. 故选：B 变式1 两旅客坐高铁外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知高铁一等座的部分座位号码如图所示，则下列座位号码符合要求的是（　　） 窗口 1 2 过道 3 4 窗口 5 6 7 8 9 10 11 12 … … … … A．74、75 B．52、53 C．47、48 D．38、39 【答案】C 【详解】计算出靠近左侧窗口的座位号、靠近右侧窗口的座位号所形成的等差数列的通项公式，逐项判断可得出合适的选项. 【分析】依题意，靠近左侧窗口的座位号形成以1为首项，公差为4的等差数列， 则，数列各项均为奇数，令，解得，不符合题意； 靠近右侧窗口的座位号形成以4为首项，公差为4的等差数列， 则，数列各项均为4的倍数，令，解得，符合题意. 故选：C 例2 已知等差数列，则下列属于该数列的项的是（    ） A．-23 B．-31 C．-33 D．-43 【答案】C 【分析】先由具体的等差数列写出通项公式，再根据选项一一代入，验证求出的的值满足即可. 【详解】由等差数列知数列首项为，公差为，故数列通项为， 分别使取选项中的值，发现仅当时，，其它没有对应的n. 故选：C. 变式2 数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由具体数列判断通项公式问题，最简单的方法即是赋值代入检验判断即可. 【详解】对于选项A，当时，，故A项错误； 对于B选项，当时，，故B项错误； 对于C选项，当时，，故C项错误； 对于D项，因数列可以写成 ，故其通项公式可以写成，故D项正确. 故选：D. 题型二 定义法求通项 例3 已知数列的前n项和为，则（    ） A．81 B．162 C．243 D．486 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用列式计算即得. 【详解】数列的前n项和为，所以. 故选：B 变式3 已知数列的前项和为，若，则（    ） A．0 B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】利用与的关系直接求解. 【详解】因为，所以， 故选:C. 例4 已知数列的前项和，则 ． 【答案】 【分析】根据的关系，即可直接求得结果. 【详解】. 故答案为：. 变式4 已知数列的前项和，则 . 【答案】448 【分析】 直接利用计算即可. 【详解】 由题意可知. 故答案为：448 题型三 累加法求通项 例5 北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创隙积术，是研究某种物品按一定规律堆积起来求其总数问题.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，发展了隙积术的成果，对高阶等差数列求和问题提出了一些新的垛积公式.高阶等差数列的前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23…则该数列的第41项为（    ） A．782 B．822 C．780 D．820 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式和累加法求通项可求解. 【详解】设该数列为, 由题可知,数列是以为首项,1为公差的等差数列, 所以, 所以, 所以所以 所以 故选:B. 变式5 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设“三角垛”从第一层到第n层的各层的球数构成一个数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意求得递推关系式，进而求解数列的通项公式. 【详解】由相邻层球的个数差，归纳可知，， 对累加得. 所以，， ， ，所以ABC错误， 故选：D． 例6 若数列{an}满足an＋1＝ (n∈N*)，且a1＝1，则a17＝（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】由已知条件可得an＋1－an＝，然后利用累加法可求得答案 【详解】由an＋1＝，得an＋1－an＝， 所以a17＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a17－a16)＝1＋×16＝13， 故选：A. 变式6 如图，第（1）个图案由1个点组成，第（2）个图案由3个点组成，第（3）个图案由7个点组成，第（4）个图案由13个点组成，第（5）个图案由21个点组成，，依次类推，根据图案中点的排列规律，第10个图形由多少个点组成（    ） A．89 B．91 C．95 D．98 【答案】B 【解析】利用累加法求出数列的通项公式即可求解. 【详解】记此图案的点数为， 则， ， ， ， ， 将上式相加可得 ， 所以， 所以. 故选：B 例7 已知数列中，，，则其前项和 ． 【答案】 【分析】利用累加法求出，从而可得，再利用裂项相消求和法可求得答案 【详解】∵，，，…，， 累加得，得， ∴， ∴． 故答案为： 变式7 在数列，，，则 . 【答案】 【分析】用累加法直接求解即可. 【详解】在数列，，，所以 累加得：，所以． 故答案为：． 题型四 累乘法求通项 例8 已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形得到，利用累乘法得到，故，利用裂项相消法求和得到答案. 【详解】由题意易知， 由变形为，故， 所以 ， 因为，所以，故， 所以. 故选：C 变式8 已知{an}满足，，则的值为（    ） A．48 B．96 C．120 D．130 【答案】B 【分析】利用等差数列的定义和通项公式，结合累乘法进行求解即可. 【详解】因为， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， 所以， 于是当时，， 即， 所以， 故选：B 例9 已知数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用累乘法，结合余弦函数的周期性进行求解即可. 【详解】函数的最小正周期为， 所以有 故选：D 变式9 若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【分析】利用累乘法求得，由此解不等式,求得正确答案. 【详解】依题意，数列满足，， ，所以 ，也符合，所以，是单调递增数列， 由，解得， 所以的最大值为. 故选：B 例10 在数列中，，，则 ． 【答案】 【分析】直接由递推关系进行累乘运算即可. 【详解】由题意知． 故答案为：. 变式10 在数列{an}中，a1＝3，(3n＋2)an＋1＝(3n－1)an(n≥1)，则an＝ . 【答案】 【分析】由(3n＋2)an＋1＝(3n－1)an，可得an＋1＝an，从而利用累乘法求数列的通项 【详解】∵(3n＋2)an＋1＝(3n－1)an， ∴an＋1＝an， ∴an＝··…···a1 ＝××…×××3＝， 当n＝1时，满足此等式，∴an＝. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 数列的通项（2） 题型一 观察法求通项 例1 数列的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 变式1 两旅客坐高铁外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知高铁一等座的部分座位号码如图所示，则下列座位号码符合要求的是（　　） 窗口 1 2 过道 3 4 窗口 5 6 7 8 9 10 11 12 … … … … A．74、75 B．52、53 C．47、48 D．38、39 例2 已知等差数列，则下列属于该数列的项的是（    ） A．-23 B．-31 C．-33 D．-43 变式2 数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 题型二 定义法求通项 例3 已知数列的前n项和为，则（    ） A．81 B．162 C．243 D．486 变式3 已知数列的前项和为，若，则（    ） A．0 B．1 C．3 D． 例4 已知数列的前项和，则 ． 变式4 已知数列的前项和，则 . 题型三 累加法求通项 例5 北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创隙积术，是研究某种物品按一定规律堆积起来求其总数问题.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，发展了隙积术的成果，对高阶等差数列求和问题提出了一些新的垛积公式.高阶等差数列的前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23…则该数列的第41项为（    ） A．782 B．822 C．780 D．820 变式5 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设“三角垛”从第一层到第n层的各层的球数构成一个数列，则（    ） A． B． C． D． 例6 若数列{an}满足an＋1＝ (n∈N*)，且a1＝1，则a17＝（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 变式6 如图，第（1）个图案由1个点组成，第（2）个图案由3个点组成，第（3）个图案由7个点组成，第（4）个图案由13个点组成，第（5）个图案由21个点组成，，依次类推，根据图案中点的排列规律，第10个图形由多少个点组成（    ） A．89 B．91 C．95 D．98 例7 已知数列中，，，则其前项和 ． 变式7 在数列，，，则 . 题型四 累乘法求通项 例8 已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 变式8 已知{an}满足，，则的值为（    ） A．48 B．96 C．120 D．130 例9 已知数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 变式9 若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 例10 在数列中，，，则 ． 变式10 在数列{an}中，a1＝3，(3n＋2)an＋1＝(3n－1)an(n≥1)，则an＝ . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$