专题02 数列的通项（1）（四大题型）-【中职专用】2024-2025学年中职高二数学数列专题分类同步精练（人教版2021·拓展模块一）

专题02 数列的通项（1） 题型一 观察法求通项 例1 数列，3，，9的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把各项与项数建立联系后可得. 【详解】数列各项可改写为：， 因此一个通项公式可为=. 故选：B. 变式1 ，数列1，，7，，31，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排除法，取特值检验即可. 【详解】对于选项A：因为，故A错误； 对于选项B：因为，故B错误； 对于选项C：因为，故C错误； 对于选项D：检验可知对均成立，故D正确； 故选：D. 例2 已知数列，则它的第8项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先观察分析写出数列的通项公式；再根据通项公式即可解答. 【详解】由题意知，数列的通项公式为， 所以它的第8项的值为. 故选：D. 变式2 数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过观察，即可直接选出通项公式. 【详解】根据数列的特点，归纳可得其通项公式为：. 故选：D. 题型二 定义法求通项 例3 已知数列的前项和为，则（    ） A．162 B．81 C．243 D．486 【答案】A 【分析】根据与之间的关系进行求解即可. 【详解】数列的前项和为，所以， 故选：A 变式3 已知数列的前项和，则（   ） A．16 B．32 C．48 D．64 【答案】C 【分析】利用计算即可. 【详解】. 故选：C. 例4 已知数列的前n项和为，若，则 =   ． 【答案】6 【分析】根据数列的项与和的关系式，即可求解. 【详解】由，可得. 故答案为：. 题型三 累加法求通项 例5 已知数列满足：，则（    ） A．20 B．18 C．15 D．10 【答案】C 【分析】根据题意利用累加法分析求解即可. 【详解】因为，则， 相加可得，即， 且，所以. 故选：C. 变式5 已知数列满足：，，则（    ） A．19 B．21 C．23 D．25 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用累加法求通项即得. 【详解】在数列中，，， 所以. 故选：B 例6 若，则（    ） A．55 B．56 C．45 D．46 【答案】D 【分析】在数列递推式中依次取，得到个等式，累加后求出数列的通项公式，即可求出答案. 【详解】由， 得，， ，，， 累加得， ， 当时，上式成立， 则， 所以. 故选：D 变式6 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述过如图所示的“三角垛”，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层的球数构成一个数列，即，，，…，且满足，则第六层球的个数为（    ） A．28 B．21 C．15 D．10 【答案】B 【分析】利用递推公式进行累加法求解. 【详解】由题意得，，，，， 以上式子累加可得， 因为，所以， 故选:B. 例7 已知数列满足，且对任意，有，则 . 【答案】 【分析】利用累加法求得. 【详解】依题意， ， ， ， ， …… ， ， 上述个式子相加得. 故答案为： 变式7 已知数列和满足：①；②和中有且仅有一个成立，那么的值为 ． 【答案】 【分析】根据数列的递推公式结合累加法可求解. 【详解】若成立，则 以上式子累加得，又因为，所以， 又因为，所以； 若成立，则， 因为 以上式子累加得，又因为，所以， 所以； 故答案为：225. 题型四 累乘法求通项 例8 已知数列满足， ，则数列的通项公式为（     ） A．        B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得，再利用累乘法求解. 【详解】解：由，得， 即，则，，，…，， 由累乘法可得，所以， 又，符合上式，所以. 故选：A． 变式8 已知数列满足，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由累乘法代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，得，，． 由累乘法，得， 即， 又，所以． 故选：C． 例9 已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用累乘法计算出答案. 【详解】 故选：B 例10 数列满足，，则 ． 【答案】 【分析】利用累乘法求得正确答案. 【详解】 ， 也符合上式， 所以. 故答案为： 变式10 在数列中，，，则 ． 【答案】18 【分析】利用累乘法进行求解即可. 【详解】解：在数列中，，， ，则 故答案为：18． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 数列的通项（1） 题型一 观察法求通项 例1 数列，3，，9的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 变式1 ，数列1，，7，，31，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 例2 已知数列，则它的第8项为（    ） A． B． C． D． 变式2 数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 题型二 定义法求通项 例3 已知数列的前项和为，则（    ） A．162 B．81 C．243 D．486 变式3 已知数列的前项和，则（   ） A．16 B．32 C．48 D．64 例4 已知数列的前n项和为，若，则 =   ． 题型三 累加法求通项 例5 已知数列满足：，则（    ） A．20 B．18 C．15 D．10 变式5 已知数列满足：，，则（    ） A．19 B．21 C．23 D．25 例6 若，则（    ） A．55 B．56 C．45 D．46 变式6 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述过如图所示的“三角垛”，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层的球数构成一个数列，即，，，…，且满足，则第六层球的个数为（    ） A．28 B．21 C．15 D．10 例7 已知数列满足，且对任意，有，则 . 变式7 已知数列和满足：①；②和中有且仅有一个成立，那么的值为 ． 题型四 累乘法求通项 例8 已知数列满足， ，则数列的通项公式为（     ） A．        B． C． D． 变式8 已知数列满足，其中，则（    ） A． B． C． D． 例9 已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 例10 数列满足，，则 ． 变式10 在数列中，，，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$