专题01 数列的定义（1）（四大题型）-【中职专用】2024-2025学年中职高二数学数列专题分类同步精练（人教版2021·拓展模块一）

专题01 数列的定义（1） 题型一 数列的概念 例1 下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 变式1 将正整数的前5个数排列如下： ①1，2，3，4，5；②5，4，3，2，1；③2，1，5，3，4；④4，1，5，3，2． 其中可以称为数列的有（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 例2 下列结论中，正确的是（   ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列的项数一定是无限的 C．数列的通项公式的形式是唯一的 D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式 变式2 下列说法正确的是（    ） A．数列与数列是相同的数列 B．数列0，2，4，6，8，…，可记为， C．数列的第项为 D．数列既是递增数列又是无穷数列 题型二 根据规律求数列 例3 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数．则三角形数､正方形数所构成的数列的第5项分别为（    ）    A．14，20 B．15，25 C．15，20 D．14，25 变式3 已知数列，根据该数列的规律，8是该数列的（    ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 例4 现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏，从甲开始依次进行，当甲报出1，乙报出2后，之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积的个位数字，则第2024个被报出的数应该为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式4 在数列中，（），若，则（    ） A．2 B． C． D． 题型三 数列的增减性 例5 已知，下列数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 变式5已知，则数列是（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不确定 例6 下列说法正确的是（    ） A．l，m，n为三条直线，若，，则 B．等比数列可以有一项为0 C．一个三角形的三边长可以是1，2，3 D．正项等比数列若公比，则一定为递增数列 变式6 已知数列的通项公式为，则“”是“数列为严格增数列”的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 题型四 数列中的最值 例7 数列中最大的项是（    ） A．107 B．108 C． D．109 变式7 已知，则数列的前50项中，最小项和最大项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 例8 设数列，则数列的最小项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 变式8 已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是（    ） A．第5项 B．第6项 C．第4项或第5项 D．第5项或第6项 例9 已知数列的前项和，且对任意，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式9 已知数列的通项公式为，若是严格增数列，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 例10 设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列， 则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式10 已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数列的定义（1） 题型一 数列的概念 例1 下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 【答案】C 【分析】利用数列定义即可逐个选项判断即可得解. 【详解】对于A，由数列的定义易知A错误； 对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误； 对于C，数列的第项为，故C正确； 对于D，因为，所以，这与数列的定义不相符，故D错误. 故选：C. 变式1 将正整数的前5个数排列如下： ①1，2，3，4，5；②5，4，3，2，1；③2，1，5，3，4；④4，1，5，3，2． 其中可以称为数列的有（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据数列的定义知识即可求解. 【详解】根据数列是按“一定顺序”排列着的一列数，所以①②③④都正确，故D项正确. 故选：D． 例2 下列结论中，正确的是（   ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列的项数一定是无限的 C．数列的通项公式的形式是唯一的 D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式 【答案】A 【分析】 利用数列的定义判断A；举例说明判断BC；写出数列通项公式判断D作答. 【详解】对于A，由数列定义知，A正确； 对于B，数列只有5项，该数列项数有限，B错误； 对于C，数列的通项公式可以为， 也可以为，该数列通项公式不唯一，C错误； 对于D，该数列的通项公式可以为，D错误. 故选：A 变式2 下列说法正确的是（    ） A．数列与数列是相同的数列 B．数列0，2，4，6，8，…，可记为， C．数列的第项为 D．数列既是递增数列又是无穷数列 【答案】C 【分析】对于A利用数列的概念判断；对于B通过的值判断；对于C计算出第项即可判断；对于D通过数列有穷和无穷概念进行判断. 【详解】对于A：数列是有顺序的一列数，故A错误； 对于B：当时，，不符合，故B错误； 对于C：数列的第项为，故C正确； 对于D：数列的最后一项为，是有穷数列，故D错误； 故选：C. 题型二 根据规律求数列 例3 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数．则三角形数､正方形数所构成的数列的第5项分别为（    ）    A．14，20 B．15，25 C．15，20 D．14，25 【答案】B 【分析】根据图象的规律求得正确答案. 【详解】三角形数： 第一个数1，第二个数，第三个数：， 第四个数，第五个数， 正方形数： 第一个数，第二个数，第三个数：， 第四个数，第五个数 故选：B 变式3 已知数列，根据该数列的规律，8是该数列的（    ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 【答案】A 【分析】观察各项根据规律即可求解. 【详解】，由此可知数列的规律是前后两项的比值为定值， 故所以8是该数列的第7项， 故选:A 例4 现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏，从甲开始依次进行，当甲报出1，乙报出2后，之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积的个位数字，则第2024个被报出的数应该为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】列举出部分数字观察其周期即可得解. 【详解】报出的数字依次是，除了首项以外是个周期为6的周期数列. 去掉首项后的新数列第一项为2， 因为，所以原数列第2024个被报出的数应该为2. 故选：A. 变式4 在数列中，（），若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推式写出数列前面几项得出数列周期，进一步即可求解. 【详解】，由此可以发现数列的周期是3， 从而. 故选：B. 题型三 数列的增减性 例5 已知，下列数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的符号可判断数列的单调性，从而可得正确的选项. 【详解】对于A，，故为递减数列，故A错误. 对于B，，故为递减数列，故A错误. 对于C，，故为递增数列，故C正确. 对于D，，故为递减数列，故D错误. 故选：C. 变式5已知，则数列是（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不确定 【答案】A 【分析】 根据递增数列的定义即可判断出答案. 【详解】由题意可知， 即从第二项起数列的每一项比它的前一项大，所以数列是递增数列； 故选：A 例6 下列说法正确的是（    ） A．l，m，n为三条直线，若，，则 B．等比数列可以有一项为0 C．一个三角形的三边长可以是1，2，3 D．正项等比数列若公比，则一定为递增数列 【答案】D 【分析】由题意根据直线､三角形､等比数列的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】若l，m，n为三条直线，则由，，则不一定有， 在空间中，直线m､n也可能是异面直线，又比如正方体同一顶点的三条棱，故A错误； 由等比数列的定义可得，等比数列不可能有一项为0，故B错误； 根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，故一个三角形的三边长不可以是1，2，3，故C错误； 对于正项的等比数列，若公比，则， 即该数列一定为递增数列，故D正确， 故选：D. 变式6 已知数列的通项公式为，则“”是“数列为严格增数列”的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合对数函数的单调性即可求解 【详解】当时，则，所以， 所以能推出数列为严格增数列； 当数列为严格增数列时，则能推出， 故“”是“数列为严格增数列”的充要条件 故选：. 题型四 数列中的最值 例7 数列中最大的项是（    ） A．107 B．108 C． D．109 【答案】B 【分析】配方后，利用二次函数知识可求出结果. 【详解】因为 ， 所以当时，取得最大值. 故选：B 变式7 已知，则数列的前50项中，最小项和最大项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】先对数列的通项公式进行变形，然后判断单调性，结合单调性可求最值. 【详解】， ∵，， ∴当时，数列单调递减，且； 当时，数列单调递减，且. ∴在数列的前50项中，最小项和最大项分别是，. 故选：D. 例8 设数列，则数列的最小项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】B 【分析】根据题意，将数列的通项公式变形可得，结合二次函数的性质分析可得答案． 【详解】根据题意，， 又由，则时，取得最小值， 故选：． 变式8 已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是（    ） A．第5项 B．第6项 C．第4项或第5项 D．第5项或第6项 【答案】A 【分析】根据，结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】解：， 因为，且， 所以数值最大的项为第5项． 故选：A． 例9 已知数列的前项和，且对任意，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列为递减数列，结合与的关系即可求解. 【详解】因为，所以数列为递减数列，当时，， 故可知当时，单调递减， 故为递减数列，只需满足， 因为, 所以,解得， .故选:. 变式9 已知数列的通项公式为，若是严格增数列，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合数列单调性列式求解. 【详解】由题意可得，解得 故选：D. 例10 设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列， 则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数列是单调递增数列，可得，从而有恒成立，由，可求得的取值范围. 【详解】解：由题意得： 由数列是单调递增数列，所以， 即，即（）恒成立， 又因为数列是单调递减数列 所以当时，取得最大值，所以. 故选：C. 变式10 已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是递增数列，结合的通项公式有，解之得的范围 【详解】由题意，数列是递增数列 1、当时，有； 2、当时，有； 3、，即 综上，有 故选：C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$