专题 二次函数的图象与字母系数之间的关系40题提分练（专项训练）数学浙教版九年级上册

九年级上册数学《第1章 二次函数》 专题 二次函数的图象与字母系数的关系 二次函数y＝ax2 +bx+c(a≠0)的图象与字母系数a，b，c之间的关系 开口方向 开口向上 a＞0 与 y 轴的交点 过原点 c =0 与y轴交于正半轴 c＞0 开口向下 a＜0 与y轴交于负半轴 c＜0 对称轴位置 对称轴为y轴 =0即b=0 与 x轴的交点 利用b²-4ac的符号判断与x：交点的个数 对称轴在 y轴左侧 ＜c即a，b同号 特殊取值关系 当x=±1时,y=a±b+c 当x=±2时,y=4a±ab+c 对称轴在y轴右侧 ＞0即a，b异号 当 =m时,b+2am=0 【注意】 1、二次函数y＝ax2 +bx+c中，a的符号决定抛物线的开口方向，ab的符号决定抛物线对称轴的大致位置，c的符号决定抛物线与y轴交点的大致位置. 2、如果结论中出现a，b有关的代数式可考虑两根之和；出现a，c有关的代数式可考虑两根之积. 一、选择题（20小题） 1．（2024•泸州）已知二次函数y＝ax2+（2a﹣3）x+a﹣1（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（　　） A．1≤a B．0＜a C．0＜a D．1≤a 2．（2024•新邵县二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如如图所示．根据图象判断，下列结论错误的是（　　） A．c＜0 B．2a＜b C．b2＞4ac D．a+b+c＞0 3．（2023秋•矿区期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1．下列结论正确的是（　　） A．abc＞0 B．4ac＞b2 C．b﹣2a＝0 D．4a﹣2b+c＞0 4．（2023秋•龙口市期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其中不正确的结论是（　　） A．abc＞0 B．2a﹣b＝0 C．3b+2c＞0 D．am2+bm≤a﹣b（m为实数） 5．（2024•成华区模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx（a＜0）的图象过点A（2，0），下列结论错误的是（　　） A．b＞0 B．a+b＞0 C．x＝2是关于x的方程ax2+bx＝0（a＜0）的一个根 D．若点（x1，y1），（x2，y2）在二次函数的图象上，且x1＞x2＞2，则y2＜y1＜0 6．（2024•锦江区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．下列结论正确的是（　　） A．abc＞0 B．4a﹣2b+c＞0 C．关于x的方程ax2+bx+c＝2没有实数根 D．若点P（m，n）在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c 7．（2024•池州三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．a+b+c﹣1＞0 B．﹣2a+c＞0 C．ac﹣b2＞0 D．16a﹣3b+c＜b 8．（2024•宝安区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论①abc＜0，②a+b+c＝2，③a④0＜b＜1中正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 9．（2024•枣庄一模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象关于直线x＝﹣1对称，则下列五个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＜0；④a（m2﹣1）+b（m+1）≤0（m为任意实数）；⑤3a+c＜0．其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 10．（2024•临邑县模拟）小红从图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：①b＞0；②abc＞0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b＝0；⑤c﹣4b＞0，你认为其中正确信息的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．（2024•沂源县一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，其中对称轴为：x＝1，下列结论：①abc＞0；②a+c＞0；③2a+3b＞0；④a+b＞am2+bm（m≠1）；上述结论中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2024•宜兴市二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，①abc＞0；②2a＜b；③（a+c）2＜b2；④a﹣2b+4c＜0．上述结论中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 13．（2024•襄州区模拟）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，则下列结论： ①abc＞0；②0＜c＜2；③a+b+c＝1；④x1＜﹣1；⑤b2＜4ac．其中正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 14．（2023秋•峡江县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴x＝1，有以下结论：①a＜0，c＞0；②9a+3b+c＞0；③4ac﹣b2＜0；④3a+c＜0．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（2024•沾化区一模）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，某同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＞1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 16．（2024春•天府新区校级月考）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论： ①abc＜0，②a2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数）．其中结论正确的个数为（　　） A．3 B．2 C．5 D．6 17．（2024•金沙县一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论： ①2a+b＝0；②abc＜0；③9a+3b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若m≠1，则m（am+b）﹣a＜b．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（2024•桃江县一模）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，﹣a）（如图所示），则下列说法：①abc＜0；②（a+b）2≥c；③关于x的方程ax2+bx＝0有两个不相等的实数根；④﹣1≤a≤0．则正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（2024•富顺县三模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论： ①abc＜0； ②3a+c＞0； ③（a+c）2＜b2； ④a+b＜m（am﹣b）（m＞0）； ⑤方程ax2+bx+c﹣m2﹣1＝0有一正一负两个实数解． 其中结论正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（2023秋•金华期末）如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，有下列结论：①abc＞0；②2c＞3b；③a+2b＞m（am+b）（m≠1）；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个实数根，则这四个实数根的和为4．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（20小题） 21．（2023秋•肇庆校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，其中，正确的是 　 　（填序号）． 22．（2024•东兴区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，有下列6个结论：①abc＜0；②9a+3b+c＝0；③b2＜4ac；④2c＜3b；其中正确的结论 　 　． 23．（2023秋•太康县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示．下列4个结论：①b＞0；②b＜a+c；③c＜4b；④a+b＜k2a+kb（k为常数，且k≠1）．其中正确的结论序号是 　 　． 24．（2023秋•昌平区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图，则以下四个结论中：①abc＞0；②2a+b＝0；③3a+c＜0；④4a+b2＞4ac，其中，正确结论的序号是 　 　． 25．（2023•郓城县校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确的结论有　 　． 26．（2023秋•柯桥区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1），其中结论正确的有 　 （填序号）． 27．（2023•宁波模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，下列4个结论． ①abc＜0； ②b＜a+c； ③c＜4b； ④a+b＜k（ka+b）（k为常数，且k≠1）． 其中正确的结论有 　 　（填写序号）． 28．（2023秋•江汉区月考）抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数）的顶点在第一象限，且a﹣b+c＝0．下列四个结论：①b＞0；②a+b﹣c＞0；③若4a+c＜0，则当x＜1时，y随x的增大而增大；④若抛物线的顶点为P（1，n），则方程ax2+bx+c＞﹣b+n恒成立．其中正确的结论是 　 　.（填写序号）． 29．（2023秋•梁平区期末）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论： ①b＞0；②b＝﹣3；③c＝﹣3b；④当0＜x＜1时，x2+（b﹣1）x+c＞0． 其中正确的是 　 　． 30．（2022秋•营山县校级期末）y＝ax2+bx+c（a≠0）二次函数图象如图，下列结论：①ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝1；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④当m≠1时，a+b＞am2+bm．其中正确的有 　 　． 31．（2023秋•肇庆期末）二次函数y＝ax2+bx+c图象如图所示，对称轴为x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＜0；④3a+c＜0，其中正确的结论有 　 　（填序号）． 32．（2023秋•淮阴区期中）如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法正确的有 　 　．（填序号） ①a＞0； ②2a+b＝0； ③4a﹣2b+c＞0； ④当﹣1＜x＜3时，y＞0． 33．（2023秋•西平县月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④若且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中结论正确的是 　 　． 34．（2023春•江岸区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，现有下列结论：①b﹣2a＝0；②a+b＞n（an+b）（n≠1）；③2c＜3b；④b2﹣4a2＞4ac．其中正确的结论 是 　 　（填序号）． 35．（2023秋•汝城县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x＝﹣1，给出下列结果：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b＝0；④a﹣b+c＜0；⑤3a+c＞0．其中正确结论的序号是 　 　． 36．（2023春•海淀区校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）． 其中正确的是 　 　（填序号）． 37．（2023秋•天河区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②2a+b＜0；③a+b≤m（am+b）；④8a+c＜0；⑤a：b：c＝﹣1：2：3，其中正确的结论有 　 　． 38．（2023•洪山区校级开学）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＝0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）．其中正确的是 　 　（填序号）． 39．（2023秋•永春县校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣3，0），顶点是（﹣1，n），且n＜0，下列四个结论：①abc＜0；②4a+2b+c＜0；③ax2+bx＞0的解集是x＜﹣2或x＞0；④点（t﹣2，y1），（t+1，y2）在抛物线上，当t＜﹣2时，y1＞y2．其中正确的是 　 　（填写序号）． 40．（2023秋•黄埔区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①a﹣b+c＜0；②2a+b＜0；③b＜1；④a+c+1＞0；⑤．其中正确的结论有 　 　（填写对应序号）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上册数学《第1章 二次函数》 专题 二次函数的图象与字母系数的关系 二次函数y＝ax2 +bx+c(a≠0)的图象与字母系数a，b，c之间的关系 开口方向 开口向上 a＞0 与 y 轴的交点 过原点 c =0 与y轴交于正半轴 c＞0 开口向下 a＜0 与y轴交于负半轴 c＜0 对称轴位置 对称轴为y轴 =0即b=0 与 x轴的交点 利用b²-4ac的符号判断与x：交点的个数 对称轴在 y轴左侧 ＜c即a，b同号 特殊取值关系 当x=±1时,y=a±b+c 当x=±2时,y=4a±ab+c 对称轴在y轴右侧 ＞0即a，b异号 当 =m时,b+2am=0 【注意】 1、二次函数y＝ax2 +bx+c中，a的符号决定抛物线的开口方向，ab的符号决定抛物线对称轴的大致位置，c的符号决定抛物线与y轴交点的大致位置. 2、如果结论中出现a，b有关的代数式可考虑两根之和；出现a，c有关的代数式可考虑两根之积. 一、选择题（20小题） 1．（2024•泸州）已知二次函数y＝ax2+（2a﹣3）x+a﹣1（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（　　） A．1≤a B．0＜a C．0＜a D．1≤a 【分析】由a的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可． 【解答】解：∵图象经过第一、二、四象限， ∴a＞0时，抛物线开口向上， ∴对称轴为直线x0， 解得a， ∴a﹣1≥0， ∴a≥1， ∴a的取值范围为1≤a． 故选：D． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，进一步能确定a的取值范围是解题的关键． 2．（2024•新邵县二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如如图所示．根据图象判断，下列结论错误的是（　　） A．c＜0 B．2a＜b C．b2＞4ac D．a+b+c＞0 【分析】由图象可知，当x＝0时，y＝c＜0，可判断A的正误；对称轴为直线，且，可得2a＞b，可判断B的正误；由图象可知，ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＞0，即b2＞4 a c，可判断C的正误；当x＝1时，y＝a+b+c＞0，可判断D的正误． 【解答】解：由图象可知，当x＝0时，y＝c＜0，A正确，故不符合要求； 对称轴为直线，且， ∴2a＞b，B错误，故符合要求； 由图象可知，ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即b2＞4 a c，C正确，故不符合要求； 当x＝1时，y＝a+b+c＞0，D正确，故不符合要求． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．数形结合是解题的关键． 3．（2023秋•矿区期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1．下列结论正确的是（　　） A．abc＞0 B．4ac＞b2 C．b﹣2a＝0 D．4a﹣2b+c＞0 【分析】根据二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数图象与性质判断即可． 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0． ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1＜0， ∴． ∴b＞0． 由图象可知当x＝0时，y＜0， ∴c＜0． ∴abc＜0，选项A错误，不符合题意； 由图象可知抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0． ∴4ac＜b2，选项B错误，不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴． ∴b＝2a． ∴b﹣2a＝0，选项C正确，符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴当x＝﹣2和x＝0时，y的值相等． ∵当x＝0时，y＜0． ∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，选项D错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数图象与性质，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换是解题的关键． 4．（2023秋•龙口市期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其中不正确的结论是（　　） A．abc＞0 B．2a﹣b＝0 C．3b+2c＞0 D．am2+bm≤a﹣b（m为实数） 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：A、如图，对称轴位于y轴左侧，则ab＞0．抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．所以abc＞0，故本选项结论正确； B、由图象知道当x＝﹣2时，y＞0，即4a﹣2b+c＞0，故本选项正确； C、∵对称轴x1， ∴b＝2a， ∵当x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， ∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，故本选项错误； D、∵抛物线在x＝﹣1时有最大值， ∴am2+bm+c≤a﹣b+c， ∴am2+bm≤a﹣b，故本选项正确． 故选：C． 【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 5．（2024•成华区模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx（a＜0）的图象过点A（2，0），下列结论错误的是（　　） A．b＞0 B．a+b＞0 C．x＝2是关于x的方程ax2+bx＝0（a＜0）的一个根 D．若点（x1，y1），（x2，y2）在二次函数的图象上，且x1＞x2＞2，则y2＜y1＜0 【分析】依据题意，由抛物线开口向下，可得a＜0，又抛物线过（2，0），（0，0），从而可得抛物线的对称轴是直线x1，故b＝﹣2a＞0，故可判断A；又a+b＝a﹣2a＝﹣a＞0，故可判断B；又二次函数y＝ax2+bx（a＜0）的图象过点A（2，0），则x＝2是关于x的方程ax2+bx＝0（a＜0）的一个根，故可判断C；又对称轴是直线x＝1，且开口向下，从而当x＞1时，y随x的增大而减小，再结合点（x1，y1），（x2，y2），（2，0）在二次函数的图象上，且x1＞x2＞2时，则y1＜y2＜0，故可判断D． 【解答】解：由题意，∵抛物线开口向下， ∴a＜0． 又抛物线过（2，0），（0，0）， ∴抛物线的对称轴是直线x1． ∴b＝﹣2a＞0，故A正确，不合题意． ∴a+b＝a﹣2a＝﹣a＞0，故B正确，不合题意． ∵二次函数y＝ax2+bx（a＜0）的图象过点A（2，0）， ∴x＝2是关于x的方程ax2+bx＝0（a＜0）的一个根，故C正确，不合题意． ∵对称轴是直线x＝1，且开口向下， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小． ∴当点（x1，y1），（x2，y2），（2，0）在二次函数的图象上，且x1＞x2＞2时，y1＜y2＜0，故D错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 6．（2024•锦江区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．下列结论正确的是（　　） A．abc＞0 B．4a﹣2b+c＞0 C．关于x的方程ax2+bx+c＝2没有实数根 D．若点P（m，n）在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴，顶点坐标和最大值（最小值）进行解答即可得． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴a、b异号， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0，故A错误； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（4，0），且抛物线的对称轴是直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0）， ∴4a﹣2b+c＝0，故B错误； 由图象可知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝2有两个交点， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根，故C错误； 当x＝1时，该函数取得最大值，此时y＝a+b+c， 当点A（m，n）在该抛物线上，此时n＝am2+bm+c， ∴am2+bm+c≤a+b+c， 即am2+bm≤a+b，故D正确； 故选D． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 7．（2024•池州三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．a+b+c﹣1＞0 B．﹣2a+c＞0 C．ac﹣b2＞0 D．16a﹣3b+c＜b 【分析】根据当x＝1时，y＞0可判断A；根据对称轴可得b＝2a，x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0且＞0即可判断B；根据图ac＜0即可判断C；由图象可知，x＝﹣4时，y＜0可判断D． 【解答】解：由图象可知，当x＝1时，y＞0， ∴a+b+c＞0， ∴a+b+c﹣1＞﹣1，故A错误，不合题意； ∵1， ∴b＝2a， ∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∴﹣a+c＜0， ∵a＞0， ∴﹣a＜0， ∴﹣2a+c＜0，故B错误，不合题意； ∵a＞0，c＜0， ∴ac＜0， ∴ac﹣b2＜0，故C错误，不合题意； 由图象可知，x＝﹣4时，y＜0， ∴16a﹣4b+c＜0， ∴16a﹣3b+c＜b，故D正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，抛物线与x轴的交点情况，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 8．（2024•宝安区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论①abc＜0，②a+b+c＝2，③a④0＜b＜1中正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与y轴的交点的位置，可以得出a、b、c的符号，进而确定abc的符号，对①做出判断；把（1，2）代入可对②做出判断；而无法判断③④一定正确，综合得出答案． 【解答】解：因为抛物线开口向上，可知a＞0， 对称轴在y轴的左侧，a、b同号．故b＞0， 抛物线与y轴的交点在负半轴，因此c＜0， ∴abc＜0，故①正确； 把（1，2）代入得a+b+c＝2，故②正确； 当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， 又∵a+b+c＝2， ∴2b＞2，即：b＞1，因此④不正确， 因为对称轴x介在﹣1与0之间，因此1，得2a＞b，而b＞1，∴a，因此③正确． 故选：B． 【点评】考查二次函数的图象和性质、抛物线的对称轴、抛物线与x轴、y轴的交点，对称轴的位置、一元一次不等式等知识，多方面、多角度思考和推理是解决问题的关键． 【解答】解：根据函数图象可知a＞0，根据抛物线的对称轴公式可得x＝﹣＝﹣1， ∴b＝2a， ∴b2＞0，﹣8a＜0， ∴8a＞0， ∴b2+8a＞0．故A正确，不符合题意；∵函数的最小值在x＝﹣1处取到， ∴若实数m≠﹣1，则a﹣b﹣2＜am2+bm﹣2，即若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bm．故C正确，不符合题意； ∵l∥x轴， ∴y1＝y2， 令x＝0，则y＝﹣2，即抛物线与y轴交于点（0，﹣2）， ∴当y1＝y2＞﹣2时，x1＜0，x2＞0． ∴当y1＝y2＞﹣2时，x1•x2＜0．故D正确，不符合题意； ∵a＞0， ∴3a＞0，没有条件可以证明3a＞2．故B错误，符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查二次函数图象的性质，数形结合思想等知识，掌握二次函数图象的性质是解题关键． 9．（2024•枣庄一模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象关于直线x＝﹣1对称，则下列五个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＜0；④a（m2﹣1）+b（m+1）≤0（m为任意实数）；⑤3a+c＜0．其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 【分析】根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性，利用数形结合的思想对所给结论依次进行判断即可． 【解答】解：由函数图象可知， a＜0，b＜0，c＞0， 所以abc＞0． 故①正确． 因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 所以， 即2a﹣b＝0． 故②正确． 因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且x＝1时，函数值小于零， 所以x＝﹣3时，函数值小于零， 则9a﹣3b+c＜0． 故③正确． 因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且开口向下， 所以当x＝m时，am2+bm+c≤a﹣b+c， 即am2﹣a+bm+b≤0， 所以a（m2﹣1）+b（m+1）≤0． 故④正确． 由函数图象可知， 当x＝1时，函数值小于零， 则a+b+c＜0， 又因为b＝2a， 所以3a+c＜0． 故⑤正确． 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键． 10．（2024•临邑县模拟）小红从图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：①b＞0；②abc＞0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b＝0；⑤c﹣4b＞0，你认为其中正确信息的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】观察图象易得a＞0，又，从而b＜0，2a﹣3b＞0，因此abc＞0，由此可以判定①②是正确的，而④是错误的；由图象，当x＝﹣1，y＝a﹣b+c，由点（﹣1，a﹣b+c）在第二象限可以判定a﹣b+c＞0，③是正确的；由图象，当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b，由点（2，c﹣4b）在第一象限可以判定c﹣4b＞0，⑤是正确的． 【解答】解：∵抛物线开口方向向上， ∴a＞0． 又对称轴是直线x， ∴ba＜0，故①错误． ∵与y轴交点在x轴的下方， ∴c＜0． ∴abc＞0，故②是正确． 由图象，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0， ∴③是正确． 由对称轴是直线x， ∴3b＝﹣2a． ∴2a﹣3b＝4a＞0，故④是错误． 又由图象，当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b＞0， ∴⑤正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查从函数图象中获取信息的能力，以及考查二次函数的图象和性质． 11．（2024•沂源县一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，其中对称轴为：x＝1，下列结论：①abc＞0；②a+c＞0；③2a+3b＞0；④a+b＞am2+bm（m≠1）；上述结论中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由抛物线的开口方向可判定a的符号；结合抛物线的对称轴b的符号可判断①；通过x＝﹣1和x＝3的对称性判断②；将不等式的两边加上c，进而判断出③；将b＝﹣2a，a﹣b+c＝0可推出④． 【解答】解：∵抛物线的开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴为：x1， ∴b＝﹣2a＞0， ∵抛物线与y轴交于y轴的正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0， 故①不正确； ∵2×1﹣3＝﹣1，当x＝3时，y＞0， ∴当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0， ∴a+c＞b， ∵b＝﹣2a＞0， ∴a+c＞0， 故②正确； ∵b＝﹣2a， ∴2a+3b＝2a﹣6a＝﹣4a＞0， 故③正确， ∵当x＝1时，y＝a+b+c，a＜0， ∴函数的最大值为：a+b+c， ∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠0）， ∴a+b＞am2+bm， 故④正确， ∴②③④正确， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解决问题的关键是熟练掌握二次函数及其图象的性质． 12．（2024•宜兴市二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，①abc＞0；②2a＜b；③（a+c）2＜b2；④a﹣2b+4c＜0．上述结论中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】由函数图象可知a＜0，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点；即可得出b﹣2a＞0，b＜0；Δ＝b2﹣4ac＞0；再由图象可知当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0；当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；当x＝﹣时，y＞0，即a﹣b+c＞0，即可求解． 【解答】解：由函数图象抛物线开口向下，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0， ∴a＜0，﹣＜0，c＞0， ∴b＜0， ∴abc＞0，故①正确； ∵1， ∴2a＜b，故②正确； 当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0； 当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0； ∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2；故③正确； ∵x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0，即a﹣2b+4c＞0，故④错误； 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数的图象及性质，能够通过图象获取信息，推导出a，b，c，△，对称轴的关系是解题的关键． 13．（2024•襄州区模拟）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，则下列结论： ①abc＞0；②0＜c＜2；③a+b+c＝1；④x1＜﹣1；⑤b2＜4ac．其中正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】由抛物线开口方向得到a＜0，然后利用抛物线的对称轴得到b的符号，根据抛物线与y轴的交点可得c的符号，则可选项①②进行判断；利用x＝1时，y＝0可对选项③进行判断，利用抛物线的对称性可对选项④进行判断；根据抛物线与x轴的交点可对选项⑤进行判断． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴为直线x0， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴0＜c＜2， ∴abc＞0，故选项①②正确； ∵x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0， ∴选项③错误． ∵（1，0）关于y轴的对称轴为（﹣1，0），而的对称轴在y轴的左侧， ∴x1＜﹣1， ∴选项④正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac ∴选项⑤错误． 结论正确的是①②④共3个． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）． 14．（2023秋•峡江县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴x＝1，有以下结论：①a＜0，c＞0；②9a+3b+c＞0；③4ac﹣b2＜0；④3a+c＜0．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据抛物线开口向下，可判断①，由抛物线与y轴交点位置可判断②，由图象可得x＝﹣1，y＜0，根据抛物线对称性可得x＝3，y＜0，进而判断③④． 【解答】解∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵b＝﹣2a， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴①正确，符合题意． 由图象可得x＝﹣1时，y＜0，根据抛物线对称性可得x＝3时，y＜0， ∴9a+3b+c＜0，②错误，不符合题意． ∵图象与x轴有两个不同的交点， ∴4ac﹣b2＜0，③正确，符合题意． ∵x＝﹣1，y＜0， ∴a﹣b+c＜0， ∵b＝﹣2a， ∴3a+c＜0，④正确，符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 15．（2024•沾化区一模）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，某同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＞1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0， ∵1， ∴b＝﹣2a＜0， ∴abc＞0，故①错误； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac，故②正确； ③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误； ④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0， ∴3a+c＞0，故④正确； ⑤当x＝1时，y取到值最小，此时，y＝a+b+c， 而当x＝m时，y＝am2+bm+c， 所以a+b+c≤am2+bm+c， 故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确， ⑥当x＞1时，y随x的增大而增大，故⑥正确， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定． 16．（2024春•天府新区校级月考）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论： ①abc＜0，②a2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数）．其中结论正确的个数为（　　） A．3 B．2 C．5 D．6 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，结合对称轴判断①；根据a＞0，c＜0可判断②；根据对称性求得x＝2时的函数值小于0，判断③；根据二次函数的性质即可判断④；根据二次函数的最值即可判断⑤． 【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0， ∵对称轴为直线：x1， ∴b＝﹣2a＜0， ∴abc＞0，故①错误； ②∵a＞0，c＜0， ∴ac＜0， ∴a2＞4ac，故②正确； ③∵对称轴为直线x＝1，则x＝0与x＝2的函数值相等， ∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误； ④当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故④错误； ⑤当x＝1时，y取到最小值，此时，y＝a+b+c， 而当x＝m时，y＝am2+bm+c， 所以a+b+c≤am2+bm+c， 故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 17．（2024•金沙县一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论： ①2a+b＝0；②abc＜0；③9a+3b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若m≠1，则m（am+b）﹣a＜b．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据抛物线对称轴为直线x1，可判断①，由抛物线开口方向，b＝﹣2a，抛物线与y轴交点位置可判断②，由图象可得x＝﹣1，y＜0，根据抛物线对称性可得x＝3，y＜0，进而判断③④，由x＝1时y取最大值可判断⑤． 【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x1， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，①正确，符合题意． ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵b＝﹣2a， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，②正确，符合题意． 由图象可得x＝﹣1时，y＜0，根据抛物线对称性可得x＝3时，y＜0， ∴9a+3b+c＜0，③错误，不符合题意． ∵x＝﹣1，y＜0， ∴a﹣b+c＜0， ∵b＝﹣2a， ∴3a+c＜0，④正确，符合题意． ∵x＝1时，y取最大值， ∴am2+bm+c≤a+b+c， ∴m（am+b）﹣a＜b（m≠1），⑤正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 18．（2024•桃江县一模）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，﹣a）（如图所示），则下列说法：①abc＜0；②（a+b）2≥c；③关于x的方程ax2+bx＝0有两个不相等的实数根；④﹣1≤a≤0．则正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由二次函数图象的性质及二次函数图象与系数的关系逐一判定即可． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣a）， ∴2， ∴b＝﹣4a＞0， ∵抛物线交y轴的负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0，故①错误； ∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣a）， ∴4a+2b+c＝﹣a， ∵b＝﹣4a， ∴4a﹣8a+c＝﹣a，即c＝3a， ∴（a+b）2﹣c＝9a2﹣3a＝3a（3a﹣1）， ∵a＜0， ∴3a（3a﹣1）＞0， ∴（a+b）2﹣c＞0， ∴（a+b）2＞c，故②错误； 由图可知抛物线与直线y＝c有两个交点， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝c，即ax2+bx＝0有两个不相等的实数根，故③正确； ∵a为抛物线二次项系数， ∴a≠0，故④错误． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程等知识，熟练运用二次函数的图象与性质是解题关键． 19．（2024•富顺县三模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论： ①abc＜0； ②3a+c＞0； ③（a+c）2＜b2； ④a+b＜m（am﹣b）（m＞0）； ⑤方程ax2+bx+c﹣m2﹣1＝0有一正一负两个实数解． 其中结论正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】依据题意，抛物线开口向上，对称轴是直线x1，抛物线与y轴于负半轴，又当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，从而逐个判断即可得解． 【解答】解：由题意，抛物线开口向上，对称轴是直线x1，抛物线与y轴于负半轴， ∴a＞0，b＝﹣2a＜0，c＜0． ∴abc＞0，故①错误． 又当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0， ∴a+2a+c＞0，即3a+c＞0，故②正确． 由a﹣b+c＞0， ∴b﹣a﹣c＜0． 又当x＝1时，y＝a+b+c＝b+a+c＜0， ∴（b﹣a﹣c）（b+a+c）＞0． ∴b2﹣（a+c）2＞0． ∴（a+c）2＜b2，故③正确． 由题意，∵当x＝1时，y取最小值＝a+b+c， ∴对于m＞0，即﹣m＜0，都有a（﹣m）2﹣bm+c＞a+b+c． ∴am2﹣bm＞a+b． ∴a+b＜m（am﹣b），故④正确． 由题意，∵m2≥0， ∴m2+1≥1＞0． 又对于直线y＝m2+1与抛物线y＝ax2+bx+c的交点横坐标为一正一负， ∴方程ax2+bx+c＝m2+1，即ax2+bx+c﹣m2﹣1＝0有一正一负两个实数解，故⑤正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 20．（2023秋•金华期末）如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，有下列结论：①abc＞0；②2c＞3b；③a+2b＞m（am+b）（m≠1）；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个实数根，则这四个实数根的和为4．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据二次函数的图象可知a＜0，b＞0，c＞0，可判断①，然后由图象可知当x＝1时，y的最大值为a+b+c．当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，可得3a+c＜0，可判断②．由图象可知：当x＝1时，y的最大值为a+b+c，当x＝m≠1时，m（am+b）＜a+b，可判断③，若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，分别设为x1，x2，x3，x4，再由图象对称性可知x1+x2＝2×1＝2，x3+x4＝2×1＝2，可判断④． 【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0， ∵抛物线对称轴为直线， ∴b＝﹣2a＞0， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，①不符合题意． 由①知：b＝﹣2a，由图象可知：x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∴a+2a+c＜0， ∴3a+c＜0， ∴2c﹣3b＝2c+6a＝2（3a+c）＜0，即2c＜3b，故②不符合题意． 由图象可知：当x＝1时，y的最大值为a+b+c， ∴当x＝m≠1时，am2+bm+c＜a+b+c， ∴m（am+b）＜a+b， ∵a+b﹣（a+2b）＝﹣b＜0， ∴a+b＜a+2b， ∴a+2b＞m（am+b），故③符合题意． 若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，分别设为x1，x2，x3，x4， 其中x1，x2一定是方程ax2+bx+c＝1的两个根，x3，x4是方程ax2+bx+c＝﹣1的两个根， 故④符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系． 二、填空题（20小题） 21．（2023秋•肇庆校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，其中，正确的是 　 　（填序号）． 【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断即可． 【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴为x＝1，与y轴交于负半轴， ∴a＞0，c＜0，1 ∴b＝﹣2a＜0． ∴ac＜0． ∴①正确． ∵抛物线过点（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0． ∴a﹣（﹣2a）+c＝0． ∴3a+c＝0． ∴②正确． ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴4ac﹣b2＜0． ∴③正确． 由图知，当﹣1＜x≤1时，y随x的增大而减少，当x＞1时，y随x的增大而增大． ∴④错误． 故答案为：①②③． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，正确掌握相关知识是求解本题的关键． 22．（2024•东兴区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，有下列6个结论：①abc＜0；②9a+3b+c＝0；③b2＜4ac；④2c＜3b；其中正确的结论 　 　． 【分析】由所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称轴及增减性对所给结论依次判断即可． 【解答】解：由所给图形可知， a＜0，b＞0，c＞0， 所以abc＜0． 故①正确． 因为抛物线的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点在﹣1和0之间， 所以抛物线与x轴的另一个交点在2和3之间， 又因为抛物线开口向下， 所以当x＝3时的函数值小于零， 即9a+3b+c＜0． 故②错误． 因为抛物线与x轴有两个不同的交点， 所以b2﹣4ac＞0， 即b2＞4ac． 故③错误． 因为当x＝﹣1时，函数值小于零， 所以a﹣b+c＜0． 又因为抛物线的对称轴为直线x＝1， 所以1， 即a． 所以， 即2c＜3b． 故④正确． 故答案为：①④． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． 23．（2023秋•太康县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示．下列4个结论：①b＞0；②b＜a+c；③c＜4b；④a+b＜k2a+kb（k为常数，且k≠1）．其中正确的结论序号是 　 　． 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：由图象可知，a＜0， 1， ∴b＝﹣2a， ∴b＞0， 故①正确； 由图象可知，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0， ∴b＞a+c， 故②错误； ∵二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为直线x＝1， ∴当x＝3时，函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且b＝﹣2a， 即a，代入得9（）+3b+c＜0，得cb， ∵b＞0， ∴c＜4b， 故③正确； 当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c， 而当x＝k时，y＝ak2+bk+c， ∵k为常数，且k≠1， 所以a+b+c＞ak2+bk+c， 故a+b＞ak2+bk， 故④错误． 故①③正确． 故答案为：①③． 【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 24．（2023秋•昌平区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图，则以下四个结论中：①abc＞0；②2a+b＝0；③3a+c＜0；④4a+b2＞4ac，其中，正确结论的序号是 　 　． 【分析】①根据抛物线开口向下可得a＜0，对称轴在y轴右侧，得b＞0，抛物线与y轴正半轴相交，得c＞0，进而即可判断； ②根据抛物线对称轴是直线x＝1，即1，可得b＝﹣2a，进而可以判断； ③当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，根据b＝﹣2a，可得3a+c＜0，即可判断； ④根据顶点坐标和b＝﹣2a，进而可以判断． 【解答】解：①根据抛物线开口向下可知： a＜0， 因为对称轴在y轴右侧， 所以b＞0， 因为抛物线与y轴正半轴相交， 所以c＞0， 所以abc＜0， 所以①错误； ②因为抛物线对称轴是直线x＝1， 即1， 所以b＝﹣2a， 所以b+2a＝0， 所以②正确； ③由图象知，当x＝﹣1时，y＜0， 即a﹣b+c＜0， 因为b＝﹣2a， 所以3a+c＜0， 所以③正确； ④∵c＞1，a＜0， ∴4a＞4ac， ∴4a+b2＞4ac， ∴结论④正确． 故答案为：②③④． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数图象和性质． 25．（2023•郓城县校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确的结论有　 　． 【分析】由函数的图象可以得到a、b、c的符号，再根据图象和灵活的变化得到题目中的结论是否正确． 【解答】解：因为函数图象与x轴两个交点，故b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故①正确； 因为，所以b＝2a，因为图象与y轴交于正半轴，故c＞0，故4a﹣2b+c＞0，即4a+c＞2b，故②错误； 由图象可知，x＝1时，a+b+c＜0，则2a+2b+2c＜0，即3b+2c＜0，故③正确； 由图象可知：x＝﹣1时，函数有最大值a﹣b+c，令x＝m（m≠﹣1），则am2﹣bm+c＜a﹣b+c，则am2﹣bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），④正确． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，学生对式子的灵活变化． 26．（2023秋•柯桥区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1），其中结论正确的有 　 （填序号）． 【分析】根据所给的函数图象，能得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称轴是直线x＝1便可解题． 【解答】解：由图象可知， a＜0，b＞0，c＞0， 所以abc＜0． 故①错误． 又当x＝﹣1时，函数值小于0， 即a﹣b+c＜0． 所以b＞a+c． 故②错误． 当x＝2时，函数值大于0， 即4a+2b+c＞0． 故③正确． 因为抛物线的对称轴是直线x＝1， 所以，即b＝﹣2a． 又a﹣b+c＜0， 则， 即2c＜3b． 故④正确． 当x＝1时，函数取得最大值a+b+c， 当x＝m（m≠1）时，函数值为am2+bm+c， 则有a+b+c＞am2+bm+c， 即a+b＞m（am+b）． 故⑤错误． 故答案为：③④． 【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，能根据所给图象得出a，b，c的正负，再巧妙的运用抛物线的对称轴是解题的关键． 27．（2023•宁波模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，下列4个结论． ①abc＜0； ②b＜a+c； ③c＜4b； ④a+b＜k（ka+b）（k为常数，且k≠1）． 其中正确的结论有 　 　（填写序号）． 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0， ∵0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①正确； ②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∴b＞a+c故b＜a+c，故②错误； ③当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x1， 即a，代入得9（）+3b+c＜0，得cb， ∵b＞0， ∴c＜4b，故③正确； ④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c， 而当x＝k时，y＝ak2+bk+c， 所以a+b+c＞ak2+bk+c， 故a+b＞ak2+bk，即a+b＞k（ak+b），故④错误． 故①③正确． 故答案为：①③． 【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 28．（2023秋•江汉区月考）抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数）的顶点在第一象限，且a﹣b+c＝0．下列四个结论：①b＞0；②a+b﹣c＞0；③若4a+c＜0，则当x＜1时，y随x的增大而增大；④若抛物线的顶点为P（1，n），则方程ax2+bx+c＞﹣b+n恒成立．其中正确的结论是 　 　.（填写序号）． 【分析】由a﹣b+c＝0可知抛物线经过（﹣1，0），由顶点在第一象限可得，即开口方向向下，即可判断①；由a﹣b+c＝0，a﹣b＝﹣c，可判断②；由4a+c＝4a+b﹣a＝3a+b＜0，可得，可判断③；由ax2+bx+c﹣（﹣b+n）＝ax2﹣2ax﹣a，可判断④ 【解答】解：∵y＝ax2+bx+c顶点在第一象限，且a﹣b+c＝0， ∴抛物线经过（﹣1，0）， ∴，a＜0， ∴b＞0， 故①正确； ∵a﹣b+c＝0， ∴a﹣b＝﹣c， ∴a+b﹣c＝a+b+a﹣b＝2a， ∵a＜0， ∴a+b﹣c＜0， 故②不正确； ∵4a+c＝4a+b﹣a＝3a+b＜0， ∴， ∴， ∴时，y随x的增大而减小； 故③不正确； ∵抛物线的顶点为P（1，n）， ∴， ∴b＝﹣2a， ∵ax2+bx+c﹣（﹣b+n）＝ax2+bx+c﹣（﹣b+a+b+c）＝ax2+bx﹣a＝ax2﹣2ax﹣a， 令y＝ax2﹣2ax﹣a， ∵a＜0，Δ＝（﹣2a）2﹣4a⋅（﹣a）＝8a2＞0， ∴y＝ax2﹣2ax﹣a不一定恒大于0， ∴ax2+bx+c﹣（﹣b+n）不一定恒大于0， ∴ax2+bx+c＞﹣b+n不一定恒成立， 故④错误； 故答案为：①． 【点评】本题考查了二次函数的性质及图象，熟记二次函数的对称轴，最值，增减性是解题关键． 29．（2023秋•梁平区期末）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论： ①b＞0；②b＝﹣3；③c＝﹣3b；④当0＜x＜1时，x2+（b﹣1）x+c＞0． 其中正确的是 　 　． 【分析】根据所给二次函数的图象，用待定系数法求出二次函数的解析式再结合数形结合的数学思想即可解决问题． 【解答】解：将点（1，1）和点（3，3）代入二次函数解析式得， ， 解得， 所以二次函数的解析式为y＝x2﹣3x+3． 则b＝﹣3， 故①错误，②正确． c＝3＝﹣b， 故③错误． 当0＜x＜1时， 二次函数的图象在一次函数图象的上方， 所以x2+bx+c＞x， 即x2+（b﹣1）x+c＞0． 故④正确． 故答案为：②④． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，用待定系数法求出二次函数的解析式及巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 30．（2022秋•营山县校级期末）y＝ax2+bx+c（a≠0）二次函数图象如图，下列结论：①ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝1；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④当m≠1时，a+b＞am2+bm．其中正确的有 　 　． 【分析】先将ax12+bx1＝ax22+bx2进行变形得到a与b的关系，再根据对称轴x1，判断①；根据对称轴x1判断②；把x＝﹣1代入二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）得y＝a﹣b+c，然后根据（﹣1，y）的位置判断③；a+b+c与am2+bm+c是当x＝1，x＝m时的二次函数值，根据二次函数的最值进行判断即可． 【解答】解：①∵ax12+bx1＝ax22+bx2， ∴a（x12﹣x22）+b（x1﹣x2）＝0， ∵x1≠x2， ∴a（x1+x2）+b＝0， ∴x1+x2， ∵抛物线的对称轴x1， ∴2， ∴x1+x2＝2，故①错误，不符合题意； ②∵抛物线对称轴x1， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故②正确，符合题意； ③设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2，且x1＞x2， 由图可以看出，x1﹣1＝1﹣x2， ∵点（3，0）在抛物线外部， ∴x1﹣1＜3﹣1，即x1﹣1＜2， ∴1﹣x2＜2，解得x2＞﹣1， ∴点（﹣1，0）在抛物线的外部， ∴当x＝﹣1时， y＝a﹣b+c＜0．故③错误，不符合题意； ④由图可以看出，抛物线的最高点的横坐标为1， ∴当x＝1时，y有最大值， y最大值＝a+b+c， 当x＝m时，且m≠1，y＝am2+bm+c， ∴a+b+c＞am2+bm+c． 即a+b＞am2+bm，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论有②④． 故答案为：②④． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练运用抛物线上点的坐标特征是解决问题的关键． 31．（2023秋•肇庆期末）二次函数y＝ax2+bx+c图象如图所示，对称轴为x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＜0；④3a+c＜0，其中正确的结论有 　 　（填序号）． 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与x轴交点个数，以及x＝﹣1，x＝2对应y值的正负判断即可． 【解答】解：由二次函数图象开口向下，得到a＜0；与y轴交于正半轴，得到c＞0， ∵对称轴在y轴右侧，且1，即2a+b＝0， ∴b＝﹣2a＞0， ∴abc＜0，选项①正确； ∵二次函数图象与x轴有两个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，选项②正确； ∵原点O关于对称轴的对应点为（2，0）， ∴x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，选项③错误； ∵x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0， 把b＝﹣2a代入得：3a+c＜0，选项④正确， 故答案为：①②④． 【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 32．（2023秋•淮阴区期中）如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法正确的有 　 　．（填序号） ①a＞0； ②2a+b＝0； ③4a﹣2b+c＞0； ④当﹣1＜x＜3时，y＞0． 【分析】根据函数的开口方向确定a的符号，从而判断①；根据对称轴的位置判断②；当x＝﹣1时，y＝0，则a﹣b+c＝0，即可得b＝﹣2a，c＝﹣3a，即可判断③；根据二次函数图象落在x轴上方的部分对应的自变量x的取值，判断④． 【解答】解：①图象开口向下，可知 a＜0，故①错误； ②对称轴在y轴右侧，，则有，即2a+b＝0，故②正确； ③当x＝﹣1时，y＝0，则a﹣b+c＝0， 根据2a+b＝0，可得：b＝﹣2a， ∴c＝﹣a+b＝﹣a﹣2a＝﹣3a， ∴4a﹣2b+c＝4a﹣2（﹣2a）﹣3a＝5a＜0， 故③错误； ④由图可知，当﹣1＜x＜3，y＞0，故④正确． 综上可知正确的有②④， 故答案为：②④． 【点评】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 33．（2023秋•西平县月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④若且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中结论正确的是 　 　． 【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，根据抛物线对称轴方程得到1，则可对②进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由b＝﹣2a得到b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对①进行判断；根据二次函数图象的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）与（﹣1，0）之间，则x＝﹣1时，y＜0，于是可对③进行判断；由bx1bx2得到bx1bx2+c，则可判断x＝x1和x＝x2所对应的函数值相等，则x2﹣1＝1﹣x1，于是可对④进行判断． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线对称轴为x＝﹣＝1，即b＝﹣2a， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，所以①错误； ∵b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，所以②正确； ∵抛物线与x轴的交点到对称轴x＝1的距离大于1， ∴抛物线与x轴的一个交点在点（2，0）与（3，0）之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）与（﹣1，0）之间， ∴x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0，所以③错误； 当bx1bx2，则bx1+cbx2+c， ∴x＝x1和x＝x2所对应的函数值相等， ∴x2﹣1＝1﹣x1， ∴x1+x2＝2，所以④正确； 故答案为：②④． 【点评】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）． 34．（2023春•江岸区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，现有下列结论：①b﹣2a＝0；②a+b＞n（an+b）（n≠1）；③2c＜3b；④b2﹣4a2＞4ac．其中正确的结论 是 　 　（填序号）． 【分析】①根据对称轴为直线，即可得出结论；②由图象可知，当x＝1时，函数值最大，即可得出结论；③结合对称轴以及x＝﹣1时，y＜0进行变换，即可得出结论；④结合对称轴，得到b2﹣4a2＝0，再进行判断即可． 【解答】解：①∵对称轴为直线， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故①错误； ②由图象可知，当x＝1时，函数值最大值为a+b+c， ∴x＝n（n≠1）时的函数值小于x＝1时的函数值， 即：a+b+c＞n（an+b）+c（n≠1）， ∴a+b＞n（an+b）（n≠1），故②正确； ③由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∵b＝﹣2a， ∴b+c＜0，即， ∴2c＜3b，故③正确； ④∵b＝﹣2a， ∴b2＝4a2， ∴b2﹣4a2＝0， ∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴a＜0，c＞0， ∴4ac＜0＝b2﹣4a2，故④正确； 综上，正确的是②③④； 故答案为：②③④． 【点评】本题考查根据二次函数的图象判断系数的符号，式子的符号．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 35．（2023秋•汝城县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x＝﹣1，给出下列结果：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b＝0；④a﹣b+c＜0；⑤3a+c＞0．其中正确结论的序号是 　 　． 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x＝﹣1计算2a+b与0的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：∵图象和x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac，∴①正确； ∵从图象可知：a＞0，c＜0，1，b＝2a＞0， ∴abc＜0，∴②错误； ∵b＝2a＞0 ∴2a+b＝4a＞0，∴③错误； ∵x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0，∴④正确； ∵x＝1时，y＞0， ∴a+b+c＞0， 把b＝2a代入得：3a+c＞0，选项⑤正确； 故答案为①④⑤． 【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 36．（2023春•海淀区校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）． 其中正确的是 　 　（填序号）． 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，逐项进行判断即可． 【解答】解：由于抛物线的开口向下，因此a＜0， 由于抛物线的对称轴是直线x＝1＞0，所以a、b异号，而a＜0，所以b＞0， 由于抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，因此c＞0， 所以abc＜0， 因此①不正确； 由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，即b﹣a＞c， 因此②正确； 由抛物线的对称性以及图象可知， 当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0， 因此③正确； 因为对称轴是直线x1，即2a+b＝0， 而当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， 所以3a+c＜0， 即3a＜﹣c， 因此④不正确； 由于抛物线的顶点坐标为（1，a+b+c），即x＝1时，y的值最大，即a+b+c最大， 当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c＜a+b+c， 即a+b＞m（am+b）（m≠1）， 因此⑤正确； 综上所述，正确的结论有：②③⑤， 故答案为：②③⑤． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与系数a、b、c的关系是正确判断的前提． 37．（2023秋•天河区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②2a+b＜0；③a+b≤m（am+b）；④8a+c＜0；⑤a：b：c＝﹣1：2：3，其中正确的结论有 　 　． 【分析】根据图象的开口可确定a，结合对称轴可确定b，根据图象与y轴的交点位置可确定c，根据图象与x轴的交点个数可确定Δ；根据当x＝﹣2时，y＜0；抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），即可得出结论． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∵抛物线对称轴在y轴右侧， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①正确； ∵二次函数的对称轴是直线x＝1，即二次函数的顶点的横坐标为， ∴2a+b＝0，故②错误； 根据图示知，当x＝1时，有最大值a+b+c； 所以a+b≥m（am+b）（m≠1），故③错误； ∵b＝﹣2a， ∴可将抛物线的解析式化为：y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）， 由函数的图象知：当x＝﹣2时，y＜0， 即4a﹣（﹣4a）+c＝8a+c＜0，故④正确； ∵二次函数的图象和x轴的一个交点是 ∵二次函数的图象和x轴的一个交点是（﹣1，0），对称轴是直线x＝1， ∴另一个交点的坐标是（3，0）， ∴设y＝ax2+bx+c＝a（x﹣3）（x+1）＝ax2﹣2ax ∴b＝﹣2a，c＝﹣3a， ∴a：b：c＝a：（﹣2a）：（﹣3a）＝﹣1：2：3，⑤正确． 故答案为：①④⑤． 【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 38．（2023•洪山区校级开学）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＝0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）．其中正确的是 　 　（填序号）． 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，逐项进行判断即可． 【解答】解：由于抛物线的开口向下，因此a＜0， 由于抛物线的对称轴是直线x＝1＞0，所以a、b异号，而a＜0，所以b＞0， 由于抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，因此c＞0， 所以abc＜0， 因此①不正确； 由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，即b﹣a＞c， 因此②正确； 由抛物线的对称性以及图象可知， 当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0， 因此③正确； 因为对称轴为x1，即2a+b＝0， 而当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， 所以3a+c＜0， 即3a＜﹣c， 因此④不正确； 由于抛物线的顶点坐标为（1，a+b+c），即x＝1时，y的值最大，即a+b+c最大， 当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c＜a+b+c， 即a+b＞m（am+b）（m≠1）， 因此⑤正确； 综上所述，正确的结论有：②③⑤， 故答案为：②③⑤． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与系数a、b、c的关系是正确判断的前提． 39．（2023秋•永春县校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣3，0），顶点是（﹣1，n），且n＜0，下列四个结论：①abc＜0；②4a+2b+c＜0；③ax2+bx＞0的解集是x＜﹣2或x＞0；④点（t﹣2，y1），（t+1，y2）在抛物线上，当t＜﹣2时，y1＞y2．其中正确的是 　 　（填写序号）． 【分析】由已知可得抛物线开口方向及对称轴，从而可得a，b符号，由（﹣3，0）及抛物线对称轴为直线x＝﹣1可得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而可得c的符号，进而判断①②，由a与b的关系可得ax2+bx＝0的解，从而判断③，由抛物线的对称轴及开口方向可得x＜﹣1时y随x增大而减小，再根据t＜﹣2可得t﹣2＜﹣4，t+1＜﹣1，从而判断④． 【解答】解：∵抛物线经过（﹣3，0），顶点是（﹣1，n），且n＜0， ∴顶点为最低点，即抛物线开口向上，a＞0， 由抛物线的对称性可得抛物线经过（1，0）， ∴﹣3＜x＜1时，y＜0， ∴x＝0时，抛物线与y轴交点在x轴下方，即c＜0， ∵， ∴b＝2a＞0， ∴abc＜0，①正确． 当x＞1时，y＞0， ∴x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，②错误． ∵b＝2a， ∴ax2+bx＝ax2+2ax＝ax（x+2）， ∴抛物线y＝ax2+bx与x轴交点坐标为（0，0），（﹣2，0）， ∵a＞0，抛物线开口向上， ∴x＜﹣2或x＞0时，y＞0，③正确． 当t＜﹣2时，t﹣2＜﹣4，t+1＜﹣1， ∵x＜﹣1时，y随x增大而减小， ∴y1＞y2，④正确． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 40．（2023秋•黄埔区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①a﹣b+c＜0；②2a+b＜0；③b＜1；④a+c+1＞0；⑤．其中正确的结论有 　 　（填写对应序号）． 【分析】根据所给函数图象，发现当x＝﹣1时，函数值小于零；抛物线的对称轴在直线x＝1的右侧；当x＝1时，函数值大于零，再结合a，b，c之间的关系即可；由前面得出b的取值范围即可解决问题；利用抛物线的对称性及x＝﹣2时，函数值小于零即可解决问题． 【解答】解：由所给函数图象可知， 当x＝﹣1时，函数值小于零， 所以a﹣b+c＜0． 故①正确． 抛物线的对称轴在直线x＝1的右侧， 所以， 又因为抛物线开口向下，即a＜0， 所以2a+b＞0． 故②错误． 将点（﹣1，2）代入函数解析式得， a﹣b+c＝﹣2， 即a＝b﹣c﹣2． 又因为当x＝1时，函数值大于零， 所以a+b+c＞0， 则b﹣c﹣2+b+c＞0， 即b＞1． 故③错误． 因为a﹣b+c＝﹣2， 所以a+c＝b﹣2＞1﹣2＝﹣1， 即a+c+1＞0． 故④正确． 因为，且a＜0， 所以b＞0， 则b﹣a＞0． 又因为当x＝﹣2时，函数值小于零， 则4a﹣2b+c＜0， a+b+c+3（a﹣b）＜0， 所以． 故⑤正确． 故答案为：①④⑤． 【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！45 学科网（北京）股份有限公司 $$