专题02 解一元二次方程（8大题型）-2024-2025学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题02 解一元二次方程 目录 【题型一 直接开平方法解一元二次方程】 1 【题型二 配方法解一元二次方程】 1 【题型三 判断一元二次方程根的情况】 2 【题型四 根据一元二次方程根的情况求参数】 2 【题型五 公式法解一元二次方程】 2 【题型六 因式分解法一元二次方程】 3 【题型七 换元法解一元二次方程】 3 【题型八 配方法的应用】 4 【题型一 直接开平方法解一元二次方程】 例题：（2023·山东临沂·模拟预测）一元二次方程 的根是（　　） A．3 B． C．9 D． 【变式训练】 1．（2024·江苏宿迁·二模）方程的解是 ． 2．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）方程的解是 ． 【题型二 配方法解一元二次方程】 例题：（23-24八年级下·浙江宁波·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是(　　) A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）用配方法将方程变形为，则 ． 2．（2024·广东东莞·模拟预测）解方程： 【题型三 判断一元二次方程根的情况】 例题：（2024·河南周口·三模）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【变式训练】 1．（2024·广东汕尾·一模）方程的根的判别式的值是 ． 2．（23-24九年级下·北京·阶段练习）关于的一元二次方程根的情况是 ． 【题型四 根据一元二次方程根的情况求参数】 例题：（2024·安徽六安·一模）关于x 的一元二次方程有两个不相等实数根，则k 的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【变式训练】 1．（2024·吉林长春·二模）若关于x的方程有两个相等的实数根，则a的值为 ． 2．（2024八年级下·浙江·专题练习）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【题型五 公式法解一元二次方程】 例题：（23-24八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【题型六 因式分解法一元二次方程】 例题：（2024·河北石家庄·二模）已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东淄博·期中）选择合适的方法解方程． (1) (2) 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 【题型七 换元法解一元二次方程】 例题：（23-24九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如果．那么 (　　) A． B． C．或 D．无法确定 【变式训练】 1．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知实数、满足等式，则 ． 2．（2024·江苏扬州·一模）阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______； (2)方程的两个根与方程______的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 【题型八 配方法的应用】 例题：（2024·山东东营·一模）小明和小林在探索代数式（）有没有最大（小）值时，小明做了如下探索： ∵， ∴小明的结论是的最小值为， 小林做了如下探索： ∵， 小林的结论是的最小值为2；则（    ） A．小明正确 B．小林正确 C．小明和小林都正确 D．小明和小林都不正确 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江温州·期中）用配方法解一元二次方程时，可将原方程配方成，则的值是 ． 2．（23-24八年级下·广西百色·期中）先阅读下列问题，再按要求解答问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵，∴， ∴的最小值是9． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)小红的爸爸要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设；请问：当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？ 一、单选题 1．（2021九年级·北京·专题练习）下列关于一元二次方程的说法正确的是（  ） A．该方程只有一个实数根 B．该方程只有一个实数根 C．该方程的实数根为， D．该方程的实数根为， 2．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 3．（2023·河北衡水·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的图像一定不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2023·安徽合肥·模拟预测）已知关于x的方程有且仅有两个不同的实数解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（20-21九年级上·河南南阳·期末）关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值是（ ） A．0 B．1 C．-2 D．1或-2 二、填空题 6．（22-23九年级上·重庆丰都·期末）方程的解是 7．（23-24九年级上·广东江门·期中）关于x的方程．若方程无实数根，则m的取值范围是 ． 8．（18-19九年级上·北京·课后作业）用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3=0 时，方程变形正确的是 （填序号） ①（x﹣1）2=2 ②（x+1）2=4 ③（x﹣1）2=1④（x+1）2=7． 9．（21-22九年级上·湖南长沙·阶段练习）关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值为 ． 10．（23-24九年级上·湖北黄冈·阶段练习）已知，则的值是 ． 三、解答题 11．（22-23九年级上·湖北孝感·期中）解下列方程： (1) (2) 12．（2024·河北邢台·模拟预测）已知，图1中阴影面积为，图2中阴影面积为． (1)用含x的代数式表示，；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 13．（21-22九年级上·河北承德·期中）已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 14．（23-24八年级下·全国·假期作业）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（23-24八年级下·浙江金华·期中）【基础感知】若一元二次方程的两个实数根为a，b且，求的值； 【尝试应用】已知，，…，现将两个实数根分别代入方程得：；得：； 对①式和②式分别乘以和得：；得：； 请根据以上过程算出和的值； 【拓展提升】观察、、之间的数量关系，试给出，，的数量关系，并证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 解一元二次方程 目录 【题型一 直接开平方法解一元二次方程】 1 【题型二 配方法解一元二次方程】 2 【题型三 判断一元二次方程根的情况】 3 【题型四 根据一元二次方程根的情况求参数】 5 【题型五 公式法解一元二次方程】 6 【题型六 因式分解法一元二次方程】 7 【题型七 换元法解一元二次方程】 9 【题型八 配方法的应用】 12 【题型一 直接开平方法解一元二次方程】 例题：（2023·山东临沂·模拟预测）一元二次方程 的根是（　　） A．3 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程，即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 【详解】解：， ， 故选：B． 【变式训练】 1．（2024·江苏宿迁·二模）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，移项后，利用直接开平方法求解即可． 【详解】解∶ ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，先移项，然后直接开平方法解一元二次方程即可求解． 【详解】解： ∴ 解得：， 故答案为：． 【题型二 配方法解一元二次方程】 例题：（23-24八年级下·浙江宁波·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法进行计算即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）用配方法将方程变形为，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：6． 2．（2024·广东东莞·模拟预测）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】解： ， ， ， ，． 【题型三 判断一元二次方程根的情况】 例题：（2024·河南周口·三模）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先计算根的判别式的值得到，再由非负数的性质可判断，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 【变式训练】 1．（2024·广东汕尾·一模）方程的根的判别式的值是 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式代入数据计算即可． 【详解】解：在方程中， ∵， ∴． 故答案为：40． 2．（23-24九年级下·北京·阶段练习）关于的一元二次方程根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】 本题考查了一元二次方程根和系数的关系，非负数的性质，解题关键是掌握方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．．利用根的判别式，得到，再结合偶次方的非负性，即可得到答案． 【详解】解：， ，，， ， ， ， 即方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 【题型四 根据一元二次方程根的情况求参数】 例题：（2024·安徽六安·一模）关于x 的一元二次方程有两个不相等实数根，则k 的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到，然后求出不等式的解集即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：． 故选：B． 【变式训练】 1．（2024·吉林长春·二模）若关于x的方程有两个相等的实数根，则a的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握直接开平方法中中，当时，方程有两个相等的实数根是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 故答案为：． 2．（2024八年级下·浙江·专题练习）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得． 故答案为：9． 【题型五 公式法解一元二次方程】 例题：（23-24八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据公式法解答，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的根为， ∴二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， ∴这个方程为． 故选：D 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)方程无解 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： ∴， ∴， ∴原方程无解． 【题型六 因式分解法一元二次方程】 例题：（2024·河北石家庄·二模）已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，分别求出各选项中方程的根，然后再根据一元二次方程的根的定义进行判断即可得到答案. 【详解】解：A、，解得：，，符合题意； B、，解得：，，不符合题意； C、，解得：，，不符合题意； D、，解得：，，不符合题意； 故选：D. 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东淄博·期中）选择合适的方法解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再进行因式分解，得，令每个因式为0，进行计算，即可作答． （2）先移项，提公因式得，令每个因式为0，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： 解得 （2）解： 解得 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程， （1）将方程移项，然后提取公因式，然后将方程转化为两个一元一次方程来求解即可； （2）将方程整理为一般形式，找出、、的值，计算出根的判别式，再代入求根公式即可求解； 熟练掌握解一元二次方程的一般方法并灵活运用是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴， ∴，即， ∴或， 解得：，； （2）整理得：， 此时，，， ∵， ∴， ∴，． 【题型七 换元法解一元二次方程】 例题：（23-24九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如果．那么 (　　) A． B． C．或 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，得出，解一元二次方程，进而即可求解． 【详解】解：设，，则， 整理，得， 解得或(舍去)． 即， 故选：B． 【变式训练】 1．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知实数、满足等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，关键是把看成一个整体来计算，即换元法思想． 将看作一个整体，然后用换元法解方程即可． 【详解】解：设，则有： ， 解得，； ， 故． 故答案为：4． 2．（2024·江苏扬州·一模）阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______； (2)方程的两个根与方程______的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 【答案】(1) (2) (3)2025和2022 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，熟练掌握换元法是解此题的关键． （1）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程； （2）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程； （3）由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数，可求出关于的一元二次方程的两个实数根，即可得解． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：， 故答案为：； （3）解：， ， 由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数， ， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为和， 或， 解得：或， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为或． 【题型八 配方法的应用】 例题：（2024·山东东营·一模）小明和小林在探索代数式（）有没有最大（小）值时，小明做了如下探索： ∵， ∴小明的结论是的最小值为， 小林做了如下探索： ∵， 小林的结论是的最小值为2；则（    ） A．小明正确 B．小林正确 C．小明和小林都正确 D．小明和小林都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，根据小明和小林的探究方法，分别求出当有最小值时的值即可判断，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 【详解】解：小明的探究：， 则当，即时，有最小值为， 而无解， 小明的探究是错误的， 小林的探究：， 则当，即时，有最小值为2， 小林的探究是正确的， 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江温州·期中）用配方法解一元二次方程时，可将原方程配方成，则的值是 ． 【答案】20 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．根据配方法的一般步骤，将配方为，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即 ∴． 故答案为：20． 2．（23-24八年级下·广西百色·期中）先阅读下列问题，再按要求解答问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵，∴， ∴的最小值是9． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)小红的爸爸要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设；请问：当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)4 (2)4 (3)当时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了配方法的应用： （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值； （2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值； （3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及的值即可； 熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴的最小值是4． （2）， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值是4． （3）设，则， 由题意，得花园的面积是， ， ， 的最大值是50，此时，，符合题意， 则当时，花园的面积最大，最大面积是． 一、单选题 1．（2021九年级·北京·专题练习）下列关于一元二次方程的说法正确的是（  ） A．该方程只有一个实数根 B．该方程只有一个实数根 C．该方程的实数根为， D．该方程的实数根为， 【答案】D 【分析】用一元二次方程的根的判别式判断根的情况，求出一元二次方程的解即可． 【详解】解：， ， 故原方程有两个不相等的实数根， 解得，． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，以及解一元二次方程，解题的关键是熟悉一元二次方程根的判别式，以及学会解一元二次方程． 2．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得，且； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系，列出不等式并正确求解． 3．（2023·河北衡水·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的图像一定不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先利用根的判别式的意义得到，解不等式得到的取值范围，然后根据一次函数的性质解决问题． 【详解】解：根据题意得，解得， ∴一次函数的图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：． 【点睛】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．及一次函数的性质是解题的关键． 4．（2023·安徽合肥·模拟预测）已知关于x的方程有且仅有两个不同的实数解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分，三种情况讨论，前两种情况不合题意，第三种情况原方程化为，整理得①或②．因为②的判别式为，方程②必有两个不同实根．而原方程只有两个不同实根，故方程①无实根，所以它的判别式，得到． 【详解】解：当时，原方程无解，不合题意； 当时，则， 解得，方程只有1个实数根，不符合题意； 当时，原方程化为， 整理得①或②． ∵②的判别式，且当时，方程②不成立， ∴方程②必有两个不同实根． ∵原方程只有两个不同实根，当时，方程①不成立， ∴方程①无实根， ∴它的判别式， 解得． 故选D． 【点睛】本题主要考查了绝对值，分式方程，一元二次方程根的判别式，解决问题的关键是熟练运用绝对值的非负性，解分式方程，由根的情况写出根判别式的取值范围． 5．（20-21九年级上·河南南阳·期末）关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值是（ ） A．0 B．1 C．-2 D．1或-2 【答案】C 【分析】把x=0代入方程，得到，解得k值后，验证二次项系数不为零，判断即可． 【详解】∵x的一元二次方程有一个根是0， ∴，且k-1≠0， 解得k= -2或k=1，且k≠1， ∴k= -2， 故选C． 【点睛】本题考查了已知一元二次方程的一个根探解字母系数问题，熟练运用根的定义，一元二次方程的定义是解题的关键． 二、填空题 6．（22-23九年级上·重庆丰都·期末）方程的解是 【答案】， 【分析】提公因式x，可分解因式，解方程即可． 【详解】解：， ∴， 解得：，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程—因式分解法，属于基础题，掌握提公因式法是关键． 7．（23-24九年级上·广东江门·期中）关于x的方程．若方程无实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当方程有实根，当时，方程为一元二次方程，根据题意令求m的范围即可． 【详解】解：当时，方程可化为， ， 方程有实根， 当时，方程为一元二次方程， 当方程无实数根时， ， 则 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．同时考查了一元一次方程和一元二次方程的定义以及分类讨论思想的运用． 8．（18-19九年级上·北京·课后作业）用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3=0 时，方程变形正确的是 （填序号） ①（x﹣1）2=2 ②（x+1）2=4 ③（x﹣1）2=1④（x+1）2=7． 【答案】②． 【分析】先移项，再配方，即可得出答案． 【详解】x2＋2x−3＝0， x2＋2x＝3， x2＋2x＋1＝3＋1， （x＋1）2＝4， 故答案为②． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键． 9．（21-22九年级上·湖南长沙·阶段练习）关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值为 ． 【答案】0 【分析】根据一元二次方程的定义可得出k-1≠0，进而可得出k≠1，将x=0代入原方程可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，结合k≠1即可得出结论． 【详解】解：∵方程（k+1）x2+6x+k2+k=0为一元二次方程， ∴k+1≠0， ∴k≠-1． 将x=0代入（k-1）x2+6x+k2+k=0，得：k2+k=0， 解得：k1=0，k2=-1（不合题意，舍去）． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，代入x=0求出k的值是解题的关键． 10．（23-24九年级上·湖北黄冈·阶段练习）已知，则的值是 ． 【答案】1 【分析】设 ，原方程转化为关于t的方程，通过解该方程求得t即的值 【详解】解：设 ， 由原方程得， 解得，或（舍去） 所以， 故答案为：1 【点睛】本题考查了换元法解方程.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理 三、解答题 11．（22-23九年级上·湖北孝感·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（1）利用求根公式法解方程； （2）去括号，整理，然后利用因式分解法解方程． 【详解】（1）解：，，， ， ∴ ∴，； （2）解：，即， ∴， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法和公式法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 12．（2024·河北邢台·模拟预测）已知，图1中阴影面积为，图2中阴影面积为． (1)用含x的代数式表示，；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 【分析】本题考查列代数式，整式的加减运算，完全平方公式： （1）直接利用梯形和长方形的面积公式进行计算，列出代数式即可，将，代入所列代数式，进行计算即可； （2）判断两个代数式相减后与0的大小关系，即可得出结论． 【详解】（1）解：； ， ， 当时，； （2）， 理由如下：，， ， ， ， ． 13．（21-22九年级上·河北承德·期中）已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 【答案】（1）k＜2；（2）. 【分析】（1）由题意根据关于x的方程x2-2x+2k-3=0有两个不相等的实数根，则Δ＞0，列出不等式，即可求出k的取值范围； （2）根据题意由（1）中k的取值范围得出符合条件的k的最大整数值，代入原方程，利用求根公式即可求出x的值． 【详解】解：（1）Δ=（-2）2-4（2k-3）=8（2-k）． ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴8（2-k）＞0，解得k＜2． （2）当k为符合条件的最大整数时，k=1． 此时方程化为x2-2x-1=0，方程的根为． 即此时方程的根为． 【点睛】本题考查的是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ的关系及求根公式，熟练掌握Δ＞0方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 14．（23-24八年级下·全国·假期作业）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元二次方程，选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法即可解答； （2）利用因式分解法即可解答； （3）利用因式分解法即可解答； （4）利用直接开平方法即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， 解得； （2）解：， ， ， 解得； （3）解：， ， 解得； （4）解：， ， ， 解得． 15．（23-24八年级下·浙江金华·期中）【基础感知】若一元二次方程的两个实数根为a，b且，求的值； 【尝试应用】已知，，…，现将两个实数根分别代入方程得：；得：； 对①式和②式分别乘以和得：；得：； 请根据以上过程算出和的值； 【拓展提升】观察、、之间的数量关系，试给出，，的数量关系，并证明． 【答案】基础感知：；尝试应用：，；拓展提升：，证明见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的解、求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 基础感知：先利用因式分解法解一元二次方程得出，，结合题意得出，，计算即可得出答案； 尝试应用：由基础感知得：，，再结合题意计算即可得出答案； 拓展提升：由题意得出，两边都乘以得：①， 同理可得：②，由得出，即可得出答案． 【详解】解：基础感知：∵， ∴， 解得：，， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴； 尝试应用：由基础感知得：，， ∴，； （3）猜想： 证明：一元二次方程根的定义可得出，两边都乘以，得：①， 同理可得：②， 由，得：， ∵，，， ∴，即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$