专题15.1概率（八个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019必修第二册）

专题15.1概率 知识点1样本空间及事件的分类 1.有限样本空间的有关概念 样本点：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，用表示样本点； 样本空间：全体样本点的集合称为试验的样本空间，用表示样本空间； 有限样本空间：如果一个随机试验有个可能结果则称样本空间为有限样本空间 2.事件的分类 事件 确定事件 必然事件 在条件下，一定会发生的事件 不可能事件 在条件下，一定不会发生的事件 随机事件 在条件下下，可能发生也可能不发生的事件 知识点2互斥事件与对立事件 定义 符号表示 图示 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 且 知识点3独立事件 一、相互独立事件 1、定义：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 2、判断事件是否相互独立的方法 （1）定义法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的 （2）公式法：若对两事件A，B有，则事件A，B相互独立. 二、相互独立事件的概率计算 已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件 概率 A，B同时发生 A，B都不发生 A，B恰有一个发生 A，B中至少有一个发生 P(A)P()＋P()P(B)＋P(A)P(B) A，B中至多有一个发生 P(A)P()＋P()P(B)＋P()P() 重难点1事件的分类及表示 【例1】从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（    ） A．3个都是篮球 B．至少有1个是排球 C．3个都是排球 D．至少有1个是篮球 【例2】根据点数取1～6的扑克牌共24张，写出下列试验的样本空间． (1)任意抽取1张，记录它的花色； (2)任意抽取1张，记录它的点数； (3)在同一种花色的牌中依次抽取2张，记录每张的点数； (4)在同一种花色的牌中一次抽取2张，计算两张点数之和． 【变式1-1】下列事件中，随机事件的个数为（    ） ①甲，乙两人下棋，甲获胜； ②小明过马路，遇见车的车牌号尾号是奇数； ③某种彩票的中奖率为99%，某人买一张此种彩票中奖； ④用任意平面截球体，所得截面图形是椭圆形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（多选）袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件是基本事件的是（ 　） A．取出的两球标号为3和7 B．取出的两球标号的和为4 C．取出的两球标号都大于3 D．取出的两球标号的和为8 【变式1-3】做投掷2枚均匀骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示第一枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数．写出： (1)试验的样本空间Ω； (2)事件“出现点数之和大于8”包含的样本点； (3)事件“出现点数相等”包含的样本点； (4)事件“出现点数之和等于7”包含的样本点． （1）在利用集合表示随机事件时,首先用字母或数字等形式表示样本点. （2）样本点的列举为防止遗漏和重复,可按照确定顺序来写. 重难点2用频率估算概率 【例3】下列说法正确的是（    ） A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率 B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖 C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水 【例4】（多选）小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了30次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是（    ） A．朝上的点数是2的概率和频率均为1 B．若抛掷30000次，则朝上的点数是2的频率约为0.17 C．抛掷第31次，朝上的点数一定不是2 D．抛掷6 000次，朝上的点数为2的次数大约为1000次 【变式2-1】（多选）下列说法中正确的有（　　） A．任何事件发生的概率总是在[0，1]之间 B．概率是随机的，在试验前不能确定 C．频率是客观存在的，与试验次数无关 D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 【变式2-2】关于频率和概率，下列说法中正确的是 ．（填序号） ①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为； ②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005．如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005； ③某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽； ④将一颗均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次． 【变式2-3】在一个口袋中放有个白球和个红球，这些球除颜色外都相同，某班50名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共152次，以频率估计概率，若从口袋中随机摸1个球，则摸到红球概率的估计值为 ．（小数点后保留一位小数） 频率是事件发生的次数与试验总次数的比值,利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量,当很大时,频率总是在一个稳定值附近摆动,这个稳定值就是概率. 重难点3古典概型的计算 【例5】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（    ） A． B． C． D． 【例6】一个袋子中有3个红球，4个白球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)求两次取到的球颜色相同的概率． (2)如果是3个红球，n个白球，已知第二次取到红球的概率为，求n的值． 【变式3-1】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是从装有2个红球A1，A2和一个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖． (1)用球的标号列出所有的样本点； (2)有人认为两个箱子中的红球总数比白球总数多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由． 【变式3-2】北京世园会为满足大家的游览需求，打造了4条路线，分别是“解密世园会”“爱我家，爱园艺”“园艺小清新之旅”和“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同． (1)李欣选择线路“园艺小清新之旅”的概率是多少？ (2)用画树状图的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率． 【变式3-3】一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球. (1)求第二次取到红球的概率； (2)求两次取到的球颜色相同的概率； (3)如果袋中装的是4个红球，个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么是多少？ 计算古典概型事件的概率步骤：①算出样本点的总个数n；②求出事件A所包含的样本点个数; ③代入公式求出概率. 重难点4互斥事件及对立事件的辨析 【例7】某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲､乙两名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲､乙都中奖”，则与互为对立事件的是（    ） A．甲､乙恰有一人中奖 B．甲､乙都没中奖 C．甲､乙至少有一人中奖 D．甲､乙至多有一人中奖 【例8】从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是 A．“至少一个红球”与“至少一个黄球” B．“至多一个红球”与“都是红球” C．“都是红球”与“都是黄球” D．“至少一个红球”与“至多一个黄球” 【变式4-1】袋中装有3个黑球、2个白球、1个红球，从中任取两个，互斥而不对立的事件是（    ） A．“至少有一个黑球”和“没有黑球” B．“至少有一个白球”和“至少有一个红球” C．“至少有一个白球”和“红球黑球各有一个” D．“恰有一个白球”和“恰有一个黑球” 【变式4-2】某人射击一次，设事件A：“击中环数小于4”；事件B：“击中环数大于4”；事件C：“击中环数不小于4”；事件D：“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是 A．A和B为对立事件 B．B和C为互斥事件 C．C与D是对立事件 D．B与D为互斥事件 【变式4-3】从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件． ①“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”； ②“至少有1件次品”和“全是次品”； ③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”． 设事件与所含的结果组成的集合分别为. ①若事件件与互斥,则集合; ②若事件件与对立,则集合且. 重难点5互斥事件与对立事件的概率计算 【例9】保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是 . 【例10】某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，100张奖券为一个开奖单位，每个开奖单位设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，可知其概率平分别为． （1）求1张奖券中奖的概率； （2）求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 【变式5-1】在抛掷一颗骰子（一种正方体玩具，六个面分别标有 字样）的试验中，事件表示 “不大于 3 的奇数点出现”，事件 表示 “小于 4 的点数出现”，则事件 的概率为 ． 【变式5-2】现有7名世界杯志愿者，其中，，通晓日语，，通晓韩语，，通晓葡萄牙语，从中选出通晓日语、韩语、葡萄牙语志愿者各一名组成一个小组，则，不全被选中的概率为 ． 【变式5-3】为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐，则： (1)恰有1罐中奖的概率为多少？ (2)能中奖的概率为多少？ 重难点6独立事件的判断 【例11】设A，B，C为三个随机事件，则“A，B，C相互独立”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例12】任意抛掷一次骰子，朝上面的点数记为X，则，定义事件：，，，则（   ） A． B． C． D．B，C相互独立 【变式6-1】（多选）对于一个古典概型的样本空间和事件，其中，则（    ） A． B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【变式6-2】（多选）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（    ） A．A与D相互独立. B．A与B相互独立 C．B与D相互独立 D．A与C相互独立 【变式6-3】（多选）抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用表示黄色骰子朝上的点数，表示白色骰子朝上的点数，用表示一次试验的结果，该试验的样本空间为，事件 “”，事件“”，事件“”，事件“”则（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D．与相互独立 事件的独立性的判断:①定义法:事件相互独立⇔；②由事件本身的性质直接判定两个事件的发生是否相互影响； 重难点7独立事件概率的计算 【例13】袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，取出后不放回，取得白球得1分，取得黑球得2分，取得红球得3分，直到取到的球的总分大于或等于4分时终止，用表示终止取球时所需的取球次数，则（    ） A． B． C． D． 【例14】某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13 s内（称为合格）的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检验，求： (1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)三人中恰有两人合格的概率． 【变式7-1】某校举办运动会，其中有一项为环形投球比寒，如图，学生在环形投掷区内进行投球.规定球重心投掷到区域内得3分，区域内得2分，区域内得1分，投掷到其他区域不得分.已知甲选手投掷一次得3分的概率为0.1，得2分的概率为，不得分的概率为0.05，若甲选手连续投掷3次，得分大于7分的概率为0.002，且每次投掷相互独立，则甲选手投掷一次得1分的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为.假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲执黑子先下，则甲、乙各胜一局的概率为 . 【变式7-3】甲、乙两人组成“超级星队”参加猜成语活动，在每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求一轮活动甲猜对且乙没有猜对的概率； (2)求两轮活动“超级星队”猜对3个成语的概率． 求相互独立事件的概率的步骤：①先用字母表示出事件,再分析题中涉及的事件,并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥事件的和;②求出这些彼此互斥事件的概率;③根据互斥事件的概率计算公式求出结果. 重难点8概率与统计的综合 【例15】期末考试结束后，某校从高一1000名学生中随机抽取50名学生，统计他们数学成绩，成绩全部介于65分到145分之间，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组.如图是按上述分组方法得到的频率分数分布直方图的一部分. (1)求第七组的频率； (2)用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分； (3)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值大于10分的概率. 【例16】某城市户居民的月平均用电量（单位：千瓦时）以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示． (1)求直方图中的值； (2)求月平均用电量的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)在月平均用电量为，，的三组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，并从抽取的户中任选户参加一个访谈节目，求参加节目的户来自不同组的概率． 【变式8-1】云南某小区抽取年龄在2-22岁100人做核酸检测由于工作人员不小心画出直方图后把原始数据丢失 (1)估算抽取人群的平均年龄. (2)一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值.试估计此样本数据的第50百分位数. (3)用分层抽样的方式从第一组（年龄在2-6岁）和第五组（年龄在18-22岁）中一共抽取5人再从5人中任选2人求两人的年龄差不超过4岁的概率. 【变式8-2】足球号称世界第一大体育运动，卡塔尔世界杯刚刚落下帷幕．主办方为了调查球迷对本次世界杯的满意度，从来自本地（地区）和外地（地区）的球迷中，分别随机调查了名球迷，得到他们对本届世界杯的满意度评分，如茎叶图所示： (1)设表示地区名球迷满意度的方差，表示地区名球迷满意度的方差，则_____；（用“”或“”填空，不要求写出计算过程）； (2)计算地区的分位数； (3)根据满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于分 分到分 不低于分 满意度等级 级（不满意） 级（满意） 级（非常满意） 从地区和地区分别随机抽取名球迷，记事件：“地区球迷的满意度等级高于地区球迷的满意度等级”，根据所给数据，用调查样本的频率估计地区总体概率，求的概率. 【变式8-3】COP15在云南昆明举办，会议结束后随机抽取了50名志愿者，统计了会议期间每个人14天的志愿服务总时长，得到如图的频率分布直方图：       (1)求的值，估计抽取的志愿者服务时长的中位数和平均数． (2)用分层抽样的方法从这两组样本中随机抽取6名志愿者，记录每个人的服务总时长得到如图所示的茎叶图： ①已知这6名志愿者服务时长的平均数为67，求的值； ②若从这6名志愿者中随机抽取2人，求所抽取的2人恰好都是这组的概率． 1．从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，记“这个三角形是等腰三角形”为事件，则下列推断正确的是（    ） A．事件发生的概率等于 B．事件发生的概率等于 C．事件是不可能事件 D．事件是必然事件 2．给出下列四种说法： ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时可使”是不可能事件； ③“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件； ④从装有8个红球，6个白球的袋中任取2球，事件“至少有一个白球”和“都是红球”是两个对立事件； 其中不正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．一个正八面体的八个面上分别标以数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为x1，x2，事件A =“x1 = 3”，事件B =“x2 = 6”，事件C =“x1 + x2 = 9”，则 （     ） A．AB = C B．A + B = C C．A，B互斥 D．B，C相互独立 4．某家庭电话,打进的电话响第一声时被接的概率为,响第二声时被接的概率为,响第三声时被接的概率为,响第四声时被接的概率为,则电话在响前四声内被接的概率为(　　) A． B． C． D． 5．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（    ） A．事件与事件是对立事件 B．事件与事件不是相互独立事件 C． D． 6．（多选）同时掷红、蓝两枚质地均匀的正四面体骰子，骰子的面上标有1、2、3、4，记录骰子朝下的面上的点数，事件表示“两枚骰子的点数之和为”，事件表示“红色骰子的点数是偶数”，事件表示“两枚骰子的点数相同”，事件表示“至少一枚骰子的点数是偶数”．则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）实验：甲、乙、丙三名同学各自从、、中选了一个字母（不可重复）.记事件为“乙同学选字母”，事件为“甲同学没有选字母”，则下列正确的有（    ） A． B． C． D． 8．记事件“某人射击一次中靶”，且，则事件的对立事件是 ，它发生的概率是 . 9．抛两枚质地均匀的骰子，向上的点数分别为x，y，则x，y，3能够构成三角形三边长的概率为 . 10．三位好友进行乒乓球循环赛，先进行一局决胜负，负者下，由挑战､的胜者，继续进行一局决胜负，负者下，胜者下一局再接受第三人的挑战，依此进行.假设三人水平接近，任意两人的对决获胜的概率都是且不受体力影响，已知三人共比赛了3局，那么这3局中三人各胜一局的概率为 . 11．已知集合，，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标． (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验样本点的总数； (3)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点； (4)说出事件所表示的实际意义． 12．科学家在1927年至1929年间发现自然界中的氧含有三种同位素，分别为，，，根据1940年比较精确的质谱测定，自然界中这三种同位素的含量比为占99.759%，占0.037%，占0.204%．现有3个，2个，n个，若从中随机选取1个氧元素，这个氧元素不是的概率为． (1)求n； (2)若从中随机选取2个氧元素，求这2个氧元素是同一种同位素的概率． 13．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为． (1)求乙投球次的命中率； (2)若甲、乙两人各投球次，求两人共命中次的概率． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15.1概率 知识点1样本空间及事件的分类 1.有限样本空间的有关概念 样本点：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，用表示样本点； 样本空间：全体样本点的集合称为试验的样本空间，用表示样本空间； 有限样本空间：如果一个随机试验有个可能结果则称样本空间为有限样本空间 2.事件的分类 事件 确定事件 必然事件 在条件下，一定会发生的事件 不可能事件 在条件下，一定不会发生的事件 随机事件 在条件下下，可能发生也可能不发生的事件 知识点2互斥事件与对立事件 定义 符号表示 图示 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 且 知识点3独立事件 一、相互独立事件 1、定义：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 2、判断事件是否相互独立的方法 （1）定义法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的 （2）公式法：若对两事件A，B有，则事件A，B相互独立. 二、相互独立事件的概率计算 已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件 概率 A，B同时发生 A，B都不发生 A，B恰有一个发生 A，B中至少有一个发生 P(A)P()＋P()P(B)＋P(A)P(B) A，B中至多有一个发生 P(A)P()＋P()P(B)＋P()P() 重难点1事件的分类及表示 【例1】从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（    ） A．3个都是篮球 B．至少有1个是排球 C．3个都是排球 D．至少有1个是篮球 【答案】D 【详解】根据题意，从6个篮球、2个排球中任选3个球， 3个都是篮球，至少有1个是排球是随机事件， 3个都是排球是不可能事件，至少有1个是篮球是必然事件； 故选：D． 【例2】根据点数取1～6的扑克牌共24张，写出下列试验的样本空间． (1)任意抽取1张，记录它的花色； (2)任意抽取1张，记录它的点数； (3)在同一种花色的牌中依次抽取2张，记录每张的点数； (4)在同一种花色的牌中一次抽取2张，计算两张点数之和． 【答案】(1){红心，方块，黑桃，梅花} (2) (3)答案见解析 (4) 【详解】（1）一副扑克牌有四种花色， 所以样本空间为{红心，方块，黑桃，梅花}． （2）扑克牌的点数是从1～6， 所以样本空间为. （3）依次抽取2张，点数不会相同，则所有结果如下表所示． 1 2 3 4 5 6 1 (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) 故样本空间为 . （4）一次抽取2张，则 ， ， ， ， 所以样本空间为． 【变式1-1】下列事件中，随机事件的个数为（    ） ①甲，乙两人下棋，甲获胜； ②小明过马路，遇见车的车牌号尾号是奇数； ③某种彩票的中奖率为99%，某人买一张此种彩票中奖； ④用任意平面截球体，所得截面图形是椭圆形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】根据随机事件的知识可知：①②③是随机事件， ④是不可能事件，所以随机事件的个数为个. 故选：C 【变式1-2】（多选）袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件是基本事件的是（ 　） A．取出的两球标号为3和7 B．取出的两球标号的和为4 C．取出的两球标号都大于3 D．取出的两球标号的和为8 【答案】ABC 【详解】对于A，取出的两球标号为3和7，是基本事件，故A正确； 对于B，取出的两球标号的和为4，指取出的两球标号为1和3，是基本事件，故B正确； 对于C，取出的两球标号都大于3，指取出的两球标号为5和7，是基本事件，故C正确； 对于D，取出的两球标号的和为8，包括取出的两球标号为1和7，3和5， 包含两个样本点，不是基本事件，故D不正确． 故选：ABC． 【变式1-3】做投掷2枚均匀骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示第一枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数．写出： (1)试验的样本空间Ω； (2)事件“出现点数之和大于8”包含的样本点； (3)事件“出现点数相等”包含的样本点； (4)事件“出现点数之和等于7”包含的样本点． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6) (4)(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1) 【详解】（1）试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)， (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}． （2）“出现点数之和大于8”包含以下10个样本点： (3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6). （3）“出现点数相等”包含以下6个样本点： (1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6). （4）“出现点数之和等于7”包含以下6个样本点： (1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1). （1）在利用集合表示随机事件时,首先用字母或数字等形式表示样本点. （2）样本点的列举为防止遗漏和重复,可按照确定顺序来写. 重难点2用频率估算概率 【例3】下列说法正确的是（    ） A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率 B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖 C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水 【答案】A 【详解】对于A, 随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率，概率是频率的稳定值，故A正确， 对于B, 某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票不一定中奖，故B错误， 对于C, 连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则在100此抛硬币的实验中掷一枚硬币出现反面的频率为，而掷一枚硬币出现反面的概率为，故C错误， 对于D，某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的明天会降水的可能性为70%.故D错误， 故选：A 【例4】（多选）小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了30次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是（    ） A．朝上的点数是2的概率和频率均为1 B．若抛掷30000次，则朝上的点数是2的频率约为0.17 C．抛掷第31次，朝上的点数一定不是2 D．抛掷6 000次，朝上的点数为2的次数大约为1000次 【答案】BD 【详解】由题意知朝上的点数是2的频率为，概率为，故A错误； 当抛掷次数很多时，朝上的点数是2的频率在附近摆动，故B正确； 抛掷第31次，朝上的点数可能是2，也可能不是2，故C错误； 每次抛掷朝上的点数是2的概率为，所以抛掷6000次朝上的点数为2的次数大约为．（理论和实际会有一定的出入）故D正确. 故选：BD 【变式2-1】（多选）下列说法中正确的有（　　） A．任何事件发生的概率总是在[0，1]之间 B．概率是随机的，在试验前不能确定 C．频率是客观存在的，与试验次数无关 D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 【答案】AD 【详解】对于A，任何事件的概率总是在[0，1]之间，其中必然事件的概率是1， 不可能事件的概率是0，“任何事件”包含“必然事件”和“不可能事件”，故A正确； 对于B，概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关， 而事件的结果是随机的，在试验前不能确定，故B错误； 对于C，只有通过试验，才会得到频率的值，故频率不是客观存在的， 一般来说，当试验的次数不同，频率是不同的，它与试验次数有关，故C错误； 对于D，由频率的性质可知，随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故D正确； 综上所述，正确的有A、D， 故选：AD. 【变式2-2】关于频率和概率，下列说法中正确的是 ．（填序号） ①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为； ②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005．如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005； ③某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽； ④将一颗均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次． 【答案】②④ 【详解】①某同学投篮三次，命中两次，只能说明在这次投篮中命中的频率为，不能说概率，故错误； ②进行大量的实验，硬币正面向上的频率在0.5附近摆动，可能大于0.5，也可能小于0.5,故正确； ③只能说明可能有1806粒种子发芽，具有随机性，并不是一定有1806粒种子发芽，故错误； ④出现点数大于2的次数大约为4000次，故正确. 故答案为：②④ 【变式2-3】在一个口袋中放有个白球和个红球，这些球除颜色外都相同，某班50名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共152次，以频率估计概率，若从口袋中随机摸1个球，则摸到红球概率的估计值为 ．（小数点后保留一位小数） 【答案】0.7 【详解】由题意可知：一共摸500次，其中摸到白球的次数共152次，摸到红球的次数共348次， 所以摸到红球概率的估计值为. 故答案为：0.7 频率是事件发生的次数与试验总次数的比值,利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量,当很大时,频率总是在一个稳定值附近摆动,这个稳定值就是概率. 重难点3古典概型的计算 【例5】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记正方形的四个顶点分别为，中心为， 从这5个点中任取两个点共有：，共10种结果， 两点间的距离小于边长分别为共4种结果， 所以． 故选：B 【例6】一个袋子中有3个红球，4个白球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)求两次取到的球颜色相同的概率． (2)如果是3个红球，n个白球，已知第二次取到红球的概率为，求n的值． 【答案】(1) (2)5 【详解】（1）若取出的两个球均为红球，则概率为：， 若取出的两个球均为白球，则概率为：， 所以两次取到的球颜色相同的概率为：． （2）第二次取出红球的概率为：，即， 解得：或（舍去），故n的值为5． 【变式3-1】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是从装有2个红球A1，A2和一个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖． (1)用球的标号列出所有的样本点； (2)有人认为两个箱子中的红球总数比白球总数多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由． 【答案】(1)，，，，，，，，，，，. (2)不正确，理由见解析. 【详解】（1）所有样本点包含，，，，，，，，，，，. （2）不正确，理由如下： 由（1）知，所有样本点共12个， 其中摸出的2个球都是红球的样本点有，，，共4个， 所以中奖的概率为，不中奖的概率为，故不中奖的概率比较大． 【变式3-2】北京世园会为满足大家的游览需求，打造了4条路线，分别是“解密世园会”“爱我家，爱园艺”“园艺小清新之旅”和“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同． (1)李欣选择线路“园艺小清新之旅”的概率是多少？ (2)用画树状图的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：在这4条线路中任选一条，每条线路被选中的可能性相同， 所以在这4条线路中，李欣选择线路“园艺小清新之旅”的概率是． （2）解：记“解密世园会”为，“爱我家，爱园艺”为，“园艺小清新之旅”为，“快速车览之旅”为，则画树状图，如图所示， 共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种， 所以李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为． 【变式3-3】一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球. (1)求第二次取到红球的概率； (2)求两次取到的球颜色相同的概率； (3)如果袋中装的是4个红球，个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）从10个球中不放回地随机取出2个共有（种）可能，即， 设事件“两次取出的都是红球”，则， 设事件“第一次取出红球，第二次取出绿球”，则， 设事件“第一次取出绿球，第二次取出红球”，则， 设事件“两次取出的都是绿球”，则， 因为事件两两互斥， 所以P（第二次取到红球）. （2）由（1）得，P（两次取到的球颜色相同）； （3）结合（1）中事件，可得，， 因为， 所以，即，解得（负值舍去）， 故. 计算古典概型事件的概率步骤：①算出样本点的总个数n；②求出事件A所包含的样本点个数; ③代入公式求出概率. 重难点4互斥事件及对立事件的辨析 【例7】某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲､乙两名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲､乙都中奖”，则与互为对立事件的是（    ） A．甲､乙恰有一人中奖 B．甲､乙都没中奖 C．甲､乙至少有一人中奖 D．甲､乙至多有一人中奖 【答案】D 【详解】“甲、乙恰有一人中奖”与互斥但不对立，故A错误； “甲、乙都没中奖”与互斥但不对立，故B错误； “甲、乙至少有一人中奖”与不互斥，故C错误； “甲、乙至多有一人中奖”与互斥且对立，故D正确． 故选：D. 【例8】从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是 A．“至少一个红球”与“至少一个黄球” B．“至多一个红球”与“都是红球” C．“都是红球”与“都是黄球” D．“至少一个红球”与“至多一个黄球” 【答案】B 【解析】A选项“至少一个红球”与“至少一个黄球”可以同时发生；B选项说法正确； C选项仅仅是互斥而不是对立；D选项“至少一个红球”与“至多一个黄球”可以同时发生. 【详解】从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球， 各种情况为：两红，一红一黄，两黄，三种情况， “至少一个红球”即一红一黄或两红，“至少一个黄球”即一红一黄或两黄，所以这两个事件不是对立事件； “至多一个红球”即一黄一红或两黄，与“都是红球”互为对立事件； “都是红球”与“都是黄球”仅仅是互斥事件； “至少一个红球”即一红一黄或两红，“至多一个黄球”即一红一黄或两红，不是对立事件. 故选：B 【点睛】此题考查对立事件的辨析，关键在于弄清每个选项中的事件的本质意义. 【变式4-1】袋中装有3个黑球、2个白球、1个红球，从中任取两个，互斥而不对立的事件是（    ） A．“至少有一个黑球”和“没有黑球” B．“至少有一个白球”和“至少有一个红球” C．“至少有一个白球”和“红球黑球各有一个” D．“恰有一个白球”和“恰有一个黑球” 【答案】C 【解析】根据互斥事件与对立事件的定义即可判断. 【详解】对于A, “至少有一个黑球”和“没有黑球”不能同时发生,且必有一个发生,因而为对立事件; 对于B, “至少有一个白球”和“至少有一个红球”可以同时发生,所以不是互斥事件; 对于C, “至少有一个白球”和“红球黑球各有一个”两个事件不能同时发生,且除这两个事件还有其他事件(如两个黑球)发生,所以两个事件为互斥事件,但为不对立事件 对于D, “恰有一个白球”和“恰有一个黑球”可以同时发生,所以不是互斥事件. 综上可知,C为正确选项 故选:C 【点睛】本题考查了互斥与对立事件的概念和判断,属于基础题. 【变式4-2】某人射击一次，设事件A：“击中环数小于4”；事件B：“击中环数大于4”；事件C：“击中环数不小于4”；事件D：“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是 A．A和B为对立事件 B．B和C为互斥事件 C．C与D是对立事件 D．B与D为互斥事件 【答案】D 【详解】由题意，A项中，事件“击中环数等于4环”可能发生，所以事件A和B为不是对立事件； B项中，事件B和C可能同时发生，所以事件B和C不是互斥事件； C项中，事件“击中环数等于0环”可能发生，所以事件C和D为不是对立事件； D项中，事件B：“击中环数大于4”与事件D：“击中环数大于0且小于4”，不可能同时发生，所以B与D为互斥事件，故选D. 【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件的概念及判定，其中解答中熟记互斥事件和对立事件的概念，准确判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 【变式4-3】从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件． ①“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”； ②“至少有1件次品”和“全是次品”； ③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”． 【答案】①不是对立事件；②不是对立事件；③不是对立事件． 【详解】依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知： ①中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件， 又因为它们的和事件不是必然事件，所以它们不是对立事件； 同理可以判断 ②中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件； ③中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件． 【点睛】本题考查了互斥事件、对立事件，掌握互斥事件与对立事件的关系是解题的关键，属于基础题. 设事件与所含的结果组成的集合分别为. ①若事件件与互斥,则集合; ②若事件件与对立,则集合且. 重难点5互斥事件与对立事件的概率计算 【例9】保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是 . 【答案】#0.4 【详解】密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列的结果有： ，共5个，它们等可能， 最多输入2次就能开锁的事件， 输入1次能开锁为事件， 第2次输入才能开锁为事件， 事件是事件和事件的和，且它们互斥， ，， 则， 最多输入2次就能开锁的概率是. 故答案为：. 【例10】某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，100张奖券为一个开奖单位，每个开奖单位设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，可知其概率平分别为． （1）求1张奖券中奖的概率； （2）求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 【答案】（1）（2） 【详解】（1）1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖, 设“1张奖券中奖”为事件,则, 因为、、两两互斥,所以 故1张奖券中奖的概率为 （2）设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件,则事件与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件, 所以, 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 【点睛】本题考查互斥事件的概率加法公式的应用,考查古典概型,考查利用对立事件求概率 【变式5-1】在抛掷一颗骰子（一种正方体玩具，六个面分别标有 字样）的试验中，事件表示 “不大于 3 的奇数点出现”，事件 表示 “小于 4 的点数出现”，则事件 的概率为 ． 【答案】 【详解】依题意，抛掷一颗骰子的试验有6个不同的结果，它们等可能，其中事件有2个结果，事件有3结果， 于是有，，而事件和是互斥的，则， 所以事件 的概率为. 故答案为： 【变式5-2】现有7名世界杯志愿者，其中，，通晓日语，，通晓韩语，，通晓葡萄牙语，从中选出通晓日语、韩语、葡萄牙语志愿者各一名组成一个小组，则，不全被选中的概率为 ． 【答案】/0.75 【详解】由题意，选出通晓日语、俄语、韩语的翻译人员各一人，包含下列样本点 ， ， ， 共有种不同的选法， 若表示事件“B1，C1不全被选中”这一事件，则表示“B1，C1全被选中”这一事件， 由于由，共有3个样本点组成， 所以，所以. 故答案为：. 【变式5-3】为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐，则： (1)恰有1罐中奖的概率为多少？ (2)能中奖的概率为多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设事件A=“中奖”，事件B=“恰有一罐中奖”， 事件=“第一罐中奖”，事件=“第二罐中奖”， 那么事件=“两罐都中奖”，=“第一罐中奖，第二罐不中奖”， =“第一罐不中奖，第二罐中奖”，且， 因为互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得 ， 我们借助树状图来求相应事件的样本点数， 可以得到，样本空间包含的样本点个数为， 且每个样本点都是等可能的，因为，所以 ， 故恰有1罐中奖的概率为 （2）因为两两互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得 ，由（1）可知样本空间包含的样本点个数为，, 所以, 故能中奖的概率为 总体：调查对象的全体称为总体； 个体：组成整体的每一个调查对象称为个体； 样本：从总体中抽取的那部分个体称为样本；样本容量：样本中包含的个体数称为样本容量 重难点6独立事件的判断 【例11】设A，B，C为三个随机事件，则“A，B，C相互独立”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】三个事件A，B，C相互独立的充要条件是，， ，， 故“A，B，C相互独立”是“”的充分不必要条件． 故选：A 【例12】任意抛掷一次骰子，朝上面的点数记为X，则，定义事件：，，，则（   ） A． B． C． D．B，C相互独立 【答案】C 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，，，，B错误； 对于C，，则，C正确； 对于D，由选项AB知，，即B，C相互不独立，D错误. 故选：C 【变式6-1】（多选）对于一个古典概型的样本空间和事件，其中，则（    ） A． B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】AB 【详解】对于A，依题意，，由容斥原理得： ，A正确； 对于B，，显然，与相互独立，B正确； 对于C，，显然，与不相互独立，C错误； 对于D，，显然，与不相互独立，D错误. 故选：AB 【变式6-2】（多选）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（    ） A．A与D相互独立. B．A与B相互独立 C．B与D相互独立 D．A与C相互独立 【答案】BCD 【详解】不放回依次取出两个，基本事件有， 共种， 事件“”； 事件“”； 事件“”； 事件“”. 事件，事件“”， 事件“”， 事件“”， 则，，， ，，，， 所以，所以A与D不相互独立； ，所以A与B相互独立； ，所以B与D相互独立； ，所以A与C相互独立； 故选：BCD 【变式6-3】（多选）抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用表示黄色骰子朝上的点数，表示白色骰子朝上的点数，用表示一次试验的结果，该试验的样本空间为，事件 “”，事件“”，事件“”，事件“”则（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】BCD 【详解】由题意可知，事件包含的基本事件有：、、、、、、 、、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、 、、、，共个基本事件， 事件包含的基本事件有：、、、、、，共个基本事件， 事件包含的基本事件有：、、、、、、、 、、、、、、、、、、 ，共个基本事件， 事件包含的基本事件有：、、、、、，共个基本事件， 所有的基本事件共个. 对于A选项，， 所以，与不互斥，A错； 对于B选项，由上可知，与对立，B对； 对于C选项，事件包含的基本事件有：、、，共个基本事件， 则， 又因为，，所以，， 故与相互独立，C对； 对于D选项，因为，则， 故与相互独立，D对. 故选：BCD. 事件的独立性的判断:①定义法:事件相互独立⇔；②由事件本身的性质直接判定两个事件的发生是否相互影响； 重难点7独立事件概率的计算 【例13】袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，取出后不放回，取得白球得1分，取得黑球得2分，取得红球得3分，直到取到的球的总分大于或等于4分时终止，用表示终止取球时所需的取球次数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，时，取球的情况为：白白红，白白黑，白黑白，白黑黑，白黑红， 黑白白，黑白黑，黑白红， 所以. 故选：A. 【例14】某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13 s内（称为合格）的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检验，求： (1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)三人中恰有两人合格的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：设甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立， 且，设恰有k人合格的概率为． 则三人都合格的概率：； （2）三人都不合格的概率：； （3）三人中恰有两人合格的概率： ， . 【变式7-1】某校举办运动会，其中有一项为环形投球比寒，如图，学生在环形投掷区内进行投球.规定球重心投掷到区域内得3分，区域内得2分，区域内得1分，投掷到其他区域不得分.已知甲选手投掷一次得3分的概率为0.1，得2分的概率为，不得分的概率为0.05，若甲选手连续投掷3次，得分大于7分的概率为0.002，且每次投掷相互独立，则甲选手投掷一次得1分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于甲选手投掷3次后，如果得分大于7分，则3次的得分必定是3，3，3或3，3，2（不考虑顺序），所以其概率. 而已知，故，所以. 从而甲选手投掷一次得1分的概率为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用已知概率逆向确定的值. 【变式7-2】甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为.假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲执黑子先下，则甲、乙各胜一局的概率为 . 【答案】 【详解】第一局甲胜，第二局乙胜：甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为， 因此第一局甲胜，第二局乙胜的概率为； 第一局乙胜，第二局甲胜：乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为， 因此第一局乙胜，第二局甲胜的概率为， 所以甲、乙各胜一局的概率为. 故答案为： 【变式7-3】甲、乙两人组成“超级星队”参加猜成语活动，在每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求一轮活动甲猜对且乙没有猜对的概率； (2)求两轮活动“超级星队”猜对3个成语的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）一轮活动乙猜对且甲没有猜对的概率为； （2）两轮活动甲都猜对的概率为，甲仅猜对一个的概率为， 乙都猜对的概率为，乙仅猜对一个的概率为， 则两轮活动“超级星队”猜对3个成语的概率为． 求相互独立事件的概率的步骤：①先用字母表示出事件,再分析题中涉及的事件,并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥事件的和;②求出这些彼此互斥事件的概率;③根据互斥事件的概率计算公式求出结果. 重难点8概率与统计的综合 【例15】期末考试结束后，某校从高一1000名学生中随机抽取50名学生，统计他们数学成绩，成绩全部介于65分到145分之间，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组.如图是按上述分组方法得到的频率分数分布直方图的一部分. (1)求第七组的频率； (2)用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分； (3)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值大于10分的概率. 【答案】(1) (2)（分） (3) 【详解】（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：； （2）用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分为：（分）； （3）由频率分布直方图知， 样本成绩属于第六组的有（人），设为， 样本成绩属于第八组的有（人），设为，， 从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，有 ，，，，， ，，，，共10种， 其中他们的分差得绝对值大于10分包含的基本事件有 ，，， ，，共6种， 所以他们的分差的绝对值大于10分的概率. 【例16】某城市户居民的月平均用电量（单位：千瓦时）以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示． (1)求直方图中的值； (2)求月平均用电量的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)在月平均用电量为，，的三组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，并从抽取的户中任选户参加一个访谈节目，求参加节目的户来自不同组的概率． 【答案】(1) (2)中位数是，平均数是 (3) 【详解】（1）由，得，所以直方图中的值是； （2）中位数：因为， 且， 所以月平均用电量的中位数在内，设中位数为，由，解得， 所以月平均用电量的中位数是．    平均数：； （3）月平均用电量在的用户有户， 月平均用电量在的用户有户， 月平均用电量在的用户有户． 抽样方法为分层抽样，在，，中的用户比为， 所以在，，中分别抽取户、户和户． 设参加节目的户来自不同组为事件，将来自的用户记为，，，来自的用户记为，，来自的用户记为，在户中随机抽取户，， 共包含个样本点，其中，包含的样本点个数为， 故参加节目的户来自不同组的概率． 【变式8-1】云南某小区抽取年龄在2-22岁100人做核酸检测由于工作人员不小心画出直方图后把原始数据丢失 (1)估算抽取人群的平均年龄. (2)一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值.试估计此样本数据的第50百分位数. (3)用分层抽样的方式从第一组（年龄在2-6岁）和第五组（年龄在18-22岁）中一共抽取5人再从5人中任选2人求两人的年龄差不超过4岁的概率. 【答案】(1)（岁） (2) (3) 【详解】（1）解：由题意得 平均年龄（岁） （2）第50百分位数位于区间，由，所以第50个百分位为. （3）根据分层抽样原理第一组抽2人，第五组抽3人再从5人中任取2人共有10种基本结果.要使年龄差小于4岁等价于两人来自同组有4种结果所以概率. 【变式8-2】足球号称世界第一大体育运动，卡塔尔世界杯刚刚落下帷幕．主办方为了调查球迷对本次世界杯的满意度，从来自本地（地区）和外地（地区）的球迷中，分别随机调查了名球迷，得到他们对本届世界杯的满意度评分，如茎叶图所示： (1)设表示地区名球迷满意度的方差，表示地区名球迷满意度的方差，则_____；（用“”或“”填空，不要求写出计算过程）； (2)计算地区的分位数； (3)根据满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于分 分到分 不低于分 满意度等级 级（不满意） 级（满意） 级（非常满意） 从地区和地区分别随机抽取名球迷，记事件：“地区球迷的满意度等级高于地区球迷的满意度等级”，根据所给数据，用调查样本的频率估计地区总体概率，求的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：因为地区的数据更集中，则地区的方差越小，则. （2）解：设地区的个数据由小到大依次为、、、， 由，得分位数等于． （3）解：设事件分别表示抽取地区名球迷的满意度为级，则、、两两互斥， 设事件分别表示抽取地区名球迷的满意度为级，则、、两两互斥， 且有与相互独立，由题意得，，，，，， 又有，且、、互斥， 故 ． 【变式8-3】COP15在云南昆明举办，会议结束后随机抽取了50名志愿者，统计了会议期间每个人14天的志愿服务总时长，得到如图的频率分布直方图：       (1)求的值，估计抽取的志愿者服务时长的中位数和平均数． (2)用分层抽样的方法从这两组样本中随机抽取6名志愿者，记录每个人的服务总时长得到如图所示的茎叶图： ①已知这6名志愿者服务时长的平均数为67，求的值； ②若从这6名志愿者中随机抽取2人，求所抽取的2人恰好都是这组的概率． 【答案】(1)，中位数为；平均数为 (2)①；② 【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得： ，解得， 其中前两组频率之和， 设中位数为，则，解得，所以中位数为65； 平均数为： . （2）解：①因为这名志愿者服务时长的平均数为， 可得，解得； ②由频率分布直方图，可得数据在两组频率比为， 设组中所抽取人编号为，组中所抽取 人标号为， 从这名志愿者中随机抽取人，则基本事件如下： ，共15个， 所抽取2人都在的基本事件有个，所以概率． 1．从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，记“这个三角形是等腰三角形”为事件，则下列推断正确的是（    ） A．事件发生的概率等于 B．事件发生的概率等于 C．事件是不可能事件 D．事件是必然事件 【答案】D 【详解】根据正五边形的性质，可知任取三个顶点连成的三角形一定是等腰三角形， 所以事件是必然事件． 故选：D．    2．给出下列四种说法： ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时可使”是不可能事件； ③“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件； ④从装有8个红球，6个白球的袋中任取2球，事件“至少有一个白球”和“都是红球”是两个对立事件； 其中不正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”正确，所以是必然事件；故①正确； ②不存在，使，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件；故②正确； ③“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；故③正确； ④根据对立事件的定义，可知事件“至少有一个白球”的对立事件是一个白球都没有，即都是红球，故④正确； 故选：A 3．一个正八面体的八个面上分别标以数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为x1，x2，事件A =“x1 = 3”，事件B =“x2 = 6”，事件C =“x1 + x2 = 9”，则 （     ） A．AB = C B．A + B = C C．A，B互斥 D．B，C相互独立 【答案】D 【详解】对于A:事件发生时，事件不一定发生，所以A错； 对于B: 时，同时发生，所以B错； 对于C: 时，同时发生，所以C错； 对于D: ，所以D正确. 故选：D 4．某家庭电话,打进的电话响第一声时被接的概率为,响第二声时被接的概率为,响第三声时被接的概率为,响第四声时被接的概率为,则电话在响前四声内被接的概率为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设“电话响第一声被接”为事件A,“电话响第二声被接”为事件B,“电话响第三声被接”为事件C,“电话响第四声被接”为事件D,则A,B,C,D两两互斥,从而P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=.故选B. 点睛：本题的难点在于把电话在响前四声内被接这个事件分解为哪几个互斥事件，根据题意，它可以分解为四个互斥事件, P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D). 5．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（    ） A．事件与事件是对立事件 B．事件与事件不是相互独立事件 C． D． 【答案】C 【详解】对于A，事件与事件是相互独立事件，但不是对立事件，故A错误； 对于B，对于事件与事件，,事件与事件是相互独立事件,故B错误； 对于C，连续抛掷这个正四面体木块两次，记录的结果一共有种， 其中，事件发生，则两次朝下的点数为一奇一偶，有种，所以， 因为抛掷正四面体向下的数字为奇数和偶数的方法种数相同，所以，， 所以，故C正确； 对于D，事件表示第一次记录的数字为奇数，第二次记录的数字为偶数，故，故D错误. 故选：C． 6．（多选）同时掷红、蓝两枚质地均匀的正四面体骰子，骰子的面上标有1、2、3、4，记录骰子朝下的面上的点数，事件表示“两枚骰子的点数之和为”，事件表示“红色骰子的点数是偶数”，事件表示“两枚骰子的点数相同”，事件表示“至少一枚骰子的点数是偶数”．则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】设红骰子朝下的面上的点数为m，蓝骰子朝下的面上的点数为n，样本点为， 则样本空间为，则， 事件表示“两枚骰子的点数之和为”， ， 所以，故A错误； 事件表示“红色骰子的点数是偶数”， 所以，故B正确； 事件表示“两枚骰子的点数相同”， ， 所以，故C正确； 事件表示“至少一枚骰子的点数是偶数”, ， 所以，故D正确. 故选：BCD 7．（多选）实验：甲、乙、丙三名同学各自从、、中选了一个字母（不可重复）.记事件为“乙同学选字母”，事件为“甲同学没有选字母”，则下列正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】按照甲乙丙顺序进行罗列情况， 则实验有，，，，，，共6种结果. 其中满足事件的有，，共2种，故； 其中满足事件的有，，，，共4种，故. 则同时发生的有1种，或发生有5种， 则，，则AC正确；BD错误. 故选：AC. 8．记事件“某人射击一次中靶”，且，则事件的对立事件是 ，它发生的概率是 . 【答案】 “某人射击一次未中靶” 0.08 【详解】事件A=“某人射击一次中靶”，则事件A的对立事件=“某人射击一次未中靶”. 因为，所以. 故答案为：(1)“某人射击一次未中靶”(2). 0.08 【点睛】本题考查对立事件的概念及概率公式，属于基础题. 9．抛两枚质地均匀的骰子，向上的点数分别为x，y，则x，y，3能够构成三角形三边长的概率为 . 【答案】 【详解】抛两枚骰子，所有的情况有36种，由x，y，3构成三角形的三边长，得， 当，有5种情况：； 当（的情况只需与互换即可，即两种情况相同）时， 若；若，；若，；若，；若，， 因此符合条件的共有（种）情况， 所以所求概率为. 故答案为： 10．三位好友进行乒乓球循环赛，先进行一局决胜负，负者下，由挑战､的胜者，继续进行一局决胜负，负者下，胜者下一局再接受第三人的挑战，依此进行.假设三人水平接近，任意两人的对决获胜的概率都是且不受体力影响，已知三人共比赛了3局，那么这3局中三人各胜一局的概率为 . 【答案】/ 【详解】设比赛A获胜为事件M，比赛C获胜为事件N，比赛B获胜为事件Q， 且相互独立，则， 设三人共比赛了3局，三人各胜一局的概率为D， 则 . 故答案为：. 11．已知集合，，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标． (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验样本点的总数； (3)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点； (4)说出事件所表示的实际意义． 【答案】(1)答案见解析； (2) (3) (4)得到的点是第三象限内的点. 【详解】（1）样本空间为： （2）由知这个试验样本点的总数为. （3）得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点为. （4）事件表示得到的点是第三象限内的点. 12．科学家在1927年至1929年间发现自然界中的氧含有三种同位素，分别为，，，根据1940年比较精确的质谱测定，自然界中这三种同位素的含量比为占99.759%，占0.037%，占0.204%．现有3个，2个，n个，若从中随机选取1个氧元素，这个氧元素不是的概率为． (1)求n； (2)若从中随机选取2个氧元素，求这2个氧元素是同一种同位素的概率． 【答案】(1)1； (2). 【详解】（1）依题意，从这些氧元素中随机选取1个，这个氧元素是的概率，则有，解得n=1， 所以n=1. （2）记3个分别为a，b，c，2个分别为x，y，1个为m，从中随机选取2个，所有的情况为： ，，，，，，，，，，，，，，，共15种，它们等可能， 其中这2个氧元素是同一种同位素的情况有，，，，共4种，其概率为， 所以这2个氧元素是同一种同位素的概率是. 13．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为． (1)求乙投球次的命中率； (2)若甲、乙两人各投球次，求两人共命中次的概率． 【答案】(1)， (2). 【详解】（1）设“甲投球一次命中”为事件,“乙投球一次命中”为事件， 由已知，， 则乙投球2次均未命中的概率， 由题意得，解得或（舍去）， 乙投球次的命中率为. （2）事件甲、乙两人各投球2次，两人共命中3次，可表示为事件甲只有一次命中、乙2次全部命中，与事件乙只有一次命中、甲2次全部命中的和事件． 而甲只有一次命中、乙2次全部命中的概率为， 而乙只有一次命中、甲2次全部命中的概率为， 故两人共命中3次的概率为． 所以甲、乙两人各投球次，两人共命中次的概率为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$