第05讲 实数（3大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（北师大版）

第05讲 实数（3大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 无理数 题型二 实数概念理解 题型三 实数的分类 题型四 实数的性质 题型五 实数与数轴 题型六 实数的大小比较 题型七 实数的混合运算 题型八 程序设计与实数运算 题型九 新定义下的实数运算 题型十 实数运算的实际应用 题型十一 与实数运算相关的规律题 知识点1：无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2） 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点2 ：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点3：实数运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 【典型例题一 无理数】 【例1】（23-24九年级下·山东聊城·期中）下列实数中，无理数的是（    ） A． B．0 C． D． 【例2】（22-23七年级上·江苏盐城·期中）下列各数是无理数的是（    ） A． B．7 C． D． 【例3】（2024·陕西渭南·模拟预测）在实数，，中，为无理数的是 ． 【例4】（2024·陕西咸阳·三模）在实数，，，，中，无理数有 个． 【例5】（22-23七年级上·浙江杭州·期中）把下列各数填在相应的括号里． ，，，，，0，，1.1010010001 整数：{                     } 负分数：{                     } 无理数：{                     } 【例6】（23-24七年级上·浙江·期中）在数轴上表示数2，，，，并按从小到大的顺序用“<”号连接． 【典型例题二 实数概念理解】 【例1】（2023·福建三明·模拟预测）实数，，，中，负整数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024·福建福州·模拟预测）下列各数中是正有理数的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习） 和 统称为实数． 【例4】（22-23七年级下·福建莆田·阶段练习）在、、-π中， 是无理数． 【例5】（23-24七年级下·河南漯河·阶段练习）将下列各数填入相应的集合内． ，，，，，，，，， ①有理数集合{    …} ②无理数集合{    …} ③负实数集合{    …} 【例6】（22-23八年级上·福建三明·期中）把下列各数填入相应的括号内： (1)无理数：{                  …}； (2)负实数：{                  …}； (3)整  数：{                  …}； (4)分  数：{                  …}； 【典型例题三 实数的分类】 【例1】（2024·广东阳江·二模）下列各数中，为负数的是（   ） A． B． C．0 D． 【例2】（2024·安徽合肥·模拟预测）下列各数中，与实数2024互为相反数的是（    ） A．2024 B． C． D． 【例3】（23-24七年级下·全国·假期作业）下列实数：0.22，，，0.010203040506，，．其中有理数有 个，无理数有 个． 【例4】（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号中：，，，，，，，，…， 正数集合{ …} 整数集合{ …} 负分数集合{ …} 无理数集合{ …}． 【例5】（23-24七年级下·陕西商洛·期中）将下列各数写到相对应的括号里． 0，，，，，． 整数：{    }； 分数：{    }； 无理数：{    }． 【例6】（22-23七年级上·浙江杭州·期中）以下是数学乐园中的“实数家族”，请给该“实数家族”分家吧． 【典型例题四 实数的性质】 【例1】（2024·四川广元·一模）的相反数是（    ） A． B． C． D．23 【例2】（2024·江苏南京·一模）实数a在数轴上的位置如图所示，则下列计算结果为正数的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）的相反数是 ． 【例4】（23-24七年级下·重庆巴南·阶段练习）的相反数是 ； ． 【例5】（22-23七年级下·全国·课后作业）（1）有没有最小的正整数？有没有最小的整数？ （2）有没有最小的有理数？有没有最小的无理数？ （3）有没有最小的正实数？有没有最小的实数？ 【例6】（22-23七年级下·吉林松原·阶段练习）已知x、y都是实数，且，求的平方根 【典型例题五 实数与数轴】 【例1】（2024·福建厦门·模拟预测）小明将一个直径为1个单位长度的圆环（厚度忽略不计）从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，则下列实数表示点对应的数是（　　） A． B．3 C．π D． 【例2】（2024·河南周口·二模）下列各数中，最小的数是（   ） A． B． C．2 D． 【例3】 （2024·陕西商洛·二模）已知点M在数轴上，且与原点相距个单位长度，则点M表示的数是 ． 【例4】（2023·陕西西安·模拟预测）实数a和b在数轴上的位置如图所示，则|a| b．（填“”“”或“”） 【例5】（22-23七年级上·浙江温州·期中）把下列各数：，，，在数轴上表示出来，并将这些数用“”连接． 【例6】（22-23七年级下·全国·课后作业）有一组实数：-2，， ， ，． （1）将它们分类，填在相应的横线上： 负有理数：________________________________； 无理数：__________________________________． （2）将这些数表示的点近似地标注在数轴上，并将它们按照从小到大的顺序排列． 【典型例题六 实数的大小比较】 【例1】（2024·湖北宜昌·模拟预测）下列各数中，最大的数是（    ） A． B．2 C． D．3 【例2】（22-23七年级下·广东广州·期末）计算：（    ） A．2 B． C． D．3 【例3】（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）比较大小： 5（填、或） 【例4】（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期中）比较大小：（1） 4；（2） 1． (填、 或号) 【例5】（2024七年级下·全国·专题练习）比较大小：与 【例6】（23-24七年级下·天津河西·期中）比较下列各组数的大小： (1) ； (2) ； (3) 【典型例题七 实数的混合运算】 【例1】（22-23九年级下·河北衡水·期中）从“”中选择一种运算符号，填入算式“”的“□”中，使其运算结果为有理数，则应选择的运算符号是（    ） A．＋ B．－ C．× D．÷ 【例2】（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数，若输入的数，则输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【例3】（2024·吉林长春·二模）计算： ． 【例4】（2024·安徽合肥·二模）计算： ． 【例5】（2024·广西百色·二模）计算：． 【例6】（23-24七年级下·湖北恩施·期中）计算： (1)； (2)． 【典型例题八 程序设计与实数运算】 【例1】（22-23七年级下·山东临沂·期中）有一个数值转换器，原理如下：当输入时，输出（    ） A．2 B．3 C． D． 【例2】（22-23七年级上·山东日照·期末）已知a、b皆为正有理数，定义运算符号为※：当a>b时，a※b=2a；当a<b时，a※b=2b-a，则3※2-(-2※3)等于（    ） A．-2 B．5 C．-6 D．10 【例3】（23-24八年级下·山东淄博·阶段练习）小王利用电脑设计了一个程序：当输入实数x时，输出的数比x的平方小1，若输入，则输出的数是 ． 【例4】（22-23七年级上·浙江杭州·阶段练习）小明编制了一个计算机计算程序如图所示，如果输出的数是10，那么输入的数是 【例5】（22-23八年级下·陕西西安·期中）任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算． （1）用含m的代数式表示该程序的运算过程 （2）当实数的一个平方根是时，求输出的结果． 【例6】（22-23七年级上·山东威海·期末）如图是一个按运算规则进行的数值转换器： (1)若输入的x为16，则输出的y值是 ； (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，则x的值是 ； (3)若输出y的值是，请写出两个满足要求的x值 ． 【典型例题九 新定义下的实数运算】 【例1】（2023·四川南充·一模）设[m）表示大于m的最小整数，如[5.5）＝6，[﹣1.2）＝﹣1，则下列结论中正确的是（    ） A．[2）﹣2＝0 B．若[m）﹣m＝0.5，则m＝0.5 C．[m）﹣m的最大值是1 D．[m）﹣m的最小值是0 【例2】（22-23七年级下·北京顺义·期中）一罐饮料净重克，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为（　　） A．克 B．大于克 C．不小于克 D．不大于克 【例3】（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）用“”定义新运算：对于任意实数，都有，如果，那么等于 ． 【例4】（22-23七年级上·河北石家庄·期末）定义一种新运算：，则等于 ． 【例5】（2024·河北石家庄·三模）刘谦的魔术表演风靡全国，嘉琪也学刘谦发明了一个魔术盒，当数对（a，b为有理数）进入其中时，会得到一个新的有理数：，例如把放入其中，就会得到． (1)把放入其中，求得到的新有理数． (2)若把放入其中，得到的新有理数为，则求n的值． 【例6】（2024·河南郑州·二模）阅读材料：小学阶段我们学习过被3整除的数的规律，初中阶段可以论证结论的正确性．以三位数为例，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下：，显然99a+9b能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除． 应用材料解答下列问题： (1)设是一个三位数，直接写出满足什么条件时，它可以被5整除； (2)设是一个四位数，猜想满足什么条件时，它可以被4整除，并说明理由． 【典型例题十 实数运算的实际应用】 【例1】（22-23七年级下·河北沧州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 【例2】（22-23七年级上·湖南岳阳·期末）观察下列等式：，，，，，……根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A．0 B．1 C．7 D．8 【例3】（22-23七年级上·浙江宁波·期中）写出两个无理数，使它们的和为2 ． 【例4】（22-23八年级上·河南省直辖县级单位·期末）若，则 ． 【例5】（22-23七年级下·山东菏泽·期末）如图，一个花坛，直径5米，在它的周围有一条宽1米的环形小路，小路的面积是多少平方米？ 【例6】（22-23八年级上·全国·课后作业）用电器的电阻、功率与它两端的电压之间有关系：．有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为，乙的电阻为．现测得某用电器的功率为，两端电压在，该用电器到底是甲还是乙？ 【典型例题十一 与实数运算相关的规律题】 【例1】（2013·山东淄博·一模）钟面上有十二个数1，2，3，…，12．将其中某些数的前面添上一个负号，使钟面上所有数之代数和等于零，则至少要添n个负号，这个数n是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【例2】（2024·四川泸州·中考真题）下列各数中，无理数是（    ） A． B． C．0 D． 【例3】（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）观察并找规律，填上合适的数，，， ，． 【例4】（22-23七年级上·山东东营·开学考试）观察： ，即； ，即； 猜想： 【例5】（22-23七年级上·内蒙古通辽·阶段练习）例：；；，求： ＋……＋的值． 【例6】（2023七年级上·浙江·专题练习）探究题： (1)计算下列各式，完成填空： ＝6，＝ ，＝ ，＝ (2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是 ；请用这一规律计算：． 【变式训练1 无理数】 1．（23-24七年级下·重庆渝北·期中）下列实数中是无理数的是（    ） A． B． C．0 D． 2．（2024·甘肃酒泉·三模）下列各数中为无理数的是（    ） A．2024 B． C．4 D． 3．（2023·西藏·模拟预测）下列各数：，，，，．其中，无理数有 个． 4．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）请写出一个比3大的无理数是 ． 5．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）把下列各数的序号分别填在相应的横线上： ①，②，③0，④，⑤，⑥，⑦426，⑧． (1)正有理数： ； (2)负分数： ； (3)无理数： ． 6．（22-23七年级下·全国·课后作业）已知数0.101001000100001…，它的特点是：从左向右看，相邻的两个1之间依次多一个0．这个数是有理数还是无理数？为什么？ 【变式训练2 实数概念理解】 1．（22-23七年级下·北京·期中）下列实数中的无理数是（    ） A． B． C． D．0 2．（2023·广东中山·二模）下列实数中，是无理数的是（    ） A．3.14159 B．1.101010101… C． D．1.1010010001… 3．（22-23七年级下·北京·期中）下列各数中：， ，， ， ， ，0.51511511151111… ，无理数有 ． 4．（22-23七年级下·辽宁盘锦·期末）的相反数是 ． 5．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）把下列各数分别填入相应的大括号 ，0，，，，，，，， 正有理数集合：｛                …｝ 非正整数集合：｛                …｝ 负分数集合：｛                   …｝ 无理数集合：｛                     …｝ 6．（22-23七年级上·浙江绍兴·期中）把下列各实数填在相应的大括号内 ，﹣|﹣3|，，0，，，，1﹣，1.1010010001…（两个1之间依次多1个0） 整 数{                                                         …}； 分 数{                                                         …}； 无理数{                                                       …}． 【变式训练3 实数的分类】 1．（23-24七年级下·安徽淮南·期中）下列各数是有理数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·福建福州·期中）圆周率日（）是一年一度的庆祝圆周率的节日，由圆周率最常用的近似值3.14而来，时间被定在3月14日．那么圆周率是（    ） A．分数 B．负数 C．有理数 D．无理数 3．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）在7，0，，，，，，π中，无理数有x个，有理数有y个，则 ． 4．（23-24七年级上·浙江温州·期中）把下列各数的序号填在横线上． ①，②，③，④，⑤，⑥ 整数：____________________； 分数：____________________； 无理数：__________________． 5．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）把下列各数填入它所属的集合内：15，，，0，，，，，，． (1)分数集合{　　　　　…}； (2)非负数集合{　　　　　…}． 6．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）把下列各数分别填入所属的集合中： ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨ 有理数：{_____________________________}； 无理数：{_____________________________}； 正实数：{_____________________________}； 负实数：{_____________________________}． 【变式训练4 实数的性质】 1．（2024·湖北宜昌·二模）实数的绝对值是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江西南昌·期中）的相反数是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）的相反数是 ， ． 4．（23-24七年级下·甘肃金昌·期中）已知满足，则的值为 ． 5．（22-23七年级下·山西阳泉·课后作业）写出下列各数的相反数：﹣，π﹣3.14，． 6．（22-23七年级下·全国·课后作业）求下列各数的绝对值： ，，，，． 【变式训练5 实数与数轴】 1．（2024·四川成都·二模）在数轴上，2，，离原点最近的是（    ） A． B．2 C． D． 2．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）实数m，n在数轴上的对应点如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西咸阳·二模）如图是数轴的一部分，比较大小： ．（选填“”“”“”） 4．（23-24七年级下·山西吕梁·期中）如图所示，面积为10的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为3，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点M（点M在点A左侧），则点M所表示的数为 ． 5．（23-24七年级上·浙江温州·期中）把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”连接）． ． ∴_______<_______<_______<_______． 6．（22-23八年级·江苏无锡·期中）实数a、b、c在数轴上的对应点位置如图所示， 化简：． 【变式训练6 实数的大小比较】 1．（2024·河南·模拟预测）下列各数中最大的数是（   ） A．2 B．3 C． D． 2．（2024·湖北十堰·模拟预测）下列实数中，最小的数是（      ） A．0 B． C． D． 3．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）比较大小： 9（填“”，“”或“”）． 4．（23-24七年级下·河南安阳·期中）若m是无理数，且，请写出一个符合条件的m： ． 5．（22-23七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)4.8______； (2)______. 6．（22-23七年级下·全国·课后作业）比较大小（要有具体过程）． (1)和4； (2)和． 【变式训练7 实数的混合运算】 1．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）关于式子的变形，下列结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·山东临沂·二模）从和4这四个数中任取出两个数相乘，积为正数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·湖北十堰·模拟预测）计算：＝ ． 4（23-24七年级下·四川南充·期中）已知，a是的整数部分．b是的小数部分，则：的值是 5．（23-24七年级下·广西河池·期中）计算： 6．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算 (1) (2) 【变式训练8 程序设计与实数运算】 1．（2023·重庆·二模）按如图所示的运算程序，当输出的y值为0时，x的值是（　　） A．1 B．2 C． D． 2．（22-23八年级上·河南开封·阶段练习）有个数值转换器，程序原理如图．当输入时，输出n的值等于（    ）    A．5 B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，输入的值为，则输出的数值 ． 4．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图．    （1）当输入的x为16时，输出的 ． （2）若始终输不出y值、则输入的 ． 5．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）一个数值转换器，如图所示：    (1)当输入的为时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的是，请求出两个满足要求的值． 6．（22-23七年级下·福建莆田·期末）如图为一个数值转换器． (1)若输入的x值为3，则输出的y值为________；若输入的x值为9，则输出的y值为________； (2)若输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，求输入的x的值． (3)尚进同学输入非负数x值后，却始终输不出y值．请你分析，他输入的x值是_______． 【变式训练9 新定义下的实数运算】 1．（22-23八年级下·广东广州·期末）定义新运算“※”的运算法则为：当，时，．例如：．那么的值是（    ） A．8 B．48 C． D． 2．（22-23八年级下·河南安阳·期末）定义运算：，例如：，，则等于（    ） A． B． C．2 D． 3．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期中）用“@”表示一种新运算；对于任意正实数a，b，都有，如，则的结果是 ． 4．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）对于任意的两个实数对和，规定：当时，有；运算“”为：；运算“”为：．设都是实数，若，则 ． 5．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）规定一种运算“※”：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 6．（23-24七年级下·山西朔州·阶段练习）对于任意实数，用“#”和“”定义新运算如下： (1)，如．已知计算的结果为19，求的值． (2)，如．已知计算的结果为，求的值． 【变式训练10 实数运算的实际应用】 1．（22-23七年级下·浙江台州·期中）以下4个等式：①；②；③；④．一定要满足实数，的值同时为零的有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 2．（22-23七年级上·江苏宿迁·期中）若面积为3的正方形的边长为a，下列两句判断：①a一定是一个无理数；②1.7<a<1.8．下列说法正确的是（  ） A．只有①对 B．只有②对 C．①②都对 D．①②都错 3．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）已知a，b均为有理数，且满足等式5﹣a＝2b+﹣a，则ab= ． 4．（22-23七年级上·黑龙江牡丹江·期末）元旦期间某商场推出“每满100元减50元”的活动(比如：某顾客购物230元，他只需付款130元)，商场会员则享受“先打9折，再每满100元减50元”的优惠．张先生是商场会员，想购买一件标价320元的上衣，他最低付款 元． 5．（22-23七年级下·广西玉林·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了． 6．（22-23七年级下·安徽蚌埠·期中）如图，长方形的长为，宽为． （1）将长方形进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据） （2）求所拼正方形的边长． 【变式训练11 与实数运算相关的规律题】 1．（23-24七年级下·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河北沧州·期中）观察数据并寻找规律：，－2，，，，…则第个数是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知数列：，，，，，……那么第6个数是 ． 4．（23-24七年级下·北京·期中）将1，，，，按如图方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则所表示的数是 ；与表示的两数之积是 ． 5．（2023九年级·安徽·专题练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； 按照上述规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：__________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明． 6．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习），，…，．将以上等式两边分别相加得 用你发现的规律解答下列问题 (1)猜想并写出：___________； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①_____________； ②______________； (3)探究并计算：． 1．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）下列命题中正确的是（    ） A．数轴上的点与实数一一对应 B．无理数是带根号的数 C．无限小数都是无理数 D．零是最小的实数 2．（23-24七年级下·海南海口·期末）如图，数轴上点A表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·安徽铜陵·期中）已知A，B，C是数轴上三点，点B是线段的中点，点A，B对应的实数分别为1和，则点C对应的实数是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川泸州·二模）从n个不同元素中取出m个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．已知“！”是一种数学运算符号，且，…，若公式（为正整数），则为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）有一列数按一定规律排列：…．则第n个数是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）的相反数是 ． 7．（2024·宁夏银川·二模）计算： ． 8．（22-23七年级上·江苏扬州·期末）在数0、π、﹣0.1010010001，，中，无理数有 个． 9．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，数轴上点，分别表示，2，若点在线段上，且点表示的是一个无理数，则可以是 ．（写出一个） 10．（22-23九年级下·全国·期末）请你规定一种适合非零实数a，b的新运算“”，使得下列算式成立：，，…你规定的新运算 .（用含a，b的一个代数式表示） 11．（23-24七年级下·吉林白城·期中）计算∶ 12．（22-23七年级上·山东威海·期中）已知，其中是整数，，求的值． 13．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）把下列各数填在相应的大括号里： ，，0，，2013，，，0.010010001（相邻两个1之间0的个数逐次加1），， 整数集合{                                  }； 非负数集合{                                }； 分数集合{                                   }； 无理数集合{                                    }． 14．（23-24七年级下·湖北恩施·期中） 实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图， (1)比较大小 a 0； 0； 0 ； 0 (2)化简： 15．（23-24七年级下·云南昆明·期中）两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走．共轭即为按一定的规律相配的一对，在数学中有共轭复数、共轭根式、共轭双曲线、共轭矩阵等． 共轭实数定义：把形如和（a， b有理数且b≠0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数． 在学习了第六章《实数》的内容后，数学兴趣小组设计了如下问题： (1)根据共轭实数定义我们可以判定：与 共轭实数；与 共轭实数（填“是”或“不是”）； (2)请你设计并写出一对共轭实数．它们是 与 ； (3)小明发现共轭实数和运算结果（如：和、差、积、商等）都有一定的规律．请你求共轭实数与的和与差． ①； ②． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 实数（3大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 无理数 题型二 实数概念理解 题型三 实数的分类 题型四 实数的性质 题型五 实数与数轴 题型六 实数的大小比较 题型七 实数的混合运算 题型八 程序设计与实数运算 题型九 新定义下的实数运算 题型十 实数运算的实际应用 题型十一 与实数运算相关的规律题 知识点1：无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2） 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点2 ：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点3：实数运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 【典型例题一 无理数】 【例1】（23-24九年级下·山东聊城·期中）下列实数中，无理数的是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数．熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键． 根据无限不循环小数是无理数进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，0，是有理数，故A、B、C不符合要求； 是无理数，故D符合要求； 故选：D． 【例2】（22-23七年级上·江苏盐城·期中）下列各数是无理数的是（    ） A． B．7 C． D． 【答案】D 【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可． 【详解】解：A、不是无理数，故本选项不符合题意； B、7不是无理数，故本选项不符合题意； C、0.080080008不是无理数，故本选项不符合题意； D、是无理数，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义的内容是解此题的关键． 【例3】（2024·陕西渭南·模拟预测）在实数，，中，为无理数的是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 无理数即无限不循环小数，整数和分数都是有理数，据此进行判断即可． 【详解】解：是分数，是整数，它们不是无理数； 是无限不循环小数，它是无理数； 故答案为：． 【例4】（2024·陕西咸阳·三模）在实数，，，，中，无理数有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了无理数：无限不循环小数，根据无理数的概念结合有理数的意义即可作出判断． 【详解】解：实数，，，，中，无理数有，两个，其余是有理数； 故答案为：2． 【例5】（22-23七年级上·浙江杭州·期中）把下列各数填在相应的括号里． ，，，，，0，，1.1010010001 整数：{                     } 负分数：{                     } 无理数：{                     } 【答案】见解析 【分析】直接利用整数、负分数、无理数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：整数：，，； 负分数：，， 无理数：，． 【点睛】此题主要考查了实数的分类，正确把握相关定义是解题关键． 【例6】（23-24七年级上·浙江·期中）在数轴上表示数2，，，，并按从小到大的顺序用“<”号连接． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查了绝对值，数轴，有理数大小比较； 先化简绝对值，再在数轴上找到各数对应的位置，然后根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大用“<”号连接． 【详解】解：， 将各数表示在数轴上如图所示： 由数轴得：． 【典型例题二 实数概念理解】 【例1】（2023·福建三明·模拟预测）实数，，，中，负整数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据负整数是在自然数前加上负号进行判断． 【详解】A.-3是负整数，正确； B.不是整数，错误； C.不是整数，错误； D.2是正整数，错误； 故选 ：A． 【点睛】本题考查了实数，应熟练掌握有理数、无理数、正整数、负整数等基本概念． 【例2】（2024·福建福州·模拟预测）下列各数中是正有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的分类，掌握无理数的定义是解题的关键． 根据正有理数的定义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、 是无理数，不合题意； B、是正的有理数，符合题意， C、是有理数，不是正有理数，不合题意， D、 是无理数，不合题意． 故选：B． 【例3】（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习） 和 统称为实数． 【答案】 有理数 无理数 【分析】根据实数的定义：有理数和无理数，统称为实数，进行作答即可． 【详解】解：根据实数的定义：有理数和无理数，统称为实数， 故答案为：有理数，无理数． 【点睛】本题考查实数的定义．熟练掌握有理数和无理数，统称为实数是解题的关键． 【例4】（22-23七年级下·福建莆田·阶段练习）在、、-π中， 是无理数． 【答案】-π 【分析】根据无理数的概念进行判断即可. 【详解】∵=0.3，=3， ∴无理数有-π． 故答案为：-π 【例5】（23-24七年级下·河南漯河·阶段练习）将下列各数填入相应的集合内． ，，，，，，，，， ①有理数集合{    …} ②无理数集合{    …} ③负实数集合{    …} 【答案】①，，，，，，；②，，；③，， 【分析】本题考查实数，解题的关键是掌握：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，小于零的实数是负实数，据此可得答案．本题也考查了算术平方根和立方根的意义． 【详解】解：∵，，， ∴①有理数集合{，，，，，，，…}， 故答案为：，，，，，，； ②无理数集合{，，，…}， 故答案为：，，； ③负实数集合{，，，…}， 故答案为：，，． 【例6】（22-23八年级上·福建三明·期中）把下列各数填入相应的括号内： (1)无理数：{                  …}； (2)负实数：{                  …}； (3)整  数：{                  …}； (4)分  数：{                  …}； 【答案】(1)无理数：； (2)负实数：； (3)整   数：； (4)分   数： 【分析】（1）根据无理数是无限不循环的小数判断即可； （2）根据负实数包括负有理数和负无理数判断即可； （3）根据整数包括正整数、0、负整数判断即可； （4）根据分数包括正分数和负分数判断即可． 【详解】（1）解：无理数：； （2）负实数：； （3）整   数：； （4）分   数：． 【点睛】本题考查了实数的有关定义，解题的关键是掌握相关定义． 【典型例题三 实数的分类】 【例1】（2024·广东阳江·二模）下列各数中，为负数的是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查负数的识别．小于0的数即为负数，据此即可求得答案． 【详解】解：，，0不是负数； 是负数； 故选：D． 【例2】（2024·安徽合肥·模拟预测）下列各数中，与实数2024互为相反数的是（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可． 【详解】解：根据相反数的定义可知，四个数中只有与实数2024互为相反数， 故选：C． 【例3】（23-24七年级下·全国·假期作业）下列实数：0.22，，，0.010203040506，，．其中有理数有 个，无理数有 个． 【答案】 4 2 【解析】略 【例4】（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号中：，，，，，，，，…， 正数集合{ …} 整数集合{ …} 负分数集合{ …} 无理数集合{ …}． 【答案】 ，，， ，， ， ，… 【分析】根据实数的分类，依次解答，即可求解，本题考查了实数的分类，解题的关键是：明确实数的分类． 【详解】解： 正数集合{　，，，，…} 整数集合{，，，…} 负分数集合{，，　…} 无理数集合{，…}， 故答案为： ，，，；，，； ，； ，…． 【例5】（23-24七年级下·陕西商洛·期中）将下列各数写到相对应的括号里． 0，，，，，． 整数：{    }； 分数：{    }； 无理数：{    }． 【答案】0，；，；， 【分析】本题考查的是实数的分类，掌握实数中的分数，整数与无理数的含义是解题的关键． 由分数，整数，无理数的含义逐一判断各数，再填入各自的集合中即可得到答案． 【详解】解：整数：； 分数：； 无理数：． 故答案为：0，；，；，． 【例6】（22-23七年级上·浙江杭州·期中）以下是数学乐园中的“实数家族”，请给该“实数家族”分家吧． 【答案】无理数家族：，，2.101101110…； 整数：，0， 分数：． 【分析】本题考查实数的分类，根据实数分为无理数和有理数，有理数分为整数和分数，进行作答即可。 【详解】解：， 无理数家族：，，2.101101110…； 有理数家族：，0，； 整数：，0， 分数：． 【典型例题四 实数的性质】 【例1】（2024·四川广元·一模）的相反数是（    ） A． B． C． D．23 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：C． 【例2】（2024·江苏南京·一模）实数a在数轴上的位置如图所示，则下列计算结果为正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，以及有理数四则运算法则．用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点． 由数轴得出且，再根据有理数的加减运算法则逐一判断即可得． 【详解】解：由数轴知且， 则是负数，是负数，是负数，是正数， 故选：D． 【例3】（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）的相反数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求一个数的相反数，根据相反数的定义可求得结果，注意整体前面加上一个负号是解题的关键． 【详解】解：的相反数是， 即为：， 故答案为：． 【例4】（23-24七年级下·重庆巴南·阶段练习）的相反数是 ； ． 【答案】 / 【分析】本题考查实数的性质，根据相反数与绝对值的定义求解即可． 【详解】的相反数是； ∵， ∴； 故答案为：，． 【例5】（22-23七年级下·全国·课后作业）（1）有没有最小的正整数？有没有最小的整数？ （2）有没有最小的有理数？有没有最小的无理数？ （3）有没有最小的正实数？有没有最小的实数？ 【答案】（1）有，没有；（2）没有，没有；（3）没有，没有． 【分析】（1）根据1是最小的正整数解答即可； （2）根据没有最小的有理数和无理数解答即可； （3）根据没有最小的实数解答即可． 【详解】解：（1）有最小的正整数，是1，没有最小的整数； （2）没有最小的有理数，没有最小的无理数； （3）没有最小的正实数，没有最小的实数． 【点睛】此题考查实数，关键是根据实数的概念与分类解答． 【例6】（22-23七年级下·吉林松原·阶段练习）已知x、y都是实数，且，求的平方根 【答案】 【分析】先根据算术平方根的意义求出x的值，进而求出y的值，然后求出的值，再求平方根即可． 【详解】解：根据题意得 ∵，，和互为相反数， ∴，， ∴ ∴ ∴． ∴16的平方根是． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的意义，以及相反数的定义，由算术平方根的意义得出，是解答本题的关键． 【典型例题五 实数与数轴】 【例1】（2024·福建厦门·模拟预测）小明将一个直径为1个单位长度的圆环（厚度忽略不计）从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，则下列实数表示点对应的数是（　　） A． B．3 C．π D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，点到原点的距离即为圆环的周长，据此求出圆环的周长即可得到答案． 【详解】解：圆环周长， ∴原点到点的距离为， ∴点对应的数是， 故选：C． 【例2】（2024·河南周口·二模）下列各数中，最小的数是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．根据实数的大小比较方法解答即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的数为． 故选：A． 【例3】 （2024·陕西商洛·二模）已知点M在数轴上，且与原点相距个单位长度，则点M表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是数轴的特点，即在数轴上到原点距离相等的点有两个，这两个数互为相反数．据此求解即可． 【详解】解：设数轴上与原点相距个单位长度的点所表示的数为a， 故， 解得． ∴点M表示的数是． 故答案为：． 【例4】（2023·陕西西安·模拟预测）实数a和b在数轴上的位置如图所示，则|a| b．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】 本题主要考查了实数与数轴，根据正方向向右的数轴上的数，左边的数小于右边的数即可得到答案． 【详解】解：由数轴上数的位置可知， 故答案为：． 【例5】（22-23七年级上·浙江温州·期中）把下列各数：，，，在数轴上表示出来，并将这些数用“”连接． 【答案】图见解析， 【分析】根据二次根式的性质化简，绝对值的性质化简，并把数轴表示在数轴上，根据数轴的特点进行排序，即可求解． 【详解】解：是最简二次根式，，如图所示， ， ∴． 【点睛】本题主要考查实数与数轴的关系，掌握实数与数轴上的点一一对应关系是解题的关键． 【例6】（22-23七年级下·全国·课后作业）有一组实数：-2，， ， ，． （1）将它们分类，填在相应的横线上： 负有理数：________________________________； 无理数：__________________________________． （2）将这些数表示的点近似地标注在数轴上，并将它们按照从小到大的顺序排列． 【答案】（1）负有理数：，，；无理数：，；（2），图见解析 【分析】（1）根据实数的分类即可求解； （2）根据实数与数轴的关系即可表示. 【详解】（1）负有理数：，，；无理数：， （2），，．如图： 数轴上的点表示的数右边的总比左边的大， 则． 【点睛】此题主要考查实数与数轴，解题的关键是熟知实数的分类. 【典型例题六 实数的大小比较】 【例1】（2024·湖北宜昌·模拟预测）下列各数中，最大的数是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，比较各数大小得出答案即可，熟练掌握实数的大小比较是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴选项中最大的数是3， 故选：D． 【例2】（22-23七年级下·广东广州·期末）计算：（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据实数的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选B． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【例3】（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）比较大小： 5（填、或） 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，利用平方法比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【例4】（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期中）比较大小：（1） 4；（2） 1． (填、 或号) 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，利用平方法，估算法进行判断即可． 【详解】解：（1），， ∴， 故答案为： （2）∵，即：， ∴， ∴； 故答案为：． 【例5】（2024七年级下·全国·专题练习）比较大小：与 【答案】 【分析】此题考查了比较实数的大小，熟练掌握比较两个实数大小的方法是解答此题的关键． 比较与的平方的大小即可； 【详解】解：， ， ． 【例6】（23-24七年级下·天津河西·期中）比较下列各组数的大小： (1) ； (2) ； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数的大小比较： （1）根据，即可求解； （2）求出1与的差，即可求解； （3）根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为： （2）∵， ∴； 故答案为： （3）解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 【典型例题七 实数的混合运算】 【例1】（22-23九年级下·河北衡水·期中）从“”中选择一种运算符号，填入算式“”的“□”中，使其运算结果为有理数，则应选择的运算符号是（    ） A．＋ B．－ C．× D．÷ 【答案】A 【分析】将“”分别代入“□”计算即可 【详解】解： 故选：A． 【点睛】本题主要考查实数的运算，正确计算是解本题的关键． 【例2】（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数，若输入的数，则输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算，把代入数值转换机中计算即可求出所求，解题的关键是掌握有理数的运算顺序及数值转换机的运算程序． 【详解】当时， ， ∵是有理数， ∴倒回运算， ∴， 故选：． 【例3】（2024·吉林长春·二模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先计算乘方和算术平方根，然后再进行计算即可． 【详解】 故答案为： 【例4】（2024·安徽合肥·二模）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义化简计算即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 【例5】（2024·广西百色·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，分别化简各项后再进行加减运算即可 【详解】解： ． 【例6】（23-24七年级下·湖北恩施·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握立方根，算术平方根的定义是解题的关键． （1）先计算绝对值，立方根，算术平方根，再计算加减； （2）先计算绝对值，立方根，算术平方根，再计算加减． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【典型例题八 程序设计与实数运算】 【例1】（22-23七年级下·山东临沂·期中）有一个数值转换器，原理如下：当输入时，输出（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】把64按给出的程序逐步计算即可． 【详解】由流程图可得：把64取算术平方根，结果为8， 因为8是有理数，所以再取算术平方根，结果为为无理数，故y=． 故选：D． 【点睛】考查了实数的运算，解题关键是弄清程序的计算方法． 【例2】（22-23七年级上·山东日照·期末）已知a、b皆为正有理数，定义运算符号为※：当a>b时，a※b=2a；当a<b时，a※b=2b-a，则3※2-(-2※3)等于（    ） A．-2 B．5 C．-6 D．10 【答案】A 【分析】根据新定义下的实数运算法则计算即可． 【详解】根据题意可知， 故选A． 【点睛】本题考查新定义下的实数运算．理解题意，掌握新定义下的实数运算法则是解答本题的关键． 【例3】（23-24八年级下·山东淄博·阶段练习）小王利用电脑设计了一个程序：当输入实数x时，输出的数比x的平方小1，若输入，则输出的数是 ． 【答案】17 【分析】本题考查了实数的运算，解决此题的关键是列出等式． 根据题意列出等式，设输入的数为x，输出的数为y，则，将代入即可． 【详解】解：设输入的数为x，输出的数为y，则， 将代入得：， 故答案为：17． 【例4】（22-23七年级上·浙江杭州·阶段练习）小明编制了一个计算机计算程序如图所示，如果输出的数是10，那么输入的数是 【答案】 【分析】设输入的数为x，根据程序图，列出关于x的方程，即可求解． 【详解】设输入的数为x， 由题意得：x2+5=10， 解得：x=． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查根据程序图求值，掌握开平方运算，是解题的关键． 【例5】（22-23八年级下·陕西西安·期中）任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算． （1）用含m的代数式表示该程序的运算过程 （2）当实数的一个平方根是时，求输出的结果． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接利用运算程序即可得到关于m的代数式； （2）把已知数据带入求解即可； 【详解】解：（1）由题意可得． （2）原式， 当实数的一个平方根是时，，即． 所以原式． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，准确得出运算程序是解题的关键． 【例6】（22-23七年级上·山东威海·期末）如图是一个按运算规则进行的数值转换器： (1)若输入的x为16，则输出的y值是 ； (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，则x的值是 ； (3)若输出y的值是，请写出两个满足要求的x值 ． 【答案】(1) (2)0或1 (3)5，25（答案不唯一） 【分析】（1）由，，，即可得到答案； （2）根据1和0的算术平方根还等于它本身，即可做出解答； （3）根据题意写出两个满足要求的x值即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴输入的x为16，输出的y值是， 故答案为： （2）∵1和0的算术平方根还等于它本身， ∴输入0或1后，始终输不出y值， 故答案为：0或1 （3）∵，5的算术平方根是， ∴两个满足要求的x值可以是25或5． 故答案为：5，25（答案不唯一） 【点睛】此题考查了算术平方根、实数的分类，熟练掌握算术平方根的求法是解题的关键． 【典型例题九 新定义下的实数运算】 【例1】（2023·四川南充·一模）设[m）表示大于m的最小整数，如[5.5）＝6，[﹣1.2）＝﹣1，则下列结论中正确的是（    ） A．[2）﹣2＝0 B．若[m）﹣m＝0.5，则m＝0.5 C．[m）﹣m的最大值是1 D．[m）﹣m的最小值是0 【答案】C 【分析】根据新定义[m）表示大于m的最小整数，逐项进行算判断即可． 【详解】解：A、[2）﹣2＝3﹣2＝1，故本选项不合题意； B、若[m）﹣m＝0.5，则m不一定等于0.5，故本选项不合题意； C、[m）﹣m的最大值是1，故本项符合题意； D、[m）﹣m＞0，但是取不到0，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义运算，正确理解[m）表示大于m的最小整数是解题关键． 【例2】（22-23七年级下·北京顺义·期中）一罐饮料净重克，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为（　　） A．克 B．大于克 C．不小于克 D．不大于克 【答案】C 【分析】根据实数的乘法解决此题． 【详解】由题意得，该饮料中蛋白质的含量最少为克． 该饮料中蛋白质的含量不少于克． 故选：C． 【点睛】本题主要考查实数的运算，熟练掌握实数的乘法是解决本题的关键． 【例3】（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）用“”定义新运算：对于任意实数，都有，如果，那么等于 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，解题的关键是根据定义新运算，进行解答，即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 【例4】（22-23七年级上·河北石家庄·期末）定义一种新运算：，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：由题意得： 故答案为： 【例5】（2024·河北石家庄·三模）刘谦的魔术表演风靡全国，嘉琪也学刘谦发明了一个魔术盒，当数对（a，b为有理数）进入其中时，会得到一个新的有理数：，例如把放入其中，就会得到． (1)把放入其中，求得到的新有理数． (2)若把放入其中，得到的新有理数为，则求n的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算： （1）直接根据新定义代值计算即可； （2）根据新定义可得，解方程即可． 【详解】（1）解：将代入，得 （2）解：将代入，得 ． 【例6】（2024·河南郑州·二模）阅读材料：小学阶段我们学习过被3整除的数的规律，初中阶段可以论证结论的正确性．以三位数为例，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下：，显然99a+9b能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除． 应用材料解答下列问题： (1)设是一个三位数，直接写出满足什么条件时，它可以被5整除； (2)设是一个四位数，猜想满足什么条件时，它可以被4整除，并说明理由． 【答案】(1)或5时，能被5整除 (2)当能被4整除时，能被4整除 【分析】（1）把三位数化为，根据整除的性质得出结论； （2）把四位数化为，根据整除的性质得出结论． 本题考查了新定义下的实数运算：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．同时考查了数的整除性问题．注意四位数的表示方法与整体思想的应用． 【详解】（1）解：依题意， 能被5整除， 当能被5整除时，即或5时，能被5整除； （2）解：依题意，， 能被4整除， 当能被4整除时，能被4整除． 【典型例题十 实数运算的实际应用】 【例1】（22-23七年级下·河北沧州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算． 【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2， ∴两个正方形的边长分别是，2， ∴阴影部分的面积 故选A． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长. 【例2】（22-23七年级上·湖南岳阳·期末）观察下列等式：，，，，，……根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A．0 B．1 C．7 D．8 【答案】C 【分析】分析71 = 7，72=49，73=343， 74 = 2401，75= 16807，…，得出个位数字是4个数7，9，3，1循环，由2021÷4 = 505余1即可得出的结果的个位数字是7． 【详解】解：∵71 = 7，72=49，73=343， 74 = 2401，75= 16807，…， ∴个位数字是7，9，3，1循环， ∵2021÷4 = 505余1， ∴的结果的个位数字是7． 故选： C． 【点睛】本题考查了规律型尾数特征，解题关键是分析给出的等式规律，判定出尾数规律． 【例3】（22-23七年级上·浙江宁波·期中）写出两个无理数，使它们的和为2 ． 【答案】和（答案不唯一） 【分析】写出两个无理数，使无理数部分为相反数即可． 【详解】解：， 故答案为和． 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【例4】（22-23八年级上·河南省直辖县级单位·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】由题意根据实数运算法则化简原式，变形后即可得出答案. 【详解】解：，可知，解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握并利用幂运算法则变形是解题的关键. 【例5】（22-23七年级下·山东菏泽·期末）如图，一个花坛，直径5米，在它的周围有一条宽1米的环形小路，小路的面积是多少平方米？ 【答案】6π平方米 【分析】由题意知，求环形小路的面积，实际是求一个圆环的面积． 【详解】解：∵环形小路的宽为1米，花坛的直径为5米， ∴R=3.5m，r=2.5m； 则圆环的面积为：π×（3.5）2-π×（2.5）2=6π（平方米）， 所以小路的面积为6π平方米． 【点睛】本题培养了学生解决实际问题的能力，解决题目的关键是将实际问题抽象为几何问题，然后再利用所学知识解决问题． 【例6】（22-23八年级上·全国·课后作业）用电器的电阻、功率与它两端的电压之间有关系：．有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为，乙的电阻为．现测得某用电器的功率为，两端电压在，该用电器到底是甲还是乙？ 【答案】甲 【分析】根据，得到，分别求出甲乙的电压，故可求解． 【详解】∵ ∴ ∴，，该用电器是甲． 【点睛】此题主要考查了实数的运算在实际问题中的应用，锻炼了学生估计无理数大小的能力，本题还用到物理中的电功率的知识． 【典型例题十一 与实数运算相关的规律题】 【例1】（2013·山东淄博·一模）钟面上有十二个数1，2，3，…，12．将其中某些数的前面添上一个负号，使钟面上所有数之代数和等于零，则至少要添n个负号，这个数n是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】首先算出12个数的和，要使所有数之代数和等于零，12个数分成两部分，正、负之和的绝地值相等，考虑添上负号的数最大即可解决． 【详解】解：因为1+2+3+…+11+12＝78， 所以78÷2＝39，也就是添上负号的数的和为﹣39，其余数的和为39使代数和等于零， 要填负号最少，首先从大数前面加负号， 因此﹣10﹣11﹣12＝﹣33，﹣33﹣6＝﹣39， 由此得到至少要添4个负号． 故选A． 【点睛】此题主要通过计算发现数的规律，从极端情形考虑寻找问题的答案． 【例2】（2024·四川泸州·中考真题）下列各数中，无理数是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等． 【详解】解：根据无理数的定义可知，四个数中，只有D选项中的数π是无理数， 故选：D． 【例3】（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）观察并找规律，填上合适的数，，， ，． 【答案】 【分析】观察可知，前一个数字乘以得下一个数字，由此可得出答案． 【详解】解：因为，， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查规律探索，找出两数之间的倍数关系是解题的关键． 【例4】（22-23七年级上·山东东营·开学考试）观察： ，即； ，即； 猜想： 【答案】 【分析】由，得，据此即可求解． 【详解】解：由，得 ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了与实数运算有关的规律题．根据题意确定规律是解题关键． 【例5】（22-23七年级上·内蒙古通辽·阶段练习）例：；；，求： ＋……＋的值． 【答案】 【分析】根据已知式子规律，先把分数拆项，再把第2项与第3项互相抵消，第4项与第5项互相抵消，以此类推，则只剩下第1项与最后1项，据此解答即可． 【详解】解：原式＝1－… ＝1－ ＝． 【点睛】本题考查了规律型：数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 【例6】（2023七年级上·浙江·专题练习）探究题： (1)计算下列各式，完成填空： ＝6，＝ ，＝ ，＝ (2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是 ；请用这一规律计算：． 【答案】(1)6，， (2)（a≥0，b≥0）， 【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算； （2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根，根据此规律得到，然后约分后根据算术平方根定义计算． 【详解】（1），，； 故答案为：6，，； （2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根.用字母表示为：（a≥0，b≥0）． 故答案为： （a≥0，b≥0）， 【点睛】本题考查了实数的运算：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 【变式训练1 无理数】 1．（23-24七年级下·重庆渝北·期中）下列实数中是无理数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的识别，整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，是整数，它是有理数，则A不符合题意； B、是无限不循环小数，它是无理数，则B符合题意； C、0是整数，它是有理数，则C不符合题意； D、是分数，它是有理数，则D不符合题意； 故选：B． 2．（2024·甘肃酒泉·三模）下列各数中为无理数的是（    ） A．2024 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】由于无限不循环小数为无理数，所以根据无理数的定义即可判定选择项． 此题主要考查了无理数的定义．注意带根号的开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．熟练掌握无理数的定义是解题关键． 【详解】解：A、B、C选项均是有理数，不符合题意， 是无理数，故D选项符合题意， 故选D． 3．（2023·西藏·模拟预测）下列各数：，，，，．其中，无理数有 个． 【答案】1 【分析】本题考查了无理数．熟练掌握无理数是无限不循环小数是解题的关键． 根据无理数是无限不循环小数进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，，，是有理数，故不符合要求； 是无理数，故符合要求； 故答案为：1． 4．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）请写出一个比3大的无理数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，解题时注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．根据无理数的定义写出一个比3大的无理数即可． 【详解】解：写出一个比3大的无理数是π． 故答案为：（答案不唯一）． 5．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）把下列各数的序号分别填在相应的横线上： ①，②，③0，④，⑤，⑥，⑦426，⑧． (1)正有理数： ； (2)负分数： ； (3)无理数： ． 【答案】(1)②⑤⑦ (2)④ (3)⑥⑧ 【分析】本题主要考查了有理数和无理数的分类，有理数分为整数，分数，其中大于0的数叫做正有理数，小于0的数叫做负有理数，无限不循环小数叫无理数． （1）根据正有理数即为大于0的整数或者分式进行求解即可； （2）根据负分数是小于0的分数进行求解即可； （3）根据无理数是无限不循环小数进行求解即可． 【详解】（1）解：正有理数有：②，⑤，⑦426， 故答案为：②⑤⑦； （2）解：负分数有：④， 故答案为：④； （3）解：无理数有：⑥，⑧， 故答案为：⑥⑧． 6．（22-23七年级下·全国·课后作业）已知数0.101001000100001…，它的特点是：从左向右看，相邻的两个1之间依次多一个0．这个数是有理数还是无理数？为什么？ 【答案】无理数．因为这个数是无限不循环小数，所以它是无理数． 【分析】根据无理数的定义解答． 【详解】解：∵数0.101001000100001…，它的特点是：从左向右看，相邻的两个1之间依次多一个0， ∴这个数是无理数，因为这个数是无限不循环小数，所以它是无理数． 【点睛】此题考查无理数的定义：无限不循环小数是无理数．熟记定义是解题的关键． 【变式训练2 实数概念理解】 1．（22-23七年级下·北京·期中）下列实数中的无理数是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】直接根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：A、是无理数，故选项A符合题意；     B、是无限循环小数，是有理数，故选项B不符合题意； C、是分数，属于有理数，故选项C不符合题意；     D、0属于有理数，故选项D不符合题意， 故选：A 【点睛】本题考查了无理数的定义，熟记无限不循环小数是无理数是解题的关键． 2．（2023·广东中山·二模）下列实数中，是无理数的是（    ） A．3.14159 B．1.101010101… C． D．1.1010010001… 【答案】D 【分析】根据无理数也称为无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称进行判断即可． 【详解】解：A中3.14159是小数，是有理数，故不符合题意； B中是无限循环小数，是有理数，故不符合题意； C中是分数，是有理数，故不符合题意； D中是无限不循环小数，是无理数，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了无理数．解题的关键在于熟练掌握无理数的定义． 3．（22-23七年级下·北京·期中）下列各数中：， ，， ， ， ，0.51511511151111… ，无理数有 ． 【答案】，，0.51511511151111… 【分析】根据无理数的定义即可进行解答． 【详解】∵无理数是无限不循环小数， ∴ π，，0.51511511151111…是无理数， 故答案为：，，0.51511511151111… 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．常见的无理数有：开不尽方的数，有规律但是不循环的数，含的数． 4．（22-23七年级下·辽宁盘锦·期末）的相反数是 ． 【答案】/ 【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数，即可得到正确的答案． 【详解】解：无理数的相反数是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了求一个实数的相反数的能力，关键是能准确理解、运用相反数的概念． 5．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）把下列各数分别填入相应的大括号 ，0，，，，，，，， 正有理数集合：｛                …｝ 非正整数集合：｛                …｝ 负分数集合：｛                   …｝ 无理数集合：｛                     …｝ 【答案】正有理数集合：{，，…}；非正整数集合：{，0，…}；负分数集合：{，…}；无理数集合：{0.1010010001…，…} 【分析】根据正有理数，非正整数，负分数，无理数的定义，进行解答即可． 【详解】正有理数集合：{，，，…} 非正整数集合：{，0，，…}； 负分数集合：{，，…}； 无理数集合：{0.1010010001…，，…}． 【点睛】此题考查正有理数，非正整数，负分数，无理数的定义，解题关键在于掌握其性质定义． 6．（22-23七年级上·浙江绍兴·期中）把下列各实数填在相应的大括号内 ，﹣|﹣3|，，0，，，，1﹣，1.1010010001…（两个1之间依次多1个0） 整 数{                                                         …}； 分 数{                                                         …}； 无理数{                                                       …}． 【答案】见解析 【分析】直接利用整数以及分数、无理数和负数的定义得出答案． 【详解】解：整 数：-|-3|，0 分 数：，-， 无理数：，，1-，1．1010010001… 考点：实数． 【变式训练3 实数的分类】 1．（23-24七年级下·安徽淮南·期中）下列各数是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的分类，理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等． 【详解】解：由有理数和无理数的定义可知，四个选项中A、B、C三个选项中的数都是无理数，D选项中的数为有理数， 故选：D． 2．（23-24七年级下·福建福州·期中）圆周率日（）是一年一度的庆祝圆周率的节日，由圆周率最常用的近似值3.14而来，时间被定在3月14日．那么圆周率是（    ） A．分数 B．负数 C．有理数 D．无理数 【答案】D 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数．据此求解即可． 【详解】解：圆周率是无理数． 故选D． 3．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）在7，0，，，，，，π中，无理数有x个，有理数有y个，则 ． 【答案】36 【分析】本题考查了有理数和无理数的定义，理解定义是解题的关键，有理数是指有限小数和无限循环小数，无理数是指无限不循环小数．根据定义判定即可． 【详解】解：7，0，，，，是有理数， ，π是无理数， 故， ． 故答案为：36． 4．（23-24七年级上·浙江温州·期中）把下列各数的序号填在横线上． ①，②，③，④，⑤，⑥ 整数：____________________； 分数：____________________； 无理数：__________________． 【答案】②④；③⑥；①⑤ 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键． 根据正整数、、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；无限不循环小数叫做无理数，进而判断每一个数，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： ， 整数：②④； 分数：③⑥； 无理数：①⑤． 故答案为：②④；③⑥；①⑤． 5．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）把下列各数填入它所属的集合内：15，，，0，，，，，，． (1)分数集合{　　　　　…}； (2)非负数集合{　　　　　…}． 【答案】(1)分数集合 (2)非负数集合 【分析】此题考查了分数和非负数的概念， （1）根据分数的概念求解即可； （2）根据非负数的概念求解即可． 【详解】（1）分数集合； （2）非负数集合． 6．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）把下列各数分别填入所属的集合中： ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨ 有理数：{_____________________________}； 无理数：{_____________________________}； 正实数：{_____________________________}； 负实数：{_____________________________}． 【答案】答案见解析 【分析】本题考查实数的分类，求解算术平方根，立方根，化简绝对值，掌握实数的分类是解本题的关键． 【详解】解：∵，，， 有理数：{；；0；；；；}； 无理数：{；；，}； 正实数：{； ；；，}； 负实数：{；；}． 【变式训练4 实数的性质】 1．（2024·湖北宜昌·二模）实数的绝对值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的性质，利用绝对值的意义是解题关键．根据绝对值的意义，可得答案． 【详解】解：， 故选：A． 2．（23-24七年级下·江西南昌·期中）的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的性质，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，根据只有符号不同的两个数是互为相反数求解即可． 【详解】解：的相反数是． 故选A． 3．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）的相反数是 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和绝对值，根据只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可． 【详解】解：的相反数是，， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·甘肃金昌·期中）已知满足，则的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了实数的性质，代数式求值，根据实数的性质可得，进而得到，则可求出． 【详解】解；∵有意义， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：2025． 5．（22-23七年级下·山西阳泉·课后作业）写出下列各数的相反数：﹣，π﹣3.14，． 【答案】， 3.14-π，- 【分析】根据相反数的概念逐一进行分析求解即可得答案． 【详解】解：﹣的相反数是，π﹣3.14的相反数是3.14-π， 的相反数是-． 【点睛】本题考查了相反数的概念，熟练掌握相反数的概念是解题的关键，相反数是只有符号不同的两个数，特别地，0的相反数是0． 6．（22-23七年级下·全国·课后作业）求下列各数的绝对值： ，，，，． 【答案】2，，，，． 【分析】根据绝对值的性质解答． 【详解】解：；；；；． 【点睛】此题考查绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 【变式训练5 实数与数轴】 1．（2024·四川成都·二模）在数轴上，2，，离原点最近的是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴．先求出各数的绝对值，再比较出其大小即可． 【详解】解：，，，， ， 离原点最近的点是． 故选：C． 2．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）实数m，n在数轴上的对应点如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，由数轴可知：，即可求解． 【详解】解：由数轴可知：， 故A、B错误； ∴，， 故C错误；D正确； 故选：D 3．（2024·陕西咸阳·二模）如图是数轴的一部分，比较大小： ．（选填“”“”“”） 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴比较数的大小，根据数轴右边的数总是大于数轴左边的数即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·山西吕梁·期中）如图所示，面积为10的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为3，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点M（点M在点A左侧），则点M所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了开方的计算，根据正方形的面积是10，先求出边长的长度，再在数轴上求出点M对应的数． 【详解】解：根据题意得，， 所以（舍去）， 点M对应的数为． 故答案为： 5．（23-24七年级上·浙江温州·期中）把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”连接）． ． ∴_______<_______<_______<_______． 【答案】图见解析， 【分析】本题考查实数与主轴，在数轴上准确的表示出各数，再根据数轴上的数右边的比左边的大，进行比较即可． 【详解】解：将，在数轴上表示如图： 由图可知：． 6．（22-23八年级·江苏无锡·期中）实数a、b、c在数轴上的对应点位置如图所示， 化简：． 【答案】b+2c 【详解】试题分析：根据图象得出a<b<0<c，再得出a-b<0，b-c<0，再化简式子. 解：由图象得a<b<0<c， 则a-b<0，b-c<0， 则原式=c+（b-a）+（a+b）-（b-c）=b+2c. 【变式训练6 实数的大小比较】 1．（2024·河南·模拟预测）下列各数中最大的数是（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，实数的估算，正数大于0，0大于负数，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴最大的数是3， 故选：B． 2．（2024·湖北十堰·模拟预测）下列实数中，最小的数是（      ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数的大小比较，根据正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较即可． 【详解】解：∵， ∴， 故最小的数为， 故选：B． 3．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）比较大小： 9（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的大小比较，先求出两个实数的平方是关键．先求两个数的平方，进而即可比较大小． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·河南安阳·期中）若m是无理数，且，请写出一个符合条件的m： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了实数比较大小，只需要写出值再2到3之间的一个无理数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴符合题意的m的值可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 5．（22-23七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)4.8______； (2)______. 【答案】(1)＜ (2)＞ 【解析】略 6．（22-23七年级下·全国·课后作业）比较大小（要有具体过程）． (1)和4； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算两个数的平方，再比较大小即可； （2）利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）解： ，， ∵， ∴． （2）， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是实数的大小比较，掌握比较大小的方法是解本题的关键． 【变式训练7 实数的混合运算】 1．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）关于式子的变形，下列结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数的加减运算法则计算即可求解． 【详解】解：， 观察四个选项，只有选项A不正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的加减运算，掌握实数的加减运算法则是解题的关键． 2．（2023·山东临沂·二模）从和4这四个数中任取出两个数相乘，积为正数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据乘法法则：同号得正，异号得负，可得结论． 【详解】解：积为正数的两个书必须是同号，即两个数可以为或，4两种， 故选B． 【点睛】本题考查实数的乘法，掌握乘法法则是解题的关键． 3．（2024·湖北十堰·模拟预测）计算：＝ ． 【答案】 【分析】此题考查了零指数幂、负整数指数幂、乘方，根据零指数幂、负整数指数幂、乘方运算后，再进行加减法即可． 【详解】解： 故答案为： 4（23-24七年级下·四川南充·期中）已知，a是的整数部分．b是的小数部分，则：的值是 【答案】2 【分析】本题考查的是实数的混合运算和无理数整数部分的运算，正确得出a、b的值是解题的关键． 先根据题意得出的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵是的整数部分，是的小数部分， ， ， ， 故答案为：2． 5．（23-24七年级下·广西河池·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据算术平方根和立方根的定义分别运算，再合并即可求解，掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 6．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，正确的计算是解题的关键． （1）先求出算术平方根、立方根，然后计算加减法即可； （2）先化简绝对值、去括号、求出立方根，然后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式训练8 程序设计与实数运算】 1．（2023·重庆·二模）按如图所示的运算程序，当输出的y值为0时，x的值是（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据输出y=0确定出x的值即可． 【详解】根据题意得：y=≠0， ∴y=x2-1=0， 解得：x=1或x=-1， 则x的值是±1， 故选C． 【点睛】考查了代数式求值和有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握运算法则． 2．（22-23八年级上·河南开封·阶段练习）有个数值转换器，程序原理如图．当输入时，输出n的值等于（    ）    A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】把按程序原理求立方根，立方根是有理数时，继续取立方根，直到取出的立方根是无理数时，则是n的值． 【详解】解：当时， 125的立方根为5，5是有理数， 5的立方根是，是无理数，则输出， 所以输出， 故选：C． 【点睛】本题考查无理数，立方根，理解程序原理：将数m求立方根，立方根是有理数时，继续取立方根，直到取出的立方根是无理数时，则是n值是解题的关键． 3．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，输入的值为，则输出的数值 ． 【答案】2 【分析】本题考查了实数混合运算，理解运算程序是解题的关键． 根据运算程序把代入，进行计算即可得解． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：2． 4．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图．    （1）当输入的x为16时，输出的 ． （2）若始终输不出y值、则输入的 ． 【答案】 0或1/1或0 【分析】本题考查算术平方根，理解算术平方根、有理数、无理数的意义是正确解答的关键． （1）根据数值转换器，输入，进行计算即可； （2）根据的算术平方根是1，的算术平方根是0，即可得出答案． 【详解】解：（1）第1次计算得，，而4是有理数， 因此第2次计算得，，而2是有理数， 因此第3次计算得，，是无理数， 因此输出结果是； 故答案为：； （2）∵的算术平方根是1，的算术平方根是0，且1和0都是有理数， ∴输入的或0始终输不出y值． 故答案为：0或1． 5．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）一个数值转换器，如图所示：    (1)当输入的为时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的是，请求出两个满足要求的值． 【答案】(1) (2)或，理由见解析 (3)5或 【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案； （3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，的算术平方根为， 而是有理数，的算术平方根为， 而是有理数，的算术平方根为， 故答案为：； （2）或，理由如下： 因为的算术平方根是，的算术平方根是， 无论进行多少次运算都不可能是无理数； （3）若次运算就是无理数，则输入的数为， 若次运算输出的数是无理数，则输入的数是， ∴满足要求的值可以是：5或． 【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是正确解答的前提． 6．（22-23七年级下·福建莆田·期末）如图为一个数值转换器． (1)若输入的x值为3，则输出的y值为________；若输入的x值为9，则输出的y值为________； (2)若输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，求输入的x的值． (3)尚进同学输入非负数x值后，却始终输不出y值．请你分析，他输入的x值是_______． 【答案】(1) (2)36 (3)0或1 【分析】（1）根据运算规则即可求解； （2）根据两次取算术平方根运算，输出的y值为，返回运算两次平方可得x的值； （3）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论． 【详解】（1）当时，取算术平方根为，为无理数，则输出的y值为； 当，取算术平方根为3，3 是有理数，继续计算，取算术平方根为，为无理数，则输出的y值为； 故答案为：， （2）当时，，， 则 （3）当x=0，1时，始终输不出y值， ∵0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数， ∴他输入的x值是0或1． 故答案为：0或1． 【点睛】本题考查了程序与实数计算，理解题意是解题的关键． 【变式训练9 新定义下的实数运算】 1．（22-23八年级下·广东广州·期末）定义新运算“※”的运算法则为：当，时，．例如：．那么的值是（    ） A．8 B．48 C． D． 【答案】A 【分析】根据题中所给的新定义法则进行计算即可． 【详解】解：∵当，时，有， ∴＝； 故选：A． 【点睛】本题考查的是实数的运算，根据题意得出代数式是解答此题的关键． 2．（22-23八年级下·河南安阳·期末）定义运算：，例如：，，则等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】理解新定义的运算规则，对求解计算即可． 【详解】解：∵，根据定义 ∴ 故选A． 【点睛】此题考查了基础知识的迁移能力，涉及到定义新运算规则、二次根式等内容，理解新运算规则是解题的关键． 3．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期中）用“@”表示一种新运算；对于任意正实数a，b，都有，如，则的结果是 ． 【答案】3 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：根据题中的新定义得： ． 故答案为：3． 4．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）对于任意的两个实数对和，规定：当时，有；运算“”为：；运算“”为：．设都是实数，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义实数运算，根据题中新定义的“”和“”运算法则，代值求解即可得到答案，读懂题意，准确理解新定义实数运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：， ，即； ， ， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）规定一种运算“※”：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)21 (2) 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算： （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据新定义可得，则，据此可得，解得． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（23-24七年级下·山西朔州·阶段练习）对于任意实数，用“#”和“”定义新运算如下： (1)，如．已知计算的结果为19，求的值． (2)，如．已知计算的结果为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算： （1）根据题意可得方程，再根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据题意可得方程，再根据求立方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解：由题意，得． ， ，则， ． （2）解：由题意，得． ， ，则， ， ． 【变式训练10 实数运算的实际应用】 1．（22-23七年级下·浙江台州·期中）以下4个等式：①；②；③；④．一定要满足实数，的值同时为零的有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】按照实数的运算法则，逐项进行判断即可． 【详解】解：①实数，的值至少有一个为零，则； ②实数，互为相反数，则； ③一定要满足实数，的值同时为零，则； ④一定要满足实数，的值同时为零，则． ∴一定要满足实数，的值同时为零的有2个， 故选：C 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键． 2．（22-23七年级上·江苏宿迁·期中）若面积为3的正方形的边长为a，下列两句判断：①a一定是一个无理数；②1.7<a<1.8．下列说法正确的是（  ） A．只有①对 B．只有②对 C．①②都对 D．①②都错 【答案】C 【分析】根据正方形面积算法得到a2=3，再利用实数的性质分析得出答案． 【详解】解：∵面积为3的正方形的边长为a， ∴a2=3， ∴①a一定是一个无理数，正确， ②1.72=2.89，1.82=3.24，2.89<a<3.24，则1.7<a<1.8，正确， 故选C． 【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确掌握实数有关性质是解题关键． 3．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）已知a，b均为有理数，且满足等式5﹣a＝2b+﹣a，则ab= ． 【答案】 【分析】已知等式整理后，根据a与b为有理数求出a与b的值，即可求出a+b的值. 【详解】解：已知等式整理得:5﹣a＝（2b﹣a）+， 可得， 解得: ， 故， 故答案为： 【点评】此题考查了实数的运算，以及无理数与有理数，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 4．（22-23七年级上·黑龙江牡丹江·期末）元旦期间某商场推出“每满100元减50元”的活动(比如：某顾客购物230元，他只需付款130元)，商场会员则享受“先打9折，再每满100元减50元”的优惠．张先生是商场会员，想购买一件标价320元的上衣，他最低付款 元． 【答案】188 【分析】先计算会员优惠，得到会员享受会员优惠后的价格，再计算满减优惠即可． 【详解】（元） 故可享受两次“每满100元减50元”的活动 （元） 故答案为：188． 【点睛】本题考查了销售价格的问题，掌握题意的优惠方案是解题的关键． 5．（22-23七年级下·广西玉林·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了． 【答案】肇事汽车当时的速度超出了规定的速度． 【分析】先把d=32米，f=2分别代入v=16，求出当时汽车的速度再和100千米/时比较即可解答． 【详解】解：把d=32，f=2代入v=16， v=16=128（km/h）， ∵128＞100， ∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度． 【点睛】本题考查了实数运算的应用，读懂题意是解题的关键，另外要熟悉实数的相关运算． 6．（22-23七年级下·安徽蚌埠·期中）如图，长方形的长为，宽为． （1）将长方形进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据） （2）求所拼正方形的边长． 【答案】（1）分割方法不唯一，如图，见解析；（2）拼成的正方形边长为. 【分析】（1）根据AB=2AD，可找到CD的中点，即可分成两个正方形，再沿对角线分割一次，即可补全成一个新的正方形； （2）设拼成的正方形边长为，根据面积相等得到方程，即可求解． 【详解】（1）如图， ∵AB=2AD，找到CD,AB的中点，如图所示，可把矩形分割成4个等腰直角三角形，再拼成一个新的正方形； （2）设拼成的正方形边长为，根据题意得， ∴（负值舍去） 答：拼成的正方形边长为． 【点睛】此题主要考查实数性质的应用，解题的关键是根据图形的特点进行分割． 【变式训练11 与实数运算相关的规律题】 1．（23-24七年级下·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究，根据已有数据，得到第个数为，进而求出第8个数即可． 【详解】解：，，，， ∴第个数为， ∴第8个数为； 故选C． 2．（23-24八年级下·河北沧州·期中）观察数据并寻找规律：，－2，，，，…则第个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的规律探索，发现规律是解题关键． 【详解】解：数据为，，，，，…，， ∴第个数是， 故选：D． 3．（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知数列：，，，，，……那么第6个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查规律探索问题，结合已知数据总结出规律是解题的关键． 根据已知数据总结规律后即可求得． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：； 故第6个数：； 故答案为：． 4．（23-24七年级下·北京·期中）将1，，，，按如图方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则所表示的数是 ；与表示的两数之积是 ． 【答案】 2 【分析】此题主要考查了数字的变化规律．根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每五个数一个轮回，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算． 【详解】解：表示第7排从左向右第3个数， ， ， 则所表示的数是； 从图示中知道，所表示的数是； 第19排最后一个数的序号是：，则表示的是第个数， ， 表示的数是． 与表示的两数之积是：． 故答案为：；． 5．（2023九年级·安徽·专题练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； 按照上述规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：__________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】此题考查数字的变化规律，根据数字的特点，得出分式运算的规律；利用规律解决问题是解题的关键． （1）根据规律，进行解答便可； （2）把得出的规律用字母n表示出来，并运用分式的运算法则进行验证． 【详解】（1）解：； （2）第个等式是． 左边右边， 猜想成立． 6．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习），，…，．将以上等式两边分别相加得 用你发现的规律解答下列问题 (1)猜想并写出：___________； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①_____________； ②______________； (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2)① ② (3) 【分析】本题主要考查了与实数运算相关的规律题． （1）归纳总结得到一般性规律，写出即可. （2）①两式利用得出的规律变形，计算即可得到结果；②总结规律即可． （3）先探索当分母为连续偶数时如何写成差的形式，再计算． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）① 故答案为：． ② 故答案为：． （3） 1．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）下列命题中正确的是（    ） A．数轴上的点与实数一一对应 B．无理数是带根号的数 C．无限小数都是无理数 D．零是最小的实数 【答案】A 【分析】根据无理数和实数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、数轴上的点与实数一一对应，故A选项正确，符合题意； B、无理数是无限不循环小数，例如，故B选项错误，不符合题意； C、无限循环小数是无限小数，也是有理数，故C选项错误，不符合题意； D、没有最小的实数，故D选项错误，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了实数与无理数的定义及实数与数轴的关系，牢记无理数的定义是解题的关键． 2．（23-24七年级下·海南海口·期末）如图，数轴上点A表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数比较大小，实数与数轴，根据数轴上点的位置得到，再推出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴数轴上点A表示的数可能是， 故选C． 3．（23-24七年级下·安徽铜陵·期中）已知A，B，C是数轴上三点，点B是线段的中点，点A，B对应的实数分别为1和，则点C对应的实数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，实数的混合运算，根据中点定义，得到，根据两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：∵点A，B对应的实数分别为1和， ∴， ∵点B是线段的中点， ∴， ∴点表示的数为：； 故选D． 4．（2024·四川泸州·二模）从n个不同元素中取出m个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．已知“！”是一种数学运算符号，且，…，若公式（为正整数），则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查新运算问题，读懂新运算代入计算即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 5．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）有一列数按一定规律排列：…．则第n个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，找到实数的变化规律是解题的关键．根据规律可知，第奇数个数为正数，第偶数个数为负数，再按分子、分母分别找规律求解即可． 【详解】解：根据规律可知，第奇数个数为正数，第偶数个数为负数，该列数的分子是，分母是， 第个数是 故选B． 6．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）的相反数是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 7．（2024·宁夏银川·二模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握相关的运算法则，根据实数的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（22-23七年级上·江苏扬州·期末）在数0、π、﹣0.1010010001，，中，无理数有 个． 【答案】1 【分析】根据无理数的概念求解即可． 【详解】解：在所列实数中，无理数的是π， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查无理数，解题的关键是掌握无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数． 9．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，数轴上点，分别表示，2，若点在线段上，且点表示的是一个无理数，则可以是 ．（写出一个） 【答案】 【分析】此题考查实数与数轴，根据无理数的估算方法得到在和之间的整数的范围，据此确定无理数即可，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴点表示的在和2之间的无理数可以是等， 故答案为：． 10．（22-23九年级下·全国·期末）请你规定一种适合非零实数a，b的新运算“”，使得下列算式成立：，，…你规定的新运算 .（用含a，b的一个代数式表示） 【答案】 【分析】根据已知等式，归纳总结得到结果即可． 【详解】解：根据题意得： 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 11．（23-24七年级下·吉林白城·期中）计算∶ 【答案】6 【分析】本题考查了实数的混合运算． 先将算术平方根，绝对值化简，再进行计算即可． 【详解】解： ． 12．（22-23七年级上·山东威海·期中）已知，其中是整数，，求的值． 【答案】 【详解】试题分析：可以先估算出整数部分，再计算出的值,最后作差. 试题解析：解：， ， =． 13．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）把下列各数填在相应的大括号里： ，，0，，2013，，，0.010010001（相邻两个1之间0的个数逐次加1），， 整数集合{                                  }； 非负数集合{                                }； 分数集合{                                   }； 无理数集合{                                    }． 【答案】，0，2013，； 0，，，2 013，，0.010010001（相邻两个1之间0的个数逐次加1）；，，，； ，0.010010001（相邻两个1之间0的个数逐次加1） 【分析】本题考查了实数的分类，熟知整数，非负数，分数，无理数的定义是解题的关键；根据整数，非负数，分数，无理数的定义解题即可； 【详解】解：整数集合{，0，2013，  }； 非负数集合{ 0，，，2 013，，0.010010001（相邻两个1之间0的个数逐次加1）  }； 分数集合{，，， }； 无理数集合{ ，0.010010001（相邻两个1之间0的个数逐次加1）}． 14．（23-24七年级下·湖北恩施·期中） 实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图， (1)比较大小 a 0； 0； 0 ； 0 (2)化简： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质： （1）根据数轴可得，据此可得答案； （2）根据（1）所求先计算算术平方根，立方根和绝对值，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴ ． 15．（23-24七年级下·云南昆明·期中）两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走．共轭即为按一定的规律相配的一对，在数学中有共轭复数、共轭根式、共轭双曲线、共轭矩阵等． 共轭实数定义：把形如和（a， b有理数且b≠0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数． 在学习了第六章《实数》的内容后，数学兴趣小组设计了如下问题： (1)根据共轭实数定义我们可以判定：与 共轭实数；与 共轭实数（填“是”或“不是”）； (2)请你设计并写出一对共轭实数．它们是 与 ； (3)小明发现共轭实数和运算结果（如：和、差、积、商等）都有一定的规律．请你求共轭实数与的和与差． ①； ②． 【答案】(1)不是，是 (2)，（答案不唯一） (3)①10② 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握共轭实数的定义，是解题的关键． （1）根据共轭实数的定义，进行判断即可； （2）根据共轭实数的定义，写出一对共轭实数即可； （3）先去括号，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：由题意，可知：与不是共轭实数；与是共轭实数； 故答案为：不是，是； （2）根据共轭实数的定义，写出一对共轭实数可以为：与； 故答案为：，（答案不唯一）； （3）①原式； ②原式． 学科网（北京）股份有限公司 $$