专题01 实数分类训练（10种类型50道）-2023-2024学年七年级数学下册期末复习高频考题专项训练（沪科版，安徽专用）

专题01实数分类训练 （10种类型50道） 目录 【题型1利用平方根、平方根的定义求字母或式子的值】 1 【题型2利用算术平方根的非负性解题】 2 【题型3估计算术平方根的取值范围】 2 【题型4平方根、立方根的实际应用】 3 【题型5利用实数的运算法则进行计算】 4 【题型6利用实数的运算求相关式子的值】 5 【题型7利用实数的整数部分和小数部分解题】 6 【题型8利用实数的性质解新定义问题】 7 【题型9利用实数的相关概念进行化简求值】 9 【题型10利用实数的性质探求规律】 9 【题型1利用平方根、平方根的定义求字母或式子的值】 1．（23-24七年级下·广西崇左·期中）已知一个正数的平方根是和，的立方根是2，求： (1)a，b的值； (2)的算术平方根． 2．（23-24七年级下·广东珠海·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值； (2)若的立方根是2，求的平方根． 3．（23-24七年级下·广东广州·期中）已知，，z是的平方根，求的值． 4．（23-24七年级下·福建厦门·期中）若27的立方根是m，m的平方根是n． (1)求m的值； (2)求的值 5．（23-24七年级下·江西赣州·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，的相反数为． (1)求a，b的值； (2)求的立方根． 【题型2利用算术平方根的非负性解题】 6．（23-24七年级下·重庆·期中）已知实数满足，求的平方根与立方根． 7．（23-24七年级下·福建莆田·期中）已知，c是8的立方根，求的平方根 8．（23-24七年级下·吉林白城·阶段练习）已知，且，求的算术平方根． 9．（23-24七年级下·宁夏吴忠·阶段练习）已知，求的值． 10．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知与互为相反数，求 【题型3估计算术平方根的取值范围】 11．（23-24八年级下·天津西青·阶段练习）估计的值应在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 12．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 13．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）估计的值应在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 14．（22-23七年级下·安徽池州·期中）估算在（    ） A．5与6之间 B．6与7之间 C．7与8之间 D．8与9之间 15．（22-23七年级下·天津河西·期中）如果，，那么的等于（    ） A．3000 B．30 C．24．5 D．77．5 【题型4平方根、立方根的实际应用】 16．（23-24七年级下·北京·期中）如图，在长方形内有两个相邻的正方形，，正方形的面积为2，正方形的面积为4，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B．2 C． D． 17．（22-23八年级下·河北邢台·阶段练习）电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：），导线电阻R（单位：），通电时间t（单位：）与产生的热量Q（单位：）满．已知导线的电阻为，通电导线产生的热量，则电流I（单位：）的值为（    ） A． B． C． D． 18．（22-23八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若正方形的面积与长为4，宽为3的长方形面积相等，则该正方形的边长为（   ） A．6 B． C．4 D． 19．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）如图，这个正方体的体积是，且相对面上的算式相同，则这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面的面积之和是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（    ） A．3 B． C． D． 【题型5利用实数的运算法则进行计算】 21．（23-24七年级下·广东东莞·阶段练习）计算： 22．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）计算：． 23．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算： (1)； (2)． 24．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）计算 (1)； (2)． 25．（23-24七年级下·辽宁营口·期中）计算 (1)； (2)． 【题型6利用实数的运算求相关式子的值】 26．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中m，n为有理数，x为无理数，那么，，运用上述知识解决下列问题： (1)若m，n为有理数，且，求m，n的值； (2)若m，n为有理数，且，求的立方根； (3)若m，n为有理数，且，则______． 27．（23-24七年级下·甘肃庆阳·期中）（1）计算并化简（结果保留根号）： ① ；② ； ③ ；④ ； （2）计算（结果保留根号）： ． 28．（23-24七年级下·广东广州·期中）（1）设a，b是有理数，且满足，求的值． （2）设x，y都是有理数，且满足，求的值． 29．（23-24七年级下·重庆梁平·期中）已知，为有理数，并且满足等式，求． 30．（23-24七年级下·广西贺州·阶段练习）（1）用“”“”或“”填空： __________________； （2）由上可知： ①______，②______，③______； （3）计算：． 【题型7利用实数的整数部分和小数部分解题】 31．（23-24七年级下·重庆开州·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)已知，其中是整数，且，求的绝对值． 32．（23-24七年级下·江苏南通·期中）【阅读材料】 ，即， ， 的整数部分是1， 的小数部分是． 【解决问题】 （1）的整数部分是_______，小数部分是_______； （2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值； （3）已知，其中x是整数，且，求的值． 33．（23-24七年级下·山东日照·期中）根据已知条件解决下列问题 (1)在等式，当时，；当时，；当时，．求，，的值； (2)已知是的整数部分，是的小数部分． ①求，的值； ②求的平方根． 34．（23-24七年级下·山东临沂·期中）阅读下面的材料，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能写出来，而的整数部分是1，于是可用表示的小数部分，比如，的整数是1，小数部分是．请解答下列问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)如果的小数部分是m，的整数部分为m，求的值． (3)已知：a为3的算术平方根，b为的整数部分，若规定，求的值． 35．（23-24七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）阅读下面的文字，解答问题： 我们规定：用表示实数的整数部分，用表示实数的小数部分， 例如：．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，即．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以这个数减去其整数部分就是其小数部分，又例如：，． 请解答下列问题： (1)______，______； (2)如果，求的值； (3)的值为______． 【题型8利用实数的性质解新定义问题】 36．（23-24七年级下·河北唐山·期中）用△定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定 ，如： (1)求 (2)若， 求m的值． 37．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定． 如： (1)求的值； (2)若，（其中x为有理数），试比较m，n的大小； (3)若 ，求a的值． 38．（23-24七年级上·湖南岳阳·期末）定义：若，则称与是关于的关联数．例如：若，则称与是关于2的关联数． (1)若4与是关于7的关联数，求的值； (2)若与是关于6的关联数，求的值； (3)若与是关于的关联数，，的值与无关，求的值． 39．（23-24八年级上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（，为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 例如计算：； ； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：______，______； (2)计算：； (3)计算：． 40．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）阅读以下材料： 阅读以下材料： ①材料一、现定义某种运算“★”，对于任意两个数、，都有．请按上面的运算解答下面问题： （1）； （2） ②材料二：一般地，个相同因数相乘，记为，如，此时叫做以为底的对数，记为（即）一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即）．如，叫做以为底的对数，记为． 计算以下各对数的值：________；________；________． 【题型9利用实数的相关概念进行化简求值】 41．（23-24七年级下·四川广安·期中）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简： 42．（23-24七年级下·湖北恩施·期中） 实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图， (1)比较大小 a 0； 0； 0 ； 0 (2)化简： 43．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图，请化简式子： 44．（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，a、b、c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：． 45．（22-23七年级下·湖北咸宁·期末）已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示：    (1)化简：； (2)若实数a，b满足，求的平方根． 【题型10利用实数的性质探求规律】 46．（23-24七年级下·广东江门·期中）先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 47．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）设． (1)　　　　　　　　　； (2)， 求　　　　　　　　　； (3)求的值．(用含n的代数式表示，其中n为正整数) 48．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）观察下列各式：，，． (1)猜想：_______； (2)你发现的规律是：_______；（为正整数） (3)用规律计算：． 49．（22-23七年级下·山东济宁·期末）阅读下列解题过程并解答问题： ；；… (1)填空：______，_______． (2)利用上面隐含的规律计算：． 50．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）现有一组有规律的数：，，，，，，其中，，，，这六个数按此规律重复出现． (1)第个数是______ ，第个数是______ ． (2)从第个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为，那么共有多少个数的平方相加？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01实数分类训练 （10种类型50道） 目录 【题型1利用平方根、平方根的定义求字母或式子的值】 1 【题型2利用算术平方根的非负性解题】 4 【题型3估计算术平方根的取值范围】 5 【题型4平方根、立方根的实际应用】 7 【题型5利用实数的运算法则进行计算】 10 【题型6利用实数的运算求相关式子的值】 12 【题型7利用实数的整数部分和小数部分解题】 16 【题型8利用实数的性质解新定义问题】 21 【题型9利用实数的相关概念进行化简求值】 25 【题型10利用实数的性质探求规律】 28 【题型1利用平方根、平方根的定义求字母或式子的值】 1．（23-24七年级下·广西崇左·期中）已知一个正数的平方根是和，的立方根是2，求： (1)a，b的值； (2)的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，解题的关键是正确理解算术平方根的定义． （1）根据平方根和立方根可得，，即可求出a、b的值； （2）将a与b的值代入中即可求出它的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意，得，， 解得，． （2）解：，， ， 的算术平方根是． 2．（23-24七年级下·广东珠海·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值； (2)若的立方根是2，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查平方根，立方根，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数． (1)根据一个正数的两个平方根互为相反数，可以求得a的值，从而可以求得x的值； (2)根据(1)中的结果可以求出b，代入可以解答本题． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得：， ∴正数为； （2）解：∵的立方根是2， ∴， 解得：， ∴， ∴的平方根为． 3．（23-24七年级下·广东广州·期中）已知，，z是的平方根，求的值． 【答案】13或7 【分析】本题考查了立方根，平方根，根据立方根和平方根的概念，可得，，的值，可得答案,利用相关概念得出，，的值是解题关键． 【详解】解：对平方，得，解得； 根据得， 解得； ，的平方根为， ， 或． 4．（23-24七年级下·福建厦门·期中）若27的立方根是m，m的平方根是n． (1)求m的值； (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了立方根、平方根、算术平方根的含义和求法，解答此题的关键是要熟练掌握平方根、立方根的性质． （1）根据题意，可得，据此求出的值即可； （2）根据题意，可得，再根据算术平方根的含义和求法，求出的值即可． 【详解】（1）的立方根是， ． （2）的平方根是， ， ． 5．（23-24七年级下·江西赣州·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，的相反数为． (1)求a，b的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查平方根，算术平方根及立方根的定义， （1）根据平方根的性质和相反数的定义即可求得答案； （2）将，的值代入中计算后根据立方方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：一个正数的两个平方根分别是和，的相反数为， ，， 解得：，； （2），， ，， 的立方方根为． 【题型2利用算术平方根的非负性解题】 6．（23-24七年级下·重庆·期中）已知实数满足，求的平方根与立方根． 【答案】平方根为，立方根为． 【分析】本题考查了非负数的性质，平方根和立方根，由非负数的性质可得，解方程组可得，进而得到，再根据平方根和立方根的定义计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，   解方程组得， ， ∴， ∴的平方根：，               .. 的立方根． 7．（23-24七年级下·福建莆田·期中）已知，c是8的立方根，求的平方根 【答案】 【分析】本题考查求一个数的平方根，根据立方根，算术平方根和平方根的定义和性质，求出的值，进而求出的平方根即可． 【详解】解：由题意可得 ∴， ∴， ∴， ∵c是8的立方根 ∴ ∴ ∴的平方根是． 8．（23-24七年级下·吉林白城·阶段练习）已知，且，求的算术平方根． 【答案】（写成也可） 【分析】本题考查算术平方根，非负数的性质．根据算术平方根的意义求出的值，根据非负数的性质求出的值，再代入计算即可．掌握算术平方根及非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，即的算术平方根是， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的算术平方根为（写成也可）． 9．（23-24七年级下·宁夏吴忠·阶段练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，根据算术平方根的非负性求出，的值，再代入计算即可． 【详解】∵，，， ∴，， ∴，， ∴． 10．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知与互为相反数，求 【答案】 【分析】本题主要考查相反数的定义，算术平方根以及绝对值的非负性，根据算术平方根以及绝对值的非负性求出x，y的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵与互为相反数, ∴. ∴，, ∴，, ∴. 【题型3估计算术平方根的取值范围】 11．（23-24八年级下·天津西青·阶段练习）估计的值应在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，利用算术平方根的性质可得． 【详解】解：， ， 故选：C． 12．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算．估算的近似值，即可得到在哪两个整数之间． 【详解】解：∵，即， ∴， ∴在整数2与整数3之间， 故选：B． 13．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）估计的值应在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】C 【分析】先估算的取值范围，然后得出的取值范围，进而可得的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，在确定形如（a≥0）的无理数的整数部分时，常用的方法是“夹逼法”，其依据是平方和开平方互为逆运算． 14．（22-23七年级下·安徽池州·期中）估算在（    ） A．5与6之间 B．6与7之间 C．7与8之间 D．8与9之间 【答案】B 【分析】估算的值，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴； 故选：B 【点睛】本题考查无理数的估算．确定“”是解题关键． 15．（22-23七年级下·天津河西·期中）如果，，那么的等于（    ） A．3000 B．30 C．24．5 D．77．5 【答案】D 【分析】根据算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根，找到算术平方根的移位规律是解题的关键． 【题型4平方根、立方根的实际应用】 16．（23-24七年级下·北京·期中）如图，在长方形内有两个相邻的正方形，，正方形的面积为2，正方形的面积为4，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的应用．根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算． 【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为2和4， ∴两个正方形的边长分别是，2， ∴阴影部分的面积． 故选：A． 17．（22-23八年级下·河北邢台·阶段练习）电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：），导线电阻R（单位：），通电时间t（单位：）与产生的热量Q（单位：）满．已知导线的电阻为，通电导线产生的热量，则电流I（单位：）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，，，，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了平方根的应用．解题的关键在于正确的运算． 18．（22-23八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若正方形的面积与长为4，宽为3的长方形面积相等，则该正方形的边长为（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】设正方形的边长为x，根据长方形与正方形面积相等进行求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为x， 由题意得：， （舍去）， 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根的应用，正确理解题意是解题的关键． 19．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）如图，这个正方体的体积是，且相对面上的算式相同，则这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面的面积之和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的应用、算术平方根的应用、有理数的混合运算，求出正方体的边长为，计算出，，，得到这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面共有个，由此即可得解． 【详解】解：这个正方体的体积是， 这个正方体的边长为， ，，， 这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面共有个， 这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面的面积之和是， 故选：C． 20．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是立方根的实际应用，理解题意，建立方程是解本题的关键．设每个方块的边长为，可得，则，再利用立方根的含义解方程即可． 【详解】解：设每个方块的边长为， ， ， ， 故选：D． 【题型5利用实数的运算法则进行计算】 21．（23-24七年级下·广东东莞·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查的是实数的运算，熟知实数混合运算的法则是解答此题的关键．先根据数的开方法则及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】原式 22．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据算术平方根的定义、立方根的定义计算即可； 【详解】解：原式 ． 23．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方和去绝对值符号，再计算加减即可． （2）先进行开方运算，再计算加减即可． 本题考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1） ； （2） ． 24．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算： （1）先求算术平方根和立方根，再计算加减法即可； （2）先计算算术平方根和立方根，再去绝对值后，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 25．（23-24七年级下·辽宁营口·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算： （1）利用实数的混合运算法则即可求解； （2）利用实数的混合运算法则即可求解； 熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． 【题型6利用实数的运算求相关式子的值】 26．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中m，n为有理数，x为无理数，那么，，运用上述知识解决下列问题： (1)若m，n为有理数，且，求m，n的值； (2)若m，n为有理数，且，求的立方根； (3)若m，n为有理数，且，则______． 【答案】(1) (2)0 (3)3或5 【分析】本题考查了实数的运算，立方根，绝对值等知识．根据题意确定关于的等量关系是解题的关键． （1）由题意得，，计算求解即可； （2）由题意得，，计算求解，然后根据代值求解即可； （3）由题意得，，计算求解，然后代值求解即可． 【详解】（1）解：∵，m，n为有理数， ∴， 解得，； （2）解：∵，m，n为有理数， ∴， 解得，， ∵， ∴的立方根为0； （3）解：∵，m，n为有理数， ∴， 解得，， 当时，； 当时，； 故答案为：3或5． 27．（23-24七年级下·甘肃庆阳·期中）（1）计算并化简（结果保留根号）： ① ；② ； ③ ；④ ； （2）计算（结果保留根号）： ． 【答案】（1）① ；② ；③；④ ；（2） 【分析】本题考查实数的运算． （1）直接进行绝对值的化简即可求解； （2）先进行绝对值的化简，然后合并即可得出结论． 【详解】解：（1）①；②； ③；④； （2）原式 ． ． 28．（23-24七年级下·广东广州·期中）（1）设a，b是有理数，且满足，求的值． （2）设x，y都是有理数，且满足，求的值． 【答案】（1）；（2）8或0 【分析】本题考查实数的运算，对式子正确的变形是解题关键． （1）对所求式子进行变形，求出a、b的值，从而可以求得的值； （2）对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得的值． 【详解】解：（1）由题意得， a，b都是有理数， ，也是有理数，由于是无理数， ，， ，， ． （2）， ， ，， 解得：，， 当，时，， 当，时，， 即的值是8或0． 29．（23-24七年级下·重庆梁平·期中）已知，为有理数，并且满足等式，求． 【答案】9或 【分析】本题考查实数的运算，区分有理数与无理数之间的性质是解题的关键，考生们也要在遇到解二元一次方程的时候特别注意这个关键点． 根据有理数和无理数的性质，可以得出，从而求出的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵是有理数，且满足等式， ∴， 解得， 当时，， 当时，， 故答案为：9或． 30．（23-24七年级下·广西贺州·阶段练习）（1）用“”“”或“”填空： __________________； （2）由上可知： ①______，②______，③______； （3）计算：． 【答案】（1）；；；（2）①；②；③；（3） 【分析】本题主要考查了实数的运算，实数比较大小： （1）根据实数比较大小的方法求解即可； （2）根据（1）所求结合实数的性质求解即可； （3）根据（2）先去括号，然后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：；；； （2）①；②；③； 故答案为：①；②；③； （3） ． 【题型7利用实数的整数部分和小数部分解题】 31．（23-24七年级下·重庆开州·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)已知，其中是整数，且，求的绝对值． 【答案】(1)7； (2) 【分析】本题考查了无理数的整数部分，绝对值．熟练掌握无理数的整数部分，绝对值是解题的关键． （1）由题意知，，则的整数部分是7，小数部分是； （2）由，可得，即，由是整数，，可得，，然后根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是7，小数部分是， 故答案为：7；； （2）解：∵， ∴，即， ∵是整数，， ∴，， ∴， ∴的绝对值为． 32．（23-24七年级下·江苏南通·期中）【阅读材料】 ，即， ， 的整数部分是1， 的小数部分是． 【解决问题】 （1）的整数部分是_______，小数部分是_______； （2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值； （3）已知，其中x是整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】此题考查了估算无理数的大小，在确定形如的无理数的整数部分时，常用的方法是“夹逼法”，其依据是平方和开平方互为逆运算．在应用“夹逼法”估算无理数时，关键是找出位于无理数两边的平方数，则无理数的整数部分即为较小的平方数的算术平方根． （1）先估算出的取值范围，进而可求出的整数部分和小数部分； （2）先根据的取值范围，进而可求出的取值范围，然后求出a和b的值即可求解； （3）先求出的整数部分，再求出的小数部分，然后求出，，然后再代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分是8；小数部分是． （2），即， ， 的整数部分为1， 的小数部分为， ，， ． （3），即， ， 的整数部分为3， 的小数部分为． ，， ． 33．（23-24七年级下·山东日照·期中）根据已知条件解决下列问题 (1)在等式，当时，；当时，；当时，．求，，的值； (2)已知是的整数部分，是的小数部分． ①求，的值； ②求的平方根． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，无理数的估算，实数的运算： （1）根据题意可得方程组，解方程组即可得到答案； （2）①先估算出，，据此即可求出a、b的值；②根据①所求代值计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为2，即，的整数部分为1， ∴的小数部分为，即； ②∵，， ∴ ． 34．（23-24七年级下·山东临沂·期中）阅读下面的材料，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能写出来，而的整数部分是1，于是可用表示的小数部分，比如，的整数是1，小数部分是．请解答下列问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)如果的小数部分是m，的整数部分为m，求的值． (3)已知：a为3的算术平方根，b为的整数部分，若规定，求的值． 【答案】(1)2，； (2)0 (3)3 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，正确估算无理数的取值范围是解答本题的关键． （1）先估算的大小，可确定其整数和小数部分； （2）先估算的大小，求出m，n，再代入求值即可； （3）先估算的大小求出b，a，然后根据新定义进行计算． 【详解】（1）∵， ∴的整数部分是2，小数部分是， 故答案为：2，； （2）∵， ∴的整数部分是2，小数部分是， ∴，， ∴； （3）∵， ∴的整数部分是3， ∵a为3的算术平方根，b为的整数部分， ∴，， ∵， ∴． 35．（23-24七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）阅读下面的文字，解答问题： 我们规定：用表示实数的整数部分，用表示实数的小数部分， 例如：．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，即．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以这个数减去其整数部分就是其小数部分，又例如：，． 请解答下列问题： (1)______，______； (2)如果，求的值； (3)的值为______． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小和平方根的意义 （1）先估算出的范围，再根据题目规定的表示方法写出答案即可； （2）先估算出，的范围，得出a和b的值． （3）计算出整数部分为1、2、3……的算术平方根的个数即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴， （2）解：∵ ∴ ∴ （3）∵，， ∴中，为的有个，为的有个…… ∴ 【题型8利用实数的性质解新定义问题】 36．（23-24七年级下·河北唐山·期中）用△定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定 ，如： (1)求 (2)若， 求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，利用平方根解方程： （1）根据新运算的法则，列出算式计算即可； （2）根据新运算的法则，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）由题意，得：， ∴， ∴． 37．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定． 如： (1)求的值； (2)若，（其中x为有理数），试比较m，n的大小； (3)若 ，求a的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，理解新定义是解答本题的关键. （1）根据给定定义列式计算即可； （2）先根据新定义变形，再用作差法比较； （3）根据新定义转化为一元一次方程求解即可． 【详解】（1）． （2）， , ， 故. （3）∵ ∴ ∴， ∵ ∴， 解得. 38．（23-24七年级上·湖南岳阳·期末）定义：若，则称与是关于的关联数．例如：若，则称与是关于2的关联数． (1)若4与是关于7的关联数，求的值； (2)若与是关于6的关联数，求的值； (3)若与是关于的关联数，，的值与无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查行定义运算，涉及解一元一次方程、整式加减运算及多项式无关项问题，读懂题意，理解关联数定义，准确得到方程是解决问题的关键． （1）根据关联数的定义列方程求解即可得到答案； （2）根据关联数的定义列方程求解即可得到答案； （3）根据关联数定义列等式，恒等变形表示出，再由的值与无关，列方程求解，代入即可得到答案． 【详解】（1）解：4与是关于7的关联数， 由关联数定义可得，解得； （2）解：与是关于6的关联数， 由关联数的定义可得，解得； （3）解：与是关于的关联数， 由关联数的定义可得，即， ， ， 的值与无关， ，解得， ． 39．（23-24八年级上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（，为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 例如计算：； ； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：______，______； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)，1 (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算，复数的定义，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则，以及正确理解题目所给的复数的定义． （1）把代入即可求解； （2）根据多项式乘以多项式的运算法则，将括号展开，再根据计算即可； （3）先归纳出每4个数为一组，每组按照的顺序排列，即可进行计算． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：，1； （2）解： ， ； （3）解：根据题意可得： ∵i，，，，，，，…… ∴每4个数为一组，每组按照的顺序排列； ， ∴ ． 40．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）阅读以下材料： 阅读以下材料： ①材料一、现定义某种运算“★”，对于任意两个数、，都有．请按上面的运算解答下面问题： （1）； （2） ②材料二：一般地，个相同因数相乘，记为，如，此时叫做以为底的对数，记为（即）一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即）．如，叫做以为底的对数，记为． 计算以下各对数的值：________；________；________． 【答案】①（1）；（2） ②2；4；6 【分析】此题考查了新定义，整式的混合运算，有理数的乘方运算，理解题中的新定义是解本题的关键． ①利用题中的新定义计算即可得到结果； ②利用题中的对数定义计算即可得到结果． 【详解】解：①（1） ； （2） ． ②； ； ． 【题型9利用实数的相关概念进行化简求值】 41．（23-24七年级下·四川广安·期中）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，先根据数轴推出，据此计算算术平方根和立方根以及绝对值，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ． 42．（23-24七年级下·湖北恩施·期中） 实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图， (1)比较大小 a 0； 0； 0 ； 0 (2)化简： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质： （1）根据数轴可得，据此可得答案； （2）根据（1）所求先计算算术平方根，立方根和绝对值，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴ ． 43．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图，请化简式子： 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的性质，整式的加减，数轴．观察数轴可得，且，从而得到，再根据算术平方根的性质，原式变形为，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：，且， ∴， ∴ ． 44．（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，a、b、c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数运算以及实数与数轴，直接利用数轴得出，再化简求解． 【详解】解：根据题意得：， 则原式 ． 45．（22-23七年级下·湖北咸宁·期末）已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示：    (1)化简：； (2)若实数a，b满足，求的平方根． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据数轴上点的位置判断出绝对值和根号里边式子的正负，利用绝对值和算术平方根的代数意义化简，去括号合并即可得到结果； （2）利用非负数的性质求得实数a，b的值，再代入计算求平方根即可． 【详解】（1）解：由数轴可知：，，， ∴ = = =2； （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 【点睛】本题主要考查的是实数与数轴，非负数的性质，算术平方根的性质，绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义和算术平方根的性质是解题的关键． 【题型10利用实数的性质探求规律】 46．（23-24七年级下·广东江门·期中）先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1)6 (2) (3)52 【分析】本题主要考查算术平方根与数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：个连续奇数和的算术平方根等于． （1）由个连续奇数和的算术平方根等于可得答案； （2）利用以上所得规律可得； （3）将被开方数提取公因数4，再利用所得规律求解可得 【详解】（1）解：， 故答案为：6； （2）， 故答案为：； （3） ． 47．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）设． (1)　　　　　　　　　； (2)， 求　　　　　　　　　； (3)求的值．(用含n的代数式表示，其中n为正整数) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字算式的变化规律．关键是观察几个结果的结果，由特殊到一般，得出规律． （1）观察题中的几个计算结果，得出一般规律． （2）观察第一步的几个计算结果，得出一般规律． （3）根据（2）中的规律解答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）∵ ∴． （3）结合（2）可得： ． 48．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）观察下列各式：，，． (1)猜想：_______； (2)你发现的规律是：_______；（为正整数） (3)用规律计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）本题考查对题干中规律的探索，理解题干中规律，两数之积等于两数之和，即可解题． （2）解法与（1）相同，掌握规律即可解题． （3）本题将式子中的各部分按照所得规律去括号，再按有理数运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知，． （2）解：由题知，． （3）解： ． 49．（22-23七年级下·山东济宁·期末）阅读下列解题过程并解答问题： ；；… (1)填空：______，_______． (2)利用上面隐含的规律计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据算术平方根，即可解答； （2）归纳总结得到一般性规律，利用其规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：，； （2）由观察可知：， 则： ． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． 50．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）现有一组有规律的数：，，，，，，其中，，，，这六个数按此规律重复出现． (1)第个数是______ ，第个数是______ ． (2)从第个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为，那么共有多少个数的平方相加？ 【答案】(1)， (2)和为，共有个数的平方相加得到 【分析】（1）根据每六个数一循环解答即可； （2）根据每六个数的平方和等于，利用循环规律解答即可． 【详解】（1）， 第个数在这六个数中排在第，即， ， 第个数是这六个数中排在第，即， 故答案为：，； （2），，，，这六个数的平方加起来是， 且， 和为是由前个循环组的平方和再加上得到， 而，由个数平方相加得到， 和为，共有个数的平方相加得到． 【点睛】本题考查数字变化类规律探究，解答时涉及平方根的性质，解题的关键是探究出循环规律，利用规律解答问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$