专题06 幂的运算分类训练（8种类型40道）-2023-2024学年七年级数学下册期末复习高频考题专项训练（沪科版，安徽专用）

专题06幂的运算分类训练 （8种类型40道） 目录 【题型1直接利用幂的运算法则计算】 1 【题型2逆用幂的运算法则简便计算】 2 【题型3逆用幂的运算法则求值】 3 【题型4逆用幂的运算法则比较大小】 3 【题型5利用幂的运算法则判断正整数位数、个位数字】 5 【题型6利用幂的运算法则说明整除问题】 5 【题型7探究特殊式子的运算规律】 6 【题型8利用科学计数法解决问题】 8 【题型1直接利用幂的运算法则计算】 1．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 2．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）计算 (1) (2) 3．（22-23八年级上·福建厦门·期中）计算： (1) (2)． 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 5．（21-22七年级下·江苏淮安·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； 【题型2逆用幂的运算法则简便计算】 6．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）计算： ； 7．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）计算： (1) (2)． 8．（23-24七年级上·广东阳江·期中）阅读下列各式：，…．． 请回答下列问题： (1)计算：__________，___________． (2)通过上述规律，归纳得出：__________；___________． (3)请应用上述性质计算：． 9．（19-20七年级下·河南郑州·阶段练习）计算： ； 10．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：． 【题型3逆用幂的运算法则求值】 11．（23-24七年级下·广西崇左·期中）若（且，m，n都是正整数），则． 利用上述结论解决下列问题： (1)若，求n的值； (2)若，求x的值． 12．（23-24七年级下·江苏南京·期中）（1）若，求的值； （2）若，，，求证． 13．（23-24七年级下·全国·课后作业）1）已知，．求的值； （2）已知，．用a，b表示的值； （3）已知为正整数，且．求的值． 14．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）已知，求的值． 15．（22-23七年级下·江苏无锡·阶段练习）（1）若，求n的值； （2）若，求x的值． 【题型4逆用幂的运算法则比较大小】 16．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如果，，那么a、b、c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 17．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小 材料二：比较和的大小 解：∵，且 ∴，即 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 【方法运用】 (1)比较、、的大小 (2)比较、、的大小 (3)已知，，比较a、b的大小 18．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，；（，为正整数）． 请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)已知，，，请用一定步骤比较，，的大小（用“”连接）； (2)若，，求的值； 19．（23-24六年级下·山东济南·阶段练习）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，，的大小； (2)比较，，的大小． 20．（23-24八年级上·全国·课堂例题）比较大小：，，． 【题型5利用幂的运算法则判断正整数位数、个位数字】 21．（23-24七年级上·安徽黄山·期中）观察算式：，，，，，，，，…，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是 ． 22．（23-24七年级上·广东湛江·阶段练习）已知…推测的个位数字是 ． 23．（22-23七年级上·山东枣庄·期末）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示．即：，，，，，……，请你推算的个位数字是 ． 24．（22-23七年级上·江苏宿迁·期中）计算7的正整数次幕：，，…．归纳各计算结果中的个位数字规律，可得的个位数字为 25．（22-23八年级上·湖北十堰·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字；(3)求证：能被5整除． 【题型6利用幂的运算法则说明整除问题】 26．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）设为正整数，若能被57整除，则能被下列哪个数整除（    ） A．55 B．56 C．57 D．58 27．（21-22七年级下·江苏苏州·期中）（-8）2022+（-8）2021能被下列数整除的是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 28．（17-18八年级上·山东日照·期末）如果能被n整除，则n的值可能是　　 A．20 B．30 C．35 D．40 29．（18-19七年级下·浙江·课后作业）52·32n＋1·2n－3n·6n＋2(n为正整数)能被13整除吗？为什么？ 30．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）能被整除吗？为什么？ 【题型7探究特殊式子的运算规律】 31．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）在数学学习中，复杂的知识往往都是简单的内容通过一定的规则演变而来的．例如对单项式x进行如下操作：规定，且满足以下规律： ，… ，… ，，，，… 其中n为正整数，以此类推： ①；②：③当时，；④当时， ．以上说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）找规律：观察算式 … (1)按规律填空） ； (2)由上面的规律计算：（要求：写出计算过程） (3)思维拓展：计算：（要求：写出计算过程） 33．（20-21七年级下·江苏连云港·期中）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②①得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）______； （2）求______； （3）求的和；（请写出计算过程） （4）求的和（其中且）．（请写出计算过程） 34．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）观察下面三行数： ①，…； ②，…； ③，…． (1)试用乘方的形式表示第①行数中的第100个数； (2)第②、③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)取每行的第10个数，分别记为①10，②10，③10，计算的值． 35．（23-24七年级上·黑龙江大庆·期中）观察下列解题过程：计算：的值． 解：设，① 则．② ②-①，得，． 通过阅读，你一定学会了一种解决问题的方法，请用你学到的方法计算： 【题型8利用科学计数法解决问题】 36．（23-24七年级下·宁夏银川·阶段练习）一个正方体集装箱的棱长为米． (1)这个集装箱的体积是多少？（用科学记数法表示） (2)若有一个小立方块的棱长为米，则需要多少个这样的小立方块才能将集装箱装满？ 37．（22-23七年级下·河北邯郸·期中）如图，有4个小圆，自左向右分别标记为①、②、③、④，在每个小圆中分别填写一个有理数，且后一个小圆中填写的数是前一个小圆中填写的数的． (1)若第④个小圆中填写的数是3240，请用科学记数法表示第①个小圆中所填写的数． (2)若第①个小圆中填写的数是，请用科学记数法表示第④个小圆中所填写的数． 38．（22-23九年级下·河北保定·阶段练习）如图，阶梯图有四级台阶，每个台阶上都标着一个数．已知第1个台阶上的数是． (1)按照从下到上的顺序，每一个台阶阶上的数比前一个台阶上的数大2，求第4个台阶上的数； (2)按照从下到上的顺序，每一个台阶上的数是前一个台阶上的数的，用科学记数法表示第4个台阶上的数． 39．（22-23七年级上·北京西城·期中）请观察下列各式： ，，，一般地，的（为正整数）次幂等于（小数点后面有位），所以可以利用这种方法表示一些很小的数，例如： ； ． 像上面这样，把一个绝对值小于的数表示成的形式（其中，是正整数），使用的也是科学记数法． 请阅读上述材料，完成下列各题： (1)下列选项中，正确使用科学记数法表示的数是______ A．   B．        C．        D． (2)已知米等于纳米，一微型电子元件的直径约纳米，用科学记数法可以表示成______米． 40．（21-22七年级下·浙江杭州·期中）神舟十三号飞船搭载实验项目中，四川省农科院生物技术研究所共有a粒水稻种子，每粒种子质量大约0.0000325千克；甘肃省天水市元帅系苹果的b粒干燥种粒，每粒种子质量大约0.002275千克，参与航天搭载诱变选育． (1)用科学记数法表示上述两个数． (2)若参与航天搭载这两包种子的质量相等，求的值． (3)若这两包种子的质量总和为1.04千克，水稻种子粒数是苹果种子粒数10倍，求a，b的值． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06幂的运算分类训练 （8种类型40道） 目录 【题型1直接利用幂的运算法则计算】 1 【题型2逆用幂的运算法则简便计算】 5 【题型3逆用幂的运算法则求值】 8 【题型4逆用幂的运算法则比较大小】 11 【题型5利用幂的运算法则判断正整数位数、个位数字】 15 【题型6利用幂的运算法则说明整除问题】 18 【题型7探究特殊式子的运算规律】 20 【题型8利用科学计数法解决问题】 27 【题型1直接利用幂的运算法则计算】 1．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键 （1）先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法； （2）先算幂的乘方，再合并同类项； （3）先算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项； （4）先算幂的乘方，再乘同底数幂的乘法，最后合并同类项． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 2．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项运算法则求解即可； （2）将看成整体，利用同底数幂的乘除法运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． 3．（22-23八年级上·福建厦门·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）先算幂的乘方，再合并同类项； （2）先去括号，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握幂的乘方法则，去括号、合并同类项法则是解决本题的关键． 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据积的乘方运算法则将括号展开，再根据幂的乘方运算法则和同底数幂乘法法则进行计算即可； （2）先根据积的乘方运算法则将括号展开，再根据幂的乘方运算法则和同底数幂除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了幂的运算法则，解题的关键是掌握同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方． 5．（21-22七年级下·江苏淮安·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； 【答案】(1) (2) (3) (4)1 (5) (6) 【分析】（1）根据积的乘方，幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可； （2）先计算积的乘方，幂的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项即可； （3）先计算负整数指数幂，零指数幂和有理数的乘方，再进行有理数的混合运算即可； （4）根据积的乘方，幂的乘方和同底数幂的乘、除法法则计算即可； （5）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （6）先计算积的乘方，幂的乘方和同底数幂的乘、除法，再合并同类项即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【点睛】本题考查幂的混合运算和有理数的混合运算．涉及积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘、除法，负整数指数幂，零指数幂和有理数的乘方．掌握各运算法则是解题关键． 【题型2逆用幂的运算法则简便计算】 6．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）计算： ； 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算： 先根据同底数幂乘法的逆运算法则和积的乘方的逆运算法则把原式变形为，再计算求解即可； 【详解】（1）解： ； 7．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的混合运算以及积的乘方的逆运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先进行同底数幂相乘和幂的乘方，再合并同类项，即可作答． （2）先整理原式得，再根据积的乘方的逆运算进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： （2）解： ． 8．（23-24七年级上·广东阳江·期中）阅读下列各式：，…．． 请回答下列问题： (1)计算：__________，___________． (2)通过上述规律，归纳得出：__________；___________． (3)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1，1 (2)， (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法和积的乘方．熟练掌握同底数幂乘法和积的乘方法则，乘法交换律和结合律，是解答此题的关键． （1）先算括号内的乘法，再算乘方；先逆用积乘方法则，再算括号内乘法，然后乘方； （2）根据积乘方法则求出即可； （3）逆用同底数幂乘法法则拆开，，而后交换位置把指数是2021的因式结合起来，并逆用积乘方法则，各部分分别计算，最后相乘即得． 【详解】（1），； 故答案为：1，1； （2），； 故答案为：，； （3） ． 9．（19-20七年级下·河南郑州·阶段练习）计算： ； 【答案】-1 【分析】根据幂的运算公式变形即可求解； 【详解】 = = =-1 10．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【分析】先对式子进行变形，再逆用幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方的运算性质计算． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查幂的运算，熟练掌握逆用幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方的运算是解题的关键． 【题型3逆用幂的运算法则求值】 11．（23-24七年级下·广西崇左·期中）若（且，m，n都是正整数），则． 利用上述结论解决下列问题： (1)若，求n的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)3 (2)2 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方逆运算法则，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形． （1）根据幂的乘方逆运算法则把与化为底数为3的幂，再根据同底数幂的乘除法法则解答即可； （2）根据同底数幂的乘法逆运算法则把变形为即可解答． 【详解】（1）解：， ， 即，解得． n的值为3． （2）解：， ， 即， 解得． x的值为2． 12．（23-24七年级下·江苏南京·期中）（1）若，求的值； （2）若，，，求证． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题主要考查幂的乘方和积的乘方及同底数幂的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先变换，即，再计算，最后找到关于的方程式即可得出答案； （2）利用同底数幂的乘法运算法则即可得证． 【详解】（1）解： ， ， ， ． （2）证明：， ， ， ． 13．（23-24七年级下·全国·课后作业）1）已知，．求的值； （2）已知，．用a，b表示的值； （3）已知为正整数，且．求的值． 【答案】（1）5184；（2）；（3）2450 【分析】本题考查了积的乘方法则与幂的乘方法则的逆用． （1）逆用积的乘方法则，即（其中n为正整数），则问题解决； （2）逆用积的乘方法则和幂的乘方，即、（其中m、n均为正整数），则问题解决； （3）逆用积的乘方和幂的乘方法则，即、 ，其中m、n均为正整数，则问题解决． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴； （3）∵， ∴ ． 14．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法与除法、负整数指数幂，由得出，将化简为，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：， ， ． 15．（22-23七年级下·江苏无锡·阶段练习）（1）若，求n的值； （2）若，求x的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由，可得，即，计算求解即可； （2）由，则，即，，计算求解即可． 【详解】（1）解：， ∴，即，解得； ∴n的值为4； （2）解：， ∴，即， ∴，解得， ∴x的值为2． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． 【题型4逆用幂的运算法则比较大小】 16．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如果，，那么a、b、c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂的运算，先求出，，，然后进行大小比较即可． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴， 故选：D． 17．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小 材料二：比较和的大小 解：∵，且 ∴，即 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 【方法运用】 (1)比较、、的大小 (2)比较、、的大小 (3)已知，，比较a、b的大小 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）根据，，，再比较底数的大小即可； （2）根据，，，再比较底数的大小即可； （3）根据，，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∵， ∴， 即； （2）解：∵， ， ， ∵， ∴， 即； （3）解：∵，， 又∵， ∴． 18．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，；（，为正整数）． 请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)已知，，，请用一定步骤比较，，的大小（用“”连接）； (2)若，，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方法则； （1）根据逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再比较大小； （2）根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方即可求解． 【详解】（1）解：∵，    ，              ．                      ∴． （2）解： ，           ，      ∵，， ∴原式，      ， ． 19．（23-24六年级下·山东济南·阶段练习）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，，的大小； (2)比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的乘方，有理数大小比较，解题的关键是明确有理数大小的比较方法及幂的乘方运算法则． （1）根据材料一的结论解答本题； （2）根据材料二的结论解答本题． 【详解】（1）∵，，， ∵， ∴； （2）∵，，， ∵， ∴． 20．（23-24八年级上·全国·课堂例题）比较大小：，，． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方的逆应用，根据将指数化相同比较底数即可得到答案； 【详解】解：，，， ∵， ∴． 【题型5利用幂的运算法则判断正整数位数、个位数字】 21．（23-24七年级上·安徽黄山·期中）观察算式：，，，，，，，，…，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是 ． 【答案】7 【分析】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环是解决问题的关键． 从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2023除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可． 【详解】解：已知，末位数字为3， ，末位数字为9， ，末位数字为7， ，末位数字为1， ，末位数字为3， ，末位数字为9， ，末位数字为7， ，末位数字为1， … 由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环， 又， 所以的末位数字与的末位数字相同是7． 故答案为：7． 22．（23-24七年级上·广东湛江·阶段练习）已知…推测的个位数字是 ． 【答案】 【分析】根据示例，结果的个位数字依次为3，9，7，1，3，9，7，1，…，即每4个一循环；由可确定答案． 【详解】解：根据示例，结果的个位数字依次为3，9，7，1，3，9，7，1，…，即每4个一循环； ， ∴的个位数字是； 故答案为： 【点睛】本题考查数字类规律探索，根据已有的示例确定循环规律是解题的关键． 23．（22-23七年级上·山东枣庄·期末）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示．即：，，，，，……，请你推算的个位数字是 ． 【答案】8 【分析】通过观察可知2的乘方的尾数每4个循环一次，则与的尾数相同，即可求解． 【详解】解：∵，，，，，……， ∴2的乘方的尾数每4个循环一次， ∵， ∴与的尾数相同，为8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，能够根据所给式子，探索出尾数的规律是解题的关键． 24．（22-23七年级上·江苏宿迁·期中）计算7的正整数次幕：，，…．归纳各计算结果中的个位数字规律，可得的个位数字为 【答案】9 【分析】通过观察所给的运算结果，发现每四次运算后结果的尾数循环出现一次，从而得到的个位数字与的个位数字相同，即可求解． 【详解】解：∵，，，…， ∴每四次运算后结果的尾数循环出现一次， ∵……2， ∴的个位数字与的个位数字相同， ∴的个位数字为9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的算式，探索出运算结果的尾数的循环规律是解题的关键． 25．（22-23八年级上·湖北十堰·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字；(3)求证：能被5整除． 【答案】(1)3，6； (2)4； 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是4，的末尾数字是6，于是得解； （2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论； 【详解】（1）解：， 的末尾数字为3； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是4，的末尾数字是6， 的末尾数字是6； 故答案为：3，6； （2）解：， ∵的末尾数字是6， ∴的末尾数字是4； 【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键． 【题型6利用幂的运算法则说明整除问题】 26．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）设为正整数，若能被57整除，则能被下列哪个数整除（    ） A．55 B．56 C．57 D．58 【答案】C 【分析】利用同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用将改写成，由此即可得． 【详解】解： ， 能被57整除， 也能被57整除， 又能被57整除， 也能被57整除， 即能被57整除， 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用，熟练掌握同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用是解题关键． 27．（21-22七年级下·江苏苏州·期中）（-8）2022+（-8）2021能被下列数整除的是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】先将算式因式分解，找到含有选项的因数即可． 【详解】解：∵（-8）2022+（-8）2021 =（-8）2021×（-8）+（-8）2021 =（-8）2021×（-8+1） =（-8）2021×（-7） =82021×7． ∴能被7整除． 故选：C． 【点睛】本题主要考查因式分解的应用，将2022拆成2021+1是解本题的关键． 28．（17-18八年级上·山东日照·期末）如果能被n整除，则n的值可能是　　 A．20 B．30 C．35 D．40 【答案】B 【分析】两项的底数可以进行转化，25写成5的平方，利用幂的乘方转化后，就可提取公因数进行分解即可解答． 【详解】， 能被n整除，则n的值可能是30， 故选B． 【点睛】本题考查了分解因式在计算中的应用，将所给的式子化成积的形式，关键是将两项的底数转化成相同的． 29．（18-19七年级下·浙江·课后作业）52·32n＋1·2n－3n·6n＋2(n为正整数)能被13整除吗？为什么？ 【答案】52·32n＋1·2n－3n·6n＋2能被13整除． 【分析】利用积的乘方公式及幂的乘方公式逆运算将这个二项式合并为单项式，再看它是否能被13整除. 【详解】解：52·32n＋1·2n－3n·6n＋2能被13整除． 理由：∵52·32n＋1·2n－3n·6n＋2 ＝52·(32n·3)·2n－3n·(6n·62) ＝75·32n·2n－36·3n·6n ＝75·9n·2n－36·3n·6n ＝75·18n－36·18n ＝39·18n ＝13×3·18n， 又∵3·18n是整数， ∴52·32n＋1·2n－3n·6n＋2能被13整除 【点睛】此题主要考查积的乘方公式逆运算，解题的关键是把式子化成指数相同的形式，利用公式的逆运算进行化简，再合并. 30．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）能被整除吗？为什么？ 【答案】能被整除，原因见解析 【分析】根据幂的乘方可得，，，进而利用幂的乘方运算化简可得，即可求解． 【详解】，，， 所以 所以能被45整除. 【点睛】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方的运算法则是解题的关键． 【题型7探究特殊式子的运算规律】 31．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）在数学学习中，复杂的知识往往都是简单的内容通过一定的规则演变而来的．例如对单项式x进行如下操作：规定，且满足以下规律： ，… ，… ，，，，… 其中n为正整数，以此类推： ①；②：③当时，；④当时， ．以上说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由题意知，将代入，可判断①的正误；由，，计算求解，可判断②的正误；由当时，，与矛盾，可判断③的正误；由，记，则，，记，则，，即，，代入计算求解，进而可判断④的正误． 【详解】解：∵， ∴，，，… ∴， ∴，①正确，故符合要求； ∵， ∴，，，… ∴， ∴，②正确，故符合要求； 当时，， ∵， ∴③错误，故不符合要求； 当时，，， ∴，，，，…，，， ∴， 记，则， ∴， ∴， 记，则， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， ∴④正确，故符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了实数运算，数字的规律探究，幂的乘方的逆运算．解题的关键在于根据题意推导规律． 32．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）找规律：观察算式 … (1)按规律填空） ； (2)由上面的规律计算：（要求：写出计算过程） (3)思维拓展：计算：（要求：写出计算过程） 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题是数字规律问题，考查学生对数的观察和分析的能力， （1）观察等式右边都是平方数，且底数正好是等式左边各底数的和，依此规律类推即可解决问题； （2）由于上面的等式都是从底数是1开始的，所以可以把该式子前面的部分从1开始补上，再把补上的部分减掉即可； （3）该式中的底数并不是题干中的所给出的从1开始的连续整数，因此不能直接用上述 规律解题，但该式中的底数却都是从1开始的连续整数的2倍，因此提出2后，各项都含有，逆用乘法分配律即可解题． 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解： ． 33．（20-21七年级下·江苏连云港·期中）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②①得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）______； （2）求______； （3）求的和；（请写出计算过程） （4）求的和（其中且）．（请写出计算过程） 【答案】（1）221−2；（2）2-；（3）；（4）+ 【分析】（1）根据阅读材料可得：设s＝①，则2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①即可得结果； （2）设s＝①，s＝②，②−①即可得结果； （3）设s＝①，-2s＝②，②−①即可得结果； （4）设s＝①，as＝②，②−①得as-s=-a-，同理：求得-，进而即可求解． 【详解】解：根据阅读材料可知： （1）设s＝①， 2s＝22＋23＋…＋220＋221②， ②−①得，2s−s＝s＝221−2； 故答案为：221−2； （2）设s＝①， s＝②， ②−①得，s−s＝-s＝-1， ∴s＝2-， 故答案为：2-； （3）设s＝① -2s＝② ②−①得，-2s−s＝-3s＝+2 ∴s＝； （4）设s＝①， as＝②， ②-①得：as-s=-a-， 设m=-a-③， am=-④， ④-③得：am-m=a-， ∴m=， ∴as-s=+， ∴s=+． 【点睛】本题考查了规律型−实数的运算，解决本题的关键是理解阅读材料进行计算． 34．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）观察下面三行数： ①，…； ②，…； ③，…． (1)试用乘方的形式表示第①行数中的第100个数； (2)第②、③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)取每行的第10个数，分别记为①10，②10，③10，计算的值． 【答案】(1) (2)减2，除以3 (3)，，，（或或19685） 【分析】（1）本题主要考查了数字规律，根据已有数据观察可得“序数为奇数符号为负，序数为偶数符号为偶数，其绝对值是3的序数次幂”，据此即可解答；观察得到数字规律是解题的关键； （2）本题主要考查了数字规律，根据已有数据观察可得“第②行每一个数比第①行对应数字小2，第③行每一个数是第①行对应数字的倍”据此即可解答； （3）本题主要考查了数字规律的应用，先根据以上所得规律写出每行第10个数，然后相加即可；根据规律确定各行的第十个数是解题的关键． 【详解】（1）解：第①行数可写作 所以第100个数为． （2）解：第②行数是第①行相应的数减2； 第③行数是第①行相应的数除以3． （3）解：第①行第10个数是， 第②行第10个数是， 第③行第10个数是， 所以 ． 35．（23-24七年级上·黑龙江大庆·期中）观察下列解题过程：计算：的值． 解：设，① 则．② ②-①，得，． 通过阅读，你一定学会了一种解决问题的方法，请用你学到的方法计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据阅读材料中的解题过程，将各项变形，计算即可得到结果． 【详解】，① 则，② ②①，得 ∴ ∴． 【题型8利用科学计数法解决问题】 36．（23-24七年级下·宁夏银川·阶段练习）一个正方体集装箱的棱长为米． (1)这个集装箱的体积是多少？（用科学记数法表示） (2)若有一个小立方块的棱长为米，则需要多少个这样的小立方块才能将集装箱装满？ 【答案】(1)这个集装箱的体积是； (2)需要个小立方块才能将集装箱装满． 【分析】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值小于的数、同底数幂的除法运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的除法运算． （1）先根据正方体体积的计算方法求出集装箱体积，再根据科学记数法进行转换即可； （2）根据小立方体的个数正方体集装箱体积小立方块体积和同底数幂相除法则即可求解． 【详解】（1）解：正方体集装箱的棱长为米， 该集装箱的体积为． 答：该集装箱的体积为． （2）解：小立方块的棱长为米， 装满集装箱需要个小立方块． 答：需要个小立方块才能将集装箱装满． 37．（22-23七年级下·河北邯郸·期中）如图，有4个小圆，自左向右分别标记为①、②、③、④，在每个小圆中分别填写一个有理数，且后一个小圆中填写的数是前一个小圆中填写的数的． (1)若第④个小圆中填写的数是3240，请用科学记数法表示第①个小圆中所填写的数． (2)若第①个小圆中填写的数是，请用科学记数法表示第④个小圆中所填写的数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先列算式，再根据科学记数法求解； （2）先列算式，再根据科学记数法求解. 【详解】（1）解：由题意得：第①个小圆中所填写的数为：； （2）解：由题意得：第④个小圆中所填写的数为：. 【点睛】本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法的定义是关键. 38．（22-23九年级下·河北保定·阶段练习）如图，阶梯图有四级台阶，每个台阶上都标着一个数．已知第1个台阶上的数是． (1)按照从下到上的顺序，每一个台阶阶上的数比前一个台阶上的数大2，求第4个台阶上的数； (2)按照从下到上的顺序，每一个台阶上的数是前一个台阶上的数的，用科学记数法表示第4个台阶上的数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据每一个台阶阶上的数比前一个台阶上的数大2，列出算式计算即可； （2）用第一个台阶的数乘以3次，再表示为科学记数法即可． 【详解】（1）解：第4个台阶上的数为； （2）第4个台阶上的数为． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知规律列出算式，并掌握科学记数法． 39．（22-23七年级上·北京西城·期中）请观察下列各式： ，，，一般地，的（为正整数）次幂等于（小数点后面有位），所以可以利用这种方法表示一些很小的数，例如： ； ． 像上面这样，把一个绝对值小于的数表示成的形式（其中，是正整数），使用的也是科学记数法． 请阅读上述材料，完成下列各题： (1)下列选项中，正确使用科学记数法表示的数是______ A．   B．        C．        D． (2)已知米等于纳米，一微型电子元件的直径约纳米，用科学记数法可以表示成______米． 【答案】(1)B (2) 【分析】（1）科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数； （2）根据1米等于纳米，用即可． 【详解】（1）解：正确使用科学记数法表示的数是， 故答案为：B； （2）解：米米， 故答案为：． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 40．（21-22七年级下·浙江杭州·期中）神舟十三号飞船搭载实验项目中，四川省农科院生物技术研究所共有a粒水稻种子，每粒种子质量大约0.0000325千克；甘肃省天水市元帅系苹果的b粒干燥种粒，每粒种子质量大约0.002275千克，参与航天搭载诱变选育． (1)用科学记数法表示上述两个数． (2)若参与航天搭载这两包种子的质量相等，求的值． (3)若这两包种子的质量总和为1.04千克，水稻种子粒数是苹果种子粒数10倍，求a，b的值． 【答案】(1)0.0000325=3.25×，0.002275=2.275× (2) (3)a=4000，b=400 【分析】（1）绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定； （2）根据题意可知0.0000325a=0.002275b,计算即可； （3）根据题意列出方程组即可解答． 【详解】（1）解：0.0000325=3.25×， 0.002275=2.275×； （2）解：由题意得，0.0000325a=0.002275b， 解得； （3）解：由题意，得 ， 解得：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．还考查了，二元一次方程(组)的应用． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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