第01讲 平方根（知识梳理+10考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第01讲 平方根 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解算术平方根、平方根的概念； 2.会求一个数的算术平方根、平方根； 3.理解算术平方根与平方根的联系与区别. 相关概念 概念 补充与拓展 算术平方根 如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根.记为，读作“根号a”，a叫做被开方数. 算术平方根的性质：正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根. 算术平方根 (a≥0)具有双重非负性： 1）被开方数具有非负性，即a≥0; 2）算平方根本身具有非负性，即≥0. 算术平方根等于它本身的数只有0和1. 平方根 如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根. 正数a的两个平方根记作±，读作“正、负根号a”. 平方根的性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数.0的平方根为0；负数没有平方根. 平方根等于本身的数只有0. 平方根小数点移动规律：被开方数的小数点每向左或右移动两位，那么算术平方根的小数点相应的向左或右移动一位. 利用夹逼法解决平方根的估算问题具体步骤： 1）先确定估算数的整数范围； 2）以较小（或较大）整数为基础，开始逐步加0.1，并求其平方，确定被估算数的十分位； 3）如此继续下去. 求一个数的平方根的运算叫做开平方. 1）开平方时，被开方数a必须是非负数； 2）开平方是求一个非负数的平方根； 3）平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 4）平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确. 平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为± 非负数a的算术平方根表示为 性质 1）正数有两个平方根，且互为相反数； 2）0的平方根为0 3）负数没有平方根 1）正数只有一个算术平方根，且恒为正； 2）0的算术平方根为0 3）负数没有算术平方根 求法 开平方 开平方后取非负的平方根 联系 包含条件 平方根包含了算术平方根，即算术平方根是平方根中的一个（非负的）. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有. 【考点一 求一个数的平方根】 例1．（20-21九年级下·湖北武汉·自主招生）的平方根是（    ） A．4 B．4或 C．2 D．2或 【答案】D 【分析】本题考查的是求一个数的平方根，掌握平方根的定义是解决此题的关键．根据平方根的定义即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：D． 变式1-1．（21-22七年级下·广西百色·期中）下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．0的平方根与算术平方根都是0 【答案】D 【分析】本题考查了平方根与算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义逐项判断即可，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、负数没有平方根，故原说法错误，不符合题意； B、负数没有算术平方根，故原说法错误，不符合题意； C、，的平方根是，故原说法错误，不符合题意； D、0的平方根与算术平方根都是0，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 变式1-2．（22-23八年级下·山东淄博·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，原式利用二次根式的化简公式求解即可，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义． 【详解】解：， 故答案为：． 【考点二 平方根的性质与数轴的综合】 例2．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期末）已知实数a，b，c所对应的点在数轴上的位置如图所示． 化简： ． 【答案】a 【分析】此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，立方根定义，解题关键在于确定a，，，的符号，然后根据二次根式的性质分别去掉根号和绝对值符号． 利用数轴得出，，，，进而化简各式得出答案． 【详解】解：由题中数轴可知，，，，且， ∴，，， ∴， 故答案为：． 变式2-1．（23-24八年级上·四川眉山·阶段练习）实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简    【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值与数轴,正确化简各式是解题关键﹒直接利用数轴得出各式的符号，进而化简得出答案. 【详解】解：由数轴可知：， ， ， ，， 变式2-2．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）如图，实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算，立方根的性质，算术平方根的性质．观察数轴可得，再根据立方根的性质，算术平方根的性质化简，然后计算，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：， ． 【考点三 根据平方根的性质求字母的值】 例3．（22-23八年级下·四川南充·期末）若的值是3，那么a的值是（　　） A．9 B．3 C．﹣3 D．±3 【答案】A 【分析】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根定义是解本题的关键． 【详解】解：， ， 故选：A． 变式3-1．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）若一个正数的两个平方根分别是与，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了平方根的定义以及解一元一次方程，正确理解平方根的定义是解题关键．根据平方根的定义可得，求解即可获得答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴， 解得：， 故答案为：1． 变式3-2．（23-24八年级上·湖南郴州·阶段练习）若是x的一个平方根．则x的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据一个数的平方根求这个数，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵是x的一个平方根， ∴， 故答案为：． 【考点四 根据非负性求解】 例4．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）若，求的值是 ． 【答案】7 【分析】根据二次根式的非负性可求出来x的取值，进而确定x的值，再把x的值代入式子中可求得y的值，即可求得结果． 【详解】解：由题可得且， 即且， ∴， 即=1， ∴， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了二次根式的非负性，掌握该知识是解答本题的关键． 变式4-1（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）若、为实数，且满足，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了非负数的性质、解二元一次方程组以及代数式求值等知识，正确解得、的值是解题关键．根据非负数的性质可得关于、的二元一次方程组，求解并代入求值即可． 【详解】解：∵ 又∵，， ∴可有，解得， ∴． 故答案为：1． 变式4-2．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中），那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、平方及绝对值的非负数的性质，求代数式的值，解题的关键正确利用非负数的性质得出、、的值，然后代入代数式中计算即可． 【详解】解：∵， 又∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴． 故答案为：． 变式4-3．（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知，求： (1)x和y的值； (2)的算术平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，以及算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解答本题的关键． （1）根据偶次方和算术平方根的意义求解即可； （2）根据算术平方根的意义和二次根式的性质求解即可． 【详解】（1）∵， ， ∴； （2）∵ ∴， ∴的算术平方根是． 【考点五 利用平方根的性质解方程】 例5．（23-24八年级上·北京东城·期中）若，则a的值为（    ） A． B． C．6 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是平方根的含义，平方差公式的应用，本题先把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴； 故选A 变式5-1．（22-23八年级上·河南鹤壁·期中）若，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先由整式乘法运算公式-平方差公式化简、移项、合并同类项、直接开平方解方程即可得到答案． 【详解】解：， ， 移项、合并同类项得， 直接开平方得， 故选：C． 【点睛】本题考查解方程，涉及整式乘法运算公式-平方差公式，掌握解方程步骤移项、合并同类项、直接开平方等是解决问题的关键． 变式5-2．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】此题考查了平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键； （1）方程变形后，利用平方根定义计算即可得出答案； （2）方程变形后，利用平方根定义开平方即可求出解； （2）方程变形后，利用平方根定义开平方即可求出解． 【详解】（1） 解得； （2） 解得； （3） 或 解得，． 【考点六 根据平方根与算术平方根的概念求值】 例6．（2023八年级上·全国·专题练习）已知正数的两个不同的平方根分别是 和， 的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求 的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一个数的平方等于，则这个数即为的平方根，其中正的平方根是这个数的算术平方根，根据平方根性质列得方程解得值后即可求得的值，再由算术平方根的定义求得的值即可； （2）将，的值代入中计算后求其平方根即可． 【详解】（1）解：正数的两个不同的平方根分别是 和， ， 解得：， 则， 那么， 的算术平方根是4， ， 解得：； （2）解： ， 那么其平方根为． 【点睛】本题考查平方根的定义及性质，算术平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题关键． 变式6-1．（21-22七年级下·吉林长春·期中）已知． (1)如果x的算术平方根为4，求a的值； (2)如果x，y是同一个正数的两个不同的平方根，求这个正数． 【答案】(1) (2)25 【分析】（1）根据平方运算，可得，解一元一次方程，可得答案； （2）根据同一个数的平方根相等或互为相反数，可得a的值，根据平方运算，可得答案． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是4， ∴， ∴． （2）∵，是同一个数的两个不同的平方根， ∴， 解得：， ∵． ∴这个数是25． 【点睛】本题考查了算术平方根与平方根，熟练掌握一个正数的平方根有两个，且这两个数互为相反数，是解题的关键． 变式6-2．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）已知的平方根为，的算术平方根为4． (1)求，的值； (2)若和是连续的整数，且，求的值． 【答案】(1)， (2)7 【分析】本题考查的是估算无理数的大小及平方根的定义、算术平方根的定义，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键． （1）根据平方根及算术平方根的定义解答即可； （2）先估算出的取值范围，进而可得出a，b的值，再求和即可． 【详解】（1）解：的平方根为，的算术平方根为4， ，， ，； （2）解：，， ， ， ， ， ，， ． 【考点七 估算算术平方根的取值范围】 例7．（23-24八年级上·湖南郴州·阶段练习）若面积为5的正方形的边长为x，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，算术平方根，先根据正方形面积公式确定，再利用放缩法确定的取值范围． 【详解】解：面积为5的正方形的边长为x， ， ， ， ， 故选A． 变式7-1．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）估计的值（   ） A．在和之间 B．在和之间 C．在和之间 D．在和之间 【答案】B 【分析】利用完全平方数进行估算，即可解答． 【详解】解：， ， 估计的值在和之间， 故选：B． 【点睛】本题考查了估算无理数大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键． 变式7-2．（22-23七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知a，b为两个连续的整数，且，则 ． 【答案】5 【分析】利用夹逼法确定，可得，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵a，b为两个连续的整数， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法求解的方法是解题关键． 变式7-3．（21-22七年级下·福建厦门·阶段练习）已知，若是整数，则＝ ． 【答案】-1，2，-2. 【分析】根据题意可知m是整数，然后求出m的范围即可得出m的具体数值，然后根据是整数即可求出答案． 【详解】解：∵是整数， ∴m是整数， ∵， ∴m2≤4， ∴-2≤m≤2， ∴m=-2，-1，0，1，2 当m=±2或-1时，是整数， 故答案为：-1，2，-2 【点睛】本题考查算术平方根，解题的关键是根据条件求出m的范围，本题属于中等题型． 【考点八 求算术平方根的整数部分与小数部分】 例8．（20-21七年级上·山东泰安·阶段练习）的整数部分是 ．小数部分是 ． 【答案】 3 【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为； 故答案为3，． 【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键． 变式8-1．（22-23八年级上·全国·单元测试）若的整数部分是，小数部分为，则 ． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义由得到，则，，然后计算． 【详解】∵ ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根，估算无理数的大小，利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算． 变式8-2．（22-23八年级下·甘肃庆阳·期末）已知． (1)求x，y的值； (2)求的整数部分． 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）根据得，，进行计算即可得； （2）根据，得，根据得，进行计算即可得． 【详解】（1）解：， ，， ，； （2）解：， ∵ ∴， ∴的整数部分是3． 【点睛】本题考查了二次根式，绝对值，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，正确计算． 【考点九 与算术平方根有关的规律探究问题】 例9．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，由即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 变式9-1．（23-24八年级上·四川宜宾·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的规律，被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 故答案为：． 变式9-2．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）先填写表，通过观察后再回答问题： a … 1 100 10000 … … x 1 y 100 … (1)表格中_______，________； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面问题：已知，则________； (3)试比较与a的大小．（提示：在的前提下分三种况讨论） 【答案】(1)，10 (2) (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题主要考查了算术平方根，明确题意，准确得到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的性质，即可求解； （2）根据题意可得当扩大100倍时，扩大10倍，由，即可求解； （3）分三种情况：当时，当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 故答案为：，10； （2）根据题意得：当扩大100倍时，扩大10倍， ∵， ∴， 故答案为：； （3）当时，，此时； 当时，根据与数位规律得：； 当时，根据与数位规律得：； 综上所述，当时，；当时，；当时，． 【考点十 平方根的应用】 例10．（22-23七年级上·云南·期末）勤俭节约是中国人民的传统美德，涛涛的爷爷是能工巧匠，他先做了一张边长为的正方形桌子，结果涛涛说桌子太大，想让爷爷做成面积为的桌子，于是爷爷在原有桌子的基础上，在两边等距消去宽为的阴影部分，于是空白部分成为了涛涛想要的为的桌子，请问的长度为多少？      【答案】 【分析】根据题意列方程，再解方程即可得出结果． 【详解】解：根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）． 故的长度为． 【点睛】本题考查了平方根的应用及方程的思想，本题的关键是，用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义． 变式10-1．（23-24八年级上·吉林长春·期末）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或． (1)根据上述平方根的意义，试求方程的解． (2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 【答案】(1)或 (2)秒 【分析】本题考查平方根及应用， （1）由平方根的知识可得，从而求出方程的解； （2）将代入，得到，再根据平方根的定义求出t的值即可； 熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ∴或； （2）根据题意，得：， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， 答：这个物体到达地面所需的时间为秒． 变式10-2．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）物体自由下落的高度（单位：）与下落时间t（单位：）的关系是．如果有一个物体从高的建筑物上自由落下，到达地面需要多长时间？ 【答案】到达地面需要 【分析】本题主要考查了算术平方根的实际，根据所给的关系式，把代入中求出t的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 把代入，得， ∵， ∴ ∴到达地面需要． 1．（22-23八年级上·贵州铜仁·期末）下列说法：（1）是9的平方根；（2）的平方根是；（3）3是9的算术平方根；（4）9的平方根是3，其中正确的是（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的意义进行判断即可． 【详解】解：（1）是9的平方根，原说法正确； （2）的平方根是，原说法错误； （3）3是9的算术平方根，原说法正确； （4）9的平方根是，原说法错误； 说法正确的共2个， 故选：B． 2．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）已知a，b，c是某三角形的三边，满足则此三角形的面积为（    ） A．32.5 B．60 C．78 D．30 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值、算术平方根、偶次方的非负性，勾股定理的逆定理等知识，求出是解题的关键． 由非负数的性质知，得是直角三角形，从而求出面积． 【详解】解： 由绝对值、偶次方的非负性、算术平方根知： 是直角三角形， 故选：D． 3．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）若，则实数m在数轴上的对应点一定在（　　） A．表示3的点的左侧 B．表示3的点的右侧 C．表示3的点或该点的左侧 D．表示3的点或该点的右侧 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的非负性，实数与数轴，根据非负性，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据数轴上的数右边的比左边的大，可知： 实数m在数轴上的对应点一定在表示3的点或该点的左侧； 故选C． 4．（23-24八年级上·四川成都·期末）下列四个数中，最大的数是（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，根据正数大于0，0大于负数进行比较即可得出答案． 【详解】解：∵ ， ∴最大的数是， 故选：D． 5．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）若一个正数有两个不同的平方根为和，则m的值是（    ） A．1 B．2 C．1或 D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根、解一元一次方程、相反数的性质，根据一个正数有两个的平方根，且互为相反数列方程求解． 【详解】解：∵一个正数有两个不同的平方根为和， ∴，解得， 故选：A． 6．（22-23八年级下·辽宁大连·期末）电流通过导线时会产生热量，电流（单位：）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足．已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，电流的值是（ ） A．2 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的应用．将已知量代入物理公式，即可求得电流的值． 【详解】解：通电时间（单位：与产生的热量（单位：）满足， 所以电流． 故电流的值为5， 故选：B． 7．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）已知，则的值为（　   　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，算术平方根的非负性，代数式求值．熟练掌握完全平方公式，算术平方根的非负性，代数式求值是解题的关键． 由题意知，即，计算求出的值，最后代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得，， ∴， 故选：A． 8．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）已知，且，是两个连续的整数，则的平方根是（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】此题考查了实数的估算与大小比较及平方根．先由题意确定出a，b的值，再根据平方根计算出此题的结果． 【详解】解：∵，， ∴的平方根是 故选B 9．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）公元前世纪古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示． 后来，这一学派的希帕索斯发现，边长为的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示（如图），由此引发了第一次数学危机． 这里“不能用整数或整数的比表示的数”是指（   ） A．正数 B．负数 C．有理数 D．无理数 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：开不尽方的数，含的数，有规律但是不循环的数．根据平方根的定义，得出x的值，即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，为无理数， 故选：D． 10．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）若M的两个平方根是与，则的值为（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根的知识，掌握一个正数的两个平方根互为相反数是关键. 【详解】解：∵M的两个平方根是与， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故选D. 11．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）若m，n为实数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查非负性，根据绝对值和算术平方根的非负性，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：． 12．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的求解，先求出的长，再求出点E的坐标即可． 【详解】正方形的面积为3， ． ． 的坐标为，E在点A的右侧， 的坐标为． 故答案为：． 13．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）若，则 ． 【答案】20 【分析】本题考查非负数的性质、代数式求值．根据非负数的性质可得，，求得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：20． 14．（22-23七年级下·河北唐山·阶段练习）甲同学利用计算器探索一个数的平方，并将数据记录如表： 请根据表求出的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求平方根，解决本题的关键是从图表中获取关键信息．根据表中数据即可得到解答． 【详解】解：由图表可知， ∴的平方根是． 故答案为：． 15．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据运算程序运算即可得到结果，理解运算程序是解题的关键． 【详解】解：， ∵不是无理数， ∴最后输出的值为， 故答案为：． 16．（22-23八年级下·四川成都·期中）探究过程：观察下列各式及其验证过程． 验证：； (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：＝　　；＝　　； (2)通过上述探究你能猜测出：＝　　（），并验证你的结论． 【答案】(1)， (2)，见解析 【分析】本题考查了算术平方根的规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）根据所列等式及其验证过程即可求解； （2）根据所列等式及其验证过程即可猜想，进行验证； 【详解】（1）解：根据所列等式及其验证过程可猜想＝，＝ 故答案为：， （2）解：猜想＝，验证如下： 17．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求的值； (2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求：的平方根． 【答案】(1)2 (2)的平方根是 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、平方根、非负数的性质及绝对值的计算，解题的关键是求得的值及非负数性质的应用，注意平方根有两个． （1）利用数轴上两点间的距离公式计算即可； （2）利用非负数的性质，得到c，d的值，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 18．（23-24八年级上·重庆黔江·期中）已知是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】 此题考查了无理数的估算，求一个数的平方根；首先可以估算的整数部分是3，小数部分是；将其代入求平方根计算可得答案． 【详解】 解：由题意得：，， ． 的平方根为． 19．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）（1）已知的算术平方根为3，的算术平方根为4，求的平方根； （2）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，求的值 【答案】（1）±3；（2） 【分析】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、估算无理数的大小，熟练掌握相关定义和方法是解题的关键． （1）先依据算术平方根的定义列出关于a、b的方程组求得a、b的值，然后代入根据平方根的概念求解即可； （2）根据无理数的估算求出a和b的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）∵的算术平方根为3，的算术平方根为4， ∴， ∴， ∴ ∵9的平方根为 ∴的平方根为； （2）∵ ∴ ∵a，b分别是的整数部分和小数部分， ∴， ∴． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平方根 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解算术平方根、平方根的概念； 2.会求一个数的算术平方根、平方根； 3.理解算术平方根与平方根的联系与区别. 相关概念 概念 补充与拓展 算术平方根 如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根.记为，读作“根号a”，a叫做被开方数. 算术平方根的性质：正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根. 算术平方根 (a≥0)具有双重非负性： 1）被开方数具有非负性，即a≥0; 2）算平方根本身具有非负性，即≥0. 算术平方根等于它本身的数只有0和1. 平方根 如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根. 正数a的两个平方根记作±，读作“正、负根号a”. 平方根的性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数.0的平方根为0；负数没有平方根. 平方根等于本身的数只有0. 平方根小数点移动规律：被开方数的小数点每向左或右移动两位，那么算术平方根的小数点相应的向左或右移动一位. 利用夹逼法解决平方根的估算问题具体步骤： 1）先确定估算数的整数范围； 2）以较小（或较大）整数为基础，开始逐步加0.1，并求其平方，确定被估算数的十分位； 3）如此继续下去. 求一个数的平方根的运算叫做开平方. 1）开平方时，被开方数a必须是非负数； 2）开平方是求一个非负数的平方根； 3）平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 4）平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确. 平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为± 非负数a的算术平方根表示为 性质 1）正数有两个平方根，且互为相反数； 2）0的平方根为0 3）负数没有平方根 1）正数只有一个算术平方根，且恒为正； 2）0的算术平方根为0 3）负数没有算术平方根 求法 开平方 开平方后取非负的平方根 联系 包含条件 平方根包含了算术平方根，即算术平方根是平方根中的一个（非负的）. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有. 【考点一 求一个数的平方根】 例1．（20-21九年级下·湖北武汉·自主招生）的平方根是（    ） A．4 B．4或 C．2 D．2或 变式1-1．（21-22七年级下·广西百色·期中）下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．0的平方根与算术平方根都是0 变式1-2．（22-23八年级下·山东淄博·期中）计算： ． 【考点二 平方根的性质与数轴的综合】 例2．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期末）已知实数a，b，c所对应的点在数轴上的位置如图所示． 化简： ． 变式2-1．（23-24八年级上·四川眉山·阶段练习）实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简    变式2-2．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）如图，实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果． 【考点三 根据平方根的性质求字母的值】 例3．（22-23八年级下·四川南充·期末）若的值是3，那么a的值是（　　） A．9 B．3 C．﹣3 D．±3 变式3-1．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）若一个正数的两个平方根分别是与，则m的值是 ． 变式3-2．（23-24八年级上·湖南郴州·阶段练习）若是x的一个平方根．则x的值是 ． 【考点四 根据非负性求解】 例4．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）若，求的值是 ． 变式4-1（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）若、为实数，且满足，则的值为 ． 变式4-2．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中），那么的值是 ． 变式4-3．（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知，求： (1)x和y的值； (2)的算术平方根． 【考点五 利用平方根的性质解方程】 例5．（23-24八年级上·北京东城·期中）若，则a的值为（    ） A． B． C．6 D．3 变式5-1．（22-23八年级上·河南鹤壁·期中）若，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 变式5-2．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)． 【考点六 根据平方根与算术平方根的概念求值】 例6．（2023八年级上·全国·专题练习）已知正数的两个不同的平方根分别是 和， 的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求 的平方根． 变式6-1．（21-22七年级下·吉林长春·期中）已知． (1)如果x的算术平方根为4，求a的值； (2)如果x，y是同一个正数的两个不同的平方根，求这个正数． 变式6-2．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）已知的平方根为，的算术平方根为4． (1)求，的值； (2)若和是连续的整数，且，求的值． 【考点七 估算算术平方根的取值范围】 例7．（23-24八年级上·湖南郴州·阶段练习）若面积为5的正方形的边长为x，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式7-1．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）估计的值（   ） A．在和之间 B．在和之间 C．在和之间 D．在和之间 变式7-2．（22-23七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知a，b为两个连续的整数，且，则 ． 变式7-3．（21-22七年级下·福建厦门·阶段练习）已知，若是整数，则＝ ． 【考点八 求算术平方根的整数部分与小数部分】 例8．（20-21七年级上·山东泰安·阶段练习）的整数部分是 ．小数部分是 ． 变式8-1．（22-23八年级上·全国·单元测试）若的整数部分是，小数部分为，则 ． 变式8-2．（22-23八年级下·甘肃庆阳·期末）已知． (1)求x，y的值； (2)求的整数部分． 【考点九 与算术平方根有关的规律探究问题】 例9．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）已知，，则（   ） A． B． C． D． 变式9-1．（23-24八年级上·四川宜宾·阶段练习）已知，，则 ． 变式9-2．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）先填写表，通过观察后再回答问题： a … 1 100 10000 … … x 1 y 100 … (1)表格中_______，________； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面问题：已知，则________； (3)试比较与a的大小．（提示：在的前提下分三种况讨论） 【考点十 平方根的应用】 例10．（22-23七年级上·云南·期末）勤俭节约是中国人民的传统美德，涛涛的爷爷是能工巧匠，他先做了一张边长为的正方形桌子，结果涛涛说桌子太大，想让爷爷做成面积为的桌子，于是爷爷在原有桌子的基础上，在两边等距消去宽为的阴影部分，于是空白部分成为了涛涛想要的为的桌子，请问的长度为多少？      变式10-1．（23-24八年级上·吉林长春·期末）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或． (1)根据上述平方根的意义，试求方程的解． (2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 变式10-2．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）物体自由下落的高度（单位：）与下落时间t（单位：）的关系是．如果有一个物体从高的建筑物上自由落下，到达地面需要多长时间？ 1．（22-23八年级上·贵州铜仁·期末）下列说法：（1）是9的平方根；（2）的平方根是；（3）3是9的算术平方根；（4）9的平方根是3，其中正确的是（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 2．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）已知a，b，c是某三角形的三边，满足则此三角形的面积为（    ） A．32.5 B．60 C．78 D．30 3．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）若，则实数m在数轴上的对应点一定在（　　） A．表示3的点的左侧 B．表示3的点的右侧 C．表示3的点或该点的左侧 D．表示3的点或该点的右侧 4．（23-24八年级上·四川成都·期末）下列四个数中，最大的数是（    ） A．3 B．2 C． D． 5．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）若一个正数有两个不同的平方根为和，则m的值是（    ） A．1 B．2 C．1或 D． 6．（22-23八年级下·辽宁大连·期末）电流通过导线时会产生热量，电流（单位：）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足．已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，电流的值是（ ） A．2 B．5 C．8 D．10 7．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）已知，则的值为（　   　） A． B．1 C． D． 8．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）已知，且，是两个连续的整数，则的平方根是（    ） A．3 B． C．4 D． 9．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）公元前世纪古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示． 后来，这一学派的希帕索斯发现，边长为的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示（如图），由此引发了第一次数学危机． 这里“不能用整数或整数的比表示的数”是指（   ） A．正数 B．负数 C．有理数 D．无理数 10．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）若M的两个平方根是与，则的值为（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 11．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）若m，n为实数，且，则的值为 ． 12．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为 ． 13．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）若，则 ． 14．（22-23七年级下·河北唐山·阶段练习）甲同学利用计算器探索一个数的平方，并将数据记录如表： 请根据表求出的平方根是 ． 15．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的值是 ． 16．（22-23八年级下·四川成都·期中）探究过程：观察下列各式及其验证过程． 验证：； (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：＝　　；＝　　； (2)通过上述探究你能猜测出：＝　　（），并验证你的结论． 17．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求的值； (2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求：的平方根． 18．（23-24八年级上·重庆黔江·期中）已知是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 19．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）（1）已知的算术平方根为3，的算术平方根为4，求的平方根； （2）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，求的值 ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$