高二数学期末模拟试卷02【好题汇编】-备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编（北师大版2019选择性必修第二册）

高二期末模拟卷02 1、 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数单调性解不等式，化简，根据交集运算求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 2．公差不为零的等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】根据等差数列的前n项和公式结合等差数列的性质即可得解. 【详解】设公差为， ， ，∴，． 故选：C． 3．在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则的值为（   ） A．3 B． C． D．9 【答案】D 【分析】由等比数列下标和性质及求出，再根据函数存在极值点条件求解即可． 【详解】因为为等比数列，， 所以，解得或（不合题意，舍去）， 所以， ，令，即， 由题意得，是方程的两个相异正根， 则，，符合题意， 故选：D． 4．若x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】等价变形，然后构造函数得出，解不等式得，再利用充分条件和必要条件的定义，即可得解. 【详解】设命题p：，命题q： 对于命题p，因为，所以，， 构造函数，易知在R上为增函数，所以； 对于命题q，因为，所以，即； 所以为假命题，为真命题； 所以p是q的必要不充分条件; 故选：B. 5．19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律，后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则k的值为（    ） A．674 B．675 C．676 D．677 【答案】B 【分析】结合条件及对数的运算法则计算即可. 【详解】，，故． 故选：B 6．已知是函数的极小值点，则的极大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，根据题意结合极值点的性质求得，并代入原函数检验，利用导数判断的单调性和极值. 【详解】因为， 由题意可知：，解得， 若，则，， 且的定义域为， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 可知是函数的极小值点，即符合题意， 所以的极大值为. 故选：A． 7．已知函数在上单调递增，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，参变量分离将问题转化为恒成立，设，根据函数的单调性求出的范围即可． 【详解】， 由题意得：在上恒成立，即恒成立， 设，， 令，解得：，令，解得：， 故在递减，在递增， 故，故， 所以正实数. 故选：C. 8．已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的，满足，且，则（    ） A． B．是偶函数 C．关于直线对称 D． 【答案】D 【分析】借助赋值法令，即可得A；结合赋值法与函数奇偶性的定义计算可得B；结合复合函数导数公式与对称性可得C；借助赋值法，可逐项计算出到，即可得解. 【详解】对A：令，有，故，故A错误； 对B：令，有，又不恒为零， 故，即，又，故是奇函数，故B错误； 对C：由，则，即， 即是偶函数，即关于对称，故C错误； 对D：由，故， 令，有， 即，则，即， ，即，，即， 令，有， 即，则， ，， 故，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：D选项中，关键点在于令可得，结合，可得为偶数时，. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．设正实数满足，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．有最大值2 D．的最大值为 【答案】AC 【分析】对于A，根据“1”的妙用，结合基本不等式，即可求得最小值，即可判定；对于B，条件化为，根据“1”的妙用，结合基本不等式，即可求得最小值，即可判定；对于C，平方后，利用基本不等式即可；对于D，根据条件消去，结合二次函数的性质即可判定. 【详解】对于A，因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为2，A正确； 对于B，因为，所以， 即， 所以 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为，则B错误； 对于C，因为， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立，故有最大值2， 则C正确； 对于D，因为，则， 所以， 当时，有最大值，不符合题意，故D错误， 故选：AC. 10．设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 11．对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（与互质），则（ ） A．若n为质数，则 B．数列单调递增 C．数列的最大值为1 D．数列为等比数列 【答案】ACD 【分析】利用新定义，结合数列的单调性和等比数列的定义逐个判断即可. 【详解】因为为质数，故小于或等于的正整数中与互质的数的数目为 ，此时，故A正确. 因为，所以，故数列不是单调递增，故B错误. 小于等于的正整数中与互质的数为，数目为， 所以在时递减，故当时，数列的最大值为1，故C正确. 小于等于的正整数中与互质的数的数为，数目为， 故，而，故数列为等比数列，故D正确. 故选： ACD. 【点睛】关键点点睛：从质数定义入手，结合题目信息，逐步解答. 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知函数，则 . 【答案】 【分析】利用已知的分段函数，可先求，再求即可. 【详解】因为，所以. 所以. 故答案为：. 13．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 14．已知是各项均为正实数的数列的前n项和，，若，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意首先得，，进一步将原问题转换为恒成立，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为， 又因为是各项均为正实数的数列， 所以，即数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以， 而，所以， 即恒成立， 又，当且仅当时，等号成立， 所以，即实数m的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键是首先得，，由此即可顺利得解. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知幂函数在上单调递增，函数. (1)求的值； (2)当时，记、的值域分别为集合、，若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义与单调性可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值； （2）求出集合、，分析可得，可得出关于实数的不等式组，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为幂函数在上单调递增，则，解得. （2）解：由（1）可知，当时，，即， 当时，，即， 因为，则，所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 16．在数列中，，，且. (1)证明：是等差数列. (2)求的通项公式. (3)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列的定义结合已知条件证明即可； （2）由（1）可得，再利用累加法可求得结果； （3）由（2）得，利用裂项相消法可求得结果. 【详解】（1）因为在数列中，，，且， 所以， 所以是首项为，公差为2的等差数列. （2）由（1）得， 则， 得，即． 又符合， 所以（或）． （3）由（2）知， 所以. 17．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上为减函数，在上为增函数 (2). 【分析】（1）求导可得，可求单调区间； （2）分离变量，可得，令，求得的最大值即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，，所以， 当时，，在上为减函数， 当时，，在上为增函数， 综上所述：在上为减函数，在上为增函数； （2）若，不等式恒成立， 则对均成立，所以 令， 则， 令，显然为上的减函数， 又， 所以，，则在上为增函数， 当时，，则在上为减函数， 所以，所以，所以， 所以实数的取值范围为. 18．已知数列的各项都为正数，且其前项和. (1)证明：是等差数列，并求； (2)如果，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2). 【分析】（1）借助与的关系，结合等差数列定义计算即可得解； （2）借助错位相减法计算即可得. 【详解】（1）当时，或， 因为，所以， ， 两式相减得， 因为，所以， 故是首项为1，公差为的等差数列， ； （2）由（1）知， ， ， 则， ， 所以. 19．给出以下三个材料： ①若函数的导数为，的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做的三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做的四阶导数…，一般地，n－1阶导数的导数叫做的n阶导数，即，； ②若，定义；③若函数在包含的某个开区间上具有n阶的导数，那么对于有，我们将称为函数在点处的n阶泰勒展开式.例如，在点处的n阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目： (1)若，在点处的3阶泰勒展开式分别为，，求出，； (2)比较（1）中与的大小； (3)证明：. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用n阶泰勒展开式的定义，求解，； （2）两函数作差，通过构造函数，利用导数求最值的方法比较大小； （3）借助泰勒展开式，利用导数得到函数单调性，证明不等式. 【详解】（1），则有，， ∴，，， ∴ 同理可得：. （2）由（1）知：，， 令，则， ∴，∴在R上单调递增， 又，∴在上，单调递减；在上，单调递增， ∴，即， 故 （3）令，则 由（2）知，，所以在R上单调递增，又， 所以当时，，； 当时，，； 当时，，， ∴在点处的4阶泰勒展开式为：， ∴，当且仅当x＝0时取等号， ①当时，，当且仅当x＝0时取等号， 所以 ②当时，设，， ，， 若，由于，所以， ， ，从而 若，， 所以，时，单调递减，从而，即. 综上：. 【点睛】方法点睛： “新定义运算”指的是使用新定义的运算方法求解数学问题，这些新定义的运算可以是像“阶乘”、“斐波那契数列”这样的经典运算，也可以是一些比较新奇的概念，要透彻理解新定义的本质，严格按照新定义运算规则进行计算，与相关基础数学知识联系去解决问题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二期末模拟卷02 1、 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．公差不为零的等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 3．在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则的值为（   ） A．3 B． C． D．9 4．若x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律，后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则k的值为（    ） A．674 B．675 C．676 D．677 6．已知是函数的极小值点，则的极大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在上单调递增，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的，满足，且，则（    ） A． B．是偶函数 C．关于直线对称 D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．设正实数满足，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．有最大值2 D．的最大值为 10．设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 11．对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（与互质），则（ ） A．若n为质数，则 B．数列单调递增 C．数列的最大值为1 D．数列为等比数列 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知函数，则 . 13．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 14．已知是各项均为正实数的数列的前n项和，，若，则实数m的取值范围是 ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知幂函数在上单调递增，函数. (1)求的值； (2)当时，记、的值域分别为集合、，若，求实数的取值范围. 16．在数列中，，，且. (1)证明：是等差数列. (2)求的通项公式. (3)求数列的前项和. 17．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18．已知数列的各项都为正数，且其前项和. (1)证明：是等差数列，并求； (2)如果，求数列的前项和. 19．给出以下三个材料： ①若函数的导数为，的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做的三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做的四阶导数…，一般地，n－1阶导数的导数叫做的n阶导数，即，； ②若，定义；③若函数在包含的某个开区间上具有n阶的导数，那么对于有，我们将称为函数在点处的n阶泰勒展开式.例如，在点处的n阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目： (1)若，在点处的3阶泰勒展开式分别为，，求出，； (2)比较（1）中与的大小； (3)证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$