串讲06 多面体（考点串讲）-【中职专用】2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（高教版2021）

串讲06 多面体 知识结构 要点梳理 知识点一 多面体 (1)多面体：由若干个_平面多边形__围成的几何体叫做多面体(如图)，围成多面体的各个多边形叫做多面体的_面__；相邻两个面的_公共边__叫做多面体的棱；棱与棱的_公共点__叫做多面体的顶点． 知识点二 棱柱 定义 一般地，有两个面互相_平行_，其余各面都是_四边形_，并且每_相邻_两个四边形的公共边都互相_平行_，由这些面所围成的_多面体_叫做棱柱 有关 概念 棱柱中，两个互相_平行_的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的_公共边_叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的_公共顶点_叫做棱柱的顶点 图形 表示法 用表示底面各顶点的_字母_表示棱柱，如上图中的棱柱可记为棱柱ABCDE－A′B′C′D′E′ 分类 按底面多边形的_边数_分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 知识点三 正棱柱的性质： （１）两个底面是平行且全等的正多边形； （2）侧面都是全等的矩形； （3）侧棱互相平行并垂直于底面，各侧棱长都相等，并且等于正棱柱的高． 知识点四 直棱柱的表面积和体积 直棱柱侧面积为 直棱柱的表面积为 直棱柱的体积公式 其中, 表示直棱柱的底面的面积，c是表示直棱柱的底面周长，是直棱柱的高. 知识点五 棱锥 定义 一般地，有一个面是_多边形_，其余各面都是 _有一个公共顶点_的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 有关 概念 多边形面叫做棱锥的底面或底；有_公共顶点_的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的_公共顶点_叫做棱锥的顶点；相邻侧面的_公共边_叫做棱锥的侧棱 图形 表示法 用表示顶点和底面各顶点的_字母_表示，如上图中的棱锥可记为棱锥_S－ABCD_ 分类 按底面多边形的_边数_分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫_四面体_ 知识点六 正棱锥 底面是正多边形，顶点在底面内的投影是底面中心的棱锥称为其叫做正棱锥．正棱锥侧面三角形的高称为棱锥的斜高，如图7−14中的． 正棱锥有下列性质： （1）各侧棱的长相等，斜高相等，侧面都是全等的等腰三角形； （2）顶点到底面中心的连线垂直与底面，是正棱锥的高； （3）正棱锥的高、斜高与斜高在底面的投影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱与侧棱在底面的投影也组成一个直角三角形． 知识点七 正棱锥的表面积和体积 . 其中,表示正棱锥底面的周长,是正棱锥的斜高,表示正棱锥的底面的面积. . 其中, 表示正棱锥的底面的面积，是正棱锥的高. 知识点八 画空间几何体的直观图的步骤 (1)在几何体中取水平平面，作互相垂直的轴Ox、Oy，再作Oz轴，使∠xOy＝90°，∠xOz＝90°. (2)画出与Ox、Oy、Oz对应的轴O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面． (3)在几何体中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成__平行__于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同． (4)在几何体中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度__不变__，平行于y轴的线段，长度为原来的__一半__. (5)擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图． 题型探究： 考点一 棱柱、棱锥的结构特征 例1．下面是关于四棱柱的四个命题： （1）若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 （2）若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 （3）若四个侧面中的任何两个都全等，则该四棱柱为直四棱柱 （4）若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．以下各几何体中， 是棱柱的是 （    ） A． B． C． D． 【变式】1．下列命题中为真命题的是（    ） A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B．棱柱的每个面都是平行四边形 C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 D．正四棱柱是平行六面体 2．下列几何体中是棱锥的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 考点二 直棱柱的表面积与体积 例4. 正四棱柱的高为3cm,体对角线长为cm,则正四棱柱的侧面积为 A．10 B．24 C．36 D．40 例5.设正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为 ． 【变式】1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为　　 A． B． C． D． 2．已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为2，则该三棱柱的体积为 . 考点三 棱锥的表面积与体积 例6．若一个四棱锥的底面的面积为3，体积为9，则其高为（   ） A． B．1 C．3 D．9 例7. 棱长为1的正四面体的表面积为 ． 【变式探究】1．底面边长为2，高为1的正三棱锥的全面积为 . 2. 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积是 . 考点四 几何体的直观图画法 例6．画底面边长为3cm、高为3cm的正四棱锥的直观图． 【变式探究】用斜二测画法画出底面边长为2cm，侧棱长为3cm的正三棱柱的直观图. 素养作业 1. 一个棱柱有两个侧面是矩形，能保证它是直棱柱的是（    ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 2. 下列图形所表示的几何体中，不是棱锥的为（    ） A． B． C． D． 3. 下列说法中正确的个数为（    ） ①各侧棱都相等的棱锥为正棱锥； ②各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥； ③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥； ④底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥． A． B． C． D． 4. 若长方体的三条棱长分别是，则长方体体对角线长为（    ） A． B． C． D． 5．正方体的全面积为18cm2，则它的体积是 6．已知一个正四棱锥的底面边长为1，高为，则该正四棱锥的表面积为 . 7. 如果正四棱柱的对角线长为3.5，侧面的一条对角线长为2.5，则该棱柱的体积为 . 8．用斜二测画法画底面边长为，高为的正三棱柱的直观图.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 串讲06 多面体 知识结构 要点梳理 知识点一 多面体 (1)多面体：由若干个_平面多边形__围成的几何体叫做多面体(如图)，围成多面体的各个多边形叫做多面体的_面__；相邻两个面的_公共边__叫做多面体的棱；棱与棱的_公共点__叫做多面体的顶点． 知识点二 棱柱 定义 一般地，有两个面互相_平行_，其余各面都是_四边形_，并且每_相邻_两个四边形的公共边都互相_平行_，由这些面所围成的_多面体_叫做棱柱 有关 概念 棱柱中，两个互相_平行_的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的_公共边_叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的_公共顶点_叫做棱柱的顶点 图形 表示法 用表示底面各顶点的_字母_表示棱柱，如上图中的棱柱可记为棱柱ABCDE－A′B′C′D′E′ 分类 按底面多边形的_边数_分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 知识点三 正棱柱的性质： （１）两个底面是平行且全等的正多边形； （2）侧面都是全等的矩形； （3）侧棱互相平行并垂直于底面，各侧棱长都相等，并且等于正棱柱的高． 知识点四 直棱柱的表面积和体积 直棱柱侧面积为 直棱柱的表面积为 直棱柱的体积公式 其中, 表示直棱柱的底面的面积，c是表示直棱柱的底面周长，是直棱柱的高. 知识点五 棱锥 定义 一般地，有一个面是_多边形_，其余各面都是 _有一个公共顶点_的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 有关 概念 多边形面叫做棱锥的底面或底；有_公共顶点_的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的_公共顶点_叫做棱锥的顶点；相邻侧面的_公共边_叫做棱锥的侧棱 图形 表示法 用表示顶点和底面各顶点的_字母_表示，如上图中的棱锥可记为棱锥_S－ABCD_ 分类 按底面多边形的_边数_分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫_四面体_ 知识点六 正棱锥 底面是正多边形，顶点在底面内的投影是底面中心的棱锥称为其叫做正棱锥．正棱锥侧面三角形的高称为棱锥的斜高，如图7−14中的． 正棱锥有下列性质： （1）各侧棱的长相等，斜高相等，侧面都是全等的等腰三角形； （2）顶点到底面中心的连线垂直与底面，是正棱锥的高； （3）正棱锥的高、斜高与斜高在底面的投影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱与侧棱在底面的投影也组成一个直角三角形． 知识点七 正棱锥的表面积和体积 . 其中,表示正棱锥底面的周长,是正棱锥的斜高,表示正棱锥的底面的面积. . 其中, 表示正棱锥的底面的面积，是正棱锥的高. 知识点八 画空间几何体的直观图的步骤 (1)在几何体中取水平平面，作互相垂直的轴Ox、Oy，再作Oz轴，使∠xOy＝90°，∠xOz＝90°. (2)画出与Ox、Oy、Oz对应的轴O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面． (3)在几何体中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成__平行__于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同． (4)在几何体中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度__不变__，平行于y轴的线段，长度为原来的__一半__. (5)擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图． 题型探究： 考点一 棱柱、棱锥的结构特征 例1．下面是关于四棱柱的四个命题： （1）若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 （2）若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 （3）若四个侧面中的任何两个都全等，则该四棱柱为直四棱柱 （4）若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据直四棱柱的定义，分别判断各个命题即可得出结果. 【详解】对于命题（1），斜四棱柱的两个相对侧面可能平行且垂直于底面，故命题（1）为假命题； 对于命题（2），两截面的交线平行于侧棱且垂直于底面，故命题（2）为真命题； 对于命题（3），如图③：作正四棱柱的两个平行的菱形截面，可得满足条件的斜四棱柱，故命题（3）为假命题；    对于命题（4），如图④：四棱柱的一个对角面的两条对角线恰为四棱柱的对角线，故对角面为矩形， 于是侧棱垂直于底面的一对角线，同样侧棱也垂直于底面的另一对角线，故侧棱垂直于底面，故命题（4）为真命题； 故选：B. 例2．以下各几何体中， 是棱柱的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的条件，利用棱柱的定义直接判断作答. 【详解】对于A，几何体是三棱锥，不是棱柱，A不是； 对于B，几何体有两个平面平行，其余各面都是梯形，不是棱柱，B不是； 对于C，几何体有两个平面平行，其余各面都是梯形，不是棱柱，C不是； 对于D，几何体有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，是棱柱，D是. 故选：D 【变式】1．下列命题中为真命题的是（    ） A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B．棱柱的每个面都是平行四边形 C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 D．正四棱柱是平行六面体 【答案】D 【分析】根据空间几何体的几何特征和性质即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，当底面不是矩形时，直四棱柱不是长方体，故A错误； 对于B，棱柱的上、下底面可能不是平行四边形，比如三棱柱，五棱柱等，故B错误； 对于C，可以是两对称面为矩形的平行六面体，故C错误； 对于D，正四棱柱是平行六面体，故D正确. 故选：D. 2．下列几何体中是棱锥的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】由棱锥的定义逐个判断即可得解. 【详解】由棱锥的定义可得，只有几何体⑤、⑥为棱锥. 故选：C. 考点二 直棱柱的表面积与体积 例4. 正四棱柱的高为3cm,体对角线长为cm,则正四棱柱的侧面积为 A．10 B．24 C．36 D．40 【答案】B 【分析】设正四棱柱，设底面边长为，由正四棱柱体对角线的平方等于从同一顶点出发的三条棱的平方和，可得关于的方程. 【详解】如图，正四棱柱，设底面边长为， 则，解得：， 所以正四棱柱的侧面积. 例5.设正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为 ． 【答案】 【分析】根据正棱柱的定义，结合体积的计算公式，可得答案 【详解】由正六棱柱可得底面为正六边形，则底面积， 即正六棱柱的体积. 故答案为：. 【变式】1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正六棱柱的表面积公式进行计算即可． 【详解】解：正六棱柱的高为6，底面边长为4， 两个底面积为， 六棱柱的侧面积为， 六棱柱的表面积为， 故选：． 2．已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为2，则该三棱柱的体积为 . 【答案】6 【分析】利用棱柱的体积公式求三棱柱的体积. 【详解】由题设，所以该三棱柱的体积为. 故答案为：6 考点三 棱锥的表面积与体积 例6．若一个四棱锥的底面的面积为3，体积为9，则其高为（   ） A． B．1 C．3 D．9 【答案】D 【分析】根据给定条件利用锥体的体积公式计算即得. 【详解】设四棱锥的高为h，则由锥体的体积公式得：×3h=9，解得h=9， 所以所求高为9. 故选：D 例7. 棱长为1的正四面体的表面积为 ． 【答案】 【分析】由题意可知4个面均为边长为1的等边三角形，从而可求出其表面积. 【详解】因为正四面体的棱长为1， 所以此正四面体的表面积为， 故答案为：. 【变式探究】1．底面边长为2，高为1的正三棱锥的全面积为 . 【答案】 【分析】利用底边边长和高计算正三棱锥的斜高可得全面积. 【详解】因为底面的边长为2，故底面中心到底面边的距离为，故斜高为，故全面积为，填. 2. 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积是 . 【答案】/ 【分析】根据三条侧棱两两垂直的关系,利用线面垂直的判定定理可得一条侧棱是相对应侧面上的高，进而得到底面面积和三棱锥的高，由三棱锥体积公式可求得结果. 【详解】 不妨设，，，且两两互相垂直， ， 又，，平面，， 平面，. 故答案为：. 考点四 几何体的直观图画法 例6．画底面边长为3cm、高为3cm的正四棱锥的直观图． 【答案】答案见解析 【分析】根据直观图的作图步骤即可. 【详解】画法：（1）画轴，画轴、轴、轴，它们交于点， 使. （2）画底面，按轴、轴画正方形的直观图，取边长等于， 使正方形的中心对应于点，在轴上分别取点、、、，且使，，分别过、、、作平行于轴的直线，分别交于、、、四点. （3）画高（线），在轴上取 （4）成图，连结、、、，并加以整理，就得到所要画的正四棱雉的直观图.    【变式探究】用斜二测画法画出底面边长为2cm，侧棱长为3cm的正三棱柱的直观图. 【答案】见解析. 【分析】建立空间直角坐标系，可以底面三角形一边所在直线为轴，高所在直线为轴，过这边中点，与底面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，斜二测画法中，轴水平，轴与轴垂直，轴与夹角为45°，平行于轴、轴的线段仍平行于轴、轴，长度不变，平行于轴的线段仍平行轴，但长度为原来的一半．画出图形后，擦去坐标轴得直观图． 【详解】正三棱柱直观图如图：       素养作业 1. 一个棱柱有两个侧面是矩形，能保证它是直棱柱的是（    ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 【答案】A 【分析】根据直棱柱的定义结合线面垂直的判定定理即得. 【详解】对A，三棱柱有两个侧面是矩形，则侧棱与底面两条相交直线垂直，侧棱与底面垂直，此时棱柱一定为直棱柱，故A正确； 对BCD，一个棱柱有两个侧面是矩形，若侧棱与底面两条平行的两边垂直，则侧棱与底面不一定垂直，此时的棱柱不一定是直棱柱，而四棱柱，五棱柱，六棱柱的底面都可能有两条平行的边，故BCD错误. 故选：A. 2. 下列图形所表示的几何体中，不是棱锥的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据棱锥的定义结合结合图形分析可得答案. 【详解】棱锥的定义为：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 根据棱锥的定义，B 、C 、D选项中的几何图形是棱锥，A选项中的几何图形是由两个棱锥组合而成的，所以不是棱锥; 故选：A 3. 下列说法中正确的个数为（    ） ①各侧棱都相等的棱锥为正棱锥； ②各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥； ③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥； ④底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正棱锥定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于①，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，①错误； 对于②，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，②错误； 对于③，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，③错误； 对于④，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面射影为底面中心，满足正棱锥定义，④正确. 故选：D. 4. 若长方体的三条棱长分别是，则长方体体对角线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理计算可得； 【详解】解：如图长方体中、，， 则， 所以； 故选：A 5．正方体的全面积为18cm2，则它的体积是 【答案】 【解析】先由题条件，求出正方体棱长，再由体积公式，即可求出结果. 【详解】设该正方体的棱长为 cm， 由题意可得，，解得， 所以该正方体的体积为. 故答案为： 6．已知一个正四棱锥的底面边长为1，高为，则该正四棱锥的表面积为 . 【答案】4 【分析】根据正四棱锥的结构特征，求出正四棱锥的斜高，再求出表面积. 【详解】如图，四棱锥为正四棱锥，高，底面边长， 过点作于，则是的中点，连接，于是斜高， 所以正四棱锥的表面积. 故答案为：4 7. 如果正四棱柱的对角线长为3.5，侧面的一条对角线长为2.5，则该棱柱的体积为 . 【答案】 【分析】设正四棱柱的底面边长为，高为，根据对角线长和面对角线长列式，求出和，再根据棱柱的体积公式可求出结果. 【详解】设正四棱柱的底面边长为，高为， 则且， 所以，， 所以， 所以该棱柱的体积为. 故答案为：. 8．用斜二测画法画底面边长为，高为的正三棱柱的直观图. 【答案】图象见解析 【分析】根据斜二测画法，先在底面建立坐标系，并在坐标系中确定点、、的位置，然后过点作轴，分别作轴、轴、轴，并确定、、的位置，最后连线可得出正三棱柱的直观图. 【详解】如图（1）可以选取底面正三角形的底边中点作为坐标原点建立坐标系，按如下步骤完成画图. 第一步：在轴上取，在轴上取，连接三点得到；    第二步：过点作轴的平行线，且在此直线上取点，使得，用同样的方法取点、； 第三步：连接各点并擦去多余线段就得到正三棱柱的直观图，如图（2）所示.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$