专题04 多边形（思维导图+3重点+11题型+过关检测）【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

专题04 多边形 知识点 1 ： 三角形的重要线段 重要线段 概念 图形 性质 三角形的高 从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）． ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线 ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC 三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线． ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 三角形的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 ∵DE是∆ABC的中位线 ∴AD=DB AE=EC DE=BC DE∥BC 知识点2： 三角形的性质 三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边． 推论：三角形的两边之差小于第三边． 三角形三边关系定理及推论的应用： 1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形． 2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理的应用： 1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数； 2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数； 3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数. 三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°． 三角形的外角和的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 知识点3： 多边形的相关概念 多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.  多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2) 个三角形，n边形的对角线条数为  多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（n≥3）. 【解题技巧】 1）n边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1，内角和增加180°. 2）任意多边形的内角和均为180°的整数倍. 3）利用多边形内角和定理可解决三类问题：①已知多边形的边数求内角和； ②已知多边形的内角和求边数； ③已知足够的角度条件下求某一个内角的度数． 多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关. 正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形. 【解题技巧】 1）正n边形的每个内角为，每一个外角为． 2）正n边形有n条对称轴． 3）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形． 题型归纳 【题型1 等面积法求高】 1．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在中，，，，． (1)画出中边上的高； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】根据三角形的高求三角形面积是解决本题关键． （1）根据三角形的高定义作图即可． （2）因为，所以是直角三角形，根据等面积法即可求出的长． 【详解】（1） （2）解：， ， ． 2．（21-22八年级上·广西南宁·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．    (1)如图1，在中，，则长为 　 　； (2)如图2，在中，，则的高与的比是 　 　； (3)如图3，在中，，点D，P分别在边上，且，垂足分别为点E，F．若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握利用等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵，且， ∴， 又∵， ∴， 即． 3．（23-24八年级上·广西南宁·期中）我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为等面积法．    (1)如图1，是边上的高，是边上的高，我们知道，则______． (2)如图1，若，，，，是斜边上的高线，用等面积法求的长． (3)如图2，在等腰三角形中，，，过A作于点H，且，P为底边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为M，N，连接，利用，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、折叠的性质等知识点，正确理解“等面积法”并正确的识别图形是解题的关键． （1）直接运用三角形面积公式即可解答； （2）直接运用（1）的结论进行解答即可； （3）根据三角形的面积公式计算即可解答． 【详解】（1）解：． 故答案为． （2）解：由（1）可得：， 则，解得：． （3）解： ∵， ∴， ， ∴． 【题型2 利用三角形的中线求面积】 4．（23-24九年级上·广西南宁·期中）阅读理解：已知三角形的中线具有等分三角形面积的性质，即如图①，是中边上的中线，则，理由：，即：等底同高的三角形面积相等． 回答下列问题： (1)如图②，点分别是的中点，且，则图②中阴影部分的面积为________； (2)如图③，已知四边形的面积是分别是的中点，点是四边形内一点，求出图中阴影部分的面积． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题主要考查了中线与三角形的面积关系应用： （1）根据等底同高的三角形面积相等，可知道，阴影部分的面积为三个三角形，这三个三角形面积相等，于是得到结果． （2）连接，根据等底同高的三角形面积相等，可求出结果． 【详解】（1）连接， ∵， ∴， ∴， 同理可得： ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：12； （2）连接， ∵是边的中点， ∴， 同理， ∴图中阴影部分的面积四边形的面积． 5．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）典型题例： （1）如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？为什么？ （2）如图2，是的中线，你能把一个三角形分成面积相等的4个三角形吗？试画出相应的图形？（两种方法画图）    迁移应用： （3）如图3，的两条中线，相交于点，求证：； （4）如图4，的三条中线，，相交于点， ①请你写出所有与面积相等的三角形； ②写出与的数量关系式，并说明理由；    拓展应用； （5）设的面积为a，如图①将边分别2等份，、相交于点O，的面积记为；如图②将边分别3等份，、相交于点O，的面积记为；……，以此类推，若，则a的值为__________．    【答案】（1）；理由见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）①与面积相等的三角形有，，，，；②，理由见解析；（5）27 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质、三角形的面积公式，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键． （1）根据过点A作于点H，根据中心得出，根据三角形的面积公式得出，，即可求出结果； （2）根据三角形面积的有关计算公式进行求解即可． （3）根据三角形的中线的性质得到，同理可得，证明结论； （4）①根据三角形的中线的性质、结合图形判断； ②根据高相等的两个三角形的面积比等于底的比证明； （5）利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得． 【详解】解：（1）；理由见如下： 过点A作于点H，如图所示：    ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴； （2）方法一：取的四等分点E、D、F，连接、、，此时分的四个三角形面积相等，如图所示：    ∵， ∴； 方法二：取、、的中点E、D、F，连接、、，则此时的四个三角形面积相等，如图所示：    ∵D为的中点， ∴， ∴， 同理得：，， ∴； （3）是的中线，则 ， 同理， ， ； （4）①； ∴与面积相等的三角形有，，，，； ②， 理由如下：， ， ； （5）在图①中，连接，   ，， ，，， ，， ， ， 设，则 ， 解得； 在图②中，连接、、，    则，， 设，则 ， 解得； 在图③中，连、、、、， 则，， 设，则 ， 解得， ． 由可知，， ， ， 解得． 故答案为：27． 【题型3 与平行线/角平分线有关的三角形内角和问题】 6．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【问题原型】如图①，已知，试说明． 【解法1】下面是小京的解法，阅读解题过程，并在括号内填上相应的理论依据： 如图②，连结． 在中，．（___________） ． ，（已知） ．（___________） ． ． ．（等量代换） 【解法2】下面是小开的解法，阅读解题过程，并在括号内填上相应的理论依据： 如图③，作． （已知）． （___________） ， ．（___________） 同理，． ． ． 【方法应用】如图④，，当点P在此位置时，试判断的数量关系． 请你参考小开的解法，利用内错角来说明你的结论． 【问题探究1】如图⑤，，点P在和之间，直接写出的数量关系为___________． 【问题探究2】如图⑥，，点P在直线的下方，直接写出，的数量关系为___________． 【答案】解法1：三角形内角和定理；两直线平行，同旁内角互补；解法2：平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；方法应用：，理由见解析；问题探究1：；问题探究2： 【分析】此题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质； 解法1：结合图形，根据证明过程填写即可； 解法2：结合图形，根据证明过程填写即可；． 方法应用：过点P作，延长到R，延长到Q，首先证，根据平行线的性质得，，则，再根据平角的定义得，，据此即可得出、的数量关系； 问题探究1：过点P作，先证，再根据平行线的性质得，，进而得，据此即可得出、的数量关系； 问题探究2：设与交于点H，先由得，再根据三角形外角性质得，据此即可得出的数量关系． 【详解】解法1：如图②，连结． 在中，．（三角形内角和定理） ． ，（已知） ．（两直线平行，同旁内角互补） ． ． ．（等量代换） 故答案为：三角形内角和定理；两直线平行，同旁内角互补； 解法2：如图③，作． （已知）． ．（平行于同一直线的两条直线互相平行） ， ．（两直线平行，内错角相等） 同理，． ． ． 故答案为：平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等； 方法应用：、的数量关系为：，证明如下： 过点P作，延长到R，延长到Q，，如图④所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 即； 问题探究1：过点P作，如图⑤所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即； 故答案为：． 问题探究2：设与交于点H，如图⑥所示： ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（2023·江苏淮安·模拟预测）如图所示，已知、分别是与的平分线，过点且与平行． (1)若，，求的大小； (2)若，求的大小； (3)直接写出与的关系是______用表示出来) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查三角形内角和公式，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和公式，角平分线定义是解题关键． （1）根据角平分线定义求出，，然后利用三角形内角和公式求解即可； （2）根据，结合三角形内角和得出，然后根据角平分线得出，，再利用三角形内角和得出即可； （3）先根据平分线定义得出，，然后根据三角形内角和公式得出，再利用表示即可． 【详解】（1）解：∵、分别是与的平分线， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵、分别是与的平分线， ∴，， ∴ ； （3）解：∵、分别是与的平分线， ∴，， ∴． 故答案为：． 8．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）如图，中，，平分， (1)若于，，求的大小； (2)若交于，求证：． 【答案】(1) (2)证明，见解析 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形的内角和，三角形的外角和，角平分线的性质，即可． （1）根据题意，则，求出的角度；再根据角平分线的性质，则，根据，三角形内角和，求出，即可求出； （2）根据角平分线的性质，三角形内角和，则，根据，则，再根据，即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型4 三角形折叠问题】 9．（21-22七年级下·山东烟台·期中）将的顶角A沿直线DE折叠（如图），点A的对应点为点，记为，为． (1)如图1，当点A的对应点落在内部时，试探求与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点A的对应点落在外部时，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，证明见解析 【分析】此题主要考查折叠的性质、三角形外角的性质，掌握折叠前后图形对应角度相等和三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和是解题的关键． （1）利用三角形两次外角定理得出结论； （2）由三角形外角定理，再由折叠可得即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由见解析： 如图1，连接，   是的外角， ． 同理，． ． 由折叠性质得． ． （2），证明如下： 如图2，连接，   是的外角， ． 同理，． ． 由折叠性质得． ， ． 10．（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，现有一张纸片，点D，E分别是边上两点，若沿直线折叠．    (1)如果折成图（1）的形状，使点A的对应点落在上，则与的数量关系是_______； (2)如果折成图（2）的形状，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如果折成图（3）的形状，猜想，和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查折叠变换，三角形外角，多边形内角和问题： （1）根据折叠性质和三角形的外角定理得出结论； （2）先根据折叠得：，，由两个平角和得：等于与四个折叠角的差，化简得结果； （3）利用两次外角定理得出结论． 【详解】（1）如图1，，理由是：    由折叠得：， ∵， ∴； 故答案为：； （2）如图2，猜想：，理由是：    由折叠得：，， ∵， ∴， ∴； ∴； （3）如图3，，理由是：    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图1，是的外角，与的角平分线交于点．    (1)若，，则　　°，　　°； (2)探索与的数量关系，并说明理由； (3)如图2，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为 　　． 【答案】(1)、 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）由三角形内角和定理可求，求出和，再由三角形内角和定理即可求出结论； （2）由三角形外角定理可得，，再由角平分线定义得，，进而得出，即可得出结论； （3）连接，先求出，再证明即可解决问题． 【详解】（1），， ， 与的角平分线交于点， ，， ， 故答案为：,； （2）是的外角， 平分， ， 平分， ， 是的外角， ， ， ； （3）如图，连接，    平分，平分， ，， ， ， ， ， ， 点沿折叠到， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识． 【题型5 三角形双角平分线模型】 12．（23-24八年级上·云南怒江·阶段练习）探究一： （1）如图1，在中，，，分别是两个内角，的角平分线，则______度． （2）如图2，在中，，，分别是两个外角，的角平分线，则______度． 探究二： 如图3，在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线．请说明和之间的数量关系？并证明你的结论．    【答案】探究一：（1）122；（2）55；探究二：，证明见解析 【分析】探究一：（1）先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）先根据三角形的内角和定理求出，从而可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； 探究二：先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：探究一：（1）∵在中，， ∴， ∵，分别是两个内角，的角平分线， ∴， ∴． 故答案为：122； （2）∵在中，， ∴， ∴， ∵，分别是两个外角，的角平分线， ∴， ∴． 故答案为：55； 探究二：，证明如下： ∵在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴． 13．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）实验探究： （1）动手操作： ①如图1，将一块直角三角板放置在直角三角板上，使三角板的两条直角边、分别经过点、，且，已知，则 ； ②如图2，若直角三角板不动，改变等腰直角三角板的位置，使三角板的两条直角边、仍然分别经过点、，已知，那么 ； （2）猜想证明：如图3，与、、之间存在着什么关系，并说明理由； （3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题： ①如图4，平分，平分，若，，求的度数； ②如图5，，的10等分线相交于点、、…、，若，，则的度数为 . 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）①；② 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和． （1）①根据平行线的性质得到，进而求出，由此即可得到答案； ②根据三角形内角和定理得到，则； （2）如图，过点D作射线．根据三角形外角的性质，可得，，由此即可证明； （3）①利用（2）的结论可知，由角平分线的定义得到，则； ②设，，则，，根据题意可得，，据此求解即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 如图3，过点D作射线． 根据三角形外角的性质，可得，， 又∵，， ∴； （3）①如图4，由（2）可得， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ ∵， ∴； ③如图5，设，，则，， ∵， ∴，， 解得， ∴， 即的度数为． 【题型6 利用三角形三边关系进行化简】 14．（23-24八年级上·广西玉林·阶段练习）若a、b、c是的三边的长，化简． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值，整式的加减，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的意义．由三角形三边关系定理得，由绝对值的意义，即可化简原式． 【详解】解：∵a、b、c是的三边， ∴， ∴， ∴ ． 15．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）已知，，是三边的长． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)化简． 【答案】(1)等边三角形 (2) 【分析】本题考查化简绝对值、不等式的性质、三角形的三边关系和三角形分类； （1）根据非负数的性质，可得出，进而得出结论； （2）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可． 【详解】（1）， 且， ， 为等边三角形； （2），，是的三边长， ，，， ，，， ． 【题型7 三角形三边关系的应用】 16．（23-24八年级上·陕西安康·期中）两根木棒分别长、，第三根木棒与这两根木棒首尾依次相接构成三角形，如果第三根木棒的长为偶数（单位：），那么一共可以构成多少个不同的三角形？这些三角形的周长分别是多少？ 【答案】共可以构成个不同的三角形，他们的周长分别为：，，， 【分析】本题考查三角形的三边关系的应用，先求得第三根木棒长的取值范围，进而求得满足已知的第三根木棒长以及周长． 【详解】解：两根木棒分别长、， 根据三角形的三边关系，得：第三根木棒的长大于而小于． 又第三根木棒的长是偶数，则应为，，，． 共可以构成个不同的三角形， 他们的周长分别为：，， ，． 17．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）探究：如图，用钉子把木棒、和分别在端点、处连接起来，用橡皮筋把连接起来，设橡皮筋的长是．    (1)若，，，试求的最大值和最小值； (2)在（1）的条件下要围成一个四边形，你能求出x的取值范围吗? 【答案】(1)最大值为19，最小值为3 (2) 【分析】此题考查了三角形的三边关系，关键是确定取最值时木棒的位置及围成四边形时满足的条件． （1）最大值应该是所有其他三条线段的和，最小值是用最大的线段的长减去其他两条相对较短的线段的长； （2）当大于最小值，小于最大值时，可构造四边形，根据（1）中的最大值和最小值即可确定的取值范围． 【详解】（1）要求的最大值，即将绕点逆时针方向旋转，使其与在一条直线上；将绕点顺时针方向旋转，使其与在一条直线上，即四点从左到右依次为、、、． ，，， ， 要求的最小值，即将绕顺时针方向旋转，使其与共线；将绕点逆时针方向旋转，使其与共线，即四点从左到右依次为、、、． ，，， ． 综上，的最大值是19，最小值是3． （2）要围成四边形，则的取值范围为：． 18．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）若a、b、c为三边长，且a、b、c满足，第三边长为奇数，求的周长． 【答案】12 【分析】本题主要考查了非负数的性质，三角形的三边关系．根据非负数的性质，可得，再根据三角形的三边关系可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵a、b、c为三边长， ∴， ∴， ∵第三边长为奇数， ∴， ∴的周长． 19．（22-23八年级·全国·课堂例题）已知a，b，c分别为的三边长，且满足，，c为偶数，求的周长． 【答案】12 【分析】此题考查三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题．根据三角形任意两边之和大于第三边得出，任意两边之差小于第三边得出，列不等式组并求得c的取值范围；结合限制性条件“c为偶数”求得c的值；最后由三角形周长公式解答． 【详解】解：由三角形三边关系，得， 解得． ∵c为偶数， ． ， 解得， ∴的周长为． 【题型8 多边形内角和与外角和综合】 20．（23-24八年级上·四川自贡·期中）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的，求这个多边形的边数及内角和． 【答案】多边形边数为8，内角和为 【分析】本题考查多边形的考查多边形边数和内角和的关系，掌握正多边形的定义、多边形的内角与外角、边数的关系是解题的关键． 由多边形的每一个内角和与它相邻的外角和等于，列方程求解可得内角度数，从而求得外角度数，再利用正多边形的外角和等于进行计算即可． 【详解】解：设内角为x，则外角为，根据题意得： 解得：， ， 即这个多边形的每个外角为， 多边形的外角和为， 多边形的边数为， 多边形的内角和为． 21．（23-24八年级上·云南·阶段练习）（概念学习） 在平面中，我们把大于且小于的角称为优角，如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组． （1）若、互为组角，且，则_____°； （理解运用） 习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形． （2）如图①，在镖形中，优角与钝角互为组角，试探索内角、、与钝角之间的数量关系， （拓展延伸） （3）如图②，______；（用含α的代数式表示） （4）如图③，已知四边形中，延长、交于点Q，延长、交于P，的平分线交于点M，；直接运用（2）中的结论，试说明：． 【答案】（1）225；（2）；（3）；（4）见解析． 【分析】本题考查多边形的内角和及三角形的内角与外角的性质，熟练掌握多边形的内角和及三角形的内角与外角的性质是解题关键． （1）根据组角的定义直接得答案； （2）根据组角的定义和四边形的内角和可得结论； （3）根据（2）的结论可直接得出答案； （4）由（2）中的结论可知在镖形中，有，在镖形中，有，再根据等式的性质可得结论． 【详解】解：（1）、互为组角，且， ， 故答案为：； （2）钝角； 理由：优角与钝角互为组角， 优角钝角， 四边形的内角和是， 优角， 钝角； （3）由（2）得，在镖型中，， 在镖型中， ， ， 故答案为：； （4）的平分线交于点M， ， 令． 由（2）中的结论可知在镖形中，有 在镖形中，有， 于是根据等式的性质得出， 而， ，即． 22．（23-24八年级上·陕西安康·期中）如图，小东在操场的中心位置，从点出发，每走向左转，    (1)小东能否走回点处？若能，请求出小东一共走了多少米；若不能，请说明理由． (2)小东走过的路径是一个什么几何图形？并求这个几何图形的内角和． 【答案】(1)能，小东一共走了 (2)正六边形，正六边形的内角和为 【分析】本题考查的是多边形的外角和定理应用，内角和定理的应用，理解题意是解本题的关键； （1）由每次向左转，结合回到出发点共转过可得答案； （2）由形成的六边形的每一条边都相等，每一个角都相等，可得多边形的形状，再求解内角和即可． 【详解】（1）解：∵从点出发，每走向左转， ， 小东一共走了：（）； （2）∵由（1）得多边形有六条边，且每一条边都相等， 由每个外角都为，可得六边形的每一个角都相等， ∴走过的路径是一个边长为的正六边形； ∴正六边形的内角和为：． 【题型9 与多边形有关的截角问题】 23．（23-24八年级上·河南安阳·期中）已知正多边形的每一个内角的度数等于相邻外角的倍． (1)求这个正多边形的边数． (2)若截去一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【答案】(1)这个多边形的边数为； (2)截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 【分析】（）利用邻补角互补求出外角，用外角和除以一个外角的度数即可求解； （）分三种情况，根据多边形的内角和计算公式即可求解； 本题考查了正多边形的内角和外角，掌握多边形的内角和计算及分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）设正多边形的一个外角的度数为，则与其相邻的内角的度数等于， ∴， 解得，     答：这个多边形的边数为； （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了条，也可能减少了条，或者不变， 当多边形为九边形时， 内角和； 当多边形为八边形时， 内角和； 当多边形为七边形时， 内角和． 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 24．（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）阅读下题及解题过程． 如图（），我们知道四边形的内角和为，现在将一张四边形的纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是多少？ 如图（），剩余纸为五边形，所以剩余纸所有内角的和为． 上面的解答过程是否正确？若正确，说出你的判断根据；若不正确，请说明原因，并写出你认为正确的结论． 【答案】不正确，见解析，正确结论是将一张四边形纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是或或． 【分析】一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1，由此即可解决问题，考虑到不过顶点，只有一种情形，据此分析即可得出答案． 【详解】上面的解答不正确，出错的原因是思考问题不全面．除了题目中的解法外，还要补充正确的解答如下： 如图（）所示，剪掉一个角后，剩余纸的所有内角的和是； 如图（）所示，剪掉一个角后，剩余纸的所有内角的和是． 所以将一张四边形纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是或或． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是记住一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 25．（21-22八年级上·云南昭通·期中）一个多边形沿一条对角线剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，求原多边形的边数． 【答案】9 【分析】根据多边形沿一条对角线剪去一个内角后，可知新多边形比原多边形少1条边，根据多边形内角和公式180°×（n﹣2），可得答案． 【详解】解：设原来多边形的边数为x，则剪去一个内角后，边数为x-1， 由条件可得：， 解得：， 原来多边形的边数为9． 【点睛】此题主要考查了多边形的内角和定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是先求出新多边形的边数，再根据多边形内角和公式计算即可． 【题型10 求复杂多边形内角和】 26．（2020九年级·全国·专题练习）阅读材料： 如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形． 结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数． 解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2， 在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　； （3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　； （4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；过程见解析 【分析】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论； （2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论； （3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论； （4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结论． 【详解】解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°； （2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°； （3）连接BH、DE， ∵由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEFG的内角和＋△ABH的内角和＝540°＋180°＝720°； （4）连接ND、NE， ∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCFGHM的内角和＋△AND的内角和＋△NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°． 故答案为：360°；540°；720°；1080°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△AOD和△BOC叫做对顶三角形的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键． 27．（18-19八年级上·全国·课后作业）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化为熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．    (1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图①中的度数； (2)若将图①中的星形截去一个角，如图②，请你求出的度数； (3)若再将图②中的星形进一步截去角，你能由题(2)中所得的方法或规律，猜想出图③中的的度数吗？(只要写出结论，不需要写出解题过程) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】主要考查了多边形的内角与外角之间的关系． 三角形外角的性质和三角形内角和定理． （1）根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得的度数； （2）根据三角形外角的性质和四边形内角和等于可得的度数； （3）根据图中可找出规律，并且每截去一个角则会增加，由此即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴；    （2）∵，， ∴；      （3）观察可以发现图（1）到图（2）可以发现每截去一个角，则会增加， 所以当截去5个角时增加了， 则 【题型11 平面镶嵌】 28．（23-24八年级上·福建厦门·期末）在生活中经常看到一些拼合图案如图所示，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙. 从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌) 的问题． (1)如果限用一种正多边形来覆盖平面的一部分，正六边形是否能镶嵌成一个平面图形?请说明理由； (2)同时用正方形和正八边形是否能镶嵌成一个平面图形? 请说明理由； (3)请你探索，是否存在同时用三种不同的正多边形组合(至少包含一个正五边形) 镶嵌成的平面图形，写出验证过程． 【答案】(1)正六边形能镶嵌成一个平面图形，理由见解析 (2)同时用正方形和正八边形能镶嵌成一个平面图形，理由见解析 (3)存在同时用三种不同的正多边形组合(至少包含一个正五边形) 镶嵌成的平面图形，验证见解析 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和，正多边形的外角和问题，熟练掌握正多边形的内角和为是解此题的关键． （1）先求出正六边形的内角和，再求出每一个内角的度数，用除以内角的度数，看是否能够除尽，由此即可得出答案； （2）正方形的每个内角为，求出正八边形的每一个内角为，再结合，即可得出答案； （3）求出正方形的每个内角为，正五边形的每一个内角为，正二十变形的每一个内角为，由，即可得出答案． 【详解】（1）解：正六边形能镶嵌成一个平面图形， 理由如下： 正六边形的内角和为：， 正六边形的每一个内角为：， ， 正六边形能镶嵌成一个平面图形； （2）解：同时用正方形和正八边形能镶嵌成一个平面图形， 理由如下： 正八边形的内角和为：， 正八边形的每一个内角为：， ， 同时用块正方形和块正八边形能镶嵌成一个平面图形； （3）解：存在同时用三种不同的正多边形组合(至少包含一个正五边形) 镶嵌成的平面图形， 理由如下： 正方形的每个内角为， 正五边形的内角和为：， 正五边形的每一个内角为：， 正二十边形的内角和为：， 正二十边形的每一个内角为：， ， 存在同时用三种不同的正多边形组合(至少包含一个正五边形) 镶嵌成的平面图形，此时该平面图形由块正二十边形、块正五边形、块正方形构成． 29．（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）我们在用边长相同的正多边形进行平面镶嵌时，各正多边形重合的顶点叫拼接点，如图，就是拼接点．我们发现，各正多边形的以拼接点为顶点的内角之和为（注：若不能等于，则不能镶嵌）．    (1)如果我们只用一种边长相同的正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是______．（填序号） 正三角形；正方形；正五边形；正六边形． (2)为了使镶嵌图案美丽多变，我们有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，如图，正三角形与正方形的平面镶嵌，在一个拼接点的周围有个正三角形和个正方形． 如果我们用边长相同的正三角形与正六边形进行镶嵌，求一个拼接点的周围有几个正三角形和几个正六边形； 我们也可以用边长相同的正五边形和正______边形进行镶嵌． 【答案】(1) (2)一个拼接点的周围有个正三角形和个正六边形或个正三角形和个正六边形；十． 【分析】（）求出正多边形的内角，再用除以内角度数 ，根据结果是否为整数，逐项判断即可； （）设在平面镶嵌时，围绕在某一点有个正三角形和 个正六边形的内角可以拼成一个周角，则有，进而判断出情况； 设用边长相同的个正五边形和个正边形进行镶嵌，则，得出，由，为正整数，进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）正三角形的内角为，，结果是整数，可以进行平面镶嵌； 正方形内角为，，结果是整数，可以进行平面镶嵌； 正五边形内角为，，结果不是整数，不可以进行平面镶嵌； 正六边形内角为，，结果是整数，可以进行平面镶嵌； 故选：； （2）设在平面镶嵌时，一个拼接点的周围有个正三角形和个正六边形， 根据题意得：， ∴， ∵，为正整数， ∴或， 答：在平面镶嵌时，一个拼接点的周围有个正三角形和个正六边形或个正三角形和个正六边形； 由于正五边形内角为，设用边长相同的个正五边形和个正边形进行镶嵌， 则， 整理得：， ∵，，为正整数， ∴应为正整数， 则或， 当时，，此时，无正整数解， 当时，，解得正整数解为：， 故答案为：十． 【点睛】此题考查了多边形内角和和平面镶嵌，解题的关键是掌握平面镶嵌的要求：拼接在同一个顶点处的多边形的内角之和等于． 30．（22-23八年级下·江西鹰潭·期末）在“平面图形的镶嵌”学习中，主要研究了一种或两种正多边形的镶嵌问题，请运用所学知识完成下列问题． (1)填写表中空格． 正多边形的边数 6 8 正多边形每个内角的度数 (2)根据题意，如果仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形； (3)假设在镶嵌的平面图形的一个顶点周围有个正四边形，个正八边形，求和的值，请写出过程． 【答案】(1) (2)仅用一种正多边形镶嵌，正三角形，正四边形，正六边形能镶嵌成平面图形； (3)的值为，的值为． 【分析】（1）根据正边形的内角为即可解答； （2）根据镶嵌的定义：能够构成镶嵌的正多边形的内角可以被整除即可解答； （3）根据镶嵌的定义可知且为正整数，进而解二元一次方程可得的值为，的值为． 【详解】（1）解：∵正边形的内角为， ∴正五边形的内角为，正六边形的内角为：，正八边形的内角为， 故答案为：； （2）解：∵仅用一种正多边形镶嵌， ∴，，，，， ∴仅用一种正多边形镶嵌，正三角形，正四边形，正六边形能镶嵌成平面图形； （3）解：∵有个正四边形，个正八边形， ∴且为正整数， ∴， ∴当时，，满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，不满足题意； ∴，， 即的值为，的值为． 【点睛】本题考查了镶嵌的定义，正边形的内角公式，二元一次方程与几何问题，掌握镶嵌的定义是解题的关键． 过关检测 一、单选题 1．（22-23九年级下·浙江·阶段练习）如图四个图形中，线段是的高的图是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高线，熟练掌握三角形的高线的定义是解题的关键； 三角形的高是从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段，据此求解即可． 【详解】解：根据三角形高的定义可知四个选项中只有D选项中线段是的高， 故选：D． 2．（20-21八年级上·天津红桥·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中线与面积的关系，熟记三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形求解即可．根据中线与面积的关系可得，即可求解． 【详解】解：∵是的中线 ∴ ∵的高相等 ∴ ∵是的中线 ∴ ∵的高相等 ∴ 故选A． 3．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如果一个三角形的三个内角的度数之比为，那么这个三角形一定是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】A 【考点】本题考查了三角形内角和定理，牢记三角形内角和是是解题的关键． 【详解】解：设该三角形最小的内角为，则另外两角分别为，， 依题意，得：， 解得：， ∴，， ∴这个三角形一定是直角三角形． 故选：A． 4．（2023·浙江台州·模拟预测）如图为矩形，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则不可能是(        ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题考查了多边形内角和．熟练掌握多边形的内角和是的倍数是解题的关键． 根据多边形的内角和都是的倍数，对各选项判断作答即可． 【分析】解：由题意知，一条直线将该矩形分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是的倍数，都能被整除， ∵不能被整除， ∴不可能是． 故选：C． 5．（13-14八年级上·山东枣庄·期末）如图，，则α、β、γ的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角和定理，平行线的性质．延长交与G，延长交于H，根据三角形的内角和定理可得，再由三角形的外角和定理，可得，然后根据平行线的性质，可得，即可求解． 【详解】解：延长交与G，延长交于H． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 故选C． 6．（23-24七年级上·福建厦门·开学考试）将周长是的三角形三条边展开，展开图正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，由三角形的任意两边之和大于第三边可得答案． 【详解】解：由，故A不符合题意； 由，故B不符合题意； 由，故C不符合题意； 由，故D符合题意； 故选D 7．（2023·山东泰安·模拟预测）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，，，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质定理和三角形外角的性质，利用三角板的度数可得，，由平行线的性质定理可得，利用三角形外角的性质可得结果． 【详解】解：如图， ，， ， ，， ， ， ， ， 故选：C． 8．（18-19七年级下·山东济宁·期中）如图，，C点在上，，平分，且．下列结论： ①平分；②；③；④． 其中结论正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质；由垂直的性质得，，再由平分及等量代换可判定①正确；由及，得，从而判定②正确；由，得，结合平行线的性质得，由从而可判定③正确；由，得，结合前面所证得，由三角形外角性质即可判定④正确；最后可确定答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分，①正确； ∵， ∴， ∴，②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，④正确； 故选：D． 9．（2023·辽宁辽阳·模拟预测）只用下列图形不能镶嵌的是（    ） A．三角形 B．四边形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】C 【分析】本题考查了平面镶嵌、正多边形的内角和，先求出各个正多边形每个内角的度数，再结合平面图形镶嵌的条件即可得，熟练掌握平面镶嵌的条件是解题的关键． 【详解】A、等边三角形的每个内角的度数为，且是整数，则等边三角形能实施平面镶嵌，此项不符题意； B、正方形的每个内角的度数为，且是整数，正方形能实施平面镶嵌，此项不符题意； C、正五边形的每个内角的度数为，且，不是整数，正五边形不能实施平面镶嵌，此项符合题意； D、正六边形的每个内角的度数为，且是整数，正六边形能实施平面镶嵌，则此项不符题意； 故选：C． 10．（22-23六年级下·山东济南·期中）从十二边形的一个顶点出发可引出（　　）条对角线，把十二边形分割成（　　）个三角形． A．9，9 B．9，10 C．10，9 D．10，11 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的对角线的条数以及三角形的个数，根据n边形的对角线条数为条，把n形分割成的三角形的个数为条，据此即可作答． 【详解】解：从十二边形的一个顶点出发可引出的对角线条数为（条）， 它们把十二边形分割成的三角形的个数为（个）， 故选：B． 二、填空题 11．（22-23八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为 。 【答案】/13厘米 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，由是的中线得到，由的周长为得，再由比长得到，等量代换后即可得到答案． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵比长， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为： 12．（2022·陕西西安·三模）如图，正六边形，正方形，连接，则图中的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了正多边形的内角，等腰三角形的判定即性质，熟悉掌握正多边形的内角运算方法是解题的关键． 利用正多边形的内角度数求法运算出正六边形和正方形的内角度数，即可得到的度数，再利用等腰三角形的性质运算求解即可． 【详解】解：∵正六边形的内角度数为：，正方形的内角度数为：， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，点M，N分别在上，，将沿折叠后，点A落在点处，若，则 ． 【答案】116 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据折叠的性质得出，，再由三角形内角和定理得出，再根据平行线的性质得出，进而求解即可． 【详解】∵，将沿折叠后，点A落在点处， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：116． 14．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，图1是一盏可折叠台灯，图为其平面示意图，支架，为固定支撑杆，灯体可绕点旋转调节，现把灯体从水平位置旋转到位置(如图2中虚线所示)，灯体所在的直线恰好垂直支架AB，且，则= ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，四边形的内角和的应用，邻补角；延长交于点，延长交于，利用四边形内角和，得到，进而分别表示出、，再利用四边形的内角和等于，列等式求解即可求出所求角的度数． 【详解】解：延长交于点，延长交于， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在四边形中，， ， 解得． 故答案为：． 15．（22-23七年级下·四川成都·期中）； 如图，对面积为的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长，，至点，使得，顺次连接，得到，记其面积为，则 ；第二次操作，分别延长至点，使得，顺次连接，得到，记其面积为；…；按此规律继续下去，可得到，则其面积 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形面积之间的关系．注意找到规律：是解此题的关键．首先根据题意，求得，同理求得，则可求得面积的值；根据题意发现规律：即可求得答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 同理：， ∴， 同理：， ∴， 即， ∵， ∴； 同理：， ∴． 故答案为：19；． 三、解答题 16．（2023·江苏淮安·模拟预测）如图所示，已知、分别是与的平分线，过点且与平行． (1)若，，求的大小； (2)若，求的大小； (3)直接写出与的关系是______用表示出来) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查三角形内角和公式，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和公式，角平分线定义是解题关键． （1）根据角平分线定义求出，，然后利用三角形内角和公式求解即可； （2）根据，结合三角形内角和得出，然后根据角平分线得出，，再利用三角形内角和得出即可； （3）先根据平分线定义得出，，然后根据三角形内角和公式得出，再利用表示即可． 【详解】（1）解：∵、分别是与的平分线， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵、分别是与的平分线， ∴，， ∴ ； （3）解：∵、分别是与的平分线， ∴，， ∴． 故答案为：． 17．（23-24八年级上·湖北·期末）如图，点A、B分别在射线上运动（不与点O重合）． (1)如图1，若的平分线交于点C，则_______； (2)如图2，若的平分线交于点C，则________； (3)如图2，若的外角的平分线交于点D，求与之间的数量关系，并求出的度数． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、多边形的内角和等知识： （1）由三角形内角和定理得出，由角平分线的也得出，再由三角形内角和定理即可得出结果； （2）由三角形内角和定理和角平分线的也得出，再由三角形内角和定理得出的度数； （3）求出，同理：，由四边形内角和求出，由（1）知：，即可得出结果 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的平分线交于点C， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：在中，， ∵的平分线交于点C， ∴， 即， ∴； 故答案为：； （3）解：∵分别是和的角平分线， ∴，， ∴， ∴， 即， 同理：， ∵四边形内角和等于360°， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 18．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：直线与直线内部有一个点，连接． (1)如图1，当点在直线上，连接，若，求证：； (2)如图2，当点在直线与直线的内部，点在直线上，连接，若，求证：； (3)如图3，在(2)的条件下，、分别是、的角平分线，和相交于点，和直线相交于点，当时，若，，求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的度数为 【分析】（1）过点作，推出，进而得，根据平行公理的推论即可得证； （2）分别过点和点作，，推出，进而得，根据平行公理的推论即可得证； （3）过点作，同理（1）（2）证，设，，，则，结合角平分线的定义及（2）的条件得，接着分别用含的式子代替和，代入求出的值即可． 【详解】（1）证明：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图2，分别过点和点作，， ∴，， ∵， 即， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，过点作， 由（2）得， ∴， ∴，， ∴， 设，，，则， ∵分别是的角平分线， ∴，，， ∵， ∴， 由（2）得，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 即的度数为 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理的推论，角平分线的定义，三角形外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 19．（23-24八年级上·湖北黄冈·期中）阅读小明和小红的对话，解决下列问题． (1)这个“多加的锐角”是__________度． (2)小明求的是几边形内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 【答案】(1) (2)小明求的是边形内角和 (3)这个正多边形的一个内角是 【分析】本题考查了多边形的内角和，一元一次方程的应用．熟练掌握多边形的内角和，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍，根据，计算求解即可； （2）由题意知，，计算求解即可； （3）根据这个正多边形的一个内角是，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍， ∴这个“多加的锐角”是 ， 故答案为：； （2）解：由题意知，， 解得，， ∴小明求的是边形内角和； （3）解：由题意知，这个正多边形的一个内角是， ∴这个正多边形的一个内角是． 20．（14-15八年级上·山东青岛·期末）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．    (1)如图①，若，点在、外部，则有，又因是的外角，故得，将点移到、内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论； (2)在图②中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图③，则、、、之间有何数量关系？（不需证明）； (3)根据（2）的结论求图④中的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)180 【分析】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出三角形，利用三角形外角的性质求解是解答此题的关键． （1）延长交于点，根据得出，再由三角形外角的性质即可得出结论； （2）连接并延长，由三角形外角的性质得出，，由此可得出结论； （3）由（2）的结论得：．．再根据即可得出结论． 【详解】（1）解：不成立，结论是． 延长交于点，    ∵， ， 又， ； （2）解：结论：． 连接并延长，   是的外角，是的外角， ，， ，即； （3）解：由（2）的结论得：．． 又 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 多边形 知识点 1 ： 三角形的重要线段 重要线段 概念 图形 性质 三角形的高 从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）． ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线 ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC 三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线． ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 三角形的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 ∵DE是∆ABC的中位线 ∴AD=DB AE=EC DE=BC DE∥BC 知识点2： 三角形的性质 三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边． 推论：三角形的两边之差小于第三边． 三角形三边关系定理及推论的应用： 1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形． 2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理的应用： 1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数； 2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数； 3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数. 三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°． 三角形的外角和的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 知识点3： 多边形的相关概念 多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.  多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2) 个三角形，n边形的对角线条数为  多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（n≥3）. 【解题技巧】 1）n边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1，内角和增加180°. 2）任意多边形的内角和均为180°的整数倍. 3）利用多边形内角和定理可解决三类问题：①已知多边形的边数求内角和； ②已知多边形的内角和求边数； ③已知足够的角度条件下求某一个内角的度数． 多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关. 正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形. 【解题技巧】 1）正n边形的每个内角为，每一个外角为． 2）正n边形有n条对称轴． 3）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形． 题型归纳 【题型1 等面积法求高】 1．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在中，，，，． (1)画出中边上的高； (2)求的长． 2．（21-22八年级上·广西南宁·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．    (1)如图1，在中，，则长为 　 　； (2)如图2，在中，，则的高与的比是 　 　； (3)如图3，在中，，点D，P分别在边上，且，垂足分别为点E，F．若，求的值． 3．（23-24八年级上·广西南宁·期中）我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为等面积法．    (1)如图1，是边上的高，是边上的高，我们知道，则______． (2)如图1，若，，，，是斜边上的高线，用等面积法求的长． (3)如图2，在等腰三角形中，，，过A作于点H，且，P为底边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为M，N，连接，利用，求的值． 【题型2 利用三角形的中线求面积】 4．（23-24九年级上·广西南宁·期中）阅读理解：已知三角形的中线具有等分三角形面积的性质，即如图①，是中边上的中线，则，理由：，即：等底同高的三角形面积相等． 回答下列问题： (1)如图②，点分别是的中点，且，则图②中阴影部分的面积为________； (2)如图③，已知四边形的面积是分别是的中点，点是四边形内一点，求出图中阴影部分的面积． 5．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）典型题例： （1）如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？为什么？ （2）如图2，是的中线，你能把一个三角形分成面积相等的4个三角形吗？试画出相应的图形？（两种方法画图）    迁移应用： （3）如图3，的两条中线，相交于点，求证：； （4）如图4，的三条中线，，相交于点， ①请你写出所有与面积相等的三角形； ②写出与的数量关系式，并说明理由；    拓展应用； （5）设的面积为a，如图①将边分别2等份，、相交于点O，的面积记为；如图②将边分别3等份，、相交于点O，的面积记为；……，以此类推，若，则a的值为__________．    【题型3 与平行线/角平分线有关的三角形内角和问题】 6．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【问题原型】如图①，已知，试说明． 【解法1】下面是小京的解法，阅读解题过程，并在括号内填上相应的理论依据： 如图②，连结． 在中，．（___________） ． ，（已知） ．（___________） ． ． ．（等量代换） 【解法2】下面是小开的解法，阅读解题过程，并在括号内填上相应的理论依据： 如图③，作． （已知）． （___________） ， ．（___________） 同理，． ． ． 【方法应用】如图④，，当点P在此位置时，试判断的数量关系． 请你参考小开的解法，利用内错角来说明你的结论． 【问题探究1】如图⑤，，点P在和之间，直接写出的数量关系为___________． 【问题探究2】如图⑥，，点P在直线的下方，直接写出，的数量关系为___________． 7．（2023·江苏淮安·模拟预测）如图所示，已知、分别是与的平分线，过点且与平行． (1)若，，求的大小； (2)若，求的大小； (3)直接写出与的关系是______用表示出来) 8．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）如图，中，，平分， (1)若于，，求的大小； (2)若交于，求证：． 【题型4 三角形折叠问题】 9．（21-22七年级下·山东烟台·期中）将的顶角A沿直线DE折叠（如图），点A的对应点为点，记为，为． (1)如图1，当点A的对应点落在内部时，试探求与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点A的对应点落在外部时，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明． 10．（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，现有一张纸片，点D，E分别是边上两点，若沿直线折叠．    (1)如果折成图（1）的形状，使点A的对应点落在上，则与的数量关系是_______； (2)如果折成图（2）的形状，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如果折成图（3）的形状，猜想，和的数量关系，并说明理由． 11．（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图1，是的外角，与的角平分线交于点．    (1)若，，则　　°，　　°； (2)探索与的数量关系，并说明理由； (3)如图2，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为 　　． 【题型5 三角形双角平分线模型】 12．（23-24八年级上·云南怒江·阶段练习）探究一： （1）如图1，在中，，，分别是两个内角，的角平分线，则______度． （2）如图2，在中，，，分别是两个外角，的角平分线，则______度． 探究二： 如图3，在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线．请说明和之间的数量关系？并证明你的结论．    13．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）实验探究： （1）动手操作： ①如图1，将一块直角三角板放置在直角三角板上，使三角板的两条直角边、分别经过点、，且，已知，则 ； ②如图2，若直角三角板不动，改变等腰直角三角板的位置，使三角板的两条直角边、仍然分别经过点、，已知，那么 ； （2）猜想证明：如图3，与、、之间存在着什么关系，并说明理由； （3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题： ①如图4，平分，平分，若，，求的度数； ②如图5，，的10等分线相交于点、、…、，若，，则的度数为 . 【题型6 利用三角形三边关系进行化简】 14．（23-24八年级上·广西玉林·阶段练习）若a、b、c是的三边的长，化简． 15．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）已知，，是三边的长． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)化简． 【题型7 三角形三边关系的应用】 16．（23-24八年级上·陕西安康·期中）两根木棒分别长、，第三根木棒与这两根木棒首尾依次相接构成三角形，如果第三根木棒的长为偶数（单位：），那么一共可以构成多少个不同的三角形？这些三角形的周长分别是多少？ 17．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）探究：如图，用钉子把木棒、和分别在端点、处连接起来，用橡皮筋把连接起来，设橡皮筋的长是．    (1)若，，，试求的最大值和最小值； (2)在（1）的条件下要围成一个四边形，你能求出x的取值范围吗? 18．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）若a、b、c为三边长，且a、b、c满足，第三边长为奇数，求的周长． 19．（22-23八年级·全国·课堂例题）已知a，b，c分别为的三边长，且满足，，c为偶数，求的周长． 【题型8 多边形内角和与外角和综合】 20．（23-24八年级上·四川自贡·期中）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的，求这个多边形的边数及内角和． 21．（23-24八年级上·云南·阶段练习）（概念学习） 在平面中，我们把大于且小于的角称为优角，如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组． （1）若、互为组角，且，则_____°； （理解运用） 习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形． （2）如图①，在镖形中，优角与钝角互为组角，试探索内角、、与钝角之间的数量关系， （拓展延伸） （3）如图②，______；（用含α的代数式表示） （4）如图③，已知四边形中，延长、交于点Q，延长、交于P，的平分线交于点M，；直接运用（2）中的结论，试说明：． 22．（23-24八年级上·陕西安康·期中）如图，小东在操场的中心位置，从点出发，每走向左转，    (1)小东能否走回点处？若能，请求出小东一共走了多少米；若不能，请说明理由． (2)小东走过的路径是一个什么几何图形？并求这个几何图形的内角和． 【题型9 与多边形有关的截角问题】 23．（23-24八年级上·河南安阳·期中）已知正多边形的每一个内角的度数等于相邻外角的倍． (1)求这个正多边形的边数． (2)若截去一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 24．（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）阅读下题及解题过程． 如图（），我们知道四边形的内角和为，现在将一张四边形的纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是多少？ 如图（），剩余纸为五边形，所以剩余纸所有内角的和为． 上面的解答过程是否正确？若正确，说出你的判断根据；若不正确，请说明原因，并写出你认为正确的结论． 25．（21-22八年级上·云南昭通·期中）一个多边形沿一条对角线剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，求原多边形的边数． 【题型10 求复杂多边形内角和】 26．（2020九年级·全国·专题练习）阅读材料： 如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形． 结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数． 解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2， 在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　； （3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　； （4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 27．（18-19八年级上·全国·课后作业）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化为熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．    (1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图①中的度数； (2)若将图①中的星形截去一个角，如图②，请你求出的度数； (3)若再将图②中的星形进一步截去角，你能由题(2)中所得的方法或规律，猜想出图③中的的度数吗？(只要写出结论，不需要写出解题过程) 【题型11 平面镶嵌】 28．（23-24八年级上·福建厦门·期末）在生活中经常看到一些拼合图案如图所示，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙. 从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌) 的问题． (1)如果限用一种正多边形来覆盖平面的一部分，正六边形是否能镶嵌成一个平面图形?请说明理由； (2)同时用正方形和正八边形是否能镶嵌成一个平面图形? 请说明理由； (3)请你探索，是否存在同时用三种不同的正多边形组合(至少包含一个正五边形) 镶嵌成的平面图形，写出验证过程． 29．（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）我们在用边长相同的正多边形进行平面镶嵌时，各正多边形重合的顶点叫拼接点，如图，就是拼接点．我们发现，各正多边形的以拼接点为顶点的内角之和为（注：若不能等于，则不能镶嵌）．    (1)如果我们只用一种边长相同的正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是______．（填序号） 正三角形；正方形；正五边形；正六边形． (2)为了使镶嵌图案美丽多变，我们有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，如图，正三角形与正方形的平面镶嵌，在一个拼接点的周围有个正三角形和个正方形． 如果我们用边长相同的正三角形与正六边形进行镶嵌，求一个拼接点的周围有几个正三角形和几个正六边形； 我们也可以用边长相同的正五边形和正______边形进行镶嵌． 30．（22-23八年级下·江西鹰潭·期末）在“平面图形的镶嵌”学习中，主要研究了一种或两种正多边形的镶嵌问题，请运用所学知识完成下列问题． (1)填写表中空格． 正多边形的边数 6 8 正多边形每个内角的度数 (2)根据题意，如果仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形； (3)假设在镶嵌的平面图形的一个顶点周围有个正四边形，个正八边形，求和的值，请写出过程． 过关检测 一、单选题 1．（22-23九年级下·浙江·阶段练习）如图四个图形中，线段是的高的图是（    ） A．  B．  C．  D．   2．（20-21八年级上·天津红桥·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如果一个三角形的三个内角的度数之比为，那么这个三角形一定是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 4．（2023·浙江台州·模拟预测）如图为矩形，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则不可能是(        ) A． B． C． D． 5．（13-14八年级上·山东枣庄·期末）如图，，则α、β、γ的关系是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·福建厦门·开学考试）将周长是的三角形三条边展开，展开图正确的是（    ）． A． B． C． D． 7．（2023·山东泰安·模拟预测）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，，，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．（18-19七年级下·山东济宁·期中）如图，，C点在上，，平分，且．下列结论： ①平分；②；③；④． 其中结论正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2023·辽宁辽阳·模拟预测）只用下列图形不能镶嵌的是（    ） A．三角形 B．四边形 C．正五边形 D．正六边形 10．（22-23六年级下·山东济南·期中）从十二边形的一个顶点出发可引出（　　）条对角线，把十二边形分割成（　　）个三角形． A．9，9 B．9，10 C．10，9 D．10，11 二、填空题 11．（22-23八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为 。 12．（2022·陕西西安·三模）如图，正六边形，正方形，连接，则图中的度数为 ． 13．（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，点M，N分别在上，，将沿折叠后，点A落在点处，若，则 ． 14．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，图1是一盏可折叠台灯，图为其平面示意图，支架，为固定支撑杆，灯体可绕点旋转调节，现把灯体从水平位置旋转到位置(如图2中虚线所示)，灯体所在的直线恰好垂直支架AB，且，则= ． 15．（22-23七年级下·四川成都·期中）； 如图，对面积为的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长，，至点，使得，顺次连接，得到，记其面积为，则 ；第二次操作，分别延长至点，使得，顺次连接，得到，记其面积为；…；按此规律继续下去，可得到，则其面积 ． 三、解答题 16．（2023·江苏淮安·模拟预测）如图所示，已知、分别是与的平分线，过点且与平行． (1)若，，求的大小； (2)若，求的大小； (3)直接写出与的关系是______用表示出来) 17．（23-24八年级上·湖北·期末）如图，点A、B分别在射线上运动（不与点O重合）． (1)如图1，若的平分线交于点C，则_______； (2)如图2，若的平分线交于点C，则________； (3)如图2，若的外角的平分线交于点D，求与之间的数量关系，并求出的度数． 18．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：直线与直线内部有一个点，连接． (1)如图1，当点在直线上，连接，若，求证：； (2)如图2，当点在直线与直线的内部，点在直线上，连接，若，求证：； (3)如图3，在(2)的条件下，、分别是、的角平分线，和相交于点，和直线相交于点，当时，若，，求 的度数． 19．（23-24八年级上·湖北黄冈·期中）阅读小明和小红的对话，解决下列问题． (1)这个“多加的锐角”是__________度． (2)小明求的是几边形内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 20．（14-15八年级上·山东青岛·期末）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．    (1)如图①，若，点在、外部，则有，又因是的外角，故得，将点移到、内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论； (2)在图②中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图③，则、、、之间有何数量关系？（不需证明）； (3)根据（2）的结论求图④中的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$