1.1 二次函数（6大题型提分练）数学浙教版九年级上册

1.1 二次函数 知识点一 二次函数的定义及一般形式 ◆1、二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． ◆2、二次函数的结构特征 （1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. （2）a、b、c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． （3）二次项系数不为0. ◆3、二次函数的一般形式 y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 【注意】必须化为一般式，才可确定a、b、c，二次项的系数a≠0，b、c没有条件限制. ◆4、二次函数的取值范围 一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点二 根据实际问题列二次函数关系式 ★根据实际问题构建二次函数的一般步骤 题型一 二次函数的概念 解题技巧提炼 一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 1．（2022秋•瑶海区校级期中）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝3x2+x﹣1 C． D． 2．（2023秋•东城区校级期中）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y C．y＝3x2+x﹣1 D．y＝2x3﹣1 3．（2024春•碑林区校级月考）下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝3x B．y＝x2 C． D．y＝x2﹣x（x﹣1） 4．（2024•秦都区校级一模）下列函数中，y关于x的二次函数是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝x（x﹣1） C． D．y＝（x﹣1）2﹣x2 5．（2023秋•梁园区期末）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C．y＝2x2﹣1 D． 6．（2023秋•河东区月考）下列函数关系式中，二次函数的个数有（　　） （1）y＝3（x﹣1）2+1；（2）；（3）S＝3﹣2t2；（4）y＝x4+2x2﹣1；（5）y＝3x（2﹣x）+3x2；（6）y＝mx2+8． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 二次函数的一般形式 解题技巧提炼 二次函数的一般形式是y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 1．（2023秋•霍邱县期末）二次函数y＝x2+2x﹣3的一次项系数是（　　） A．1 B．2 C．﹣2 D．3 2．（2022秋•济南期末）二次函数y＝x2﹣6x﹣1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．1，﹣6，﹣1 B．1，6，1 C．0，﹣6，1 D．0，6，﹣1 3．（2023秋•江油市校级月考）把二次函数y＝﹣（x+3）2+11变成一般式是（　　） A．y＝﹣x2+20 B．y＝﹣x2+2 C．y＝﹣x2+6x+20 D．y＝﹣x2﹣6x+2 4．（2023春•肇源县月考）将一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　） A．3，5 B．3，1 C．3x2，﹣5x D．3，﹣5 5．（2023•鱼峰区模拟）将方程3x2＝5x﹣1化为一元二次方程一般式后得（　　） A．3x2﹣5x﹣1＝0 B．3x2+5x﹣1＝0 C．3x2﹣5x+1＝0 D．3x2+5x+1＝0 6．（2022秋•南岗区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c，下列说法错误的是（　　） A．a≠0 B．二次项为ax2 C．一次项系数为bx D．常数项为c 7．将二次函数y＝（2x﹣1）（x+3）化为一般形式是 　 ． 题型三 根据二次函数的定义确定字母的取值范围 解题技巧提炼 根据二次函数定义中的二次项的系数不为0建立不等式来解决问题. 1．（2023秋•海珠区月考）若函数y＝（m+2）x2+3mx+1是二次函数，则（　　） A．m≥﹣2 B．m≠2 C．m≠﹣2 D．m＝﹣2 2．（2023秋•泉州期末）若函数y＝mx（x﹣1）﹣x2是关于x的二次函数，则m的取值范围是（　　） A．m≠0 B．m≠﹣1 C．m≠1 D．m≠±1 3．（2023秋•郫都区期末）若y＝（m﹣4）x2﹣5x+3表示y是x的二次函数，则m的取值范围为（　　） A．m≠0 B．m＞4 C．m＜4 D．m≠4 4．（2023秋•嘉定区期末）如果函数y＝（k﹣1）x2+kx﹣1（k是常数）是二次函数，那么k的取值范围是 　 　． 5．（2023秋•东城区校级期中）若关于x的函数y＝（a+1）x2﹣2x+3是二次函数，则a的取值范围是 　 　． 6．（2023秋•桐城市月考）若函数y＝（m﹣1）x2+5x+6是二次函数，则m的取值范围是 　 　． 7．（2022秋•太康县期末）已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1． （1）当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数； （2）当m为何值时，这个函数是关于x的二次函数． 题型四 根据二次函数的定义确定字母的值 解题技巧提炼 根据二次函数的定义满足的条件：（1）自变量最高次数为2，建立方程；（2）二次项系数不为0，建立不等式；综合以上条件求解即可 1．（2023秋•芝罘区期中）已知函数y＝（m﹣4）x|m﹣2|是关于x的二次函数，则m的值是（　　） A．0或4 B．0 C．2 D．4 2．（2023秋•宿松县校级期末）若y＝（m﹣1）是二次函数，则m的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2 3．（2023秋•西城区校级期中）若函数的图象是抛物线，则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．4 D．±2 4．（2022秋•兰山区校级期中）若函数是二次函数，则m的值是（　　） A．2 B．﹣1或3 C．﹣1 D．3 5．（2022秋•德惠市期末）如果函数是关于x的二次函数，则k＝　 　． 6．（2023秋•全椒县期中）若y＝（m+1）x|m|+1+4x﹣5是关于x的二次函数，则一次函数y＝mx+m的图象不经过第 　　象限． 7．（2023秋•雷州市校级月考）若y＝（m﹣1）3． （1）m取什么值时，此函数是二次函数？ （2）m取什么值时，此函数是一次函数？ 题型五 利用二次函数的解析式求变量的值 解题技巧提炼 两种类型:(1)代入自变量的值求函数值. (2)代入函数值解一元二次方程求自变量的值. 1．若函数y，当函数值y＝7时，则自变量x的值是（　　） A．± B．或 C．±或 D． 2．（2023秋•江夏区校级月考）一个二次函数y＝（k﹣1）2x﹣1． （1）求k值． （2）求当x＝0.5时y的值？ 3．已知函数y＝2（x﹣6）（x+1）． （1）分别求出当x＝﹣2和x＝7时，函数y的值； （2）当y＝0时，求自变量x的取值． 4．已知二次函数y＝x2+5x+8． （1）当x＝﹣2时，求函数的值； （2）当函数值为2时，求自变量x的值． 5．（2023秋•临沭县校级月考）已知二次函数y＝x2+2x﹣7． （1）当x＝﹣1时，求函数y的值． （2）当x取何值时，函数y的值为8？ 6．如图，根据程序计算函数值． （1）当输入的x的值是时，输出的结果y是多少？ （2）当输入的x的值是多少时，输出的结果y是﹣4？ 题型六 由实际问题列二次函数的关系式 解题技巧提炼 仔细审题，找出等量关系，列出二次函数解析式即可，关系式一般要化为一般式. 1．（2024•槐荫区二模）某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为20m，设长方形靠墙的一边长为x m，面积为y m2，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（　　） A．y＝20x B．y＝20﹣2x C． D．y＝x（20﹣2x） 2．（2023秋•霍邱县期末）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度GDP总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　） A．y＝2.6（1+2x） B．y＝2.6（1﹣x）2 C．y＝2.6（1+x）2 D．y＝2.6+2.6（1+x）+2.6（1+x）2 3．（2022秋•威县校级期末）由于长期受新型冠状病毒的影响，核酸检测试剂需求量剧增，某医院去年一月份用量是8000枚，二、三两个月用量连续增长，若月平均增长率为x，则该医院三月份用核酸检测试剂的数量y（枚）与x的函数关系式是（　　） A．y＝8000（1+x） B．y＝8000（1+x）2 C．y＝8000（1+x2） D．y＝8000（1+2x） 4．（2023秋•东莞市校级月考）如图，在长为30米、宽为20米的矩形花坛中横向修建1条、纵向修建2条宽都为x米的小路（阴影部分），空白处为绿地，面积为y平方米，则绿地面积y与x之间的函数表达式为（　　） A．y＝（30﹣2x）（20﹣x） B．y＝（30+x）（20﹣x） C．y＝（2x﹣30）（x﹣20） D．y＝（30﹣2x）（20+2x） 5．（2023秋•津南区期中）某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查反映：若每千克涨价1元，每天销售量减少20千克，设每千克涨价x（单位：元），且0≤x≤25，每天售出商品的利润为y（单位：元），则y与x的函数关系式是（　　） A．y＝500﹣20x B．y＝（500﹣20x）（10+x） C．y＝（500+10x）（10﹣x） D．y＝（500﹣10x）（10+x） 6．（2023秋•西湖区校级月考）某果园有10棵苹果树，平均每一棵树可以结200个苹果．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个苹果，现果园增种了x棵苹果树，若苹果总个数为y（个），则下列y与x的关系式中哪一个是正确的（　　） A．y＝（10+x）（200+5x） B．y＝（10+x）（200﹣5x） C．y＝（10﹣x）（200+5x） D．y＝（10﹣x）（200﹣5x） 7．（2022秋•承德县期末）“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（　　） A．w＝（99﹣x）[200+10（x﹣50）] B．w＝（x﹣50）[200+10（99﹣x）] C．w＝（x﹣50）（20010） D．w＝（x﹣50）（20010） 8．如图所示，一个矩形的长为4cm，宽为3cm，如果将这个矩形的长与宽都增加xcm，那么这个矩形的面积增加ycm2． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）这个函数是二次函数吗？为什么？ （3）求自变量的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 二次函数 知识点一 二次函数的定义及一般形式 ◆1、二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． ◆2、二次函数的结构特征 （1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. （2）a、b、c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． （3）二次项系数不为0. ◆3、二次函数的一般形式 y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 【注意】必须化为一般式，才可确定a、b、c，二次项的系数a≠0，b、c没有条件限制. ◆4、二次函数的取值范围 一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点二 根据实际问题列二次函数关系式 ★根据实际问题构建二次函数的一般步骤 题型一 二次函数的概念 解题技巧提炼 一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 1．（2022秋•瑶海区校级期中）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝3x2+x﹣1 C． D． 【分析】利用二次函数定义进行解答即可． 【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意； B、y＝3x2+x﹣1是二次函数，故此选项合题意； C、y不是二次函数，故此选项不符合题意； D、y＝2x2不是二次函数，故此选项不合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 2．（2023秋•东城区校级期中）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y C．y＝3x2+x﹣1 D．y＝2x3﹣1 【分析】利用二次函数定义进行解答即可． 【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函数，故此选项不合题意； B、y不是二次函数，故此选项不合题意； C、y＝3x2+x﹣1是二次函数，故此选项符合题意； D、y＝2x3﹣1不是二次函数，故此选项不合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 3．（2024春•碑林区校级月考）下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝3x B．y＝x2 C． D．y＝x2﹣x（x﹣1） 【分析】直接利用二次函数解析式的一般形式y＝ax2+bx+c（a≠0）进行分析得出答案． 【解答】解：A、y＝3x，是一次函数，故此选项不符合题意； B、y＝x2，是二次函数，故此选项符合题意； C、，不是二次函数，故此选项不符合题意； D、y＝x2﹣x（x﹣1）＝x，不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 4．（2024•秦都区校级一模）下列函数中，y关于x的二次函数是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝x（x﹣1） C． D．y＝（x﹣1）2﹣x2 【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论． 【解答】解：A、当a＝0时，y＝bx+c不是二次函数； B、y＝x（x﹣1）＝x2﹣x是二次函数； C、y不是二次函数； D、y＝（x﹣1）2﹣x2＝﹣2x+1为一次函数． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键． 5．（2023秋•梁园区期末）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C．y＝2x2﹣1 D． 【分析】根据二次函数的定义对各选项进行判断即可． 【解答】解：y是x的二次函数的是y＝2x2﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量． 6．（2023秋•河东区月考）下列函数关系式中，二次函数的个数有（　　） （1）y＝3（x﹣1）2+1；（2）；（3）S＝3﹣2t2；（4）y＝x4+2x2﹣1；（5）y＝3x（2﹣x）+3x2；（6）y＝mx2+8． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【解答】解：（1）y＝3（x﹣1）2+1是二次函数，故符合题意； （2），不是二次函数，故不符合题意； （3）S＝3﹣2t2是二次函数，故符合题意； （4）y＝x4+2x2﹣1不是二次函数，故不符合题意； （5）y＝3x（2﹣x）+3x2＝6x不是二次函数，故不符合题意； （6）y＝mx2+8，不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不符合题意； 综上所述，二次函数有2个． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数． 题型二 二次函数的一般形式 解题技巧提炼 二次函数的一般形式是y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 1．（2023秋•霍邱县期末）二次函数y＝x2+2x﹣3的一次项系数是（　　） A．1 B．2 C．﹣2 D．3 【分析】先找出多项式中的一次项，根据系数的定义即可解答． 【解答】解：多项式y＝x2+2x﹣3的一次项为2x，其系数为2． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义，求多项式中某项的系数，掌握多项式中的项的定义和系数的定义是解题关键． 2．（2022秋•济南期末）二次函数y＝x2﹣6x﹣1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．1，﹣6，﹣1 B．1，6，1 C．0，﹣6，1 D．0，6，﹣1 【分析】根据二次函数的一般形式找出a，b，c的值即可． 【解答】解：二次函数y＝x2﹣6x﹣1， ∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，﹣6，﹣1． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数的一般形式，在y＝ax2+bx+c中正确判断a，b，c的值是解题关键． 3．（2023秋•江油市校级月考）把二次函数y＝﹣（x+3）2+11变成一般式是（　　） A．y＝﹣x2+20 B．y＝﹣x2+2 C．y＝﹣x2+6x+20 D．y＝﹣x2﹣6x+2 【分析】利用完全平方公式将等式的右侧展开并合并同类项即可． 【解答】解：y＝﹣（x+3）2+11＝﹣x2﹣6x﹣9+11＝﹣x2﹣6x+2． 故选：D． 【点评】考查了二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）； （2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k； （3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）． 4．（2023春•肇源县月考）将一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　） A．3，5 B．3，1 C．3x2，﹣5x D．3，﹣5 【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，进而可得出结论． 【解答】解：一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式为：3x2﹣5x+1＝0， 故二次项系数是3，一次项系数是﹣5． 故选：D． 【点评】本题考查是一元二次方程的一般形式，熟知一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0），这种形式叫一元二次方程的一般形式是解题的关键． 5．（2023•鱼峰区模拟）将方程3x2＝5x﹣1化为一元二次方程一般式后得（　　） A．3x2﹣5x﹣1＝0 B．3x2+5x﹣1＝0 C．3x2﹣5x+1＝0 D．3x2+5x+1＝0 【分析】方程移项把右边化为0，左边按照x的降幂排列即可． 【解答】解：将方程3x2＝5x﹣1化成一元二次方程的一般形式得3x2﹣5x+1＝0． 故选：C． 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0）． 6．（2022秋•南岗区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c，下列说法错误的是（　　） A．a≠0 B．二次项为ax2 C．一次项系数为bx D．常数项为c 【分析】根据二次函数的定义即可求解，二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c， A．a≠0，故该选项正确，不符合题意； B．二次项为ax2，故该选项正确，不符合题意； C．一次项系数为b，故该选项不正确，符合题意； D．常数项为c，故该选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式是解题的关键． 7．将二次函数y＝（2x﹣1）（x+3）化为一般形式是 　 ． 【分析】直接利用多项式乘多项式计算，进而得出答案． 【解答】解：y＝（2x﹣1）（x+3） ＝2x2+6x﹣x﹣3 ＝2x2+5x﹣3． 故答案为：y＝2x2+5x﹣3． 【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确掌握多项式乘多项式运算法则是解题关键． 题型三 根据二次函数的定义确定字母的取值范围 解题技巧提炼 根据二次函数定义中的二次项的系数不为0建立不等式来解决问题. 1．（2023秋•海珠区月考）若函数y＝（m+2）x2+3mx+1是二次函数，则（　　） A．m≥﹣2 B．m≠2 C．m≠﹣2 D．m＝﹣2 【分析】利用二次函数的定义得到m+2≠0，然后解不等式和方程得到满足条件的m的值． 【解答】解：根据题意得m+2≠0， 解得m≠﹣2， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量． 2．（2023秋•泉州期末）若函数y＝mx（x﹣1）﹣x2是关于x的二次函数，则m的取值范围是（　　） A．m≠0 B．m≠﹣1 C．m≠1 D．m≠±1 【分析】根据二次函数的定义解答即可． 【解答】解：∵y＝mx（x﹣1）﹣x2＝mx2﹣mx﹣x2＝（m﹣1）x2﹣mx是关于x的二次函数， ∴m﹣1≠0， ∴m≠1， 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数． 3．（2023秋•郫都区期末）若y＝（m﹣4）x2﹣5x+3表示y是x的二次函数，则m的取值范围为（　　） A．m≠0 B．m＞4 C．m＜4 D．m≠4 【分析】根据二次函数的定义得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【解答】解：∵y＝（m﹣4）x2﹣5x+3表示y是x的二次函数， ∴m﹣4≠0， 解得m≠4． 故选：D． 【点评】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 4．（2023秋•嘉定区期末）如果函数y＝（k﹣1）x2+kx﹣1（k是常数）是二次函数，那么k的取值范围是 　 　． 【分析】根据二次函数定义得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【解答】解：∵函数y＝（k﹣1）x2+kx﹣1（k是常数）是二次函数， ∴k﹣1≠0， 解得k≠1． 故答案为：k≠1． 【点评】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 5．（2023秋•东城区校级期中）若关于x的函数y＝（a+1）x2﹣2x+3是二次函数，则a的取值范围是 　 　． 【分析】根据二次函数的定义列不等式求解即可． 【解答】解：∵函数y＝（a+1）x2﹣2x+3是关于x的二次函数， ∴a+1≠0， 解得a≠﹣1． 故答案为：a≠﹣1． 【点评】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 6．（2023秋•桐城市月考）若函数y＝（m﹣1）x2+5x+6是二次函数，则m的取值范围是 　 　． 【分析】形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，由此解答即可． 【解答】解：若函数y＝（m﹣1）x2+5x+6是二次函数，则m的取值范围是m﹣1≠0，即m≠1， 故答案为：m≠1． 【点评】本题考查了二次函数的定义，熟知二次函数的定义是解题的关键． 7．（2022秋•太康县期末）已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1． （1）当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数； （2）当m为何值时，这个函数是关于x的二次函数． 【分析】（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程和不等式，根据解方程和不等式，可得答案； （2）根据二次项的系数不等于零，可得不等式，根据不等式，可得答案． 【解答】解：（1）依题意得：， 解得：m＝0； 所以当m＝0时，这个函数是关于x的一次函数； （2）依题意得m2﹣m≠0， 解得：m≠0且m≠1． 所以当m≠0和1时，这个函数是关于x的二次函数． 【点评】本题考查了一次函数与二次函数的定义．一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数；一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．掌握定义是解题关键． 题型四 根据二次函数的定义确定字母的值 解题技巧提炼 根据二次函数的定义满足的条件：（1）自变量最高次数为2，建立方程；（2）二次项系数不为0，建立不等式；综合以上条件求解即可 1．（2023秋•芝罘区期中）已知函数y＝（m﹣4）x|m﹣2|是关于x的二次函数，则m的值是（　　） A．0或4 B．0 C．2 D．4 【分析】根据二次函数的定义得到关于m的方程，解方程即可． 【解答】解：∵函数y＝（m﹣4）x|m﹣2|是关于x的二次函数， ∴|m﹣2|＝2且m﹣4≠0， 解得m＝0． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的定义，正确把握二次项的次数与系数是解题关键． 2．（2023秋•宿松县校级期末）若y＝（m﹣1）是二次函数，则m的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2 【分析】形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数称为二次函数，根据此定义即可判断． 【解答】解：∵y＝（m﹣1）是二次函数， ∴m2+1＝2且m﹣1≠0， 解得m＝﹣1或m＝1（舍）， ∴m＝﹣1， 故选：B． 【点评】本题主要考查二次函数的定义，关键是要牢记二次函数的定义． 3．（2023秋•西城区校级期中）若函数的图象是抛物线，则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．4 D．±2 【分析】根据抛物线的性质及二次函数的定义列出关于m的不等式组，求出m的值即可． 【解答】解：∵函数y＝（m+2）2x﹣3的图象是抛物线， ∴m+2≠0且m2﹣2＝2， ∴m＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的定义．熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．二次函数的定义：函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）叫二次函数，其图象为抛物线． 4．（2022秋•兰山区校级期中）若函数是二次函数，则m的值是（　　） A．2 B．﹣1或3 C．﹣1 D．3 【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案． 【解答】解：由题意得：m2﹣2m﹣1＝2，且m2+m≠0， 解得：m＝3． 故选：D． 【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握定义是解题关键． 5．（2022秋•德惠市期末）如果函数是关于x的二次函数，则k＝　 　． 【分析】根据二次函数的定义得到k﹣1≠0且k2﹣k+2＝2，然后解不等式和方程即可得到k的值． 【解答】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴k﹣1≠0且k2﹣k+2＝2，解得k＝0或k＝1， ∴k＝0． 故答案为0． 【点评】本题考查了二次函数的定义：函数y＝ax2+bx+c（其中a、b、c为常数且a≠0）叫二次函数． 6．（2023秋•全椒县期中）若y＝（m+1）x|m|+1+4x﹣5是关于x的二次函数，则一次函数y＝mx+m的图象不经过第 　　象限． 【分析】由二次函数的定义得出m＝1即可得到答案． 【解答】解：由于y＝（m+1）x|m|+1+4x﹣5是关于x的二次函数， ∴|m|+1＝2且m+1≠0， ∴m＝1， 故一次函数的解析式为y＝x+1， 故一次函数过一、二、三象限， 故答案为：四． 【点评】本题考查了二次函数的定义，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 7．（2023秋•雷州市校级月考）若y＝（m﹣1）3． （1）m取什么值时，此函数是二次函数？ （2）m取什么值时，此函数是一次函数？ 【分析】（1）形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数，根据二次函数的定义即可判断； （2）形如y＝kx+b（k≠0）的函数叫做一次函数，根据一次函数的定义即可判断． 【解答】解：（1）当y＝（m﹣1）3是二次函数时， 有， 解得m＝﹣3， ∴当m＝﹣3时，此函数是二次函数； （2）当y＝（m﹣1）3是一次函数时， 有， 解得m＝﹣1或m＝﹣1， ∴当m＝﹣1或m＝﹣1时，此函数是一次函数． 【点评】本题主要考查二次函数和一次函数的定义，关键是要牢记二次函数和一次函数的定义． 题型五 利用二次函数的解析式求变量的值 解题技巧提炼 两种类型:(1)代入自变量的值求函数值. (2)代入函数值解一元二次方程求自变量的值. 1．若函数y，当函数值y＝7时，则自变量x的值是（　　） A．± B．或 C．±或 D． 【分析】将y＝7代入函数关系式计算x值，根据x的取值范围可求解． 【解答】解：当y＝7时，y＝x2+2＝7， 解得x或， ∵x≤2， ∴x； 当y＝7时，y＝2x＝7， 解得x2， 故自变量x的值为或． 故选：B． 【点评】本题主要考查分段函数，将y值代入计算是解题的关键． 2．（2023秋•江夏区校级月考）一个二次函数y＝（k﹣1）2x﹣1． （1）求k值． （2）求当x＝0.5时y的值？ 【分析】（1）根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得k2﹣3k+4＝2，且k﹣1≠0，再解即可； （2）根据（1）中k的值，可得函数解析式，再利用代入法把x＝0.5代入可得y的值． 【解答】解：（1）由题意得：k2﹣3k+4＝2， 则k2﹣3k+2＝0， （k﹣1）（k﹣2）＝0， 解得：k1＝1，k2＝2， ∵k﹣1≠0， ∴k＝2； （2）把k＝2代入y＝（k﹣1）2x﹣1得：y＝x2+2x﹣1， 当x＝0.5时，y＝（）2+21． 【点评】此题主要考查了二次函数以及求函数值，关键是掌握判断函数是否是二次函数，要抓住二次项系数不为0和自变量指数为2这个关键条件． 3．已知函数y＝2（x﹣6）（x+1）． （1）分别求出当x＝﹣2和x＝7时，函数y的值； （2）当y＝0时，求自变量x的取值． 【分析】（1）直接把x＝﹣2和x＝7代入函数求出y的对应值即可； （2）那y＝0代入函数求出x的值即可． 【解答】解：（1）当x＝﹣2时，y＝2（﹣2﹣6）（﹣2+1）＝16； 当x＝7时，y＝2（7﹣6）（7+1）＝16． （2）当y＝0时，2（x﹣6）（x+1）＝0，解得x1＝6，x2＝﹣1． 【点评】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解答此题的关键． 4．已知二次函数y＝x2+5x+8． （1）当x＝﹣2时，求函数的值； （2）当函数值为2时，求自变量x的值． 【分析】（1）把x＝﹣2代入函数表达式即可求出y的值； （2）令y＝2，解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2+5×（﹣2）+8＝4﹣10+8＝2． ∴当x＝﹣2时，函数的值为2． （2）当y＝2时，即x2+5x+8＝2，解得x＝﹣2，或x＝﹣3． ∴当函数值为2时，自变量x的值为﹣2或﹣3． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数上点的坐标特征，解题的关键是代入后正确的计算，难度不大． 5．（2023秋•临沭县校级月考）已知二次函数y＝x2+2x﹣7． （1）当x＝﹣1时，求函数y的值． （2）当x取何值时，函数y的值为8？ 【分析】（1）把x＝﹣1代入二次函数y＝x2+2x﹣7，求出y的值即可； （2）把y＝8代入二次函数y＝x2+2x﹣7，求出x的值即可． 【解答】解：（1）当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2+2×（﹣1）﹣7＝﹣8； （2）当y＝8时，则8＝x2+2x﹣7，解得x1＝﹣5，x2＝3， ∴当x＝﹣5或x＝3时，函数值为8． 【点评】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特点． 6．如图，根据程序计算函数值． （1）当输入的x的值是时，输出的结果y是多少？ （2）当输入的x的值是多少时，输出的结果y是﹣4？ 【分析】观察图形可知，输入的x，有三个关系式：当x＜﹣1时，y＝x+2，当﹣1≤x≤1时，y＝x2，，当x＞1时，y＝﹣x+2．然后根据x的值来确定计算程序． 【解答】解：（1）把x，代入y＝x2，得y； （2）∵输出值为﹣4＜0， ∴输入的x的取值范围不可能为﹣1≤x≤1， ∴对于y＝x+2，当y＝﹣4时，x＝﹣6； 对于y＝﹣x+2，当y＝﹣4时，x＝6． ∴输入的x的值是6或﹣6． 【点评】本题考查函数值，根据自变量x的取值范围代入相应的函数关系式，按照函数关系式所提供的运算顺序进行计算即可． 题型六 由实际问题列二次函数的关系式 解题技巧提炼 仔细审题，找出等量关系，列出二次函数解析式即可，关系式一般要化为一般式. 1．（2024•槐荫区二模）某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为20m，设长方形靠墙的一边长为x m，面积为y m2，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（　　） A．y＝20x B．y＝20﹣2x C． D．y＝x（20﹣2x） 【分析】利用长方形面积等于长乘宽计算即可． 【解答】解：由题意得：长方形靠墙的一边长为x m，则平行墙的边长为（20﹣2x）m， ∴面积y＝x（20﹣2x）， 故选：D． 【点评】本题考查根据实际问题列函数关系式，找出数量关系是解答本题的关键． 2．（2023秋•霍邱县期末）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度GDP总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　） A．y＝2.6（1+2x） B．y＝2.6（1﹣x）2 C．y＝2.6（1+x）2 D．y＝2.6+2.6（1+x）+2.6（1+x）2 【分析】利用合肥市2023年第三季度GDP总值＝合肥市2023年第一季度GDP总值×（1+平均每个季度GDP增长的百分率）2，即可找出y关于x的函数表达式． 【解答】解：根据题意得：y＝2.6（1+x）2． 故选：C． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数表达式是解题的关键． 3．（2022秋•威县校级期末）由于长期受新型冠状病毒的影响，核酸检测试剂需求量剧增，某医院去年一月份用量是8000枚，二、三两个月用量连续增长，若月平均增长率为x，则该医院三月份用核酸检测试剂的数量y（枚）与x的函数关系式是（　　） A．y＝8000（1+x） B．y＝8000（1+x）2 C．y＝8000（1+x2） D．y＝8000（1+2x） 【分析】月平均增长率为x，则二月份的市场需求量是8000（1+x），三月份的产量是8000（1+x）2，据此列函数关系式即可． 【解答】解：该医院三月份用核酸检测试剂的数量y（枚）与x的函数关系式是：y＝8000（1+x）2． 故选：B． 【点评】本题考查了根据实际问题抽象出二次函数，解题的关键是正确列出二次函数关系式．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）＝a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”． 4．（2023秋•东莞市校级月考）如图，在长为30米、宽为20米的矩形花坛中横向修建1条、纵向修建2条宽都为x米的小路（阴影部分），空白处为绿地，面积为y平方米，则绿地面积y与x之间的函数表达式为（　　） A．y＝（30﹣2x）（20﹣x） B．y＝（30+x）（20﹣x） C．y＝（2x﹣30）（x﹣20） D．y＝（30﹣2x）（20+2x） 【分析】将图中阴影部分进行移动，可得绿地的面积是长为（30﹣2x）米，宽为（20﹣x）米的矩形的面积，以此即可求解． 【解答】解：将图中的阴影部分按如图所示进行移动， 则空白部分为矩形，长为（30﹣2x）米，宽为（20﹣x）米， ∴绿地面积y与x之间的函数表达式为y＝（30﹣2x）（20﹣x）． 故选：A． 【点评】本题主要考查根据实际问题列二次函数，将图形进行适当的处理是解题关键． 5．（2023秋•津南区期中）某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查反映：若每千克涨价1元，每天销售量减少20千克，设每千克涨价x（单位：元），且0≤x≤25，每天售出商品的利润为y（单位：元），则y与x的函数关系式是（　　） A．y＝500﹣20x B．y＝（500﹣20x）（10+x） C．y＝（500+10x）（10﹣x） D．y＝（500﹣10x）（10+x） 【分析】当每千克涨价x元时，每千克盈利（10+x）元，每天可销售（500﹣20x）千克，利用每天售出商品的利润＝每千克的销售利润×日销售量，即可得出y与x的函数关系式，此题得解． 【解答】解：当每千克涨价x元时，每千克盈利（10+x）元，每天可销售（500﹣20x）千克， 根据题意得：y＝（500﹣20x）（10+x）． 故选：B． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x的函数关系式是解题的关键． 6．（2023秋•西湖区校级月考）某果园有10棵苹果树，平均每一棵树可以结200个苹果．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个苹果，现果园增种了x棵苹果树，若苹果总个数为y（个），则下列y与x的关系式中哪一个是正确的（　　） A．y＝（10+x）（200+5x） B．y＝（10+x）（200﹣5x） C．y＝（10﹣x）（200+5x） D．y＝（10﹣x）（200﹣5x） 【分析】根据多种一棵树，平均每棵树就会少结5个苹果列式即可得到答案． 【解答】解：由题意可得，y＝（10+x）（200﹣5x）， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数解决实际应用题，解题的关键是找到等量关系式． 7．（2022秋•承德县期末）“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（　　） A．w＝（99﹣x）[200+10（x﹣50）] B．w＝（x﹣50）[200+10（99﹣x）] C．w＝（x﹣50）（20010） D．w＝（x﹣50）（20010） 【分析】设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），根据每件利润＝实际售价﹣成本价，销售量＝原销售量+因价格下降而增加的数量，总利润＝每件利润×销售数量，即可得出w与x之间的函数解析式． 【解答】解：设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元）， 则每件盈利（x﹣50）元，每天可销售（20010）件， 根据题意得：w＝（x﹣50）（20010）， 故选：D． 【点评】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，理解题意找到题目蕴含的等量关系是解题的关键． 8．如图所示，一个矩形的长为4cm，宽为3cm，如果将这个矩形的长与宽都增加xcm，那么这个矩形的面积增加ycm2． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）这个函数是二次函数吗？为什么？ （3）求自变量的取值范围． 【分析】（1）根据题意，算出原来矩形的面积，再算边长增加后的面积，然后列出y与x的函数关系式； （2）结合（1）得到的函数关系式，根据所学过的函数表达式即可判断； （3）因为边长的增加量是非负数，即可写出x的取值范围． 【解答】解：（1）∵矩形的长为4cm，宽为3cm， ∴矩形的面积＝4×3＝12（cm2）． ∵矩形的长与宽都增加xcm， ∴增加后矩形的面积＝（4+x）（3+x）cm2， ∴y＝（4+x）（3+x）﹣12，即y＝x2+7x， 故y与x之间的函数关系式为y＝x2+7x． （2）∵一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数， ∴y＝x2+7x是二次函数； （3）∵x为矩形增加的长与宽， ∴自变量x的取值范围为x≥0． 【点评】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$