21.2.2公式法（九大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

21.2.2解一元二次方程（3）公式法（九大题型提分练） 题型一、求根公式的认识 1．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）当用公式法解方程时，的值为（   ） A．2 B． C．17 D． 2．（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 3．（21-22九年级上·广东江门·期中）用公式法解方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（  ） A． B． C． D． 题型二、用公式法解方程 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列一元二次方程． (1)； (2)． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 题型三、根的大小比较及估值问题 7．（2024九年级下·全国·专题练习）若是关于x的一元二次方程的一个根，下面对a的值估计正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）已知a是一元二次方程的较小的根，则下面对a的估值正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·福建泉州·期末）若是关于的一元二次方程的一个根，下面对的值估计正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四、根据判别式的符号判定根的情况 10．（2024·山东滨州·二模）一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数 B．有两个相等的实数根 C．根有两个不相等的实数根 D．没有实数根 11．（2024·广东佛山·二模）若实数满足，则关于的方程根的情况是（    ） A．有两个相等实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 12．（2024·河南驻马店·二模）关于x的一元二次方程 中a，b，c满足，则方程根的情况说法最恰当的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 题型五、根据根的情况求参数的范围 13．（2024·河南漯河·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·山东泰安·三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 15．（2024·吉林长春·二模）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且a为小于2的整数，那么a的值是 ． 题型六、新定义问题 16．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）对于实数a， b定义运算“⊗”为∶ 例如： 则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 17．（2024·河南新乡·三模）定义新运算．例如：，则方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数股 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 18．（2024·江苏连云港·二模）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 题型七、利用根的判别式与根的情况进行求解 19．（23-24九年级上·山东烟台·期中）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若为正整数，请用配方法求出此时方程的解． 20．（23-24九年级上·山东泰安·期中）已知：关于x的一元二次方程． (1)当m取何值时，此方程没有实数根； (2)若此方程有两个实数根，求m的最小整数值． 21．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）已知关于的方程． (1)求证：不论取什么实数时，这个方程总有实数根； (2)当为何正整数时，关于的方程有两个整数根？ 题型八、公式法与判别式的综合应用 22．（2024·四川南充·一模）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 23．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若此方程的两个根分别为，，其中，且，求的值． 24．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知关于x的两个一元二次方程： 方程①：；方程②： (1)证明方程①总有实数根， (2)若方程②有两个相等的实数根，求k的值． (3)若方程①和②有一个公共根a，求代数式的值． 题型九、有关公式法的材料探究问题 25．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连结． (1)若，求的度数． (2)设，． ①线段的长是方程的一个根吗？说明理由． ②若，求的值． 26．（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）我国宋代数学家秦九韶的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊数学家海伦的成果并称“海伦-秦九韶公式”．它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，为三角形的面积，那么． (1)在中，，，，请用上面的公式计算的面积． (2)一个三角形的三边长分别为，，，，，且，求，的值． 1．（2024·河南开封·二模）关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·西藏日喀则·一模）扎西准备解一元二次方程时，发现常数项被污染，若该方程有解，则·处的数可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·河南周口·二模）定义新运算“”：对于任意实数a，b，都有，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，例如，若 为实数是关于的方程，则它的根的情况为(    ) A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 4．（2024·吉林长春·一模）若关于的方程有实数根，且为正整数，则的值是 ． 5．（23-24九年级上·江苏·期中）已知代数式的最小值为，则的值为 ． 6．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）已知关于的一元二次方程．若等腰的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，则的周长为 ． 7．（22-23九年级上·辽宁鞍山·期中）已知关于x的一元二次方程，p为实数． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由） 8．（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求最值． 例如：求代数式的最值． 解： （分离常数项） （提二次项系数） （配方） 当时，代数式取得最小值是3 运用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式的最值； (2)关于的方程．求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． 9．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，我们规定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式． (1)求整式； (2)请将整式分解因式； (3)小红说，无论实数取何值，的值都不可能等于．请问小红的说法是否正确？并说明理由． 10．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，则把分别以为横坐标和纵坐标得到的点，称为该一元二次方程的“友好点”． (1)若方程为，则该方程的“友好点”P的坐标为 ． (2)若关于x的一元二次方程的“友好点”为P，过点P向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值． (3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的“友好点”P始终在函数的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.2解一元二次方程（3）公式法（九大题型提分练） 题型一、求根公式的认识 1．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）当用公式法解方程时，的值为（   ） A．2 B． C．17 D． 【答案】C 【分析】 本题考查了根的判别式，将原方程变形为一般式找出、、的值是解题的关键．将原方程变形为一般式，找出、、的值，将其代入即可得出结论． 【详解】 解：原方程可变形为， ，，， ． 故选：C 2．（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断即可 【详解】解：∵是一元二次方程方程的根， ∴，，， ∴， 故选：D 3．（21-22九年级上·广东江门·期中）用公式法解方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化为一般式后，根据一元二次方程的一般形式确定a、b、c的值即可，注意：项的系数带着前面的符号． 【详解】解：方程整理得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 题型二、用公式法解方程 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列一元二次方程． (1)； (2)． 【答案】(1)无实数根 (2)无实数根 【分析】(1)先化成一般式，计算根的判别式，再求解． (2)先化成一般式，计算根的判别式，再求解． 【详解】（1），，，， ∴， ∴该方程无实数根． （2）整理为一般式，得：， ∵，，， ∴， ∴方程无实数根． 【点睛】本题考查了解方程，先计算根的判别式是解题的关键． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）把方程化成一般式，后根据步骤求解即可． （2）把方程化成一般式，后根据步骤求解即可． 【详解】（1），，，， ∴． （2）整理得：， ∵，，，， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了公式法解方程，熟练掌握公式是解题的关键． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）直接运用公式法解答方程即可； （2）先把化成一般式，直接运用公式法解答方程即可． 【详解】（1）解： 则，，， 那么， 把，，，都代入中， 得，； （2）解：， 则， 所以一般式是， 则，，， 那么， 把，，，都代入中， 得，． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，正确掌握公式法是解题的关键． 题型三、根的大小比较及估值问题 7．（2024九年级下·全国·专题练习）若是关于x的一元二次方程的一个根，下面对a的值估计正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解，能正确解出关于的一元二次方程及对求出的进行估值是解题的关键． 将方程的根代入方程，解关于的一元二次方程并估值即可． 【详解】解：将代入方程得，， 解得， 又 所以． 又因为， 所以， 即． 故选：B． 8．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）已知a是一元二次方程的较小的根，则下面对a的估值正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法表示出方程的根，估算即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∵a是较小的根， ∴， ∵， ∴， ∴，即：； 故选A． 9．（23-24九年级上·福建泉州·期末）若是关于的一元二次方程的一个根，下面对的值估计正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、解一元二次方程、实数大小估算等知识，利用公式法解关于的方程是解题关键．将代入方程并整理，获得关于的方程，然后估计的大小即可． 【详解】解：将代入方程， 可得， 整理可得， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即． 故选：B． 题型四、根据判别式的符号判定根的情况 10．（2024·山东滨州·二模）一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数 B．有两个相等的实数根 C．根有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知根的判别式与一元二次方程根的关系式解题的关键． 先把一元二次方程化为一般式，然后利用根的判别式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴根的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选． 11．（2024·广东佛山·二模）若实数满足，则关于的方程根的情况是（    ） A．有两个相等实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．求出，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 关于的方程根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：B． 12．（2024·河南驻马店·二模）关于x的一元二次方程 中a，b，c满足，则方程根的情况说法最恰当的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，把数值代入，且结合，进行化简计算即可作答． 【详解】解：∵a，b，c满足， ， ， 即， ∴方程有实数根． 故选C． 题型五、根据根的情况求参数的范围 13．（2024·河南漯河·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据题意，令，建立方程求解即可． 【详解】解：根据题意： 解得：， 故选：B． 14．（2024·山东泰安·三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元一次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此可得，解之即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得且， 故答案为：且． 15．（2024·吉林长春·二模）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且a为小于2的整数，那么a的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，解两个不等式得到的范围为且，然后根据为小于2的整数确定的值． 【详解】解：根据题意得且， 解得且， ∵为小于2的整数， ∴的值为1． 故答案为：1． 题型六、新定义问题 16．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）对于实数a， b定义运算“⊗”为∶ 例如： 则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据新定义，转化得到一元二次方程，再根据方程的根的判别式判断即可． 本题考查了新定义，根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 17．（2024·河南新乡·三模）定义新运算．例如：，则方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数股 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算、一元二次方程的根的判别式等知识，理解并熟练新定义运算、一元二次方程根的判别式的计算及应用是解题的关键．先根据新定义得到关于的一元二次方程，然后计算一元二次方程的判别式即可得解． 【详解】解：根据题意，可得， ∴方程可变形为， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 18．（2024·江苏连云港·二模）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根的判别式：当判别式，方程有两个不相等的实数根；当判别式，方程有两个相等的实数根；当判别式，方程没有实数根． 【详解】解：∵， ∴， 整理可得， 又关于的方程有两个实数根， ， 解得：且， 故答案为：且． 题型七、利用根的判别式与根的情况进行求解 19．（23-24九年级上·山东烟台·期中）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若为正整数，请用配方法求出此时方程的解． 【答案】(1)且 (2)， 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及用配方法解方程， （1）由关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得且，即，两个不等式的公共解即为的取值范围； （2）求出的值，用配方法解方程即可； 解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且， ∴的取值范围为且； （2）∵且，且m为正整数， ∴， ∴原方程为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时方程的解为：，． 20．（23-24九年级上·山东泰安·期中）已知：关于x的一元二次方程． (1)当m取何值时，此方程没有实数根； (2)若此方程有两个实数根，求m的最小整数值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式，熟知根的判别式为是解题的关键． （1）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可解答； （2）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可得到m的最小整数值． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程， 可得， 当，即时，此方程没有实数根； （2）解：∵有两个实数根， ∴， ∴； ∴m的最小整数值为． 21．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）已知关于的方程． (1)求证：不论取什么实数时，这个方程总有实数根； (2)当为何正整数时，关于的方程有两个整数根？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系， （1）当时，方程为一元一次方程．当时，方程为一元二次方程，证明出根的判别式即可； （2）由一元二次方程的根与系数关系得到：，然后根据解是整数得到，即可算出m的值． 【详解】（1）证明：当时，方程为一元二次方程，， 一元二次方程有两个实数根． 当时，方程为，有实数根． 综上，不论取什么实数时，这个方程总有实数根． （2）解：方程有两个整数根，∴方程为一元二次方程，即． 由根与系数关系得到：， 又和为整数，且为正整数， ∴，解之得：， 经检验，此时符合题意． 题型八、公式法与判别式的综合应用 22．（2024·四川南充·一模）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（）根据，解不等式即可求解； （）求出，解方程求出或，代入方程求出的值即可； 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解和定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得， ， ∴； （2）解：∵，是符合条件的最大整数， ∴， ∴方程为， 解得，， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， 当时，， 解得； 当时，， 解得， ∵， ∴， ∴舍去； ∴． 23．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若此方程的两个根分别为，，其中，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式，求出此方程的判别式得：，即可得到答案， （2）利用公式法求得方程的两个根，利用“方程的两个根分别为，，其中，若”，得到关于的一元一次方程，解之即可 本题考查了根与系数的关系和根的判别式，解题的关键：（1）正确掌握一元二次方程根的判别式，（2）正确找出等量关系，列出一元一次方程． 【详解】（1）证明：根据题意得： ， 此方程有两个不等的实数根， （2） 解：方程的两个根分别为，，其中，若， 由（1）知，， ， ，， ， 解得：， 即的值为． 24．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知关于x的两个一元二次方程： 方程①：；方程②： (1)证明方程①总有实数根， (2)若方程②有两个相等的实数根，求k的值． (3)若方程①和②有一个公共根a，求代数式的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)5 【分析】 本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． （1）根据题意证明即可； （2）由方程②有两个相等的实数根，由二次项系数不为0及根的判别式等于0可得到关于的方程则可求得的值； （3）把分别代入两个方程，整理即可求得所求代数式的值． 【详解】（1） ∴无论k为何值时，方程总①有实数根 （2）∵方程②有两个相等的实数根， 且， 则， 则， ， ， ； （3）根据a是方程①和②的公共根， ③，④ 得：⑤， 得：， 代数式． 故代数式的值为5． 题型九、有关公式法的材料探究问题 25．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连结． (1)若，求的度数． (2)设，． ①线段的长是方程的一个根吗？说明理由． ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①是，理由见解析；② 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质求出，计算即可； （2）①根据勾股定理求出，利用求根公式解方程，比较即可；②根据勾股定理列出算式，计算即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ； （2）解：①在中，由勾股定理得， ， 解方程得， 线段的长是方程的一个根； ②， ， 根据题意可得，， 在中，由勾股定理得，则， ， ． 【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键． 26．（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）我国宋代数学家秦九韶的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊数学家海伦的成果并称“海伦-秦九韶公式”．它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，为三角形的面积，那么． (1)在中，，，，请用上面的公式计算的面积． (2)一个三角形的三边长分别为，，，，，且，求，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的应用，解一元二次方程； （1）根据题目的指示，了解海伦-秦九昭公式，根据具体的数字先计算的值，然后再代入公式，计算三角形的面积即可； （2）根据得以得到，再根据面积可以得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴的面积为， （2）解：∵， ∴，即①， 又∵ ∴， 即， ∴②． ∴联立①②解得：(∵，不合题意的舍去) 1．（2024·河南开封·二模）关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根的判别式，将方程转化为一般形式，根据方程的根的情况得到判别式大于等于0，进行求解即可． 【详解】解：转化为一般式为：， ∵方程有实数根， ∴， ∴； 故选A． 2．（2024·西藏日喀则·一模）扎西准备解一元二次方程时，发现常数项被污染，若该方程有解，则·处的数可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式．解题的关键在于正确的运算．根据，，解得，进而可得结果． 【详解】解：由题意知，，解得， ∴处的数可能是1， 故选：A． 3．（2024·河南周口·二模）定义新运算“”：对于任意实数a，b，都有，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，例如，若 为实数是关于的方程，则它的根的情况为(    ) A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据题目所给的新定义，将方程整理为，将其化为一般式，再根据一元二次方程根的判别式，即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得， ∵， ∴，整理得：， ∴， ∵， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 4．（2024·吉林长春·一模）若关于的方程有实数根，且为正整数，则的值是 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了根的判别式，直接利用根的判别式得出m的取值范围是解题关键． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴， 解得， 又∵为正整数， ∴， 故答案为：1． 5．（23-24九年级上·江苏·期中）已知代数式的最小值为，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了配方法及一元二次方程的求解．将代数式配方成，即可求解． 【详解】解：∵ ∴的最小值为， ∴ 整理得： 解得： 故答案为： 6．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）已知关于的一元二次方程．若等腰的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，则的周长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的性质．分两种情况：①若2为底，则方程有两个相等的实数根；②若2为腰，则2是方程的一根，分别计算出方程的解，计算出三角形的周长是解题的关键． 【详解】解：①若2为底，则方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， 方程为， ∴ ∴的周长； ②若2为腰，则2是方程的一根， 代入方程， 解得， 方程为， 解得， ∴的周长； 由①②得的周长是或． 7．（22-23九年级上·辽宁鞍山·期中）已知关于x的一元二次方程，p为实数． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)0，，（符合条件的三个都可以） 【分析】 本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键； （1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明即可； （2）要使方程有整数解，那么x＝为整数即可，于是p可取0，，时，方程有整数解． 【详解】（1） 证明：∵， 原方程可化为， ∵， ∴不论p为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2） 原方程可化为， ∵方程有整数解， ∴为整数即可， ∴当为奇数即可， ∴p可取0，，方程有整数解． 8．（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求最值． 例如：求代数式的最值． 解： （分离常数项） （提二次项系数） （配方） 当时，代数式取得最小值是3 运用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式的最值； (2)关于的方程．求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1)代数式取得最大值是5 (2)见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的判别式． （1）根据非负数得性质得，所以当时，式子有最大值5； （2）由题意得，整理得，即可判断，进而得证结论． 【详解】（1）解： 当时，代数式取得最大值是5； （2）证明： 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． 9．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，我们规定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式． (1)求整式； (2)请将整式分解因式； (3)小红说，无论实数取何值，的值都不可能等于．请问小红的说法是否正确？并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)小红的说法不正确，理由见解析． 【分析】（）根据题意列式计算即可； （）根据题意列式计算出，再进行分解因式即可； （）根据题意列式，然后配方，最后计算即可求解； 本题考查了整式的加减，分解因式，熟练掌握整式加减的法则是解题的关键． 【详解】（1）由题意得：， ， ； （2）由题意得： ； （3）小红的说法不正确，理由： 由题意得： ， ， 若时，即， 整理得：， ∵， ∴有两个不相等的实数根， ∴的值可能等于， 故小红的说法是不正确． 10．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，则把分别以为横坐标和纵坐标得到的点，称为该一元二次方程的“友好点”． (1)若方程为，则该方程的“友好点”P的坐标为 ． (2)若关于x的一元二次方程的“友好点”为P，过点P向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值． (3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的“友好点”P始终在函数的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题属于一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，点P为该一元二次方程的“友好点”的定义，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的图象及性质，学会用分类讨论的思想解决问题． （1）解方程后，根据定义即可求P点坐标； （2）求出方程的解为或，再分情况讨论：当时，此时；当时，此时，当时，；再由题意分别求出m的值即可； （3）由直线经过定点，则方程的友好点P为，即可求． 【详解】（1）解：解方程得，， ∴该方程的“友好点”P的坐标为， 故答案为：； （2）的解为或， 当时，， 此时， 由题意可得， 解得； 当时，， 此时， ∴， ∴； 当时，， 此时， 解得；综上所述：m的值为或； （3）存在b，c满足条件，理由如下： ∵， ∴直线经过定点， ∴方程的友好点为， ∴方程为 ∴． ( 26 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$