精品解析：2024届四川省自贡市中职三模数学试题

自贡市2024高三第三次模拟试题 数学 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分.每小题给出A，B，C，D四个选项，其中只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 过点与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，每个小方格是边长为的正方形，且向量端点均在格点上，已知向量、，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知、是方程的两根，则（ ） A. 3 B. 9 C. 2 D. 5 8. 椭圆的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 10. 某班全体学生参加英语测试，下图为成绩的频率分布直方图，数据的分组依次为：，，，人．若低于60分的人数是12人，则该班的学生人数是（ ） A. 35 B. 40 C. 45 D. 50 11. 已知的部分图像如下图所示，则函数的部分图像是（ ） A. B. C. D. 12. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题 ①若，，则 ②若，，则 ③若，，，则 ④，，则 其中正确命题的序号是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④ 13. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒.现有一张边长为8的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（ ） A. 162 B. 72 C. 152 D. 144 15. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，恒有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 16. 二项式，则______（用数字作答）． 17. 若抛物线上一点到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为______． 18. 设非零向量，满足，，则______． 19. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数5，9，14，20，…为梯形数，根据图形的构成，记此数列的第20项为，则______． 20. 定义在上的函数满足，，则______． 三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 21. 某商场举行有奖促销活动，顾客买一定金额的商品后即可参与抽奖.规则如下：从装有大小形状完全相同的4个红球和6个白球的箱子中摸出两个球，若摸中1个白球和一个红球，获纪念奖10元；若摸中2个白球，则获二等奖30元；若摸中2个红球，则获一等奖50元． （1）某顾客参与一次抽奖获得奖金金额为，求的概率分布列； （2）若某顾客有2次抽奖机会，求该顾客获得总奖金少于50元的概率． 22. 等比数列的各项均为正数，且，． （1）求数列的通项公式； （2），求数列的前项和． 23. 如图，在四棱锥中，面，底面是菱形． （1）求证：面； （2）若，，求三棱锥的体积． 24. 在中，，，所对的三边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若的面积为，且，求的值． 25. 已知直线与轴相交于点，点，过点作直线的垂线，交直线于点，记过A，，三点的圆为圆． （1）求圆的标准方程； （2）求过点与圆相交所得弦长为6的直线方程． 26. 已知函数，且的解集为．设． （1）求的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 自贡市2024高三第三次模拟试题 数学 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分.每小题给出A，B，C，D四个选项，其中只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的运算即可求解. 【详解】解：， 则. 故选：D 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式求解定义域即可. 【详解】函数 所以，且. 即解得. 所以函数的定义域为. 故选：C. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角和与差的余弦公式即可求解. 【详解】解： . 故选：B. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的几何含义，解含绝对值的不等式即可. 【详解】由得或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：. 5. 过点与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线垂直，斜率相乘等于，再结合直线的点斜式方程即可求解. 【详解】解：设所求直线方程斜率为. 因为直线的斜率为， 又因为直线与直线垂直， 所以，解得. 由点斜式方程可得，. 即. 故选：B 6. 如图所示，每个小方格是边长为的正方形，且向量端点均在格点上，已知向量、，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像得到向量的坐标，再利用向量坐标的线性运算和模长公式求解即可. 【详解】如图可知，点. 所以. 所以. 所以. 故选：. 7. 已知、是方程的两根，则（ ） A. 3 B. 9 C. 2 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据根与系数的关系列出等式，结合对数的运算即可求解. 【详解】因为是方程的两根. 所以. 所以. 故选：C. 8. 椭圆的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆方程求焦点坐标即可. 【详解】因为椭圆方程为. 所以椭圆焦点在轴，. 所以，即. 所以椭圆焦点坐标为：. 故选：D. 9. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二倍角的正余弦公式化简后结合余弦型函数最小正周期的求法即可求解. 【详解】 . 因为的最小正周期为. 所以的最小正周期是. 故选：C 10. 某班全体学生参加英语测试，下图为成绩的频率分布直方图，数据的分组依次为：，，，人．若低于60分的人数是12人，则该班的学生人数是（ ） A. 35 B. 40 C. 45 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】由已知的频率分布直方图，先求出成绩低于60分的频率，结合频数=频率总体容量，即可求解. 【详解】解：由频率分布直方图，知低于60分的频率为， 所以该班的学生数为. 故选：B. 11. 已知的部分图像如下图所示，则函数的部分图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由原函数图像所过定点可求解恒过定点，再由原函数时，y得取值可求解对应y得取值，判断选项即可. 【详解】由图像可知，恒过定点， 所以在中，令， 即恒过定点，故排除B、C选项； 又由的图像可知，时，， 所以令，解得时，， 由此可知，A选项正确，D选项错误. 故选：A. 12. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题 ①若，，则 ②若，，则 ③若，，，则 ④，，则 其中正确命题的序号是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系，空间线面的垂直和平行关系的判定即可求解. 【详解】对①：若，，则与可能相交，也可能平行，故①错误； 对②：若，，则与可能相交，可能平行，也可能异面，故②错误； 对③：因为，，所以，又，所以 ，故③正确； 对④：因为，使得与平面内任意直线平行，又，所以，故④正确. 综上所述，正确命题的序号是③和④. 故选：. 13. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解 【详解】因为，则， 因为，则， 所以由不能得到， 因为，则或， 解得且， 所以由可以得到， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B 14. 中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒.现有一张边长为8的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（ ） A. 162 B. 72 C. 152 D. 144 【答案】A 【解析】 【分析】利用正六边形的性质求出正六棱柱的底边边长，再根据正棱柱的体积公式即可求解. 【详解】解：如图所示， 根据题意，虚线处折成高为，即. 因为正六边形的每个内角均为， 所以，则. 所以正六棱柱的底面边长为. 则正六棱柱底面积为. 所以正六棱柱的体积为. 故选：A 15. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，恒有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得到当时函数单调递减，且，结合函数为偶函数列出不等式，根据指数函数单调性即可求解不等式. 【详解】因为当时，恒有. 所以函数在时单调递减， 又因为函数为偶函数，且， 不等式等价于， 所以不等式等价于即， 即或.解得或（舍去） 因为函数是增函数，且恒大于0. 所以.则 则不等式的解集为. 故选：C. 二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 16. 二项式，则______（用数字作答）． 【答案】31 【解析】 【分析】先令，求出的值，再令，求出的值，进而求解的值即可. 【详解】令得，， 令，得， 所以. 故答案为：31. 17. 若抛物线上一点到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，再由抛物线的定义列式可解得的值，从而可得抛物线的标准方程. 【详解】解：由题意可得抛物线开口向右，焦点坐标为， 由抛物线定义可知，， 解得， 所以抛物线的标准方程为. 故答案为：. 18. 设非零向量，满足，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量垂直则内积为化简即可求解. 【详解】因为， 所以. 因为，则. 即，. 则，. 所以. 故答案为：. 19. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数5，9，14，20，…为梯形数，根据图形的构成，记此数列的第20项为，则______． 【答案】252 【解析】 【分析】观察梯形数的前几项，得到；再利用等差数列求和公式求出，进而求即可. 【详解】由已知可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为： ， ， ， ， 所以. 故答案为：252. 20. 定义在上的函数满足，，则______． 【答案】－3 【解析】 【分析】令得，令得，令得. 【详解】因为， 令，则，解得. 令，则，解得. 令，则，解得. 故答案为：. 三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 21. 某商场举行有奖促销活动，顾客买一定金额的商品后即可参与抽奖.规则如下：从装有大小形状完全相同的4个红球和6个白球的箱子中摸出两个球，若摸中1个白球和一个红球，获纪念奖10元；若摸中2个白球，则获二等奖30元；若摸中2个红球，则获一等奖50元． （1）某顾客参与一次抽奖获得奖金金额为，求的概率分布列； （2）若某顾客有2次抽奖机会，求该顾客获得总奖金少于50元的概率． 【答案】（1）分布列见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题干条件求解随机变量的分布列即可. （2）要满足奖金低于50元，则只能是两次抽中10元或一次10元一次30元，即可对应概率之和即可. 【小问1详解】 ξ的可能取值为：10，30，50 则 ∴ξ的概率分布列为： ξ 10 30 50 P 【小问2详解】 某顾客有2次抽奖机会，该顾客获得总奖金少于50元可能是两次都抽中10元或一次10一次30元． ． 22. 等比数列的各项均为正数，且，． （1）求数列的通项公式； （2），求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用通项公式和已知条件列式可求得，，即可得通项公式； （2）由的通项公式求得，利用裂项相消法可求数列的前n项和. 【小问1详解】 ∵为等比数列， ， ∴， ∵等比数列的各项均为正数， ∴， ∵， ∴， ∴. 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴数列的前项和：， ∴数列的前项和为. 23. 如图，在四棱锥中，面，底面是菱形． （1）求证：面； （2）若，，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直. （2）根据棱锥的体积公式即可求解. 【小问1详解】 证明：∵底面是菱形， ∴. ∵平面平面， ∴. ∵，平面，平面. ∴平面. 【小问2详解】 因为平面平面， 所以. 则在中，， 所以. 在中，， 因为底面是菱形，所以. 所以. 因为三棱锥即三棱锥， 所以. 24. 在中，，，所对的三边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若的面积为，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理求解角A的值即可. （2）根据三角形面积的计算以及余弦定理求解的值即可. 【小问1详解】 ∵， ∴由正弦定理得：，即：， ∴， ∵， ∴. 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴即：， ∴， ∴. 25. 已知直线与轴相交于点，点，过点作直线的垂线，交直线于点，记过A，，三点的圆为圆． （1）求圆的标准方程； （2）求过点与圆相交所得弦长为6的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，先求出A的坐标，又因为过点B作直线l的垂线，交直线l于点C，且A，，三点都在圆M上，，圆M的直径为线段AB，并可求出圆M的圆心坐标，由此可求解圆的标准方程. （2）首先求出过点B作直线l的垂线的方程为：，联立，解得：，求出C的坐标，根据垂径定理可得圆心到直线的距离为2，分别讨论斜率存在和不存在的情况即可求解直线方程. 【小问1详解】 ∵直线与x轴相交于点A， ∴， ∵过点B作直线l的垂线，交直线l于点C， ∴. ∵直径所对的圆周角为，过A，B，C三点的圆为圆M， ∴圆M是以AB为直径的圆， ∴AB中点为圆的圆心，即， ∴直径为， ∴半径， ∴圆M的标准方程：. 【小问2详解】 过点B作直线l的垂线的方程为：，即， 由，解得：， ∴， ∵点C与圆M相交所得弦长为6， ∴由垂径定理得：圆心M到所求直线的距离为：， ①当k不存在时，即时，圆心到直线的距离为1，满足条件， ②当k存在时，设所求直线方程为：，即：， ∴，即，解得：， ∴直线方程为：，即：， ∴所求直线方程为：或． 26. 已知函数，且的解集为．设． （1）求的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集得到对应方程的根与系数关系即可求解. （2）根据题干条件得到复合函数的解析式，再利用换元法求解二次函数最值即可. 【小问1详解】 ∵的解集为， ∴，2为方程的两根， ∴解得：， ∴. 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵在上恒成立， 即：在上恒成立， ， 令，则， 令， 当时，0， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $