第五章《一元函数的导数及其应用》章末复习提升与检测-2023-2024学年高二数学下学期期末复习提升与检测（人教A版2019）

第五章《 一元函数的导数及其应用》章末复习提升与检测 ( 知识体系 ) ( 能力整合 ) 题型一 导数的几何意义与运算 1．此部分内容涉及导数的几何意义，基本初等函数求导法则、运算法则、复合函数求导，作为数形结合的桥梁，导数的几何意义成为最近几年高考的高频考点，主要考查切线方程及切点，与切线平行、垂直问题，常结合函数的切线问题转化为点到直线的距离，平行线间的距离问题，进而研究距离最值，难度中低档． 2．通过求切线方程的有关问题，培养数学运算、数学抽象等核心素养． 【例1】(1)已知函数f(x)＝，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)等于(　　) A. B. C. D. (2)（2023全国甲卷数学（文））曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题技法】(1)求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异． (2)熟练掌握基本初等函数的求导法则，掌握函数的和、差、积、商的运算法则，复合函数求导的关键是分清层次，逐层求导，求导时不要忘了对内层函数求导． 【跟踪训练】 1.已知曲线f(x)＝aln x＋x2在点(1,1)处的切线与直线x＋y＝0平行，则实数a的值为(　　) A．－3 B．1 C．2 D．3 2.（2022•新高考Ⅱ）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 　 　． 题型二 函数的单调性、极值、最值 1．利用导数研究函数的单调性、极值、最值，并能解决有关的问题，是最近几年高考的重点内容，难度中高档． 2．通过求函数的单调性、极值、最值问题，培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养． 【例2】（1）（2023•新高考Ⅱ）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为　　 A． B． C． D． （2）（2023新课标全国Ⅱ卷）3．若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【解题技法】(1)利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础，一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性，从而掌握函数图象的变化趋势，达到解决问题的目的． (2)①极值点是f′(x)的变号零点，除了找f′(x)＝0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性． ②求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，需通过比较端点值大小才能下结论． 【跟踪训练】 1.（2023全国乙卷数学（理））7．设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 2.函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0,2π]上的最小值、最大值分别为(　　) A．－， B．－， C．－，＋2 D．－，＋2 题型三 与导数有关的综合性问题 1．以函数为背景的实际问题给高考数学提供了广阔的空间．导数是研究函数性质以及解决实际问题中的最大、最小值的强有力的工具， 多以选择题和填空题的形式出现，难度中低档．从近几年高考题看，利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点常考到，一般出现在解答题中．其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图象，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．一般出现在高考题解答题中，难度中高档． 2．通过利用导数解决实际问题，培养数学建模，解决函数方程问题，提升逻辑推理，直观想象及数学运算等核心素养． 【例3】（2023新课标全国Ⅰ卷）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【解题技法】综合性问题一般伴随着分类讨论、数形结合、构造函数等数学中的思想方法，关键是分类讨论时，是否做到了不重不漏；数形结合时是否掌握了函数图象的变化趋势；构造函数时是否合理等问题． 【跟踪训练】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)． (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． ( 章末检测 ) (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（　　） A． B．1 C．2 D． 2．已知函数的导函数为，且满足，则 A． B． C． D． 3．若曲线在处的切线的斜率为3，则该切线在轴上的截距为（    ） A． B．2 C． D． 4．已知是定义在上的可导函数，的图象如下图所示，则的单调减区间是    A． B． C． D． 5．已知函数，那么的极大值是（    ） A． B． C． D． 6．已知是函数的极小值点，则（    ） A． B． C．2 D． 7．函数在上的最大值为4，则的值为（    ） A．7 B． C．3 D．4 8．已知是定义在上的函数，且，，则的解集是（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（    ） A． B．函数在上递增，在上递减 C．函数的极值点为， D．函数的极大值为 10.已知是自然对数的底数，函数的定义域为，是的导函数，且，则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，下列说法中正确的有（    ） A．函数的极大值为，极小值为 B．当时，函数的最大值为，最小值为 C．函数的单调减区间为 D．曲线在点处的切线方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若质子的运动方程为，其中的单位为，的单位为，则质子在时的瞬时速度为 ． 13．若函数在处取得极小值，则函数的极大值为 ． 14．如果存在函数（为常数），使得对函数定义域内任意的都有成立，那么为函数的一个“线性覆盖函数”．已知，，若为函数在区间上的一个“线性覆盖函数”，则实数的取值范围 ． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)已知函数. (1)若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若，求函数在上的最大值和最小值. 16．(本小题满分15分)设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax(a>0)． (1)求f(x)的单调区间； (2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立． 17．(本小题满分15分)某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m），其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为m3.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3万元，半球体部分每平方米建造费用为4万元．设该容器的总建造费用为y万元． (1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域； (2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用． 18．(本小题满分17分)设函数，. （1）当时，在上恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围. 19.(本小题满分17分)在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数） (1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率； (2)求椭圆在处的曲率； (3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章《 一元函数的导数及其应用》章末复习提升与检测 ( 知识体系 ) ( 能力整合 ) 题型一 导数的几何意义与运算 1．此部分内容涉及导数的几何意义，基本初等函数求导法则、运算法则、复合函数求导，作为数形结合的桥梁，导数的几何意义成为最近几年高考的高频考点，主要考查切线方程及切点，与切线平行、垂直问题，常结合函数的切线问题转化为点到直线的距离，平行线间的距离问题，进而研究距离最值，难度中低档． 2．通过求切线方程的有关问题，培养数学运算、数学抽象等核心素养． 【例1】(1)已知函数f(x)＝，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)等于(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】根据题意，知函数f(x)＝， 其导函数f′(x)＝ ＝＝. (2)（2023全国甲卷数学（文））曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 【解题技法】(1)求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异． (2)熟练掌握基本初等函数的求导法则，掌握函数的和、差、积、商的运算法则，复合函数求导的关键是分清层次，逐层求导，求导时不要忘了对内层函数求导． 【跟踪训练】 1.已知曲线f(x)＝aln x＋x2在点(1,1)处的切线与直线x＋y＝0平行，则实数a的值为(　　) A．－3 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】由f(x)＝aln x＋x2，得f′(x)＝＋2x，则曲线在点(1,1)处的切线斜率为k＝a＋2，由切线与直线x＋y＝0平行，可得k＝－1，即a＋2＝－1，解得a＝－3. 2.（2022•新高考Ⅱ）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 　 　． 【答案】，． 【解析】当时，，设切点坐标为，， ，切线的斜率， 切线方程为， 又切线过原点，，， 切线方程为，即， 当时，，与的图像关于轴对称， 切线方程也关于轴对称， 切线方程为， 综上所述，曲线经过坐标原点的两条切线方程分别为，， 题型二 函数的单调性、极值、最值 1．利用导数研究函数的单调性、极值、最值，并能解决有关的问题，是最近几年高考的重点内容，难度中高档． 2．通过求函数的单调性、极值、最值问题，培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养． 【例2】（1）（2023•新高考Ⅱ）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】对函数求导可得，， 依题意，在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则， 易知当时，， 则函数在上单调递减， 则． 故选：． （2）（2023新课标全国Ⅱ卷）3．若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 【解题技法】(1)利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础，一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性，从而掌握函数图象的变化趋势，达到解决问题的目的． (2)①极值点是f′(x)的变号零点，除了找f′(x)＝0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性． ②求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，需通过比较端点值大小才能下结论． 【跟踪训练】 1.（2023全国乙卷数学（理））7．设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 2.函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0,2π]上的最小值、最大值分别为(　　) A．－， B．－， C．－，＋2 D．－，＋2 【答案】D 【详解】f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1，x∈[0,2π]，则f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)·cos x＝(x＋1)cos x，x∈[0,2π]． 令f′(x)＝0，解得x＝－1(舍去)，x＝或x＝. 因为＝cos ＋sin ＋1 ＝2＋， ＝cos ＋sin ＋1＝－， 又f(0)＝cos 0＋(0＋1)sin 0＋1＝2， f(2π)＝cos 2π＋(2π＋1)sin 2π＋1＝2， 所以f(x)max＝＝2＋， f(x)min＝＝－. 题型三 与导数有关的综合性问题 1．以函数为背景的实际问题给高考数学提供了广阔的空间．导数是研究函数性质以及解决实际问题中的最大、最小值的强有力的工具， 多以选择题和填空题的形式出现，难度中低档．从近几年高考题看，利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点常考到，一般出现在解答题中．其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图象，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．一般出现在高考题解答题中，难度中高档． 2．通过利用导数解决实际问题，培养数学建模，解决函数方程问题，提升逻辑推理，直观想象及数学运算等核心素养． 【例3】（2023新课标全国Ⅰ卷）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 【解题技法】综合性问题一般伴随着分类讨论、数形结合、构造函数等数学中的思想方法，关键是分类讨论时，是否做到了不重不漏；数形结合时是否掌握了函数图象的变化趋势；构造函数时是否合理等问题． 【跟踪训练】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)． (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． 【解】(1)因为蓄水池侧面的建造成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的建造成本为160πr2元， 所以蓄水池的总建造成本为(200πrh＋160πr2)元， 又200πrh＋160πr2＝12 000π， 所以h＝(300－4r2)， 所以V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)． 因为r>0，又由h>0可得r<5， 故函数V(r)的定义域为(0,5)． (2)因为V(r)＝(300r－4r3)， 所以V′(r)＝(300－12r2)． 令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去)． 当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上单调递增；当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上单调递减． 由此可知，V(r)在r＝5处取得极大值也为最大值，此时h＝8， 即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大． ( 章末检测 ) (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【解析】函数在区间上的平均变化率等于， 由，得，所以， 因为函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率， 所以，解得.故选B 2．已知函数的导函数为，且满足，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】求导得，把代入得，解得，故选C. 3．若曲线在处的切线的斜率为3，则该切线在轴上的截距为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以，由，得或（舍去）. 当时，， 所以该切线的方程为，令， 所以该切线在轴上的截距为. 故选：A 4．已知是定义在上的可导函数，的图象如下图所示，则的单调减区间是    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为当时，，所以当时，， 所以的单调减区间是，故选B. 5．已知函数，那么的极大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数为， 令可得 当时，； 当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 故选：A. 6．已知是函数的极小值点，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】因为，所以. 又是的极小值点，所以，解得. 当时，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以时，是的极小值点. 故， 故选：D 7．函数在上的最大值为4，则的值为（    ） A．7 B． C．3 D．4 【答案】D 【解析】∵，∴ ∴ 导数在时，，单调递减； 导数在时，，单调递增； ∵ ，， ∴在处取得最大值为，即， 故选：D. 8．已知是定义在上的函数，且，，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 因为，， 所以， 所以在上是增函数，且． 所以的解集即是的解集． 故选：． 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（    ） A． B．函数在上递增，在上递减 C．函数的极值点为， D．函数的极大值为 【答案】ABD 【解析】由题图知可，当时，， 当时，，当时，， 所以在上递增， 在上递减，在上递增， 对A，，故A错误； 对B，函数)在上递增，在上递增，在上递减，故B错误； 对C，函数的极值点为，，故C正确； 对D，函数的极大值为，故D错误. 故选：ABD. 10.已知是自然对数的底数，函数的定义域为，是的导函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】令函数，则， 所以在上单调递增， 又，所以 ，即， 所以，而的大小不确定． 故选：AC. 11．已知函数，下列说法中正确的有（    ） A．函数的极大值为，极小值为 B．当时，函数的最大值为，最小值为 C．函数的单调减区间为 D．曲线在点处的切线方程为 【答案】ACD 【解析】因为 所以， 由，得或，由，得， 所以函数在上递增，在上递减，在上递增，故选项正确， 所以当时，取得极大值， 在时，取得极小值，故选项正确， 当时，为单调递增函数，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值，故选项不正确， 因为，所以曲线在点处的切线方程为，即，故选项正确.故选ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若质子的运动方程为，其中的单位为，的单位为，则质子在时的瞬时速度为 ． 【答案】 【解析】，， 因此，质子在时的瞬时速度为. 13．若函数在处取得极小值，则函数的极大值为 ． 【答案】 【解析】，由题意得，解得， 故，， 当时，，单调递减， 当或时，，单调递增， 故在处取得极大值， 故极大值为. 14．如果存在函数（为常数），使得对函数定义域内任意的都有成立，那么为函数的一个“线性覆盖函数”．已知，，若为函数在区间上的一个“线性覆盖函数”，则实数的取值范围 ． 【答案】 【解析】由题意可知对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 从而得对任意的恒成立， 设，， 则，， 易知在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)已知函数. (1)若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若，求函数在上的最大值和最小值. 【解】（1）若，， ， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极小值为，无极大值； （2）若，， ， 所以函数在上单调递增， 所以. 16．(本小题满分15分)设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax(a>0)． (1)求f(x)的单调区间； (2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立． 【解】(1)∵f(x)＝a2ln x－x2＋ax，其中x>0， ∴f′(x)＝－2x＋a＝－， 由于a>0，∴f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)． (2)由题意得，f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e， 由(1)知f(x)在[1，e]上单调递增， 要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立， 只要 解得a＝e. 17．(本小题满分15分)某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m），其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为m3.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3万元，半球体部分每平方米建造费用为4万元．设该容器的总建造费用为y万元． (1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域； (2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用． 【解】（1）由题意可知，，∴， 又圆柱的侧面积为，两端两个半球的表面积之和为， 所以， 又，， 所以定义域为. （2）因为， 所以令，得，令，得， 又定义域为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当米时，该容器的建造费用最小，为万元，此时m. 18．(本小题满分17分)设函数，. （1）当时，在上恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【解】（1）当时，由得， ∵，∴，∴有在上恒成立， 令，由得， 当，∴在上为减函数，在上为增函数， ∴，∴实数的取值范围为； （2）当时，函数， 在上恰有两个不同的零点，即在上恰有两个不同的零点， 令，则， 当，；当，， ∴在上单减，在上单增，， 又，如图所示，所以实数的取值范围为(]    19.(本小题满分17分)在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数） (1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率； (2)求椭圆在处的曲率； (3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围． 【解】（1）． （2），，， 故，，故． （3），，故，其中， 令，，则，则，其中（不妨） 令，在递减，在递增，故； 令， ，令， 则，当时，恒成立，故在上单调递增， 可得，即， 故有， 则在递增， 又，，故， 故． 学科网（北京）股份有限公司 $$