第05讲 空间直角坐标系（三大题型归纳+易错+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修一）

第05讲 空间直角坐标系 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 空间直角坐标系及点的坐标 3 题型02 空间点的对称问题 6 题型03 空间向量的坐标 9 易错归纳 12 分层练习 13 夯实基础 13 能力提升 19 创新拓展 24 一、空间直角坐标系及点的坐标 1．空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：________________，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个________________________________． 2．相关概念：________叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过________________________的平面叫做坐标平面，分别称为________平面，________平面，________平面，它们把空间分成八个部分． 3．在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝__________________.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组________，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的________，y叫做点A的________，z叫做点A的________． 4．空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x,0,0) (0，y,0) (0,0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y,0) (0，y，z) (x,0，z) 注意点： (1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0. (2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°. (3)建立的坐标系一般为右手直角坐标系． 二、空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝________. 题型01空间直角坐标系及点的坐标 【解题策略】 (1)建立空间直角坐标系的原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内． ②充分利用几何图形的对称性． ③一般用右手直角坐标系． (2)求某点M的坐标的方法 作MM′垂直于平面Oxy，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即为点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标(x，y，z)． 【典例分析】 【例1】　如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． (1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标； (2)求点N的坐标． 【变式演练】 【变式1】　(1)画一个正方体ABCD－A1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 ①顶点A，D1的坐标分别为______________； ②棱C1C中点的坐标为________； ③正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为________． (2)已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标． 【变式2】已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，试建立适当的空间直角坐标系，并写出各顶点的坐标． 【变式3】（23-24高二下·江苏·课前预习）如图所示，在四棱锥中，建立空间直角坐标系，若，是的中点，求点的坐标.    题型02 空间点的对称问题 【解题策略】 空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解． (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论 【典例分析】 【例2】在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)． (1)求点P关于x轴的对称点的坐标； (2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标． 【变式演练】 【变式1】在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4)． (1)求点P关于x轴对称的点的坐标； (2)求点P关于Oxy平面对称的点的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标． 【变式2】（23-24高二下·江苏·课前预习）点关于轴的对称点的坐标是 ，关于坐标平面的对称点的坐标是 . 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，求： (1)点关于各坐标平面对称的点的坐标； (2)点关于各坐标轴对称的点的坐标； (3)点关于坐标原点对称的点的坐标． 题型03 空间向量的坐标 【解题策略】 向量坐标的求法 (1)点A的坐标和向量 的坐标形式完全相同，其中O为坐标原点； (2)起点不在原点的向量，其坐标可以通过向量的运算求得． 【典例分析】 【例3】课本例1　如图，在长方体OABC－D′A′B′C′中，OA＝3，OC＝4，OD′＝2，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. (1)写出D′，C，A′，B′四点的坐标； (2)写出向量，，，的坐标． 【变式演练】 【变式1】已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标． 【变式2】如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标． 【变式3】已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，如图所示建立空间直角坐标系． (1)写出各顶点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 易错点　求空间中点的坐标的建系问题 四棱锥V－ABCD中，底面是边长为4且∠ABC＝60°的菱形，顶点V在底面的射影是底面对角线的交点O，VO＝3，建立正确的坐标系求各点的坐标时，下列建系方式正确的是(　　) A．(2)(3) B．(2)(4) C．(1)(4) D．(1)(2)(4) 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·甘肃天水·阶段练习）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）在空间直角坐标系中，点是点在坐标平面内的射影，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高二·全国·课后作业）在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）正四棱柱（底面为正方形的直棱柱）中，，点在上，且.建立如图所示的坐标系，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）在空间直角坐标系中，若四点可以构成一个平行四边形，则的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·江苏盐城·期末）在空间直角坐标系中，已知某平行四边形三个顶点的坐标分别为 ，，，则第四个顶点的坐标可能为（  ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·河南·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为 B．若向量，且，则 C．若向量，则在上的投影向量的模为 D．为空间中任意一点，若，且，则四点共面 三、填空题 8．（22-23高二上·吉林白城·阶段练习）如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是 9．（23-24高二上·山东聊城·期末）在空间直角坐标系中，若点关于平面对称的点为，则点P的坐标为 . 四、解答题 10．（21-22高二上·全国·课后作业）（1）写出点关于原点对称的点的坐标； （2）写出点关于轴对称点的坐标. 11．（21-22高二·全国·课后作业）如图，在空间直角坐标系中有一长方体，且，， (1)写出点的坐标，并将用标准正交基表示； (2)求的坐标． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·河北保定·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·北京房山·期中）已知，则向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·北京西城·期中）在如图所示的空间直角坐标系中，是单位正方体，其中点A的坐标是（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 6．（19-20高二上·福建三明·期末）如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则（    ） A．点的坐标为，5， B．点关于点对称的点为，8， C．点关于直线对称的点为，5， D．点关于平面对称的点为，5， 7．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，，点E在线段AO的延长线上，且，下列向量坐标表示正确的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 8．（23-24高二上·上海·阶段练习）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为 ． 9．（23-24高二上·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是 ． 四、解答题 10．（21-22高二·全国·课后作业）已知点，分别写出它关于平面、x轴、原点的对称点的坐标． 【创新拓展】 一、单选题 1．（21-22高二上·新疆伊犁·期末）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C是边长为2的菱形，∠CBB1=60°，BC1交B1C于点O，AO⊥侧面BB1C1C，且△AB1C为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系O—xyz，则点A1的坐标为（    ）    A．（，，1） B．（，2，） C．（，1，1） D．（，0，1） 二、填空题 2．（19-20高二上·浙江温州·期末）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，那么，在空间直角坐标系中，关于轴的对称轴点坐标为 ，若点关于平面的对称点为点，则 ． 三、解答题 1．（21-22高二·湖南·课后作业）如图，分别求点，关于各个坐标平面、坐标轴、原点对称的点的坐标． 【下节预览】 一、解答题 1．（23-24高二上·福建·期中）已知向量，O为坐标原点，点． (1)求； (2)若点E在直线AB上，且，求点E的坐标． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）已知点. (1)若，且，求的坐标； (2)求以为邻边的平行四边形的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 空间直角坐标系 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 空间直角坐标系及点的坐标 3 题型02 空间点的对称问题 6 题型03 空间向量的坐标 9 易错归纳 12 分层练习 13 夯实基础 13 能力提升 19 创新拓展 24 一、空间直角坐标系及点的坐标 1．空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 2．相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 3．在空间直角坐标系Oxyz中， i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 4．空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x,0,0) (0，y,0) (0,0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y,0) (0，y，z) (x,0，z) 注意点： (1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0. (2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°. (3)建立的坐标系一般为右手直角坐标系． 二、空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝(x，y，z)． 题型01空间直角坐标系及点的坐标 【解题策略】 (1)建立空间直角坐标系的原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内． ②充分利用几何图形的对称性． ③一般用右手直角坐标系． (2)求某点M的坐标的方法 作MM′垂直于平面Oxy，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即为点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标(x，y，z)． 【典例分析】 【例1】　如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． (1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标； (2)求点N的坐标． [思路探究]　将各个点在坐标上的射影求出，即可写出空间各点的坐标． [详解]　(1)显然D(0,0,0)， 因为点A在x轴的正半轴上，且|AD|＝3， 所以A(3,0,0)．同理，可得C(0,4,0)，D1(0,0,5)． 因为点B在坐标平面xOy内，BC⊥CD，BA⊥AD，所以B(3,4,0)．同理，可得A1(3,0,5)，C1(0,4,5)，与B的坐标相比，点B1的坐标中只有竖坐标不同，|BB1|＝|AA1|＝5，则B1(3,4,5)． (2)由(1)知C(0,4,0)，C1(0,4,5)， 则C1C的中点N为， 即N. 【变式演练】 【变式1】　(1)画一个正方体ABCD－A1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 ①顶点A，D1的坐标分别为______________； ②棱C1C中点的坐标为________； ③正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为________． 【答案】　①(0,0,0)，(0,1,1)　②　③ (2)已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标． 【详解】　∵正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10， ∴正四棱锥的高为2. 以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，－2,0)，B(2，2,0)，C(－2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0，2)． 答案不唯一． 【变式2】已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，试建立适当的空间直角坐标系，并写出各顶点的坐标． 【详解】如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，OO1⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． ∵三棱柱各棱长均为1， ∴OA＝OC＝O1A1＝O1C1＝，OB＝. ∵A，B，C均在坐标轴上， ∴A，B，C. ∵点A1与C1在Oyz平面内， ∴A1，C1. ∵点B1在Oxy平面内的射影为B，且BB1＝1， ∴B1，即该三棱锥各顶点的坐标为A，B，C，A1，B1，C1. 【变式3】（23-24高二下·江苏·课前预习）如图所示，在四棱锥中，建立空间直角坐标系，若，是的中点，求点的坐标.    【答案】 【分析】法一：分别求得在坐标轴上的投影可得； 法二：设的单位向量分别为，利用空间的线性运算可得，即可求解. 【详解】法一：设点在轴、轴、轴上的射影分别为， 它们在坐标轴上的坐标分别为，所以点的坐标是.    法二：设的单位向量分别为，则为空间的一个基底， . 所以点的坐标是 题型02 空间点的对称问题 【解题策略】 空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解． (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论 【典例分析】 【例2】在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)． (1)求点P关于x轴的对称点的坐标； (2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标． [思路探究]　求对称点的坐标，可以过该点向对称平面或对称轴作垂线并延长，使得垂足为所作线段的中点，再根据有关性质即可写出对称点坐标． [详解]　(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)． (2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)． (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点．由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)． 【变式演练】 【变式1】在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4)． (1)求点P关于x轴对称的点的坐标； (2)求点P关于Oxy平面对称的点的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标． 【详解】(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4)． (2)由点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2,1，－4)． (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6， y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 【变式2】（23-24高二下·江苏·课前预习）点关于轴的对称点的坐标是 ，关于坐标平面的对称点的坐标是 . 【答案】 【分析】根据空间直角坐标系的中对称的性质直接求解. 【详解】在空间直角坐标系中， 点关于轴的对称点的横坐标不变， 纵坐标与竖坐标都变为原来的相反数，即； 点关于坐标平面的对称点的横、纵坐标不变， 竖坐标变为原来的相反数，即. 故答案为：； 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，求： (1)点关于各坐标平面对称的点的坐标； (2)点关于各坐标轴对称的点的坐标； (3)点关于坐标原点对称的点的坐标． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据点关于面对称性质求解； （2）根据点关于线对称性质求解； （3）根据点关于点对称性质求解； 【详解】（1）设点关于坐标平面的对称点为， 则点在轴上的坐标及在轴上的坐标与点的坐标相同，而点在轴上的坐标与点在轴上的坐标互为相反数． 所以，点关于坐标平面的对称点的坐标为． 同理，点关于，坐标平面的对称点的坐标分别为，． （2）设点关于轴的对称点为， 则点在轴上的坐标与点的坐标相同，而点在轴上的坐标及在轴上的坐标与点在轴上的坐标及在轴上的坐标互为相反数． 所以，点关于轴的对称点的坐标为． 同理，点关于轴、轴的对称点的坐标分别为，． （3）点关于坐标原点的对称点的坐标为． 题型03 空间向量的坐标 【解题策略】 向量坐标的求法 (1)点A的坐标和向量 的坐标形式完全相同，其中O为坐标原点； (2)起点不在原点的向量，其坐标可以通过向量的运算求得． 【典例分析】 【例3】课本例1　如图，在长方体OABC－D′A′B′C′中，OA＝3，OC＝4，OD′＝2，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. (1)写出D′，C，A′，B′四点的坐标； (2)写出向量，，，的坐标． 【详解】解　(1)点D′在z轴上，且OD′＝2，所以＝0i＋0j＋2k. 所以点D′的坐标是(0,0,2)． 同理，点C的坐标是(0,4,0)． 点A′在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，D′，它们在坐标轴上的坐标分别为3,0,2， 所以点A′的坐标是(3,0,2)． 点B′在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，D′，它们在坐标轴上的坐标分别为3,4,2， 所以点B′的坐标是(3,4,2)． (2)＝＝0i＋4j＋0k＝(0,4,0)； ＝－＝0i＋0j－2k＝(0,0，－2)； ＝＋＝－3i＋4j＋0k＝(－3,4,0)； ＝＋＋＝－3i＋4j＋2k＝(－3,4,2)． 【变式演练】 【变式1】已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标． 【详解】解　建立如图所示的空间直角坐标系，设＝i， ＝j，＝k， ＝4i＋0j＋0k＝(4,0,0)． ＝＋ ＝0i＋4j＋4k ＝(0,4,4)． ＝＋ ＝＋＋ ＝－4i＋4j＋4k ＝(－4,4,4)． 【变式2】如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标． [思路探究]　以点C为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN，，分别用，，表示出来，再写出它们的坐标． [详解]　法一：由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，如图所示． ∴＝－＝＋－＝－＋，∴的坐标为(1，－1,1)， 而＝－＝－＋， ∴的坐标为(1，－1,2)． 又∵＝－，∴的坐标为(－1,1，－2)． 法二：建系同法一，则B(0,1,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N(1,0,1)， ∴＝(1，－1,1)，＝(1，－1,2)，＝(－1,1，－2)． 【变式3】已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，如图所示建立空间直角坐标系． (1)写出各顶点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． [详解]　(1)由题图知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0，0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)， (2)因为E，F分别为棱BB1，DC的中点， 由中点坐标公式，得E(2,2,1)，F(0,1,0)． 所以＝(－2，－1，－1)，＝(－2，－1，－2)，＝(0,2，－1)． 易错点　求空间中点的坐标的建系问题 四棱锥V－ABCD中，底面是边长为4且∠ABC＝60°的菱形，顶点V在底面的射影是底面对角线的交点O，VO＝3，建立正确的坐标系求各点的坐标时，下列建系方式正确的是(　　) A．(2)(3) B．(2)(4) C．(1)(4) D．(1)(2)(4) 错解：选D．在空间直角坐标系中，三个坐标轴的位置关系是两两垂直．由于菱形的对角线互相垂直，且VO垂直于底面，则VO，AO，BO和VO，BO，CO两两互相垂直；(3)中的x轴和y轴不垂直，(1)(3)(4)中三个坐标轴两两互相垂直． 错解分析：错误的根本原因是忽略了坐标轴应两两互相垂直而错选． 正解：选B．在空间直角坐标系中，三个坐标轴的位置关系是两两垂直．由于菱形的对角线互相垂直，且VO垂直于底面，则VO，AO，BO和VO，BO，CO两两互相垂直；(1)中的x轴和y轴不垂直，(3)中三个坐标轴都不垂直，(2)(4)中三个坐标轴两两互相垂直． 防范措施： 1．准确把握建系原则 空间直角坐标系是右手直角坐标系，故三个坐标轴应两两互相垂直，如本题(1)(3)中x轴和y轴不垂直，故不能构成空间直角坐标系． 2．正确使用几何图形的性质 建立合理的空间直角坐标系要寻找互相垂直的坐标轴，垂直关系往往用到平面和立体图形的性质，寻找垂直关系的关键是正确使用几何图形的性质．如本题(2)(4)利用了菱形的对角线互相垂直这一性质，从而确定出x轴与y轴互相垂直. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·甘肃天水·阶段练习）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合空间直角坐标系中点的对称性计算即可得. 【详解】设所求点的坐标为， 根据关于平面对称的两个点的横纵坐标不变，竖坐标互为相反数， 则有，故该点为. 故选：B. 2．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）在空间直角坐标系中，点是点在坐标平面内的射影，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件可得出点的坐标. 【详解】在空间直角坐标系中，点是点在坐标平面内的射影， 则点的坐标为. 故选：A. 3．（21-22高二·全国·课后作业）在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出点，利用两点的坐标即可表示出，再由两向量相等的坐标表示列出方程组，即可求出答案. 【详解】设，则， 所以，解得：，，． 所以点的坐标为． 故选：D 4．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）正四棱柱（底面为正方形的直棱柱）中，，点在上，且.建立如图所示的坐标系，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知求出的长，然后即可得出答案. 【详解】由已知可得，，， 所以，点的坐标为，点的坐标为. 故选：C. 二、多选题 5．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）在空间直角坐标系中，若四点可以构成一个平行四边形，则的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分类考虑平行四边形顶点的位置，结合向量的相等，即可求得D点坐标，即得答案. 【详解】由题意得. 设的坐标为， 若四边形为平行四边形，则，则， 此时的坐标为. 若四边形为平行四边形，则， 则，，此时的坐标为. 若四边形为平行四边形，则， 则，此时的坐标为， 故选：ABC 6．（23-24高二上·江苏盐城·期末）在空间直角坐标系中，已知某平行四边形三个顶点的坐标分别为 ，，，则第四个顶点的坐标可能为（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分列式计算即可. 【详解】设第四个顶点的坐标为， ①，与，的中点重合， 则，解得， ②，与，的中点重合， 则，解得， ②，与，的中点重合， 则，解得， 所以第四个顶点的坐标为或或. 故选：ABD. 7．（23-24高二下·河南·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为 B．若向量，且，则 C．若向量，则在上的投影向量的模为 D．为空间中任意一点，若，且，则四点共面 【答案】BC 【分析】选项A，直接求出点关于平面的对称点，即可判断出选项A的正误；选项B，利用空间向量垂直的坐标表示，即可得出，从而可判断出选项B的正误；选项C，根据投影向量的定义，即可求出结果，从而判断出选项C的正误；选项D，根据空间向量共面的结论可判断出选项D的正误. 【详解】对于选项A，点关于平面的对称点为，所以选项A错误， 对于选项B，因为，且，所以，得到，所以选项B正确， 对于选项C，因为，所以在上的投影向量的模为，故选项C正确， 对于选项D，由空间向量基本定理的推论可知：，且时，四点共面，所以选项D错误， 故选：BC. 三、填空题 8．（22-23高二上·吉林白城·阶段练习）如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是 【答案】 【分析】根据已知先求坐标，然后结合图形可得坐标，然后可得答案. 【详解】因为，为坐标原点，所以， 又因为为正方体，所以 所以. 故答案为： 9．（23-24高二上·山东聊城·期末）在空间直角坐标系中，若点关于平面对称的点为，则点P的坐标为 . 【答案】 【分析】根据关于平面对称点的两个点的纵坐标互为相反数，由此列式求解即可. 【详解】由题意知，在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为， 又，所以，解得，所以点P的坐标为. 故答案为：. 四、解答题 10．（21-22高二上·全国·课后作业）（1）写出点关于原点对称的点的坐标； （2）写出点关于轴对称点的坐标. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据关于原点对称时两点的坐标关系可得出答案； （2）根据关于轴对称时两点的坐标关系可得出答案； 【详解】（1）点关于原点对称的点的坐标为； （2）点关于x轴对称点的坐标为. 11．（21-22高二·全国·课后作业）如图，在空间直角坐标系中有一长方体，且，， (1)写出点的坐标，并将用标准正交基表示； (2)求的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，． (2) 【分析】（1）直接利用空间向量的坐标表示即可得到点坐标，由向量加法的坐标表示即可将用标准正交基表示； （2）直接利用空间向量的坐标表示即可得到坐标. 【详解】（1）因为，，， 所以点的坐标为，从而． （2）同理因为，，，易得点的坐标为，所以 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·河北保定·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间直角坐标系中点的对称性质结合题意求解即可. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为， 故选：A 2．（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间点关于原点对称点的特征可得正确的选项. 【详解】点关于原点对称的点的坐标为， 故选：D. 3．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间直角坐标系中点的对称性可得结果. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为. 故选：B. 4．（22-23高二上·北京房山·期中）已知，则向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的坐标运算直接求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B 5．（23-24高二上·北京西城·期中）在如图所示的空间直角坐标系中，是单位正方体，其中点A的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间直角坐标系的定义求出点的坐标. 【详解】点A的坐标为. 故选：D 二、多选题 6．（19-20高二上·福建三明·期末）如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则（    ） A．点的坐标为，5， B．点关于点对称的点为，8， C．点关于直线对称的点为，5， D．点关于平面对称的点为，5， 【答案】ACD 【分析】对A，根据图示分析即可； 对B，设点关于点对称的点为，再根据为的中点列式求解即可； 对C，根据四边形为正方形判断即可； 对D，根据平面求解即可 【详解】对A，由图可得，的坐标为，5，，故A正确； 对B，由图，，，设点关于点对称的点为则 ，解得，故，故B错误； 对C，在长方体中， 所以四边形为正方形，与垂直且平分， 即点关于直线对称的点为，选项C正确； 对D，因为平面，故点关于平面对称的点为，即，选项D正确； 故选：ACD. 7．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，，点E在线段AO的延长线上，且，下列向量坐标表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】求出向量坐标，逐项判断可得答案. 【详解】在空间直角坐标系中，，，， ，， 对于A，因为，，所以，故A不正确； 对于B，因为，，所以，故B正确； 对于C，因为，，所以，故C正确； 对于D，因为，，所以，故D不正确. 故选：BC. 三、填空题 8．（23-24高二上·上海·阶段练习）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点的坐标写出即可． 【详解】在空间直角坐标系中， 点关于平面的对称点的坐标为. 故答案为：. 9．（23-24高二上·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】利用点关于面对称的结论求解即可. 【详解】点关于平面对称的点的坐标是. 故答案为：. 四、解答题 10．（21-22高二·全国·课后作业）已知点，分别写出它关于平面、x轴、原点的对称点的坐标． 【答案】，，. 【分析】根据空间直角坐标系的定义，结合对称点的特征，即可求解. 【详解】解：根据空间直角坐标系的定义，可得： 点关于平面的对称点为； 点关于轴的对称点为； 点关于原点的对称点为. 【创新拓展】 一、单选题 1．（21-22高二上·新疆伊犁·期末）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C是边长为2的菱形，∠CBB1=60°，BC1交B1C于点O，AO⊥侧面BB1C1C，且△AB1C为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系O—xyz，则点A1的坐标为（    ）    A．（，，1） B．（，2，） C．（，1，1） D．（，0，1） 【答案】C 【分析】直接利用向量的坐标运算和向量相等的充要条件的应用及空间直角坐标系的应用求出结果. 【详解】三棱柱ABC-A1B1C1中, 因为侧面BB1C1C是边长为2的菱形，∠CBB1=60°，BC1交B1C于点O，所以为等边三角形，所以，.又因为AO⊥侧面BB1C1C，且△AB1C为等腰直角三角形，所以，所以点，点，点，设点，，，因为，所以，解得，，，故点的坐标为. 故选：C. 二、填空题 2．（19-20高二上·浙江温州·期末）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，那么，在空间直角坐标系中，关于轴的对称轴点坐标为 ，若点关于平面的对称点为点，则 ． 【答案】 【分析】在空间直角坐标系中，关于轴的对称轴点坐标为横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，若点关于平面的对称点为点，横、纵坐标均不变，竖坐标变为原来的相反数，再由两点间距离公式能求出． 【详解】在空间直角坐标系中，关于轴的对称轴点坐标为， 若点关于平面的对称点为点，则， 所以． 故答案为：，． 三、解答题 1．（21-22高二·湖南·课后作业）如图，分别求点，关于各个坐标平面、坐标轴、原点对称的点的坐标． 【答案】答案见解析 【分析】根据空间直角坐标系的定义，结合对称点的性质，逐项计算，即可求解. 【详解】根据空间直角坐标系的概念，可得： 点关于坐标平面的对称点分别为； 点关于坐标平面的对称点分别为； 点关于轴、轴和轴的对称点分别为； 点关于轴、轴和轴的对称点分别为； 点关于原点的对称点分别为； 点关于原点的对称点分别为. 【下节预览】 一、解答题 1．（23-24高二上·福建·期中）已知向量，O为坐标原点，点． (1)求； (2)若点E在直线AB上，且，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由空间向量坐标运算计算可得； （2）根据题意先求出，在利用，计算可得. 【详解】（1）， 则， 故. （2）点E在直线AB上，， 则可设， ∵， ∴，即，解得， 故点E的坐标为． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）已知点. (1)若，且，求的坐标； (2)求以为邻边的平行四边形的面积. 【答案】(1)或 (2)3 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算以及模长公式可解； （2）首先利用数量积公式求，则可解，结合面积公式可得答案. 【详解】（1）， ， 或， 或； （2）由题意得所以， ， ， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$