1.3.1探索三角形全等的条件：“SAS”、“ASA”、“AAS”（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

第1章全等三角形 1.3.1探索三角形全等的条件：“SAS”、“ASA”、 “AAS” 苏科版 八年级上册 教学目标 01 理解并掌握全等三角形的判定定理“SAS” 02 理解并掌握全等三角形的判定定理“ASA” 03 理解并掌握全等三角形的判定定理“AAS” 全等的判定 ——“SAS” 01 课堂引入 我们知道，如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等、对应角相等。反过来，当两个三角形具备多少对边或角分别相等的条件时，这两个三角形就全等呢? 讨论——1.当两个三角形的1对边或角相等时，它们全等吗? 不全等 不全等 01 课堂引入 2.当两个三角形的2对边或角分别相等时，它们全等吗? 由三角形的内角和定理可知：两个三角形的2对角分别相等，则第3对角也相等。 不全等 不全等 01 课堂引入 3.当两个三角形的3对边或角分别相等时，它们全等吗? 当三角形的3对边分别相等，它们全等； 当三角形的3对角分别相等，它们不全等。 01 课堂引入 交流——1.如图，每人用一张长方形纸剪一个直角三角形，怎样剪才能使剪下的所有直角三角形都能够重合? 剪的时候要确保两直角边对应相等。 01 课堂引入 2.如图，△ABC与△DEF、△MNP能完全重合吗? 通过旋转和平移，△ABC与△DEF不能完全重合，△ABC与△MNP能完全重合。 01 课堂引入 操作——按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使∠A=∠α，AB=a，AC=b。 作法 图形 1.作∠MAN=∠α； 2.在射线AM、AN上分别作线段AB=a，AC=b； 3.连接BC； △ABC就是所求作的三角形。 A C B 你作的三角形与其他同学作的三角形能完全重合吗? 能完全重合 “SAS” 02 知识精讲 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 实践告诉我们判定两个三角形全等的一个基本事实： 角是两边的夹角，夹角，夹角 02 知识精讲 C A B 如图，AB边与BC边的夹角为________；BC边与CA边的夹角为________；CA边与AB边的夹角为________。 ∠B ∠C ∠A 03 典例精析 例1、如图，已知AC平分∠BAD，AB=AD。求证：△ABC≌△ADC。 ⇓ ∠BAC=∠DAC ⇓ 角相等 ⇓ 边相等 公共边 ⇓ 边相等 【分析】由图可知： 已知、已证的条件为两边及其夹角，可用“SAS”证明全等。 03 典例精析 例1、如图，已知AC平分∠BAD，AB=AD。求证：△ABC≌△ADC。 在△ABC和△ADC中，， ∴△ABC≌△ADC（SAS）。 证明：∵AC平分∠BAD，（已知） ∴∠BAC=∠DAC，（角平分线的定义） 字母必须一一对应 03 典例精析 例2、如图所示，点E在AB上，点D在AC上，AD=AE，BE=CD。求证：△ABD≌△ACE。 ⇓ 边相等 ⇓ AE+BE=AD+CD ⇓ AB=AC ⇓ 边相等 【分析】由图可知： 已知、已证的条件为两边及其夹角，可用“SAS”证明全等。 公共角 ⇓ 角相等 03 典例精析 例2、如图所示，点E在AB上，点D在AC上，AD=AE，BE=CD。求证：△ABD≌△ACE。 在△ABD和△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE（SAS）。 证明：∵AD=AE，BE=CD，（已知） ∴AE+BE=AD+CD，即AB=AC，（等量代换） 全等的判定 ——“ASA” 01 课堂引入 讨论——1.用纸板挡住了两个三角形的一部分，你能画出这两个三角形吗?如果能，你画的三角形与其他同学画的三角形能完全重合吗? 不能完全重合 能完全重合 01 课堂引入 2.如图，△ABC与△PQR、△DEF能完全重合吗? 通过旋转和平移，△ABC与△PQR不能完全重合，△ABC与△DEF能完全重合。 01 课堂引入 操作——按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使AB=a，∠A=∠α，∠B=∠β。 作法 图形 1.作AB=a； 2.在AB的同一侧分别作∠MAB=∠α，∠NBA=∠β，AM、BN相交于点C； △ABC就是所求作的三角形。 A C B 你作的三角形与其他同学作的三角形能完全重合吗? 能完全重合 “ASA” 02 知识精讲 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 由此可以得到基本事实（ASA）的推论： 03 典例精析 例、如图，AD=AC，∠1=∠2，∠C=∠D，点E在线段BC上。求证：△ABC≌△AED。 边相等 ⇑ 【分析】由图可知： 已知、已证的条件为两角及其夹边，可用“ASA”证明全等。 ⇓ ∠1+∠EAC=∠2+∠EAC⇓ ∠BAC=∠EAD ⇓ 角相等 角相等 ⇑ 03 典例精析 例、如图，AD=AC，∠1=∠2，∠C=∠D，点E在线段BC上。求证：△ABC≌△AED。 在△ABC和△AED中，， ∴△ABC≌△AED（ASA）。 证明：∵∠1=∠2，（已知） ∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC， 即∠BAC=∠EAD，（等量代换） 全等的判定 ——“AAS” 01 课堂引入 思考——如图，在△ABC和△MNP中，∠A=∠M，∠B=∠N，BC=NP。△ABC与△MNP全等吗?为什么? C A B P M N 由三角形内角和定理可知：∠C=∠P， 根据“ASA”可以证明△ABC≌△MNP。 “AAS” 02 知识精讲 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。 实践告诉我们判定两个三角形全等的又一个基本事实： 03 典例精析 例、如图，已知△ABC≌△A’B’C’，AD、A’D’分别是△ABC和△A’B’C’的高，求证：AD=A’D’。 【分析】要证AD=A’D’，只要证△ABD≌△A’B’D’。 由于在△ABD和△A’B’D’中，∠ADB=∠A’D’B’=90°，所以只要证AB=A’B’，∠B=∠B’。 由图可知：已知、已证的条件为两角及一角的对边，可用“AAS”证明全等。 03 典例精析 证明：∵△ABC≌△A’B’C’，（已知） ∴AB=A’B’，∠B=∠B’，（全等三角形的性质） 例、如图，已知△ABC≌△A’B’C’，AD、A’D’分别是△ABC和△A’B’C’的高，求证：AD=A’D’。 ∵AD、A’D’分别是△ABC和△A’B’C’的高，（已知） ∴∠ADB=∠A’D’B’=90°，（高的定义） 在△ABD和△A’B’D’中，， ∴△ABD≌△A’B’D’（AAS）， ∴AD=A’D’。（全等三角形的性质） 03 典例精析 上面的推理过程可以用符号“⇒”简明地表述如下： 03 典例精析 讨论——1.如果AD、A’D’分别是△ABC和△A’B’C’的中线，那么AD与A’D’相等吗?试证明你的结论。 【分析】要证AD=A’D’，只要证△ABD≌△A’B’D’。 由于在△ABD和△A’B’D’中，BD=BC，B’D’=B’C’，所以只要证AB=A’B’，∠B=∠B’，BC=B’C’。 03 典例精析 讨论——1.如果AD、A’D’分别是△ABC和△A’B’C’的中线，那么AD与A’D’相等吗?试证明你的结论。 证明：∵△ABC≌△A’B’C’，（已知） ∴AB=A’B’，∠B=∠B’，BC=B’C’，（全等三角形的性质） ∵AD、A’D’分别是△ABC和△A’B’C’的中线，（已知） ∴BD=BC，B’D’=B’C’，（中线的定义） ∴BD=B’D’，（等量代换） 03 典例精析 在△ABD和△A’B’D’中，， ∴△ABD≌△A’B’D’（SAS）， ∴AD=A’D’。（全等三角形的性质） 03 典例精析 2.如果AD、A’D’分别是△ABC和△A’B’C’的角平分线，那么AD与A’D’相等吗?试证明你的结论。 【分析】要证AD=A’D’，只要证△ABD≌△A’B’D’。 由于在△ABD和△A’B’D’中，∠BAD=∠BAC，∠B’A’D’=∠B’A’C’，所以只要证∠BAD=∠B’A’D’，AB=A’B’，∠B=∠B’。 03 典例精析 2.如果AD、A’D’分别是△ABC和△A’B’C’的角平分线，那么AD与A’D’相等吗?试证明你的结论。 证明：∵△ABC≌△A’B’C’，（已知） ∴∠BAD=∠B’A’D’，AB=A’B’，∠B=∠B’，（全等三角形的性质） ∵AD、A’D’分别是△ABC和△A’B’C’的角平分线，（已知） ∴∠BAD=∠BAC，∠B’A’D’=∠B’A’C’，（角平分线的定义） ∴∠BAD=∠B’A’D’，（等量代换） 03 典例精析 在△ABD和△A’B’D’中，， ∴△ABD≌△A’B’D’（ASA）， ∴AD=A’D’。（全等三角形的性质） 03 典例精析 全等三角形的性质补充： 全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等。 全等三角形的性质 课后总结 已知条件 选择的判定定理 两边及其夹角 SAS 两角及其夹边 ASA 两角及其中一角的对边 AAS 全等三角形的性质补充： 全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等。 1.3.1探索三角形全等的条件：“SAS”、“ASA”、 “AAS” 苏科版 八年级上册 谢谢观看 $$