第8章概率与统计初步学案-2023-2024学年高一上学期高教版(2021)中职数学基础模块上册

第8章概率与统计初步 8.1 随机事件 【要点梳理】 1.随机事件和确定事件 （1）在条件S下， 的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件。 （2）条件S下， 的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件。 （3）必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件。 （4）条件S下， 的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件。 2.概率与频率 （1）概率与频率的概念： 在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的 ，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的 。 （2） 概率与频率的关系： 对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用 来估计概率P(A)。 4.概率的几个基本性质 （1）概率的取值范围： 。 （2）必然事件的概率：P(A)＝ 。 （3）不可能事件的概率：P(A)＝ 。 （4）概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝ _。 （5）对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件。 P(A∪B)＝ ，P(A)＝ 。 【典例解析】 例1　（1）从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　　) A．“至少有1个白球”和“都是红球”B．“至少有2个白球”和“至多有1个红球” C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D．“至多有1个白球”和“都是红球” （2）从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数，其中： ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。 上述事件中，是对立事件的是(　 　) A．① B．②④ C．③ D．①③ [解析]　(1)对于选项A，“至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件，不符合题意；对于选项B，“至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的，而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球，或者2个都是白球，二者不是互斥事件，不符合题意；对于选项C，“恰有1个白球”表示取出2个球1个红球1个白球，与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事件，符合题意；对于选项D，“至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球，或者2个都是红球，与“都是红球”不是互斥事件，不符合题意．故选C． (2)从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，2个奇数，2个偶数．其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或2个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件．又①中的事件可以同时发生，不是对立事件，故选C． 变式1 抽查10件产品，设事件A为“至少有2件次品”，则事件A的对立事件为(　 　) A．至多有2件次品 B．至多有1件次品 C．至多有2件正品 D．至少有2件正品 例2 （1）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　 　) A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 [解析]　设事件A为“不用现金支付”，事件B为“既用现金支付也用非现金支付”，事件C为“只用现金支付”，则P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.15－0.45＝0.4故选B． （2）O为正方形ABCD的中心，O，A，B，C，D中任取3点，取到3点共线的概率为(　　) A． B． C． D． [解析]　O，A，B，C，D中任取3点，共有C＝10种， 即OAB，OAC，OAD，OBC，OBD，OCD，ABC，ABD，ACD，BCD十种， 其中共线为A，O，C和B，O，D两种， 故取到的3点共线的概率为P＝＝，故选A． 变式2 （1）某公司欲派甲、乙、丙3人到A，B两个城市出差，每人只去1个城市，且每个城市必须有人去，则A城市恰好只有甲去的概率为(　 　) A． B． C． D． （2）某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买。 ①估计顾客同时购买乙和丙的概率； ②估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率； 　　　　　商品 顾客人数　　　 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × 【小试牛刀】 1. 判断题： （1）抛一枚硬上这个随机试验的样本点为“正面向上”和“反面向上”，样本空间。 （2）盒子里有3个黑色小球和4个白色小球，任取3个小球，一定既有黑色又有白色。 （3）抛掷两颗骰子，点数之和为13，这是不可能事件。 （4）抛掷一颗骰子，掷出点数的所有可能的结果组成的集合是样本空间 （5）过马路时恰好遇到红灯的概率小于1 （6）某药厂生产一款新药，抽检时新药品的合格率为120%。 （7）一名篮球运动员投篮10次，投中3次，由此可知，该运动员投中的概率为0.3。 （8）频率和概率的数值一定是相等的。 2.填空题 （1）抛掷一枚硬币100次，出现“正面向上”的次数为46，那么46是此试验的 ，0.46是此试验的 。 （2）在“劝君莫惜金缕衣，劝君惜取少年时，好花堪折直须折，莫待无花空折枝”中，汉字“花”字出现的频率是 。 （3）小丽的身高将会达到5m，这个事件的概率为 。 （4）将一块铁加热到100℃，它会熔化，这个事件的概率为5.将一个实心铁球抛到湖里，铁球沉入湖底的概率为 。 8.2 古典概型 【要点梳理】 1.古典概型的定义 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。 (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件 。 (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性 。 2.古典概型的概率公式 P(A)＝ 。 【典例解析】 例1（1）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　 　) A． B． C． D． （2）有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出3个，则取出的球的编号互不相同的概率是(　 　) A． B． C． D． （3）在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A，B，C三个小区志愿者中各选取2人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作．若每个小区安排2人，则每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排的志愿者来自不同小区的概率为(　 　) A． B． C． D． [解析]　(1)画出树状图如图： 所有的基本事件共有25个，满足题意的基本事件有10个，故所求概率P＝＝.故选D． (2)选A(3)选C 变式1 （1）甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，则甲、乙两人中至少有一人站在两端的概率为(　 　) A． B． C． D． （2）十二生肖，又称十二属相，中国古人拿十二种动物来配十二地支，组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相．现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是 。 [解析]　(1)选A．(2) 【小试牛刀】 1、超市的货架上有ABCDEF六个品牌的牛奶，每种牛奶数量相同，则随机抽到c品牌牛奶的概率为 。 2.从标有数字1.2.…10的十张卡片中任意抽取一张，抽取卡片上的数字是奇数的概率为 。 3.下列试验是古典概型的是 。 (1)某小组有男生3人、女生2人，从中任选一人担任小组长； (2)口袋中有质地、大小完全相同的7个球，从中任取一球； (3)从一副花色都朝上的扑克牌中拿出大、小王。 4.抛掷一颗骰子，点数是偶数的概率为 。 5.一个密封的盒子里有编号为0~9的10个小球，从中随机取出一个，编号不大于1的概率为 。 6.在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这3个数字的和大于6”这一事件是(　 　) A．必然事件　　B．不可能事件 C．随机事件　　D．以上选项均不正确 7.某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次10环，3次9环，4次8环，1次脱靶，在这次练习中，这个人中靶的频率是 ，中9环的概率是 。 8.手表实际上是个转盘，一天二十四小时，分针指到哪个数字的概率最大(　 　) A．12 　B．6 C．1　　D．12个数字概率相等 9.甲队和乙队进行足球比赛，两队踢成平局的概率是，乙队获胜的概率是，则甲队不输的概率是(　 　) A．　　 　B． C．　 　D． 10.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　 　) A．0.3　　 B．0.4 C．0.6　　 D．0.7 11.抛掷两颗质地均匀的骰子，求以下几种情况的概率。 （1）两颗骰子的点数之和为12。 （2）两颗骰子的点数之积为12。 （3）两颗骰子的点数之差的绝对值比3大。 12.从数字1、2、3、4、5中任取两个不同的数字组成一个两位数，求以下几种情况的概率。 （1）这个两位数大于40； （2）这个两位数是偶数； （3）这个两位数能被3整除。 8.3 概率的简单性质 【要点梳理】 事件的关系与计算 定义 符号表示 并事件（和事件） 若某事件发生 ，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件） 交事件（积事件） 若某事件发生 ，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件） 互斥事件 若A∩B为 事件， 则称事件A与事件B互斥 对立事件 若A∩B为 事件，A∪B为 ，则称事件A与事件B互为对立事件 【典例解析】 例1 在一个不透明的盒子里有红色小球5个、黄色小球7个、蓝色小球机拿出一个小球，现从中随机拿出一个小球，事件A={取到红色小球}，事件B={取到黄色小球}，求事件C={取到的小球不是蓝色的}的概率。 解析 事件C是事件A与事件B的和事件，且事件A与事件B互斥，因此可用互斥事件的概率加法公式求解。 解：因为，， 所以， 即事件C={取到的小球不是蓝色的}的 变式1 在不包含大、小王的52张扑克牌中随机抽取1张牌，事件A={取到红桃牌}，事件B={取到红方块牌}，求事件C={取到红色牌}的概率。 例2 衣柜里有5件衬衫、6件外套，从中任取两件，讨论下列给出的哪一组事件是互斥事件。 （1） 事件A={取出的两件都是衬衫}与事件B={取出的两件都是外套}； （2） 事件C={恰有一件是衬衫}与事件D={至少一件是外套}； （3） 事件E={至少一件是衬衫}与事件F={至多一件是外套}。 分析 （1） 事件A与事件B不可能同时发生； （2） 事件D包含“一件衬衫和一件外套”“两件都是外套”两种情况，因此，它与事件C可能同时发生，也可能不同时发生； （3） 事件E和事件F都包含“一件衬衫和一件外套”“两件都是衬衫”两种情况，因此，两事件所描述的是同一个意思，即可能同时发生。只有（1）中的事件A、B为互斥事件。 变式2 抛掷一颗质地均匀的骰子，求事件C={点数为偶数或1}的概率。 【小试牛刀】 1、 某随机事件A发生的概率是0.51，那么该事件不发生的概率是 。 2、 某射击运动员在一次射击中命中10环、9环的概率分别是0.71、0.28，那么他击中环数比9环成绩差的概率是 。 3、 箱子里有7枚大小质地相同但颜色不同的棋子，分别是红色、白色、黄色、蓝色、绿色、紫色、黑色，随机抽取一枚，抽到红色或白色棋子的概率为 。 4、 甲、乙两人下棋，两人下成“和棋”的概率是，甲获胜的概率是，则甲输棋的概率为 。 5、 设事件A，B为互斥事件，且，，则 。 6、 抛掷一颗质地均匀的骰子，求事件C={出现奇数点或4点}的概率。 8.4 抽样方法 【要点梳理】 1．简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N个个体，从中 抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都 ，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。 最常用的简单随机抽样方法是抽签法。 抽签法(抓阄法)：一般地，抽签法就是把总体中的N个个体 ，把号码写在 上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中 ，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。 简单随机抽样有 的优点，在总体个数 的情况下是行之有效的。 2．系统抽样 一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样： ①先将总体的N个个体 。有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等； ②确定分段间隔k，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取 ，如果遇到不是整数的情况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除； ③在第1段用简单随机抽样方法确定 l(l≤k)； ④按照一定的规则 。通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本。 当总体中元素个数 时，常采用简单随机抽样，当总体中元素个数较多时，常采用 。 3．分层抽样 （1）分层抽样的概念： 一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的 ，从 独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，即是一种分层抽样。 （2）当总体是由 几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法。 （3）分层抽样时，每个个体被抽到的机会是 。 【典例解析】 例1 为了了解霍城县江苏中学高二年级参加数学测试的1000名学生的数学成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析，在这个问题中，被抽取的200名学生是（    ） A．总体 B．个体 C．样本 D．样本量 【答案】C 【解析】在这个问题中，1000名学生是总体，被抽取的200名学生是样本，每个学生是个体，样本量为200， 故选：C. 变式1 为检查某校学生心理健康情况，市教委从该校名学生中随机抽查名学生，检查他们心理健康程度，则下列说法正确的是（    ） A．名学生的心理健康情况是总体 B．每个学生是个体 C．名学生是总体的一个样本 D．名学生为样本容量 例2 对总数为N的一批零件抽取一个容量为15的样本，若每个零件被抽到的概率为0.25，则N的值为（    ） A．60 B．100 C．75 D．50 【答案】A 【解析】每个零件被抽取的概率都相等，，． 故选：A． 变式2 某医院对某学校高三年级的600名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为50的样本，己知女生比男生少抽了10人，则该年级的女生人数是_________． 例3 2022年7月24日，搭载问天实验舱的长征五号B遥三运载火箭，在我国文昌航天发射场成功发射，我国的航天事业又上了一个新的台阶．某市长虹中学现有高一学生440人，高二学生400人，高三学生420人，为了调查该校学生对我国航天事业的了解程度，现从三个年级中采用分层抽样的方式抽取63人填写调查问卷，则高二年级被抽中的人数为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】A 【解析】高一，高二，高三三个年级学生人数的比例为， 所以高二年级被抽中的人数为， 故选：A. 变式3 某高校有2400名毕业生参加国家公务员考试，其中专科生有200人，本科生1000人，研究生有1200人，现用分层抽样的方法调查这些学生利用因特网查找学习资料的情况，从中抽取一个容量为的样本，已知从专科生中抽取的人数为10人，则等于（    ） A．100 B．200 C．120 D．400 例4 中国福利彩票“双色球”中的红色球号码区的33个号码分别为01，02，…，33.一位彩民用随机数法从红色球号码区的33个号码中选取6个号码.选取方法是从下面的随机数表中第1行第6列开始，从左向右读数，则依次选出来的第4个号码为________. 【答案】16 【解析】依次选出来的号码依次为21，32，09，16，第四个是16. 故答案为：16. 变式4 某校高三（1）班有56名学生，学号为01到56，现采用随机数表法从该班抽取8名学生参与问卷调查，已知随机数表中第2行和第3行的各数如下： 98  29  32  60  57  34  81  32  08  92  15  64  59  72  08  26 75  90  86  73  51  98  75  81  70  09  16  21  80  89  79  30 若从随机数表的第2行第5列的数开始向右读，则抽取的第6名学生的学号是（    ） A．08 B．26 C．51 D．09 例5 现要完成下列2项抽样调查： ①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查； ②东方中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本． 较为合理的抽样方法是（    ） A．①抽签法，②分层随机抽样 B．①随机数法，②分层随机抽样 C．①随机数法，②抽签法 D．①抽签法， ②随机数法 【答案】A 【解析】①总体较少，宜用抽签法；②各层间差异明显，宜用分层随机抽样． 故选：A． 变式5 现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；②报告厅有32排，每排有40个座位. 有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了调查听众对报告会的意见，需要请32名听众进行座谈；③平罗中学共有360名教职工，其中专职教师300名，行政教辅人员36名，后勤人员名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为60的样本．较为合理的抽样方法是（    ） A． ①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样 B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样 C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样 D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样 【小试牛刀】 1、某社区医院在一周内为3900人接种了新型冠状病毒疫苗，相关研究人员针对每一位接种者在接种前和接种后分别做了各项监测，并记录在“留观监测表”上，现准备从3900份“留观监测表”中抽取390份做临床研究。此案例中的样本为 ，样本容量为 。 2、已知某手机制造企业七月份生产智能手机50000台，从中抽取1000台进行质量检测，其中，50000台智能手机是 ；每一台智能手机是 ；被抽取的1000台智能手机是 ；样本容量是 。 3、某职业学校2100名新生参加了入学体能测试，从中抽取140名新生的体能测试成绩进行调研，其中2100名新生的体能测试成绩是 ；每一名新生的体能测试成绩是 ；被抽取的140名新生的体能测试成绩是 ；样本容量为 。4、为了解某厂200台扫地机器人的质量，把这200台扫地机器人编上序号，然后用抽签的方法取40台，这种抽样方法是 ，这种抽样方法抽取的样本 代表性（填“具有”或“不具有”）。 5、若采用系统抽样的方法，从个体数为2400的总体中抽取一个容量为60的样本，则分段间隔为 。 6、一个年级共有20个班，每个班学生的学号都是1~50，为交流学习经验，要求每个班中学号为22的学生参加座谈会，这里采用的抽样方法是 。 7、某质检员拟采用系统抽样的方法从200件产品中抽取40件产品质检。将200件产品按1—200进行编号，按编号顺序平均分成40组，即1-5，6—10，...，196—200。若第1组中用抽签法确定的号码是3号，那么第34组应抽取的号码是 。 8、用系统抽样的方法从180名学生中抽取容量为20的样本。将180名学生按1—180进行编号，按编号顺序平均分成20组，即1—9，10—18，...，172—180，若第1组中用抽签法确定的号码是6号，那么第16组应抽取的号码是 。 9、某专家想针对学生的睡眠质量进行调研，他选取小学、初中、高中各1所学校，共计5000人，其中小学有学生2000人，初中有学生1600人，高中有学生1400人，现从3所学校的所有学生中随机选取100人进行问卷调查，此次选取100人应采用的抽样方法是 。 10、A公司生产草莓、香蕉、葡萄三种不同口味的口香糖，草莓、香蕉、葡萄口味的口香糖产量之比为1：3：6，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中草莓口味的口香糖为50袋，那么样本容量n为 。 11、某公司研发I型、Ⅱ型、Ⅲ型三种产品共900件，其中Ⅲ型产品300件，Ⅲ型产品的数量是Ⅱ型产品的3倍，检测员为检测产品，采用分层抽样的方法进行样本抽取，在抽取的样本中I型产品有10件，那么该样本中Ⅱ型产品有 件。 12、某学校老、中、青教师共有215人，其中青年教师80人，中年教师人数是老教师人数的2倍，为了解教师的身体健康情况，现采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有青年教师16人，则该样本中的老教师人数为 。 13、某工厂生产A、B、C三种不同类型的产品，A、B、C三种产品的数量之比为3：4：13，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A产品有15件，那么样本容量n为 。 8.5 统计图表 【要点梳理】 名称 概念 频数、频率 将一批数据按要求分为若干个组，各组内数据的个数，叫作该组的频数.每组频数除以全体数据个数的商叫作该组的频率.频率反映该组数据在样本中所占比例的大小 样本的频率分布 根据随机所抽样本的大小，分别计算某一事件出现的频率，这些频率的分布规律(取值状况)就叫作样本的频率分布 极差 若一组数据的最小值为a，最大值为b，则b-a的差就叫作极差 组距 把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离称为组距 频率直方图的制作步骤： (1)求极差（即一组数据中 与 的差） (2)决定组距与组数 组距是指每个小组的 之间的距离。为方便起见一般取等长组距，并且组距的选择应力求“取整”。极差、组距、组数有如下关系： 若为 ，则 组数；若不为整数，则[]+ =组数。 (3)将数据分组：通常对组内数据所在区间取左 右 区间，最后一组取 区间。 (4)列频率分布表：统计各组数据的 ，计算频率，填入表格中，完成频率分布表。 (5)画频率直方图：画图时，横轴表示 ，纵轴（小长方形的高）表示 。 在频率分布直方图中，纵轴表示 ，数据落在各小组内的频率用各小长方形的 表示，各小长方形的面积总和等于 。 【典例解析】 例1 为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20 000人，并根据所得数据画出样本的频率直方图如图所示(最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值)．现按月收入分层，用分层抽样的方法在这20 000人中抽出200人做进一步调查，则月收入在[1 500，2 000)(单位：元)内的应抽取 人． 【答案】40 【解析】月收入在[1 500，2 000)内的频率为1－(0.000 2＋0.000 5×2＋0.000 3＋0.000 1)×500＝0.2，故应抽取200×0.2＝40(人)， 故答案为：. 变式1 某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布的直方图如下： （1）求图中的的值； （2）若得分在分及以上的学生都有奖品，试估计这次能力测评的获奖率； （3）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，根据频率直方图估计此次能力测评全部同学的平均成绩。 变式2 某工厂对200个电子元件的使用寿命进行检查，按照使用寿命（单位：h），可以把这批电子元件分成第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组.由于工作中不慎将部分数据丢失，现有以下部分图表： 使用 寿命 频数 30 20 频率 0.2 0.4 （1）求图2中A的值； （2）补全图2频率分布直方图，并求图2中阴影部分的面积； （3）为了某次展销会，用分层抽样的方法在寿命位于内的产品中抽取5个作为样本，那么在内应抽取多少个？ 【小试牛刀】 1、现对某班50名学生的身高进行统计，160~162cm的有5名，则身高在160~162cm的频率为 。 2、某工厂生产一批零件，现要对这批零件的质量做调查，技术人员抽取了一组容量为12的样本（单位：g）如下： 21，25，45，29，22，31，42，33，27，43，37，26。 这个样本中数据的最大值是 ，最小值是 ，极差为 。 3、某质检部门要对某厂家生产的产品做抽样调查，抽取的样本中，数据的最大值是48，最小值是13，组数是8，则组距为 。 4、在总体个数为10000的数据中，采用系统抽样的方法，抽取了一组容量为80的样本，如果样本中某组数据的频率是0.25，则该组样本的频数是 。 5、高中有三个年级，高一学生900人，高二学生860人，现采用分层抽样的方法调查学生的视力情况，抽取的样本中有高二学生43人、高三学生39人，则学生总人数应为（    ） A．2600 B．2580 C．2540 D．2500 6、采用简单随机抽样抽到一个容量为20的样本数据，分组后，各组的频数如下表： 分组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70) 频数 2 3 x 5 y 2 样本数据在区间[20，40)内的频率为0.35，则样本数据在区间[50，60)内的频率为（ ） A．0.70 B．0.50 C．0.25 D．0.20 7、为了解一批塑料球的直径，从中随机抽取12个进行测量，数据如表所示.在这个问题中，总体是 　 　⁠，个体是 　 　⁠ ，样本是 　 　⁠，样本容量是  ，最大值是 ，最小值  ，极差是  ，如果取组距为 ，则数据会分成 组，设第1组范围是22.5～25.5，该组频数是 ，频率是  ，“频率/组距”是  ，频率分布直方图中该组对应的小矩形面积是 。 26 34 28 30 26 25 30 23 32 25 28 26 8.6 样本均值和标准差 【要点梳理】 1、 众数，中位数，平均数 众数：在一组数据中，出现次数 的数据叫做这组数据的众数。 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在 位置的 数据（或者最中间两个数据的 ）叫做这组数据的中位数。 平均数：样本数据的算术平均数，即＝ 。 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该 。 2、样本方差，样本标准差 标准差 s＝ ，其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，是平均数。标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是样本标准差的平方。通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差。 【典例解析】 例1 一组样本数据为：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，则这组数据的众数和中位数分别为(　　) A．14，14　　　　　　　B．12，14 C．14，15.5 D．12，15.5 【答案】A 【解析】把这组数据按从小到大排列为：10，12，12，14，14，14，17，18，19，23，27，则可知其众数为14，中位数为14.， 故选：A. 变式1 已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16，18，15，11，16，18，18，17，15，13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　) A．a＞b＞c　　　 B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 例2 我校在科技文化节活动中，8位评委给某个节目的评分各不相同，去掉1个最高分和1个最低分，剩下的6个评分与原始的8个评分相比一定不发生变化的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 【答案】B 【解析】根据题意，从8个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效评分．6个有效评分与8个原始评分相比，中位数一定不发生变化， 故选：B． 变式2 两年前，某校七（1）班的学生平均年龄为13岁，方差为4，若学生没有变动，则今年升为九（1）班的学生年龄中（　　） A．平均年龄为13岁，方差改变 B．平均年龄为15岁，方差不变 C．平均年龄为15岁，方差改变 D．平均年龄不变，方差不变 例3 在一次科技作品制作比赛中，某小组六件作品的成绩（单位：分）分别是：7，10，9，8，7，9，对这组数据，下列说法正确的是（　　） A．平均数是8 B．中位数8.5 C．众数是8 D．极差是4 【答案】B 【解析】A．平均数为＝，故本选项不合题意； B．中位数为＝8.5，故本选项符合题意； C．众数是7和9，故本选项不合题意； D．极差为10﹣7＝3，故本选项不合题意； 故选：B． 变式3 已知一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，以下说法错误的是（    ） A．极差是5 B．众数是8 C．中位数是9 D．方差是2.8 例4 一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是 。 【答案】 【解析】平均数为：，故方差是：， 故答案为：． 变式4 李老师为了了解学生暑期在家的阅读情况，随机调查了20名学生某一天的阅读小时数，具体情况统计如表： 阅读时间 （小时） 2 2.5 3 3.5 4 学生人数（名） 1 2 8 6 3 则关于这20名学生阅读小时数的说法正确的是（　　） A．中位数是3 B．平均数是3.3 C．众数是8 D．极差是7 【小试牛刀】 1、若样本x1，x2，x3，⋯，xn的平均数为8，方差为4，则对于样本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，xn﹣3，下列结论正确的是（　　） A．平均数为8，方差为1 B．平均数为5，方差为1 C．中位数变小，方差不变 D．众数不变，方差为4 2、“秋风响，蟹脚痒”，正是食蟹好时节。某蟹农在今年五月中旬向自家蟹塘投放蟹苗1200只，为赶在食蟹旺季前上市销售，该蟹农于九月中旬在蟹塘中随机试捕了4次，获得如下数据： 数量/只 平均每只蟹的质量/g 第1次试捕 4 166 第2次试捕 4 167 第3次试捕 6 168 第4次试捕 6 170 （1）四次试捕中平均每只蟹的质量为 　　g； （2）若蟹苗的成活率为75%，试估计蟹塘中蟹的总质量为 　　kg； （3）若第3次试捕的蟹的质量（单位：g）分别为：166，170，172，a，169，167． ①a＝　 　； ②求第3次试捕所得蟹的质量数据的方差。 第8章 自我检测 1、关于简单随机抽样的特点,有以下几种说法,其中不正确的是　(　　) A．要求总体中的个体数有限 B．从总体中逐个抽取 C．这是一种不放回抽样 D．每个个体被抽到的机会不一样,与先后顺序有关 2、某公司有160名员工，其中研发部120名，销售部16名，客服部24名，为调查他们的收入情况，从中抽取一个容量为20的样本，较为合适的抽样方法是（    ） A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．其他抽样 3、现要完成3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行卫生检查；②科技报告厅有座椅32排，每排40个座位，有一次报告会恰好坐满了观众，抽取32位进行座谈；③某中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了解教职工对校务公开方面的意见，抽取一个容量为20的样本进行调查（　　） A．①简单随机抽样②系统抽样③分层抽样 B．①简单随机抽样②分层抽样③系统抽样 C．①系统抽样②简单随机抽样③分层抽样 D．①分层抽样②系统抽样③简单随机抽样 4、某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数为（       ） A．83 B．85 C．87 D．89 5、在一次数学测试中，某学习小组6名同学的成绩(单位：分)分别为65，82，86，82，76，95．关于这组数据，下列说法错误的是（ ） A．众数是82 B．中位数是82 C．极差是30 D．平均数是82 6、在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是16，乙的成绩方差是8，下列说法正确的是（　　） A．甲的成绩比乙的成绩稳定 B．乙的成绩比甲的成绩稳定 C．甲、乙两人的成绩一样稳定 D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 7、某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为300，200，400，为了了解学生的课业负担情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取18名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取人数分别是（　　 ） A．6,4,8 B．6，6，6 C．5，6，7 D．4，6，8 8、在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：9.4、8.4、9.4、9.9、9.6、9.4、9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（       ） A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.016 9、50名同学的体重情况如下表所示： 分组（） 频数 6 8 15 18 3 则这50名同学体重小于的频率为（    ） A．0.28 B．0.58 C．0.42 D．0.94 10、一容量为20的数据样本，分组和频数为，2个、，3个、，4个、，5个、，4个、，2个，则样本数据在区间的可能性为（    ） A．5% B．25% C．50% D．70% 11、 掷一枚均匀的硬币100次，其中54次出现正面，则出现正面的频率是______。 12、 中国篮球职业联塞（CBA）中，某男篮球运动是在最近几次比赛中的得分情况如下表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 没投中 100 55 18 m 记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 13、从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞赛，则乙被选中的概率为（ ） A． B． C． D． 14、袋子中有3个红球和2个黑球，从中摸出一个球，该球为黑球的概率是（　　） A． B． C．1 D． 15、同时抛掷两枚质地均匀的相同骰子，则两枚骰子的点数和为的概率是（    ） A． B． C． D． 16、“某彩票的中奖概率为”意味着（    ） A．买100张彩票就一定能中奖 B．买100张彩票能中一次奖 C．买100张彩票一次奖也不中 D．购买彩票中奖的可能性为 17、下列说法不正确的是（    ） A．任一事件的概率总在内 B．不可能事件的概率一定为0 C．必然事件的概率一定为1 D．概率是随机的，在试验前不能确定 18、某家电视台在因特网上征集某电视节目现场参与的观众，报名的总人数为12000人，分别来自4个城区，其中区2400人，区4600人，区3800人，区1200人，从中抽取60人参加现场的节目，应当如何抽取？写出抽取过程。 19、从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试.现要求这两名学生在相同条件下各射箭5次，命中的环数如下： 甲 8 9 7 9 7 乙 10 9 8 6 7 （1）计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差； （2）比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛。 20、某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布的直方图如下： （1）求图中的的值； （2）若得分在分及以上的学生都有奖品，试估计这次能力测评的获奖率； （3）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，根据频率直方图估计此次能力测评全部同学的平均成绩。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$