第7章简单几何体学案-2023-2024学年高一上学期高教版(2021)中职数学基础模块上册

第7章简单几何体 7.1 多面体 【要点梳理】 1、由 围成的封闭的几何体称为多面体。围成多面体的各个多边形称为多面体的 ，相邻两个面的公共边称为多面体的 ， 的公共点称为多面体的顶点。 2、棱柱的概念：有两个面 ，其余面都是 的多面体称为棱柱。其中，两个互相平行的面称为棱柱的 面，其余的面称为棱柱的 。两个侧面的公共边称为棱柱的 。侧棱与底面的交点称为棱柱的 。不在同一底面或侧面上的两个顶点的连线称为棱柱的 。两个底面间的距离称为棱柱的 。侧棱不垂直于底面的棱柱称为 棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱称为 棱柱。 3、正棱柱的概念：底面为 多边形的 棱柱称为 棱柱。 正棱柱的主要性质： （1） 两个底面是 且 的 多边形； （2） 侧面都是 的矩形； （3） 侧棱 于底面，各侧棱都 ，侧棱与高 。 4、直棱柱的侧面积、表面积和体积。 （1） 将直棱柱的 面沿某一条侧棱展开在一个平面上所得到的图形为 ，它的面积就是直棱柱的侧面积，直棱柱的 面积与 面积之和就是直棱柱的表面积； （2） 直棱柱的侧面积计算公式 ； （3） 直棱柱的表面积计算公式 。 （4） 直棱柱的体积计算公式： 。 5、用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤： （1） 在已知图形中取互相垂直的两条直线作x轴和y轴，两轴相交于点0。画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y‘轴，两轴相交于点0'，且使∠x'O'y'= ，它们确定的平面表示水平面。 （2） 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成 于x'轴和y'轴的线段；已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中的长度 ；平行于y轴的线段，在直观图中的长度 。 （3） 对照平面图，在直观图上找到相应的端点逐一连接，擦去x'轴、y'轴及其他辅助线。 6、用斜二测画法画空间图形的直观图的步骤： （1） 画底面，这时使用平面图形的 画法即可； （2） 画z’轴，'轴过点O'，且与x'轴的夹角为 ，并画出高线（与原图高线 ，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图； （3） 擦去辅助线，被遮线用 表示或者不画。 7、 棱锥的概念：一个面是多边形，其余面都是 ，并且这些 形有 的多面体，称为棱锥。 称为棱锥的底面（简称底），其余 称为棱锥的侧面，相邻侧面的公共边称为棱锥的 ，各侧面的公共点称为棱锥的 ，从 到 的距离称为棱锥的高。 8、正棱锥的概念：底面是 多边形，顶点在底面内的投影是底面的 的棱锥，称为正棱锥。正棱锥侧面三角形的高称为棱锥的 。 正棱锥的性质： （1）各条侧棱 ，斜高 ，侧面是 三角形； （2）顶点到底面中心的连线 于底面，是正棱锥的 ； （3）正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的投影组成一个 三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面的投影构成一个 三角形。 9、正棱锥的侧面积、表面积和体积。 （1）正棱锥的侧面积计算公式： ； 正棱锥的表面积计算公式： 。 （2） 对于底面积和高都相等的棱柱与棱锥，棱锥的体积是棱柱体积的 。棱锥体积的计算公式： 。 【典例解析】 例1 下列结论正确的是（ ） A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．水平放置的三角形的直观图是三角形 D．水平放置的菱形的直观图是菱形 【答案】C. 【解析】对于A，相等的角在直观图中不一定相等，如一个等腰直角三角形，画出直观图后不是等腰直角三角形，故错误； 对于B，相等的线段在直观图中不一定相等，如正方形在直观图中是平行四边形，邻边不相等，故错误； 对于C，三角形的直观图仍然是三角形，正确． 对于D，菱形的直观图不一定是菱形，也可能是矩形，故错误；故选C． 变式1 下列关于直观图的斜二测画法的说法，不正确的是（    ） A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变 B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的 C．画与直角坐标系对应的 时，∠必须是45° D．在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同 例2一个正方形的直观图是个平行四边形，如图其中有一边长为4，则此正方形的面积是___。 【答案】16或64.. 【解析】若，则正方形边长为4，其面积为16；若，则正方形边长为8，面积为64.故答案为：16或64. 变式2 已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图面积为(　　) A. B. C. D. 例3 已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为2，则该四棱锥的表面积等于 。 【答案】. 【解析】设正四棱锥的侧面高为 ，由题意知：，则正四棱锥的侧面积为，底面面积为1；∴该四棱锥的表面积为. 变式3 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，若，则该四棱锥的体积为（    ）    A．48 B．18 C．16 D．8 【小试牛刀】 1、 四棱柱有 条棱， 个顶点。 2、 如果某棱柱有5个面，那么它有 条侧棱， 个顶点。 3、 一正棱柱有10个顶点，那么它是正 棱柱，若其所有的侧棱长的和为40cm，则每条侧棱长为 cm。 4、 在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点A（2，0），在直观图上的对应点是点A'，则点A'的坐标为 。 5、 一个棱锥至少有 个面，面数最少的棱锥有个 顶点，有 条棱。 6、 由6个面围成的几何体，其中一个面是五边形，其余5个面都是有一个公共点的三角形，那么该几何体是 。 7、 棱长都是4的三棱锥的表面积为 。 8、 下列说法错误的是 。 （1） 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； （2） 正棱锥的侧面是等边三角形； （3） 正三棱锥的底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形。 9、下列关于斜二测画法所得直观图的说法中正确的有（  ） ①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形； ③菱形的直观图是菱形；④正方形的直观图是正方形。 A． ① B．①② C．③④ D．①②③④ 10、如图四个几何体中是棱锥的选项是（       ） A． B． C． D． 11、下列结论不正确的是（       ） A．长方体是平行六面体 B．正方体是正四棱柱 C．平行六面体是四棱柱 D．直四棱柱是长方体 12、用平行于棱柱侧棱的一个平面去截棱柱，所得的截面是____ ___。 13、棱长为1的正四面体的表面积是（       ） A． B． C． D． 14、所有棱长均为2的正三棱锥的体积为____ ___。 15、已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥。 （1）求它的表面积； （2）求它的体积. 7.2 旋转体 【要点梳理】 1、 圆柱的概念：以 的一条边所在直线为旋转轴，其余各边绕轴旋转所形成的封闭几何体，称为圆柱。 称为圆柱的 轴， 于轴的边旋转形成的圆面称为圆柱的底面。 于轴的高母线边旋转而成的曲面称为圆柱的侧面，通常用 来表示圆柱。 圆柱的结构特征： （1） 两个底面是半径 的圆，平行于底面的横截面是与底面 的圆； （2） 母线 ，并且 圆柱的高； （3） 过轴的截面（ ）是 ，其长为圆柱的 ，宽为底面的 。 2、 圆柱的表面积和体积。 圆柱的侧面展开图是一个 ，它的边长分别是 和 。 同时 就是圆柱的侧面积。 （1） 圆柱的侧面积的计算公式： ，表面积的计算公式： （2） 圆柱的体积的计算公式： 。 3、 圆锥的概念：以 的一条 边所在直线为轴，其余各边绕轴旋转形成的封闭几何体称为圆锥。 称为圆锥的轴， 旋转形成的圆面称为圆锥的底面， 旋转而成的曲面称为圆锥的侧面， 同时 称为圆锥的母线。母线与轴的交点称为 。顶点到底面圆心的距离称为圆锥的 。 圆锥的结构特征： （1） 底面以及平行于底面的截面都是 ； （2） 高 于底面圆，且过 ； （3） 轴截面为 ，高是圆锥的 ，腰是圆锥的 ，底边是底面圆的 。 4、 圆锥的表面积和体积。 圆锥的侧面展开图是一个 ，其底面圆的周长是 ，扇形的半径是 ，因此 的面积即为圆锥的侧面积。 （1） 圆锥的侧面积的计算公式： 。 （2） 圆锥的表面积的计算公式： 。 （3） 对于底面积和高都相等的圆柱与圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的 。圆锥体积的计算公式： 。 5、 球的概念。 半圆绕着它的 所在直线旋转一周，半圆弧线形成的曲面称为半圆绕着它的球面，球面所围成的几何体称为 ，简称 。半圆的圆心称为 ，连接球心和球面上任意一点的线段称为 。通常用 表示球。 6、 球截面。 用一个平面截球0，截面是 ，这个圆面称为 。 球心的平面截球所得的圆称为球的大圆， 球心的平面截球所得的圆称为球的小圆。 当球截面是小圆时： （1） 球截面的圆心与球心的连线 于球截面； （2） 设球心O到球截面圆心O'的连线长为d，球的半径为R，球截面的半径为r， 则 。 7、 球的表面积和体积。 若R为球的半径，则球的表面积公式： ；体积的公式 。 【典例解析】 例1 铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（       ） A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球挖去一个正方体 【答案】B 【解析】半圆及其内部旋转一周后所得几何体为球，而矩形及其内部绕一边旋转后所得几何体为圆柱，故题设中的平面图形绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱，故选：B. 变式1 下列平面图形中，通过围绕定直线旋转可得到如图几何体的是（       ） A． B． C． D． 变式2 长方形的两边长分别为和，将其绕一边进行旋转，得到不同圆柱的种数为（       ） A． B． C． D． 变式3 下列平面图形中，绕轴旋转一周得到如图所示的空间图形的是（    ） A． B． C． D． 例2 已知圆锥的高与底面圆半径相等，若底面圆的面积为1，则该圆锥的侧面积是 。 【答案】. 【解析】设圆锥的底面圆半径为 ，高为 ，母线为 ，则底面圆的面积为1； ∴. 变式4 若一个圆锥的侧面展开图是面积为8π的半圆面，则该圆锥体积为 。 例3 用宽2厘米、长3厘米的矩形卷一个圆柱，则此圆柱的侧面积为（       ）平方厘米。 A．5 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【解析】用一个宽2厘米、长3厘米的矩形卷一个圆柱，所以此圆柱的侧面积为矩形的面积平方厘米，故选：B. 变式5 已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（       ） A． B． C． D． 例4 圆锥的底面半径为1，侧面展开图是个圆心角为120°的扇形，该圆锥的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆锥的母线长为，则，解得，则该圆锥的表面积为，故选：C. 变式6 圆锥的表面积为，侧面展开图是圆心角为的扇形，该圆锥的体积为___________. 例5 已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为，由 ，则，则圆锥的体积为 ，故选：A 变式7 已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（       ） A． B． C． D． 例6 表面积为24的正方体的顶点都在一个球面上，则该球的体积为____________。 【答案】 【解析】设正方体的棱长为a，则，得，设球的半径为R，则，即．所以球的体积．故答案为： 变式8 如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（          ） A． B． C． D． 例7 若球、的表面积之比，则它们的体积之比 。 【答案】8 【解析】设球、的半径分别为、，则可得即，∴，故答案为：8． 变式9 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱体积比是（       ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 1、圆柱的底面半径为3 ，母线为4，则侧面积为 。 2、矩形长为，宽为，将该矩形卷成圆柱的侧面，那么圆柱的底面积为 。 3、圆锥底面的周长为，母线长为2，则该圆锥的体积为 。 4、若圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的侧面积为 。 5、已知球的半径为2CM，则其表面积为 ，体积为 。 6、若球的半径扩大至原来的3倍，则其表面积为原来的 倍，体积为原来的 倍。 7、球的半径为13，平面截球所得截面圆半径是5，截面圆的圆心与球之间的距离为 。 8、圆锥的母线长是3，侧面积是，则该圆锥的高为（       ） A． B． C．2 D． 9、若一个球的体积为4π，则它的表面积为（        ） A．3π B．12 C．12π D．36π 10、圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 11、某圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 12、若圆锥侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则这个圆锥表面积与侧面积的比为（    ） A． B． C． D． 13、已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图扇形的圆心角为，则圆锥的母线长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 14、已知圆柱的底面半径是3，高是4，那么圆柱的侧面积是（    ） A． B． C． D． 15、如图，圆柱的底面半径是2，高是3，则这个圆柱的体积是（    ）    A． B． C． D． 16、一个圆柱的体积是36，它的底面积是18，它的高是（     ） A． B．2 C．6 D．18 17、如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论不正确的是（    ） A．圈柱的侧面积为 B．圆柱的侧面积与球面面积相等 C．圆锥的侧面积为 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小 18、设球的大圆的面积是，求球的表面积和体积。 7.3 简单几何体的三视图 【要点梳理】 三视图 概念 规律 主视图 从物体的 向 投影所得到的视图 （1） 位置： 主视图画在 位置， 左视图画在主视图的 ， 俯视图画在主视图的 。 （2）投影规律： ①主视图与俯视图的 相同，即“ ” ②左视图和主视图的 相同，即“ ” ③俯视图与左视图的 相同，即“ ” （3）画线规则： ①能看见的轮廓线用 表示； ②看不见的轮廓线用 表示。 左视图 从物体的 向 投影所得到的视图 俯视图 从物体的 向 投影所得到的视图 【小试牛刀】 1．下列物体的主视图、俯视图和左视图不全是圆的是（    ） A．橄榄球 B．乒乓球 C．篮球 D．排球 2．已知球的俯视图面积为，则该球的表面积为 3．已知一个三棱柱（底面是正三角形）的直观图如图所示，则该几何体的正视图是（    ）    A．   B．  C．  D．   4．如图是某几何体的三视图，该几何体是（    ）    A． 三棱柱 B． 三棱锥 C． 圆锥 D．圆柱 5．如图所示，该几何体是由一个长方体木块锯成的. （1）判断该几何体是否为棱柱； （2）画出它的三视图. 6．画出该几何体的主视图、左视图、俯视图． 7．一个几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图可能是（    ）    A．①② B．②④ C．①②④ D．②③④ 8．某几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都是边长分别为1和2的矩形，俯视图是半径为1的四分之一个圆，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 9．画出如图所示的三棱柱的三视图。 第7章 自我检测 1、用一个平面去截一个几何体，得到的截面不可能是圆的几何体是（　　） A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．三棱锥 2、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是下面的（    ） A． B． C． D． 3、已知一个圆锥的三视图如图，该圆锥的内切球也是棱长为的正四面体的外接球，则此正四面体的表面积为（    ） A． B． C． D． 4、下列命题中真命题的序号为______ ________。 ①直棱柱的侧棱长与高相等； ②直棱柱的侧面及过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形； ③如果棱柱有一个侧面是矩形，那么它是直棱柱； ④正棱锥的侧面是正三角形； ⑤正棱锥的各侧面与底面所成二面角均相等。 5、（1）已知正四棱柱的底面边长为4cm，高为5cm，则这个正四棱柱的侧面积为_____，表面积为 ，体积为 ； （2）设正三棱锥高为1，底面边长为4，则它的斜高为 ，侧面积为 ，全面积为 ，体积为 ； （3）已知圆锥的母线长为l，A为顶点，BC为底面圆的直径，∠ABC=60°，则圆锥的侧面积为 ，体积为 ； （4）已知球的大圆周长为6πcm，则球的表面积为 ，体积为 ； （5）已知圆柱的底面半径为4cm，高为10cm，则该圆柱的全面积为 。 6、（1）若球的表面积变为原来的2倍，则球的体积变为原来的 倍； （2）已知圆锥的高等于底面半径，若底面圆的面积是1，则该圆锥的侧面积是 ； （3）底面半径为2，高为4的圆柱，它的侧面积为 ； （4）若圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的体积为 ； （5）一个正四棱锥的高和底面边长都是4，则它的侧面积为 ，体积为 。 7、正方体的内切球和外接球的半径之比为 。 8、（1）已知球的半径为5，一个平面截球得一小圆半径为r，且球心到截面的距离为3，则小圆的面积为 ； （2）已知球的表面积为8π，此球面上有A,B,C三点，且AB=AC=，BC=2，则球心到平面ABC的距离为 。 9、已知一个几何体（正方体挖去一个圆锥）的直观图如图所示，说出它的结构特征并画出它的三视图。    1 学科网（北京）股份有限公司 $$