第6章直线与圆的方程学案-2023-2024学年高一上学期高教版(2021)中职数学基础模块上册

第6章直线与圆的方程 6.1 两点间距离公式和线段的中点坐标公式 【要点梳理】 1．数轴上A，B两点的距离 数轴上点A的坐标为，点B的坐标为，则A，B两点间的距离： 。 2．两点间的距离公式 在平面直角坐标系中，两点，之间的距离公式为： 。 3．线段的中点坐标公式 若点A，B的坐标分别为，，线段AB的中点M的坐标为：（ ， ）。 【典例解析】 例1 已知点A（a,3）、B（7，-1）的距离为5，求a的值。 分析 将A、B两点坐标直接带入两点间距离公式，可求得a。 答案 由，即，解得a=4或a=10。 变式1 若平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（1,0）、（0，-3）、（2，-1），求对角线交点O的坐标和顶点D的坐标。 例2 已知点，则线段AB的中点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得：线段AB的中点坐标为，即，故选：A. 变式2 已知线段的端点及中点，则点的坐标（     ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 1.已知两点，则 ，线段的中点坐标为 。 2.已知两点，则 ，线段AB的中点坐标为 。 3.已知点A（2，y）关于点P（-1,3）的对称点是B（x，-3），则x= ，y= 。 4.已知y轴上一点P与点A（2，-3）的距离等于，则点P的坐标为 。 5.已知两点，且，则m=（ ） A.-2 B.6 C.-1或6 D.-6或2 6.点关于点的对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 7.已知点是点和连线的中点，求实数m和a的值。 6.2 直线的方程 【要点梳理】 1.直线的倾斜角 ①定义 一条直线向上的方向与轴 所形成的最小正角，称为直线的倾斜角。 规定：直线与轴平行或重合时，= °。 ②倾斜角的取值范围是{| ≤< }。 2.直线的斜率 ①定义 倾斜角的 称为直线的斜率．斜率通常用k表示，即k＝ (≠90°)。 ②斜率的坐标计算公式 设，为直线上的任意两点，则直线的斜率k＝ 。 【注意】　当＝90°时，，斜率k不存在，此时直线与x轴 。 当k>0时，为 角；当k<0时，为 角；当k＝0时，＝ °。 3.直线的截距 横截距：直线与x轴交于点A(a，0)，则 为直线在x轴上的截距，也称为横截距。 纵截距：直线与y轴交于点B(0，b)，则 为直线在y轴上的截距，也称为纵截距。 【注意】　当直线经过原点时，a＝b＝0；截距是一个数，可正可负，也可为零。 4.直线的方程 (1)直线的点斜式方程 设直线经过点，且斜率为k，则直线方程表示为 。 (2)直线的斜截式方程 设直线的纵截距为b，且斜率为k，则直线方程表示为 。 (3)直线的一般式方程： (A和B不全为零)。 【典例解析】 例1 过，两点的直线的倾斜角是（       ） A．45 B．60° C．120° D．135° 【答案】D 【解析】由已知直线的斜率为，，所以倾斜角，故选：D. 变式1 已知点，，则直线的倾斜角为（    ） A．30 B．60 C．120 D．150 例2 直线的倾斜角为______． 【答案】 【解析】直线的斜率为1，设直线的倾斜角为，，则，所以，故答案为：. 变式2 一次函数所表示直线的倾斜角为（       ） A．30° B．150° C．120° D．60° 例3 已知，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由两点的斜率计算公式计算即可. 【详解】由题意，，所以直线的斜率为. 故选：A. 变式3 经过，两点的直线的斜率是（    ） A．2 B． C． D． 例4 直线在x轴、y轴上的截距分别为（    ） A．6，2 B．－6，2 C．－6，－2 D．6，－2 【答案】B 【分析】根据截距的定义计算即可. 【详解】令，令， 所以直线在x轴、y轴上的截距分别为－6，2. 故选：B 变式4 直线在轴上的截距为 例5 根据下列条件，写出直线方程： （1）倾斜角为且在y轴上的截距为，直线的方程； （2）经过点且在x轴上的截距为3的直线方程； （3）经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线方程； （4）经过点，倾斜角为的直线方程。 【答案】；；x＋5y－27＝0；。 【解析】 （1）因为直线l的倾斜角为，所以，又因为直线在y轴上的截距为，所以直线方程为：.故答案为：. （2）当斜率不存在时，直线为：，横截距为-1，不符合题意； 当斜率存在时，设其为k，直线可设为：.由在x轴上的截距为3，可得：，解得：，所以直线方程为：.故答案为：. （3）由两点式得直线方程为＝，即x＋5y－27＝0。 （4）利用直线的点斜式方程和一般式方程的定义求解。因为直线斜率为， 所以该直线方程为，即。 变式5 根据下列条件，写出直线的方程： （1）经过点(－1,1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程； （2）过点，的直线方程； （3）过点，倾斜角为45°的直线方程； （4）过点A(5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程。 【小试牛刀】 1．在下列四个命题中，正确的是（　　） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是[0，π] C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为45度 D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα 2．已知直线的倾斜角是，则此直线的斜率是（     ） A． B． C． D． 3．直线的横截距与纵截距分别为（     ） A．2， B．2，1 C．4， D．4，2 4.直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 5.直线的斜率为（    ） A．不存在 B． C． D． 6.在轴、轴上的截距分别是、3的直线方程为（     ） A． B． C． D． 7.过两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 8.若直线l的方程是，则（       ） A．直线经过点，斜率为； B．直线经过点，斜率为； C．直线经过点，斜率为； D．直线经过点，斜率为1. 9.如下图，直线的方程是（       ） A． B． C． D． 6.3 两条直线的位置关系 【要点梳理】 1.两直线的位置关系(平行、重合、相交) 直线方程 平行 ， 重合 ， 相交 垂直 2.点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线：的距离d= 。 【典例解析】 例1 直线与直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．异面 【答案】A 【解析】直线方程化为，直线斜率为2，纵截距为， 直线方程化为，直线斜率为2，纵截距为， 两直线斜率相等，纵截距不相等，两直线平行． 故选：A． 变式1 已知直线：与：，则这两条直线的位置关系是（） A．重合 B．平行 C．垂直 D．不能确定 例2 已知直线的倾斜角为，直线经过点、，则直线、的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【解析】由题意可知直线的斜率，直线的斜率． 因为，所以，或、重合． 故选：A. 变式2 直线与直线的位置关系是（     ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定 例3 若直线：与直线：垂直，则实数的值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 【答案】B 【解析】因直线：与直线：垂直，则有，解得. 故选：B 变式3 当a为何值时，直线：与直线平行？ 例4 已知三条边所在的直线方程分别为，，，则边上的高所在直线方程为： ． 【答案】 【解析】由，解得点坐标为．因为直线的斜率为，所以边上的高所在直线的斜率为，所以边上的高所在直线的方程为，即． 变式4 经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线方程为____ ____。 例5 点 到直线的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点 到直线的距离为： 故选：B. 变式5 已知点到直线的距离不大于，求实数的取值范围． 例6 两直线：与：间的距离为______． 【答案】1 【解析】因为直线：与：平行， 由两平行线间的距离公式可得：， 故答案为：. 变式6 已知直线与，其中k､.若直线，则与间距离的最小值是___________. 【小试牛刀】 1.平面直角坐标系中，两条不重合直线的斜率都是0时，两条直线的位置关系是 。 2.经过点且平行于直线的直线方程是 。 3.经过点且与直线平行的直线方程是 。 4.若直线与直线平行，则a= 。 5.若直线与直线垂直，则k= 。 6.若直线与倾斜角为的直线垂直，则直线的斜率是 。 7.直线与直线的交点坐标为 。 8.过点且与直线垂直的直线的方程是 。 9.坐标原点到直线的距离为 。 10.点到直线的距离为 。 11.点到直线的距离为 。 12.点P为x轴上一点，点p到直线对的距离为6，则点P的坐标为 。 13.直线与直线的位置关系是（　　） A．相交 B．重合 C．平行 D．垂直 14.直线，的斜率是方程的两个根，则（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定 15.若直线与直线平行，则（    ） A．或 B． C． D．0 16.已知直线：，：相交于点P，则P到直线l：的距离为（    ） A． B． C． D． 6.4 圆 【要点梳理】 1.圆的标准方程 我们把方程称为圆心为 半径为 的圆的标准方程。 若圆心为坐标原点，半径为r，则圆的标准方程为 。 2.圆的一般式方程 对于方程 （为常数），当时，方程叫做圆的一般方程。 ①，方程表示以 为圆心，以 为半径的圆； ②，方程表示一个点 ③，方程不表示任何图形 【典例解析】 例1 以为圆心，4为半径的圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，写出圆的标准方程即得. 【详解】由圆心坐标为，半径为4，得所求圆的标准方程为. 故选：B 变式1 圆心为，半径是的圆标准方程为 。 例2 圆(x－1)2＋(y＋)2＝1的圆心坐标是(　　) A．(1，) B．(－1，) C．(1，－) D．(－1，－) 【答案】C 【解析】由圆的标准方程(x－1)2＋(y＋)2＝1，得圆心坐标为(1，－)．故选：C. 变式2 圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2,3)　　　　　　　　　 B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 【答案】D 【解析】圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为，即(2，－3)．故选：D. 例3 圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的标准方程为(　　) A．(x－2)2＋(y－3)2＝16 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝16 C．(x＋2)2＋(y－3)2＝16 D．(x＋2)2＋(y＋3)2＝16 【答案】C 【解析】将x2＋y2＋4x－6y－3＝0配方，易得(x＋2)2＋(y－3)2＝16.故选：C 变式3 已知圆的方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，圆心坐标为(5,0)，则它的半径为(　　) A．3 B. C．5 D．4 例4 圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)，则圆的标准方程为________。 【答案】x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25 【解析】设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)， 又r＝5，∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. 故答案为：x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25 变式4 已知直线与两坐标轴分别交于点，，求以线段为直径的圆的方程。 【小试牛刀】 1.平面内到点的距离为的点的轨迹方程为 。 2.圆的圆心坐标为 ，半径为 。 3.以点为圆心、半径r=6的圆的标准方程为 。 4.若圆的圆心坐标为，且一条直径的两个端点M、N分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为 。 5.圆的一般方程为，则圆心坐标为 ，半径为 。 6.圆的一般方程为，则圆心坐标为 ，半径为 。 7.以点为圆心、2为半径的圆的一般方程是 。 8.以点为圆心、3为半径的圆的一般方程是 。 9.已知圆心为 的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 10.若圆C与圆关于原点对称，则圆C的方程是（   ） A． B． C． D． 11.已知过原点的圆，其圆心为 ，则该圆的标准方程是（    ） A. B． C． D． 12.己知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6.5 直线和圆的位置关系 【要点梳理】 1、直线与圆的位置关系 （1）直线与圆的位置关系有 ， ， 。 （3）直线与圆位置关系的判定方法： ① 代数法：联立直线与圆的方程，得到关于x或y的一元二次方程，利用判别式△来讨论位置关系。 当时，直线与圆______； 当时，直线与圆______； 当时，直线与圆______。 ② 几何法：比较圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断。 当，直线与圆______； 当，直线与圆______； 当，直线与圆______。 2、 直线与圆相切：在平面直角坐标系中，给定一个点P和圆C，则有： （1）当点P在圆C上时，过点P可以作 条直线与圆C相切； （2）当点P在圆C外时，过点P可以作 条直线与圆C相切； （3）当点P在圆C内时，过点P可以作 条直线与圆C相切。 3、直线与圆相交的弦长： 在平面直角坐标系中，若直线与圆相交于P、Q两点，设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则相交的弦长为 。 【典例解析】 例1 直线l：与圆C：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】A 【分析】利用圆心到直线的距离与半径比较大小可得答案. 【详解】圆C的圆心坐标为，半径为2，直线l的方程为， 圆心到直线l的距离为， 所以直线l与圆C的位置关系是相交. 故选：A. 变式1 若直线与圆 相切，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 例2 圆在点处的切线方程为（    ） A. B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出，从而由斜率乘积为-1得到切线斜率，利用点斜式写出切线方程，得到答案. 【详解】因为，所以在圆上， 的圆心为， 故， 设圆在点处的切线方程斜率为， 故，解得， 所以圆在点处的切线方程为， 变形得到，即. 故选：A 变式2 过圆上点的切线方程为 。 【小试牛刀】 1.圆的圆心到直线的距离为 。 2.圆与直线的位置关系是 。 3.经过点且与圆C：相切的直线有 条，切线的斜率为 ， 切线方程为 。 4.经过点有 条直线与圆C：相切，设切点为A，则 。 5.若直线与圆相切，则 。 6.直线3x＋4y＋12＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是(　　) A．相交并且直线过圆心　　 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 7.过点作圆的切线，则切线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 8.直线与圆有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 9.已知点在圆上，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 10.已知圆与直线相切，则（       ） A． B． C． D． 11.已知圆经过，，且圆心在直线上。 （1）求圆的标准方程； （2）若直线：与圆无公共点，求实数的取值范围。 第6章自我检测 1.已知点，则线段的中点坐标为 。 2.已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角为 。 3.斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为 。 4.已知直线l在x轴、y轴上的截距分别为，，则直线l的一般式方程为 。 5.若直线：与直线：平行，则实数 。 6.点到直线的距离是 。 7.直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B．1 C． D．2 8.直线3x＋4y＋12＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是(　　) A．相交并且直线过圆心　　 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 9.过点作圆的切线，则切线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 10.如图所示，直线已知，则直线的方程是（） A. B. C. D. 11. 若直线互相垂直，则实数a的值为(　　) A．8 B．-8 C． D． 12.如图所示，直线 的方程是（ ） A. B. C. D. 13.已知直线的图像如图所示，则角 是（ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 14.直线 第一、二、四象限的充要条件为(　　) A. B. C. D. 15. 已知两直线平行，则实数 的值是 (　　)。 A.-7或-1 B.7或1 C.-7 D.-1 16.若直线 与直线平行，则（  ） A． B．且 C．且 D．且 17.求经过直线x+y-1=0和x-2y+1=0的交点，且与2x-y+2=0平行的直线方程。 18.已知圆心为 的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 19.求经过点的圆的切线方程 1 学科网（北京）股份有限公司 $$