精品解析：四川省广安市华蓥中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

2025届5月月考数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知离散型随机变量的分布列如下表，则其数学期望（ ） 1 2 4 0.2 0.6 A. 1 B. 0.2 C. 2.8 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据表中数据可求解，进而又期望的公式即可求解. 【详解】由表可知：， 所以， 故选:D 2. 红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差．用一款红外体温计测量一位体温为36.9℃的人时，显示体温X服从正态分布，若X的值在内的概率约为0.9973，则n的值约为（ ） 参考数据：若，则． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得，再结合求出，即可得出答案. 【详解】解：因为体温X服从正态分布， 所以， 因为X的值在内的概率约为0.9973， 根据参考数据知， 即， 所以， 所以，所以， 所以，解得. 故选：B. 3. 若函数，则的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据初等函数的导数公式求出导函数，代入计算可得答案. 【详解】解：，， 所以． 故选：A. 4. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质求得的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得结果即可. 【详解】解：因为展开式的二项式系数之和为，则， 所以， 令，求得， 所以展开式的常数项为. 故选：C. 5. 若，则（ ） A. 3或5 B. 3 C. 5 D. 以上答案均不对 【答案】A 【解析】 【分析】根据组合数的性质可得答案. 【详解】因为，， 所以或. 故选：A. 6. 设函数f(x)图象如图，则函数y＝f′(x)的图象可能是下图中的(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用原函数和导函数的关系求解 【详解】由函数f（x）的图象可知，函数有两个极值点，故导函数y=f′（x）的图象应有两个零点，即与x轴有两个交点，故可排除A、B，又由函数在（-∞，0）上单调递增，可得导函数f′（x）＞0，即图象在x轴上方，结合图象可排除C 故选：D 7. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，由“函数在上单调递减”转化为导数小于或等于0，在上恒成立求解. 【详解】因为在上单调递减， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 又函数在上为增函数， 所以，故 故选：C 8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，构造出函数，对函数进行求导判断其单调性，进而比较大小. 【详解】令，则. 因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减. 而，， 所以在上有. 所以在上单调递减. 所以，即.故. 故选：D. 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9. 下列问题属于排列问题的是（ ） ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算． A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，由排列、组合的定义分析选项，综合即可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析选项： 对于①，从10个人中选2人分别去种树和扫地，选出的2人有分工的不同，故有顺序，是排列问题， 对于②，从10个人中选2人去扫地，选出的2人没有顺序，是组合问题， 对于③，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，选出的5人没有顺序，是组合问题， 对于④，从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算，顺序不一样，计算结果也不一样，是排列问题； 故选：． 10. 假设某市场供应的职能手机中，市场占有率和优质率的信息如下 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 优质率 在该市场中任意买一部手机，用，，分别表示买到的智能手机为甲品牌､乙品牌，其他品牌，表示可买到的优质品，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件概率公式及相互独立事件的概率公式计算可得； 【详解】解：依题意可得，，，，因为，所以，，故正确的有ABD； 故选：ABD 11. 已知函数， 则下列说法正确的有（ ） A. 在单调递增 B. 为的一个极小值点 C. 无最大值 D. 有唯一零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出函数的导数，借助导数分析、推理判断选项A，B，C；举例说明判断D作答. 【详解】依题意，，令，求导得， 当时，令，则，即在上递增， ，则在上递增，，因此在上递增，A正确； 当时，，求导得，显然函数在上递增， 而，，则存在，使得， 当时，，函数在上单调递增，当时，， 即当时，，则，因此为一个极小值点，B正确； 当时，令，求导得，函数在上递增，当时，， 而在上递增，值域为，因此当时，，所以无最大值，C正确； 因，即和是函数的零点，D不正确. 故选：ABC 【点睛】结论点睛：可导函数y=f(x)在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同． 三、填空题 本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P(X＝1)＝________. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式结合组合的知识求解. 【详解】X＝1表示的结果是抽取的2台彩电有甲型和乙型彩电各一台， 故所求概率P(X＝1)＝. 故答案为：. 13. 的展开式中，含项的系数是______. 【答案】116 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式，找出含有的项，即可求得项的系数. 【详解】因为的二项展开式的通项公式为， 在的展开式中， 令，则含项的系数为. 故答案为： 14. 若函数有两个不同的极值点，则实数a取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由有两个不同的实数根列方程，分离常数，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围. 【详解】依题意得有2个不同的实数根， 则有2个不同的实数根， 可转化为的图象与的图象有两个交点求的取值范围问题， 令，则， 时，，时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 的图象如下图，所以在上无极值， 在上的最小值为， 若函数有两个不同的极值点，因此． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的极值点，主要由来进行研究，需要注意的是，是极值点的必要条件，但不是充分条件.分离常数法的运用，主要用于解决求参数的范围的问题. 四、解答题 本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 若. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令代入等式求出结果； （2）令代入等式，再结合第一问等式组成方程组求出结果； （3）先变形，再求含项的系数即可. 【小问1详解】 令，则，① 【小问2详解】 令，则，② 令，则， ， ； 【小问3详解】 ， 即为含项的系数，为， 则. 16. （1）一组学生共有5人，从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果? （3）书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的方法？ （4）一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生，从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种？ （5）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，有多少种不同的方法？ 【答案】（1）种（2）种（3）种（4）种（5）种 【解析】 【分析】（1）直接根据组合的概念可求出结果； （2）根据分步乘法计数原理列式可求出结果； （3）根据分步乘法计数原理列式可求出结果； （4）先选后排可求出结果； （5）利用间接法、捆绑法、插空法可求出结果. 【详解】（1）一组学生共有5人，从中选出3人参加一项活动，共有种选法. （2）争夺数学竞赛冠军有4种，争夺物理竞赛冠军有4种，争夺化学竞赛冠军有4种， 因此共有种不同的结果. （3）插入第一本书，有7种插法，插入第二本书，有8种插法，插入第三本书，有9种插法，因此共有种不同的方法. （4）一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生，从中选出男生2人，女生2人，共有种选法，再将选出的4人按照人数比为分成3组，有种分法，再将已经分好的3组人分给3项不同的活动，有种，所以共有种选法. （5）先排三位男生，有种排法，然后从三名女生中任取两名捆在一起，有种，然后把捆在一起的整体与剩下的一名女生插入到男士旁边4个位置的2个位置，有种，故3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有种， 又男生甲不在两端，其中甲在两端的情况有种， 故满足题意的排法有种. 17. 据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生） （1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率悬多大? （2）从这8名跟角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数的期望与方差； （3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从市的小学生中，随机选出20位小学生，记其中佩戴角膜塑形镜的人数为Y，求恰好时的概率（不用化简）及Y的方差. 【答案】（1） （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）由条件概率公式计算即可得解； （2）由题意可得的所有可能取值分别为：0，1，2，分别求出对应的概率，即可得分布列，从而求出期望与方差； （3）由已知可得，由二项分布的概率和方差公式计算即可得解． 【小问1详解】 解：设“这位小学生佩戴眼镜”为事件， “这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件， 所以， 所以若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜， 则他戴的是角膜塑形镜的概率是． 【小问2详解】 解：依题意可知：其中男生人数的所有可能取值分别为：0，1，2， 其中：；； ， 所以男生人数的分布列为： 0 1 2 所以， 【小问3详解】 解：由已知可得：， 则：，， 18. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程 （2）当时，求函数的极值 （3）若在上是单调增函数，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）极小值为，无极大值 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义函数的图象在点处的切线的斜率为，又，由直线的点斜式可得切线方程； （2）利用的正负讨论的单调性，即可求得函数的极值； （3）由在上是单调增函数，所以在上恒成立，则在上恒成立，又在上为单调递减函数，所以，可得. 【小问1详解】 当时，，定义域为， ，所以函数的图象在点处的切线的斜率为，又， 所以函数图象在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 ，令，解得， 当时，，当时，， 所以 在上是减函数，在上是增函数， 所以在处取得极小值，无极大值. 【小问3详解】 因为在上是单调增函数， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为在上为单调递减函数， 所以当时，取得最大值，即， 所以. 19. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）当时，求在上的最小值； （3）若在上存在零点，求的取值范围. 【答案】（1）极大值为，没有极小值. （2）0 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导函数求函数的极值； （2）根据导函数求函数的最值； （3）根据的导数，对进行分类，结合函数的单调性和极值可得的取值范围. 【小问1详解】 当时，，定义域：，， 令，则，变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 极大值 单调递减 则的极大值为：，没有极小值； 【小问2详解】 当时，，定义域：， ， 令，定义域：，， 则在上是增函数，则，所以， 即在上是增函数，则. 【小问3详解】 ，定义域：， ， 令，定义域：，， （1）当时，，则在上是减函数，则， 当时，，则在上是减函数，，不合题意； 当时，，，则存在，使，即， 变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 极大值 单调递减 则，只需，即； （2）当时，由（1）知在上是增函数，，不合题意； （3）当时，在上增函数，在上是增函数， 则在上是增函数，，不合题意， 综上所述，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届5月月考数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知离散型随机变量的分布列如下表，则其数学期望（ ） 1 2 4 0.2 0.6 A. 1 B. 0.2 C. 2.8 D. 3 2. 红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差．用一款红外体温计测量一位体温为36.9℃的人时，显示体温X服从正态分布，若X的值在内的概率约为0.9973，则n的值约为（ ） 参考数据：若，则． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 若函数，则的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 4. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（ ） A. B. C. D. 5 若，则（ ） A. 3或5 B. 3 C. 5 D. 以上答案均不对 6. 设函数f(x)的图象如图，则函数y＝f′(x)的图象可能是下图中的(　　) A. B. C. D. 7. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则，，大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9. 下列问题属于排列问题的是（ ） ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算． A. ① B. ② C. ③ D. ④ 10. 假设某市场供应的职能手机中，市场占有率和优质率的信息如下 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 优质率 在该市场中任意买一部手机，用，，分别表示买到智能手机为甲品牌､乙品牌，其他品牌，表示可买到的优质品，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数， 则下列说法正确的有（ ） A. 在单调递增 B. 为的一个极小值点 C. 无最大值 D. 有唯一零点 三、填空题 本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P(X＝1)＝________. 13. 的展开式中，含项的系数是______. 14. 若函数有两个不同的极值点，则实数a取值范围为______. 四、解答题 本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 若. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 16 （1）一组学生共有5人，从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果? （3）书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书顺序，有多少种不同的方法？ （4）一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生，从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种？ （5）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，有多少种不同的方法？ 17. 据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生） （1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率悬多大? （2）从这8名跟角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数的期望与方差； （3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从市的小学生中，随机选出20位小学生，记其中佩戴角膜塑形镜的人数为Y，求恰好时的概率（不用化简）及Y的方差. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程 （2）当时，求函数的极值 （3）若在上是单调增函数，求实数a的取值范围. 19. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）当时，求在上的最小值； （3）若在上存在零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$