暑假作业06 正方形性质与判断（5大题型巩固提升练+拓展能力练+仿真考场练）【暑假分层作业】-2024年八年级数学暑假培优练（人教版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业06正方形性质与判断类型题精练 知识点1．正方形的性质 （1）正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. （2）正方形的性质： 1）正方形具有平行四边形和菱形的所有性质。 2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等。 3）正方形对边平行且相等。 4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； 5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； 6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 知识点2 ．正方形的判定 1）有一个角是直角的菱形是正方形； 2）对角线相等的菱形是正方形； 3）一组邻边相等的矩形是正方形； 4）对角线互相垂直的矩形是正方形； 5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； 6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 题型一：应用正方形的性质求解 1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角 2．如图，正方形中，，直线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形中，，是的中点，将沿对折至，延长交于点，则的长是（    ） A．4 B． C．3 D． 4．如图，正方形、、、的边长分别为2、4、6、4，四个正方形按照如图所示的方式摆放，点、、分别位于正方形、、、对角线的交点，则阴影部分的面积和为（　　） A．12 B．13 C．14 D．18 5．如图，平面内直线，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为8的正方形，与y轴交于点D，，求点B的坐标． 7．一燕尾形纸片，如图所示，，延长，，分别交、与点，如图，沿，剪开纸片，恰好拼成一个正方形，如图，则在图中： （） 度． （） ． 题型二：应用正方形的性质证明 8．如图，为正方形内的一点，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．7 9．如图，已知四边形是正方形，点E、F分别在、上，与相交于点G，且． (1)求证：； (2)如果正方形的边长为5，，点H为的中点，连接．求的长． 10．（1）如图1，已知正方形，把一个直角与正方形叠合，使直角顶点与点A重合，当直角的一边与相交于点E，另一边与的延长线相交于点F时，求证：； （2）如图2，将图1中的直角改为，当的一边与的延长线相交于点E，另一边与的延长线相交于点F，连接，线段和之间有怎样的数量关系？请加以证明． 11．如图，矩形中，点在边上，，点在上，于点． (1)求证：； (2)若，探究线段，，的数量关系； (3)在（2）的条件下，，，求的长． 题型三：正方形的判定 12．如图，四边形的对角线，相交于点，，，则下列说法错误的是（    ） A．若，则四边形是矩形 B．若平分，则四边形是菱形 C．若且，则四边形是正方形 D．若且，则四边形是正方形 13．如图，在菱形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，能使菱形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 14．四边形的对角线和相交于点，设有下列条件：①；②；③与互相平分；④矩形；⑤菱形；⑥正方形，则下列推理成立的是（　　） A． B． C． D． 15．（23-24八年级下·广东汕尾·期中）如图，在中，，的平分线交于D，过点B作交的外角平分线于E． (1)求证：四边形是矩形； (2)直接写出当满足什么条件时，四边形是正方形． 16．如图，在三角形中，，垂足为点是三角形外角的平分线，，垂足为点． (1)求证：四边形为矩形； (2)当三角形满足什么条件时，四边形为正方形？（不用证明） 17．如图，在四边形中，对角线相交于点，延长至点E，使，连接． (1)当时，求证：； (2)当，且时，求证：四边形是正方形． 题型四：正方形的性质与判定的综合 18．如图，在中，已知，于点D． 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线，为对称轴，画出，的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长，相交于点G．请按照小明的思路，探究并解答下列问题：    (1)求证：四边形是正方形． (2)若，，试求出的长． 19．（2024·江苏宿迁·三模）如图， 在中，的平分线交于点D，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且， 直接写出四边形的面积． 20．如图①，在正方形中，点分别在上且．      (1)试探索线段的大小关系，写出你的结论并说明理由； (2)连接，分别取的中点，顺次连接，得到四边形： ①请在图②中补全图形； ②四边形是什么特殊平行四边形？请说明理由． 21．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，与相交点，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 22．提出问题：（1）如图1，已知在锐角中，分别以、为边向外作等腰直角和等腰直角，连接、，则线段与线段的数量关系是 ； （2）如图2，在中，，分别以边、向外作正方形和正方形，连接，，．猜想线段与线段的有什么关系？并说明理由．（提示：正方形的各边都相等，各角均为） （3）在（2）的条件下，探究与面积是否相等？说明理由． 题型五：中点四边形 23．如图，在四边形中，，点E、F、G、H分别是边、、、的中点，四边形是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 24．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边中点、、、，则四边形的周长为（    ）    A． B． C． D． 25．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ． 26．如图，已知第1个矩形的面积为，依次连接第1个矩形各边中点得到1个菱形，再依次连接菱形各边中点得到第2个矩形，按此方法继续下去，则第个矩形的面积为 ． 27．如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，则下列命题中：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中是真命题的序号是 ． 28．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形 29．如图，点，，在同一条直线上，正方形、正方形的边长分别为，，为线段的中点，则的长为 30．用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖边长为a，小正方形地砖边长为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形．则正方形的面积为 ．（用含a，b的代数式表示）       31．点在正方形的边上（不与点，重合），点关于直线的对称点为，作射线交交于点，连接． (1)求证：； (2)过点作交射线于点． ①求的度数； ②用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．    32．如图，在矩形中，，，点与点同时出发，点从点出发向点运动，运动到点停止，点从点出发向点运动，运动到点停止，点，的速度都是，连接，设点，的运动的时间为． (1)求当t为何值时，四边形是正方形； (2)求当t为何值时，； (3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值． 33．综合与实践 问题情境： 在一节几何探究课上，老师提出这样一个问题：在正方形中，E是对角线上一点，以为一边作正方形，点F恰好在边所在的直线上，连接，求证：． 观察思考： （1）如图1，当点F在边上时，请解答老师提出的问题． 探索发现： 受到老师的启发，综合与实践小组的同学进一步探究：H是的中点，连接． （2）如图2，在图1的基础上，试猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）当E是的三等分点，时，请直接写出的长． 34．在学完有关中点的复习课后，陈老师带领同学们探究这样一道几何题：正方形和正方形共顶点A，连接，取的中点M，连接．试探究的形状． 以下是智慧小组的探究过程． 【特例探究】如图1，点G在边上． 小明认为此时是等腰直角三角形，并给出了如下证明思路： 从M是的中点入手，延长交于点N，如图2． 通过证明，得到，． 由于，，故________． 所以是________． 再结合M是的中点从而可得结论． （1）横线处应填：________，________． 【类比探究】 （2）如图3，将正方形绕点A旋转，其他条件不变，在旋转过程中，试探究的形状是否发生变化，并就图3的情形说明理由． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，已知，，当点A，G，M在同一条直线上时，请直接写出线段的长． 35．问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断： （填“”或“” ； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： （2）如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为．那么与相等吗？证明你的结论； 问题拓展： （3）如图3，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，点在上，，直接写出的最小值为 　　． 36．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，已知正方形的边长为3，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则（    ）    A． B．2 C． D． 37．（2023·湖南·中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为 ．    38．（2023·山东青岛·中考真题）如图①，正方形的面积为1．    (1)如图②，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______； (2)如图③，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______； (3)延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______． ∵正方形的面积为1， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5； 39．（2023·江苏·中考真题）综合与实践 定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形． （1）概念理解： 当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（）与长的比值是_________． （2）操作验证： 用正方形纸片进行如下操作（如图（2））： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为； 第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为． 试说明：矩形是1阶奇妙矩形．   　　  　　  　　   （3）方法迁移： 用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注． （4）探究发现： 小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．    试卷第2页，共49页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业06正方形性质与判断类型题精练 知识点1．正方形的性质 （1）正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. （2）正方形的性质： 1）正方形具有平行四边形和菱形的所有性质。 2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等。 3）正方形对边平行且相等。 4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； 5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； 6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 知识点2 ．正方形的判定 1）有一个角是直角的菱形是正方形； 2）对角线相等的菱形是正方形； 3）一组邻边相等的矩形是正方形； 4）对角线互相垂直的矩形是正方形； 5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； 6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 题型一：应用正方形的性质求解 1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角 【答案】B 【详解】解：由题意知，对角线相等是矩形、正方形具有的性质，故A不符合要求； 对角线互相平分是矩形、菱形、正方形都具有的性质，故B符合要求； 对角线互相垂直是菱形、正方形具有的性质，故C不符合要求； 对角线平分对角是菱形、正方形具有的性质，故D不符合要求； 故选：B． 2．如图，正方形中，，直线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 故选：B． 3．如图，在正方形中，，是的中点，将沿对折至，延长交于点，则的长是（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， 在正方形中，，， 将沿对折至， ，，， ，， ， ， 设，则， 为的中点， ， ， 在中， 由勾股定理，得， ， 解得， ． 故选：B． 4．如图，正方形、、、的边长分别为2、4、6、4，四个正方形按照如图所示的方式摆放，点、、分别位于正方形、、、对角线的交点，则阴影部分的面积和为（　　） A．12 B．13 C．14 D．18 【答案】C 【详解】解：∵正方形具有中心对称性，则每一个阴影部分的面积为其所在的小正方形的面积的， ∴ = =14 故选：C． 5．如图，平面内直线，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为 ． 【答案】5 【详解】解：过点C作，交于点E，交于点F，如图， ∵直线，， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积为5． 故答案为：5． 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为8的正方形，与y轴交于点D，，求点B的坐标． 【答案】 【详解】解：如图，过B作轴于N，则， ∵四边形是边长为8的正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，则， ∵点B在第二象限， ∴点B的坐标为． 7．一燕尾形纸片，如图所示，，延长，，分别交、与点，如图，沿，剪开纸片，恰好拼成一个正方形，如图，则在图中： （） 度． （） ． 【答案】 【详解】解：（）∵四边形是正方形， ∴， 即， ∴， 故答案为：； （）由图可得，，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二：应用正方形的性质证明 8．如图，为正方形内的一点，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．7 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：B． 9．如图，已知四边形是正方形，点E、F分别在、上，与相交于点G，且． (1)求证：； (2)如果正方形的边长为5，，点H为的中点，连接．求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，点H为的中点， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵在中，， 根据勾股定理，得： ∴， ∴． 10．（1）如图1，已知正方形，把一个直角与正方形叠合，使直角顶点与点A重合，当直角的一边与相交于点E，另一边与的延长线相交于点F时，求证：； （2）如图2，将图1中的直角改为，当的一边与的延长线相交于点E，另一边与的延长线相交于点F，连接，线段和之间有怎样的数量关系？请加以证明． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析 【详解】解：（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2），证明如下： 过点作，交于点，如图： 由（1）可知：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 11．如图，矩形中，点在边上，，点在上，于点． (1)求证：； (2)若，探究线段，，的数量关系； (3)在（2）的条件下，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)． 【详解】（1）证明：， ， 矩形中，， ， ； （2）解：过点作于点． ． 矩形中，， ． 由（1）知， ． ，， ． ，， ， 矩形中，，， ， 由（1）知， 又， ，， ． ，， ． ． ． ； （3）解：由（2）知，， 又， ， ， ，， ． 在中，， 由（2）知，． ， 在中，， ， ， 解得． 题型三：正方形的判定 12．如图，四边形的对角线，相交于点，，，则下列说法错误的是（    ） A．若，则四边形是矩形 B．若平分，则四边形是菱形 C．若且，则四边形是正方形 D．若且，则四边形是正方形 【答案】D 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， 若，则四边形是矩形，故A选项不符合题意； 若平分， ∴ ∴ 则四边形是菱形，故B选项不符合题意； 若且，则四边形是正方形，故C选项不符合题意； 若且，则四边形是菱形，故D选项符合题意； 故选：D． 13．如图，在菱形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，能使菱形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等． 即或． 故选：B． 14．四边形的对角线和相交于点，设有下列条件：①；②；③与互相平分；④矩形；⑤菱形；⑥正方形，则下列推理成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、对角线相等的矩形不能得到正方形，故错误； B、对角线垂直的矩形是正方形，正确； C、对角线相等且垂直的四边形不一定是正方形，故错误； D、对角线相等且平分的四边形是矩形，但不但能得到菱形，故错误． 故选：B． 15．（23-24八年级下·广东汕尾·期中）如图，在中，，的平分线交于D，过点B作交的外角平分线于E． (1)求证：四边形是矩形； (2)直接写出当满足什么条件时，四边形是正方形． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，四边形是正方形．理由见解析 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴，， ∵是的外角平分线， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：当时，四边形是正方形．理由如下： ∵，平分，， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴矩形为正方形． 16．如图，在三角形中，，垂足为点是三角形外角的平分线，，垂足为点． (1)求证：四边形为矩形； (2)当三角形满足什么条件时，四边形为正方形？（不用证明） 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴平分， ∴， ∵是外角的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：当是等腰直角三角形时，四边形为正方形，理由如下： ∵是等腰直角三角形，， ∴， 由（1）知，四边形为矩形， ∴四边形为正方形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质与判定，正方形的判定，矩形的判定，角平分线的定义，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 17．如图，在四边形中，对角线相交于点，延长至点E，使，连接． (1)当时，求证：； (2)当，且时，求证：四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴平行四边形为菱形， ∴． ∵， ∴； （2）证明：如图，，， 由（1）可知四边形为平行四边形， ∴，，． ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴， ∴平行四边形为菱形． ∵， ∴， ∴菱形为正方形． 题型四：正方形的性质与判定的综合 18．如图，在中，已知，于点D． 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线，为对称轴，画出，的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长，相交于点G．请按照小明的思路，探究并解答下列问题：    (1)求证：四边形是正方形． (2)若，，试求出的长． 【答案】(1)见解析(2)2或3 【详解】（1）解：根据题意得，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵ ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：设， ∵，，矩形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， 即或． 19．（2024·江苏宿迁·三模）如图， 在中，的平分线交于点D，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且， 直接写出四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析(2)2 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形． （2）解：， 四边形是正方形， ， ， 四边形的面积为：． 20．如图①，在正方形中，点分别在上且．      (1)试探索线段的大小关系，写出你的结论并说明理由； (2)连接，分别取的中点，顺次连接，得到四边形： ①请在图②中补全图形； ②四边形是什么特殊平行四边形？请说明理由． 【答案】(1)，说明理由见解析(2)①请在图②中补全图形见解析；②四边形是正边形，说明理由见解析 【详解】（1）解：． ∵是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①补全图形如图，    ②四边形是正方形． ∵H、I、J、K分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【点睛】此题主要考查正方形的判定的方法与性质和菱形的判定，及全等三角形的判定等知识点的综合运用． 21．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，与相交点，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)是定值为1 【详解】（1）证明：如图，过点分别作，垂足分别为点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：四边形的面积为定值，理由如下： ∵矩形为正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，     所以，四边形的面积为定值1． 22．提出问题：（1）如图1，已知在锐角中，分别以、为边向外作等腰直角和等腰直角，连接、，则线段与线段的数量关系是 ； （2）如图2，在中，，分别以边、向外作正方形和正方形，连接，，．猜想线段与线段的有什么关系？并说明理由．（提示：正方形的各边都相等，各角均为） （3）在（2）的条件下，探究与面积是否相等？说明理由． 【答案】（1）；（2），，见解析；（3），见解析 【详解】解：（1）∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形， ∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝90°， ∴∠DAC＝∠BAE， ∴△ADC≌△ABE（SAS）， ∴BE＝CD， 故答案为： ； （2），；理由如下： 如图，设AB与CE的交点为P， ∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形， ∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC＝90°，， ， ， 在和中，， ， ，， ，， ， ； 即：，； （3）如图，过点作交延长线于； ， ，， ， 在和中，， ， ， ， ． 题型五：中点四边形 23．如图，在四边形中，，点E、F、G、H分别是边、、、的中点，四边形是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【详解】解：∵点E、F、G、H分别是边、、、的中点， ∴，，，，， 且， 四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 故选：C． 24．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边中点、、、，则四边形的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：如图，连接、，相交于点，   点分别是边的中点， ，， ，同理， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ，， 对角线互相垂直， ， ， ，， 是等边三角形， ， 在中，，， ， ， ，， 四边形的周长为． 故选：C． 25．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ． 【答案】正方形 【详解】解：如图所示： 在中，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理，，． ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 设与交于点，与交于点， 在中，，分别是，的中点， ∴，同理， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形 26．如图，已知第1个矩形的面积为，依次连接第1个矩形各边中点得到1个菱形，再依次连接菱形各边中点得到第2个矩形，按此方法继续下去，则第个矩形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图， 由轴对称的性质可得： 第一个菱形的面积为：， 第二个矩形的面积为第一个矩形面积的； 第三个矩形的面积是第一个矩形面积的； … 故第n个矩形的面积为第一个矩形面积的． ∴第n个矩形的面积为． 故答案为． 27．如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，则下列命题中：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中是真命题的序号是 ． 【答案】④ 【详解】解：∵点 E、F、G、H分别是四边形边边、、、的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ①当时，则， 则四边形为菱形，①说法错误； ②当时，则， 则四边形为矩形，②说法错误； ③四边形一定是平行四边形，与不一定互相平分，③说法错误； ④当四边形是正方形时，与互相垂直且相等，④说法正确； 故答案为：④． 28．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形 【答案】D 【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意； B、四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意； D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 29．如图，点，，在同一条直线上，正方形、正方形的边长分别为，，为线段的中点，则的长为 【答案】 【详解】解：连接，如图所示， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ∴， ∵H为线段的中点， ∴， ∵正方形，正方形的边长分别为，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 30．用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖边长为a，小正方形地砖边长为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形．则正方形的面积为 ．（用含a，b的代数式表示）    【答案】/ 【详解】解：如图，连接，，    ∵A、B、C、D是正方形的中心， ∴， ， ，， ， ， ， 正方形的面积． 故答案为：． 31．点在正方形的边上（不与点，重合），点关于直线的对称点为，作射线交交于点，连接． (1)求证：； (2)过点作交射线于点． ①求的度数； ②用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析；(2)；，理由见解析． 【详解】（1）∵四边形是正方形, ∴，即， ∵，关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）连接， ∵，关于对称， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ，理由： 过点作于点，    ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，关于对称， ∴， ∴． 32．如图，在矩形中，，，点与点同时出发，点从点出发向点运动，运动到点停止，点从点出发向点运动，运动到点停止，点，的速度都是，连接，设点，的运动的时间为． (1)求当t为何值时，四边形是正方形； (2)求当t为何值时，； (3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1） 在矩形中，，， ，， 设经过后四边形是正方形， 则，， 在矩形中，，， 当时，四边形是正方形， ，解得， 故当时，四边形是正方形； （2），， 四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形， ， 由（1）知， ，解得， 故当时，； （3） 四边形为平行四边形， 四边形的面积， ，解得， ，， 四边形的周长， 矩形的周长， 矩形的周长与四边形的周长的比值为． 33．综合与实践 问题情境： 在一节几何探究课上，老师提出这样一个问题：在正方形中，E是对角线上一点，以为一边作正方形，点F恰好在边所在的直线上，连接，求证：． 观察思考： （1）如图1，当点F在边上时，请解答老师提出的问题． 探索发现： 受到老师的启发，综合与实践小组的同学进一步探究：H是的中点，连接． （2）如图2，在图1的基础上，试猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）当E是的三等分点，时，请直接写出的长． 【答案】（1）见详解；（2）；（3）或 【详解】证明：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：过点E作的平行线交的延长线于点M，过点E作的平行线交于点N， ∵， ∴， ∵， ∵点H为中点， ∴， ∴， ∴，， 即 ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； （3）当点E靠近点A时，如图： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， 由（2）得， ∴； 当点E靠近点C时，如图： 此时， 同（2）可得 ∴， ∴， 综上所述，或． 34．在学完有关中点的复习课后，陈老师带领同学们探究这样一道几何题：正方形和正方形共顶点A，连接，取的中点M，连接．试探究的形状． 以下是智慧小组的探究过程． 【特例探究】如图1，点G在边上． 小明认为此时是等腰直角三角形，并给出了如下证明思路： 从M是的中点入手，延长交于点N，如图2． 通过证明，得到，． 由于，，故________． 所以是________． 再结合M是的中点从而可得结论． （1）横线处应填：________，________． 【类比探究】 （2）如图3，将正方形绕点A旋转，其他条件不变，在旋转过程中，试探究的形状是否发生变化，并就图3的情形说明理由． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，已知，，当点A，G，M在同一条直线上时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），等腰直角三角形    （2）仍是等腰直角三角形，不发生变化，理由见解析（3）或 【详解】解：（1）由于，，故， 所以是等腰直角三角形， 故答案为：，等腰直角三角形； （2）不发生改变，理由如下： 过点C作的平行线，交的延长线于点P，连接，如图所示． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形都是正方形， ∴， ∴， 过点作于点，则：，设与的交点为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 又∵， ∴，且， ∴为等腰直角三角形； （3）①当点M在线段的延长线上时，如图所示． 由(2)，可知是等腰直角三角形， ∴设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得或（舍去）． ∴． ②当点M在线段的延长线上时，如图所示． 同理，可得． 综上所述，或． 35．问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断： （填“”或“” ； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： （2）如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为．那么与相等吗？证明你的结论； 问题拓展： （3）如图3，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，点在上，，直接写出的最小值为 　　． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）①是，理由见解析；② 【详解】解：（1）， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：； （2），理由如下： 如图2，过点作，交于点，交于点， ， ， 四边形是正方形， ，，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）①如图3，连接， 由（2）的结论可知，， 四边形是正方形，是正方形的对角线， ，， ， ， ，， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 菱形是正方形； ②如图4，作交的延长线于点，作于点， ， 由上知四边形是正方形， ，，， ， ， ， ，； ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； 如图4，作关于的对称点，则，过点作交延长线于点， 则是等腰直角三角形， ，即当，，三点共线时，最小，最小值为的长． ， ， ， ， ， ， ，即的最小值为． 故答案为：． 36．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，已知正方形的边长为3，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则（    ）    A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图：    连接， 四边形是正方形， ，， ，，， 四边形是矩形， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， 故选：． 37．（2023·湖南·中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【详解】解：如图所示，      依题意，， ∴图中阴影部分的面积为 故答案为：． 38．（2023·山东青岛·中考真题）如图①，正方形的面积为1．    (1)如图②，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______； (2)如图③，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______； (3)延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______． 【答案】(1)(2)5(3) 【详解】（1）解：∵正方形的面积为1， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2） ∵正方形的面积为1， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5； （3）∵正方形的面积为1， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 39．（2023·江苏·中考真题）综合与实践 定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形． （1）概念理解： 当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（）与长的比值是_________． （2）操作验证： 用正方形纸片进行如下操作（如图（2））： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为； 第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为． 试说明：矩形是1阶奇妙矩形．   　　  　　  　　   （3）方法迁移： 用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注． （4）探究发现： 小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【详解】解：（1）当时，， 故答案为：． （2）如图（2），连接，    设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得 设，则 根据折叠，可得，， 在中，， ∴， 在中， ∴ 解得： ∴ ∴矩形是1阶奇妙矩形． （3）用正方形纸片进行如下操作（如图）： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，再对折，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为； 第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为． 矩形是2阶奇妙矩形，    理由如下，连接，设正方形的边长为，根据折叠可得，则，    设，则 根据折叠，可得，， 在中，， ∴， 在中， ∴ 解得： ∴ 当时， ∴矩形是2阶奇妙矩形． （4）如图（4），连接诶，设正方形的边长为1，设，则，    设，则 根据折叠，可得，， 在中，， ∴， 在中， ∴ 整理得， ∴四边形的边长为 矩形的周长为， ∴四边形的周长与矩形的周长比值总是定值 试卷第2页，共49页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$