第5章指数函数与对数函数学案-2023-2024学年高一下学期高教版(2021)中职数学基础模块下册

第5章 指数函数与对数函数 5.1 实数指数幂 【要点梳理】 1.根式 （1）根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 ，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个 ，负数的n次方根是一个 。 零的n次方根是 。 当n为偶数时 正数的n次方根有 个，它们互为 。 ± 负数没有偶次方根 （2）两个重要公式 ①＝ ②()n＝ (注意a必须使有意义)。 2．分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是＝ a＞0，m，n∈N*，n＞1)。 (2)正数的负分数指数幂是a -＝ (a＞0，m，n∈N*，n＞1)。 (3)0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义。 3．实数指数幂的运算性质 （1）ar·as＝ (a＞0，r、s∈R)； （2）(ar)s＝ (a＞0，r、s∈R)； （3）(ab)r＝ (a＞0，b＞0，r∈R)． （4）= 。 【典例剖析】 例1 将下列各分数指数幂携程根式的形式（其中） （1） （2） （3） 解析：根式与分数指数幂互化的规律 (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 答案：（1）n=3，m=2，故； （2）n=4，m=5，故； （3）n=7，m=3， 变式1 化简()－的结果是(　 　) A． 　　　　　　　　B． C．3 D．5 变式2 把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0. ①；②；③；④. 例2 计算：(2)0＋2－2·(2)－－(0.01)0.5＝ ； [解析]1.幂的运算的常规方法 (1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数； (2)化根式为分数指数幂； (3)化小数为分数． 2．分数指数幂及根式化简结果的具体要求 利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数． 答案：原式＝1＋×()－()＝1＋－＝. 变式3 计算下列各式（式中字母均为正数）。 ①(0.064) －－(－)0＋[(－2)3] －＋16－0.75； ②－＋＋[(0.064)－2.5]－π0. 【小试牛刀】 1.将根式写成分数指数幂的形式是 2.将根式写成分数指数幂的形式是 3．64的6次方根是 ，计算64－的值是 ． 4.－的结果是(　 　) A．2 B．－2 C．±2 D．以上都不对 5．下列各式正确的是(　 　) A．＝ B．＝a C．＝ D．a0＝1 6.已知，为任意实数，则下列算式错误的是(　　) A． B． C． D． 7.已知，为任意实数，则下列算式正确的是(　　) A. B． C． D． 8.对任意实数x，y，下列正确的是( ) A． B． C． D． 9.已知a>0且a≠1，x和y均为任意实数，则下列各式错误的是(　　) A． B． C． D． 5.2 指数函数 【要点梳理】 1.指数函数性质 函数 () a>1 0<a<1 图像 性质 定义域 值域 定点 单调性 函数值变化情况 当 x>0时， 当x=0时， 当 x<0时， 当 x>0时， 当x=0时， 当 x<0时， 2. 函数的定义域求法： 分式 分母不为 偶次根式 使根号内的式子 或 由几个部分的数学式子构成的 使各部分都有意义，求 集 指数指数 【典例解析】 例1 若函数的图像如图所示，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 依据指数函数的图像和性质可知为增函数，则. 变式1 指数函数的图像大致是(　　) 例2 求下列函数的定义域. （1） （2） 【答案】见解析 【解析】（1）要使函数有意义，则，即，则,所以，该函数的定义域为 （2）要使函数有意义，则，即，则,所以，该函数的定义域为 变式2 求下列函数的定义域. （2） （2） 例3 判断下列函数在R上的单调性 （1） （2） （3） 【答案】（1）单调递增 （2）单调递减 （3）单调递增 【解析】（1）指数函数的底数，故函数在R上单调递增； （2） 函数，由于底数，故函数在R上单调递减； （3） 函数，由于底数，故函数在R上单调递增. 变式3 如果在R上单调递减，则实数的取值范围为 . 【小试牛刀】 1.指数函数的图像经过（3，27），则的值是（ ） A.3 B.9 C. D. 2.若，则下列不等式成立的有(　　) A． B． C． D． 3.下列函数不是指数函数的是(　　) A． B． C． D． 4.已知指数函数的图像过点(2，16)，则＝(　　) A． B． C．2 D．4 5.函数的定义域为(　　) A． (－∞，0)∪(0，＋∞) B．(－∞，0]∪[0，＋∞) C．(－∞，0] D．(0，＋∞) 6.已知，则＝________ 7.若正数满足，则的取值范围是________ 8.若，则的取值范围是________ 9.幂函数f(x)的图象过点(3，)，则f(x)＝ 5.3 对数 【要点梳理】 对数概念 如果ab=N(a>0，且a≠1)，那么b叫做以a为底N的对数，记作： . 对数性质 ①底的对数等于_____，即logaa=1. ② 1的对数等于_____，即loga1=0. ③ 零和负数_________. 对数恒等式 ；(N>0,a>0且a≠1) 运算法则 ①积的对数：loga(M·N)= ；(M>0，N>0) ②商的对数：= ；(M>0，N>0) ③幂的对数：loga M n = ；(M>0，n∈R) 常用对数和自然对数 ①以10为底的对数，记作lgN； ②以 e 为底的对数，记作lnN . 换底公式 __________________； 推论：（1）logab·logba= ；（2） ； 【典例解析】 例1 将下列对数式化成指数式： （1）； （2）； （3）； 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】解：(1)因为，所以有：. (2)因为，所以有：. (3)因为，所以有：. 变式1 将下列指数式化成对数式： （1）； （2）； （3）． 例2 求下列对数的值. (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)1 (2)0 (3)1 (4)0 【解析】(1) （1） （2） （3） 因为，所以 变式2 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 例3 若，则下列各式正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依据积、商、幂的对数运算法则，. 变式3 下列选项正确的是(　　) A． B． C． D．lg56＝lg7·lg8 例4 比较大小. (1) 与 （2）与 （3）与 【答案】（1）< （2）> （3）< 【解析】解（1）在上为单调增函数，因为2<3,所以. （2） 在上为单调减函数，因为0.2<0.6,所以. （3） 由（1）（2）的分析可知，即所以. 变式4 已知，则实数的取值范围（ ） A. B.(3,5) C. D(0,1) 例5 若，则函数的图像恒过定点________. 【答案】(3,0) 【解析】依据对数函数图像过定点(1，0)的性质，令x－2＝1，即x＝3时，函数的图像恒过定点(3，0). 变式5 若，则函数的图像恒过定点________. 例6 已知，那么=（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为，所以，则x=2，故选B. 变式6 求式中的的值为 . 【小试牛刀】 1．已知函数，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2.（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.（ ） A． B．0 C．1 D．10 4.已知，则＝（ ） A．9 B．36 C．64 D．81 5.已知，则（ ） A. B. C. D. 6.下列计算中结果正确的是（ ） A． B． C． D． 7.已知，则的值为（    ） A．3 B． C．4 D． 8.已知方程的两根为，，则（ ） A． B．1 C．2 D． 9.下列运算不正确的是(　　) A． B． C． D． 5.4 对数函数 【要点梳理】 函数 () a>1 0<a<1 图像 性质 定义域 值域 定点 单调性 函数值变化情况 当 x>0时， 当x=0时， 当 x<0时， 当 x>0时， 当x=0时， 当 x<0时， 【典例解析】 例1.下列函数表达式中，是对数函数的有(　 　) ①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝lnx；⑤y＝log2(x＋1)． A．1个　　 B．2个　　　 C．3个　 D．4个 【答案】　根据对数函数的定义进行判断．由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0且a≠1，∴②不是对数函数； 由于⑤的真数为 (x＋1)，∴⑤也不是对数函数； 只有③、④符合对数函数的定义． 【方法归纳】　对于对数概念要注意以下两点： (1)在函数的定义中，a>0且a≠1. (2)在解析式y＝logax中，logax的系数必须为1，真数必须为x，底数a必须是大于0且不等于1的常数． 变式1 指出下列函数中，哪些是对数函数？ ①y＝5x； ②y＝－log3x； ③y＝log0.5； ④y＝； 例2 求下列函数的定义域. (1) (2) (3) 【答案】见解析 【解析】(1)，所以该函数的定义域为; （2） ，所以，该函数的定义域为； （3） ，所以，该函数的定义域为. 变式2 函数y＝lg (x＋1)的定义域为(　　) A．[－1，1] B．(－1，1) C．(－∞，1) D．(－1，＋∞) 例3 若对数函数且）的图象经过点，则实数 . 【答案】2 【解析】将点代入得，解得，故答案为：2. 变式3 若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝ . 例4 比较大小. (2) 与 （2）与 （3）与 【答案】（1）< （2）> （3）< 【解析】解（1）在上为单调增函数，因为2<3,所以. （4） 在上为单调减函数，因为0.2<0.6,所以. （5） 由（1）（2）的分析可知，即所以. 变式4 已知，则实数的取值范围（ ） A. B.(3,5) C. D(0,1) 【小试牛刀】 1.下列函数是对数函数的是（ ） A． B． C． D． 2.若a= ,b=,,则 (　　) A.a>b>c B.c>b>a C.a>c>b D.c>a>b 3.已知指数函数在上单调递增，则实数的值为（       ） A． B．1 C． D．2 4.函数f(x)＝ln(1－x)的定义域是(　 　) A．(0，1) B．[0，1) C．(1，＋∞) D．(－∞，1) 5.函数y＝的定义域是(　 　) A．[1，＋∞) B．(，＋∞) C．(1，＋∞) D．(，1] 6.函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是(　 ) A．(0，＋∞)　　　　　　B．(－∞，1) C．(0，1) D．(1，＋∞) 7.已知，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 8. 的解集是(　　) A.{x|x>1} B.{x|x>2或x<-2} C.{x|x<1} D.{x|-2<x<2} 9.函数曲线恒过定点（ ） A． B． C． D． 第5章自我检测 1.下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2.已知，则 （ ） A． B． C． D． 3.设，下列计算中正确的是（ ） A． B． C． D． 4.已知函数，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 5.方程的解是（    ） A．1 B．2 C．e D．3 6.若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7.（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8.函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 9.已知，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 10.是定义在R上的偶函数，单调递增，，，，则（ ） A． B． C． D． 11.若函数是指数函数，则等于（       ） A．或 B． C． D． 12.函数的图象恒过定点（ ） A． B． C． D． 13.已知，则（       ） A． B． C． D． 14.已知函数，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 15.的值是 ． 16.，不等式成立的x的集合是_______________ 17.化简________． 18．已知函数，则 19.不等式的解集是 . 20.若指数函数的图象经过点，则 ． 21.计算： （1） （2） （3） （4） 22.下列函数的定义域 （1） ； （2）； （3） . 23.已知函数 （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性． 24.已知函数，，满足. （1）求函数的解析式；（2）求函数的值域. 25.某公司2021年的销售收入为200万元，计划今年后每年按15%的增长率增长。试建立指数增长模型，并预测2024年该公司的销售收入为多少万元（精确到0.1万元）。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章直线与圆的方程 6.1 两点间距离公式和线段的中点坐标公式 【要点梳理】 1．数轴上A，B两点的距离 数轴上点A的坐标为，点B的坐标为，则A，B两点间的距离： 。 2．两点间的距离公式 在平面直角坐标系中，两点，之间的距离公式为： 。 3．线段的中点坐标公式 若点A，B的坐标分别为，，线段AB的中点M的坐标为：（ ， ）。 【典例解析】 例1 已知点A（a,3）、B（7，-1）的距离为5，求a的值。 分析 将A、B两点坐标直接带入两点间距离公式，可求得a。 答案 由，即，解得a=4或a=10。 变式1 若平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（1,0）、（0，-3）、（2，-1），求对角线交点O的坐标和顶点D的坐标。 例2 已知点，则线段AB的中点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得：线段AB的中点坐标为，即，故选：A. 变式2 已知线段的端点及中点，则点的坐标（     ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 1.已知两点，则 ，线段的中点坐标为 。 2.已知两点，则 ，线段AB的中点坐标为 。 3.已知点A（2，y）关于点P（-1,3）的对称点是B（x，-3），则x= ，y= 。 4.已知y轴上一点P与点A（2，-3）的距离等于，则点P的坐标为 。 5.已知两点，且，则m=（ ） A.-2 B.6 C.-1或6 D.-6或2 6.点关于点的对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 7.已知点是点和连线的中点，求实数m和a的值。 6.2 直线的方程 【要点梳理】 1.直线的倾斜角 ①定义 一条直线向上的方向与轴 所形成的最小正角，称为直线的倾斜角。 规定：直线与轴平行或重合时，= °。 ②倾斜角的取值范围是{| ≤< }。 2.直线的斜率 ①定义 倾斜角的 称为直线的斜率．斜率通常用k表示，即k＝ (≠90°)。 ②斜率的坐标计算公式 设，为直线上的任意两点，则直线的斜率k＝ 。 【注意】　当＝90°时，，斜率k不存在，此时直线与x轴 。 当k>0时，为 角；当k<0时，为 角；当k＝0时，＝ °。 3.直线的截距 横截距：直线与x轴交于点A(a，0)，则 为直线在x轴上的截距，也称为横截距。 纵截距：直线与y轴交于点B(0，b)，则 为直线在y轴上的截距，也称为纵截距。 【注意】　当直线经过原点时，a＝b＝0；截距是一个数，可正可负，也可为零。 4.直线的方程 (1)直线的点斜式方程 设直线经过点，且斜率为k，则直线方程表示为 。 (2)直线的斜截式方程 设直线的纵截距为b，且斜率为k，则直线方程表示为 。 (3)直线的一般式方程： (A和B不全为零)。 【典例解析】 例1 过，两点的直线的倾斜角是（       ） A．45 B．60° C．120° D．135° 【答案】D 【解析】由已知直线的斜率为，，所以倾斜角，故选：D. 变式1 已知点，，则直线的倾斜角为（    ） A．30 B．60 C．120 D．150 例2 直线的倾斜角为______． 【答案】 【解析】直线的斜率为1，设直线的倾斜角为，，则，所以，故答案为：. 变式2 一次函数所表示直线的倾斜角为（       ） A．30° B．150° C．120° D．60° 例3 已知，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由两点的斜率计算公式计算即可. 【详解】由题意，，所以直线的斜率为. 故选：A. 变式3 经过，两点的直线的斜率是（    ） A．2 B． C． D． 例4 直线在x轴、y轴上的截距分别为（    ） A．6，2 B．－6，2 C．－6，－2 D．6，－2 【答案】B 【分析】根据截距的定义计算即可. 【详解】令，令， 所以直线在x轴、y轴上的截距分别为－6，2. 故选：B 变式4 直线在轴上的截距为 例5 根据下列条件，写出直线方程： （1）倾斜角为且在y轴上的截距为，直线的方程； （2）经过点且在x轴上的截距为3的直线方程； （3）经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线方程； （4）经过点，倾斜角为的直线方程。 【答案】；；x＋5y－27＝0；。 【解析】 （1）因为直线l的倾斜角为，所以，又因为直线在y轴上的截距为，所以直线方程为：.故答案为：. （2）当斜率不存在时，直线为：，横截距为-1，不符合题意； 当斜率存在时，设其为k，直线可设为：.由在x轴上的截距为3，可得：，解得：，所以直线方程为：.故答案为：. （3）由两点式得直线方程为＝，即x＋5y－27＝0。 （4）利用直线的点斜式方程和一般式方程的定义求解。因为直线斜率为， 所以该直线方程为，即。 变式5 根据下列条件，写出直线的方程： （1）经过点(－1,1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程； （2）过点，的直线方程； （3）过点，倾斜角为45°的直线方程； （4）过点A(5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程。 【小试牛刀】 1．在下列四个命题中，正确的是（　　） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是[0，π] C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为45度 D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα 2．已知直线的倾斜角是，则此直线的斜率是（     ） A． B． C． D． 3．直线的横截距与纵截距分别为（     ） A．2， B．2，1 C．4， D．4，2 4.直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 5.直线的斜率为（    ） A．不存在 B． C． D． 6.在轴、轴上的截距分别是、3的直线方程为（     ） A． B． C． D． 7.过两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 8.若直线l的方程是，则（       ） A．直线经过点，斜率为； B．直线经过点，斜率为； C．直线经过点，斜率为； D．直线经过点，斜率为1. 9.如下图，直线的方程是（       ） A． B． C． D． 6.3 两条直线的位置关系 【要点梳理】 1.两直线的位置关系(平行、重合、相交) 直线方程 平行 ， 重合 ， 相交 垂直 2.点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线：的距离d= 。 【典例解析】 例1 直线与直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．异面 【答案】A 【解析】直线方程化为，直线斜率为2，纵截距为， 直线方程化为，直线斜率为2，纵截距为， 两直线斜率相等，纵截距不相等，两直线平行． 故选：A． 变式1 已知直线：与：，则这两条直线的位置关系是（） A．重合 B．平行 C．垂直 D．不能确定 例2 已知直线的倾斜角为，直线经过点、，则直线、的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【解析】由题意可知直线的斜率，直线的斜率． 因为，所以，或、重合． 故选：A. 变式2 直线与直线的位置关系是（     ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定 例3 若直线：与直线：垂直，则实数的值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 【答案】B 【解析】因直线：与直线：垂直，则有，解得. 故选：B 变式3 当a为何值时，直线：与直线平行？ 例4 已知三条边所在的直线方程分别为，，，则边上的高所在直线方程为： ． 【答案】 【解析】由，解得点坐标为．因为直线的斜率为，所以边上的高所在直线的斜率为，所以边上的高所在直线的方程为，即． 变式4 经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线方程为____ ____。 例5 点 到直线的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点 到直线的距离为： 故选：B. 变式5 已知点到直线的距离不大于，求实数的取值范围． 例6 两直线：与：间的距离为______． 【答案】1 【解析】因为直线：与：平行， 由两平行线间的距离公式可得：， 故答案为：. 变式6 已知直线与，其中k､.若直线，则与间距离的最小值是___________. 【小试牛刀】 1.平面直角坐标系中，两条不重合直线的斜率都是0时，两条直线的位置关系是 。 2.经过点且平行于直线的直线方程是 。 3.经过点且与直线平行的直线方程是 。 4.若直线与直线平行，则a= 。 5.若直线与直线垂直，则k= 。 6.若直线与倾斜角为的直线垂直，则直线的斜率是 。 7.直线与直线的交点坐标为 。 8.过点且与直线垂直的直线的方程是 。 9.坐标原点到直线的距离为 。 10.点到直线的距离为 。 11.点到直线的距离为 。 12.点P为x轴上一点，点p到直线对的距离为6，则点P的坐标为 。 13.直线与直线的位置关系是（　　） A．相交 B．重合 C．平行 D．垂直 14.直线，的斜率是方程的两个根，则（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定 15.若直线与直线平行，则（    ） A．或 B． C． D．0 16.已知直线：，：相交于点P，则P到直线l：的距离为（    ） A． B． C． D． 6.4 圆 【要点梳理】 1.圆的标准方程 我们把方程称为圆心为 半径为 的圆的标准方程。 若圆心为坐标原点，半径为r，则圆的标准方程为 。 2.圆的一般式方程 对于方程 （为常数），当时，方程叫做圆的一般方程。 ①，方程表示以 为圆心，以 为半径的圆； ②，方程表示一个点 ③，方程不表示任何图形 【典例解析】 例1 以为圆心，4为半径的圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，写出圆的标准方程即得. 【详解】由圆心坐标为，半径为4，得所求圆的标准方程为. 故选：B 变式1 圆心为，半径是的圆标准方程为 。 例2 圆(x－1)2＋(y＋)2＝1的圆心坐标是(　　) A．(1，) B．(－1，) C．(1，－) D．(－1，－) 【答案】C 【解析】由圆的标准方程(x－1)2＋(y＋)2＝1，得圆心坐标为(1，－)．故选：C. 变式2 圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2,3)　　　　　　　　　 B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 【答案】D 【解析】圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为，即(2，－3)．故选：D. 例3 圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的标准方程为(　　) A．(x－2)2＋(y－3)2＝16 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝16 C．(x＋2)2＋(y－3)2＝16 D．(x＋2)2＋(y＋3)2＝16 【答案】C 【解析】将x2＋y2＋4x－6y－3＝0配方，易得(x＋2)2＋(y－3)2＝16.故选：C 变式3 已知圆的方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，圆心坐标为(5,0)，则它的半径为(　　) A．3 B. C．5 D．4 例4 圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)，则圆的标准方程为________。 【答案】x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25 【解析】设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)， 又r＝5，∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. 故答案为：x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25 变式4 已知直线与两坐标轴分别交于点，，求以线段为直径的圆的方程。 【小试牛刀】 1.平面内到点的距离为的点的轨迹方程为 。 2.圆的圆心坐标为 ，半径为 。 3.以点为圆心、半径r=6的圆的标准方程为 。 4.若圆的圆心坐标为，且一条直径的两个端点M、N分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为 。 5.圆的一般方程为，则圆心坐标为 ，半径为 。 6.圆的一般方程为，则圆心坐标为 ，半径为 。 7.以点为圆心、2为半径的圆的一般方程是 。 8.以点为圆心、3为半径的圆的一般方程是 。 9.已知圆心为 的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 10.若圆C与圆关于原点对称，则圆C的方程是（   ） A． B． C． D． 11.已知过原点的圆，其圆心为 ，则该圆的标准方程是（    ） A. B． C． D． 12.己知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6.5 直线和圆的位置关系 【要点梳理】 1、直线与圆的位置关系 （1）直线与圆的位置关系有 ， ， 。 （3）直线与圆位置关系的判定方法： ① 代数法：联立直线与圆的方程，得到关于x或y的一元二次方程，利用判别式△来讨论位置关系。 当时，直线与圆______； 当时，直线与圆______； 当时，直线与圆______。 ② 几何法：比较圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断。 当，直线与圆______； 当，直线与圆______； 当，直线与圆______。 2、 直线与圆相切：在平面直角坐标系中，给定一个点P和圆C，则有： （1）当点P在圆C上时，过点P可以作 条直线与圆C相切； （2）当点P在圆C外时，过点P可以作 条直线与圆C相切； （3）当点P在圆C内时，过点P可以作 条直线与圆C相切。 3、直线与圆相交的弦长： 在平面直角坐标系中，若直线与圆相交于P、Q两点，设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则相交的弦长为 。 【典例解析】 例1 直线l：与圆C：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】A 【分析】利用圆心到直线的距离与半径比较大小可得答案. 【详解】圆C的圆心坐标为，半径为2，直线l的方程为， 圆心到直线l的距离为， 所以直线l与圆C的位置关系是相交. 故选：A. 变式1 若直线与圆 相切，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 例2 圆在点处的切线方程为（    ） A. B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出，从而由斜率乘积为-1得到切线斜率，利用点斜式写出切线方程，得到答案. 【详解】因为，所以在圆上， 的圆心为， 故， 设圆在点处的切线方程斜率为， 故，解得， 所以圆在点处的切线方程为， 变形得到，即. 故选：A 变式2 过圆上点的切线方程为 。 【小试牛刀】 1.圆的圆心到直线的距离为 。 2.圆与直线的位置关系是 。 3.经过点且与圆C：相切的直线有 条，切线的斜率为 ， 切线方程为 。 4.经过点有 条直线与圆C：相切，设切点为A，则 。 5.若直线与圆相切，则 。 6.直线3x＋4y＋12＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是(　　) A．相交并且直线过圆心　　 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 7.过点作圆的切线，则切线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 8.直线与圆有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 9.已知点在圆上，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 10.已知圆与直线相切，则（       ） A． B． C． D． 11.已知圆经过，，且圆心在直线上。 （1）求圆的标准方程； （2）若直线：与圆无公共点，求实数的取值范围。 第6章自我检测 1.已知点，则线段的中点坐标为 。 2.已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角为 。 3.斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为 。 4.已知直线l在x轴、y轴上的截距分别为，，则直线l的一般式方程为 。 5.若直线：与直线：平行，则实数 。 6.点到直线的距离是 。 7.直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B．1 C． D．2 8.直线3x＋4y＋12＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是(　　) A．相交并且直线过圆心　　 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 9.过点作圆的切线，则切线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 10.如图所示，直线已知，则直线的方程是（） A. B. C. D. 11. 若直线互相垂直，则实数a的值为(　　) A．8 B．-8 C． D． 12.如图所示，直线 的方程是（ ） A. B. C. D. 13.已知直线的图像如图所示，则角 是（ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 14.直线 第一、二、四象限的充要条件为(　　) A. B. C. D. 15. 已知两直线平行，则实数 的值是 (　　)。 A.-7或-1 B.7或1 C.-7 D.-1 16.若直线 与直线平行，则（  ） A． B．且 C．且 D．且 17.求经过直线x+y-1=0和x-2y+1=0的交点，且与2x-y+2=0平行的直线方程。 18.已知圆心为 的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 19.求经过点的圆的切线方程 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章简单几何体 7.1 多面体 【要点梳理】 1、由 围成的封闭的几何体称为多面体。围成多面体的各个多边形称为多面体的 ，相邻两个面的公共边称为多面体的 ， 的公共点称为多面体的顶点。 2、棱柱的概念：有两个面 ，其余面都是 的多面体称为棱柱。其中，两个互相平行的面称为棱柱的 面，其余的面称为棱柱的 。两个侧面的公共边称为棱柱的 。侧棱与底面的交点称为棱柱的 。不在同一底面或侧面上的两个顶点的连线称为棱柱的 。两个底面间的距离称为棱柱的 。侧棱不垂直于底面的棱柱称为 棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱称为 棱柱。 3、正棱柱的概念：底面为 多边形的 棱柱称为 棱柱。 正棱柱的主要性质： （1） 两个底面是 且 的 多边形； （2） 侧面都是 的矩形； （3） 侧棱 于底面，各侧棱都 ，侧棱与高 。 4、直棱柱的侧面积、表面积和体积。 （1） 将直棱柱的 面沿某一条侧棱展开在一个平面上所得到的图形为 ，它的面积就是直棱柱的侧面积，直棱柱的 面积与 面积之和就是直棱柱的表面积； （2） 直棱柱的侧面积计算公式 ； （3） 直棱柱的表面积计算公式 。 （4） 直棱柱的体积计算公式： 。 5、用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤： （1） 在已知图形中取互相垂直的两条直线作x轴和y轴，两轴相交于点0。画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y‘轴，两轴相交于点0'，且使∠x'O'y'= ，它们确定的平面表示水平面。 （2） 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成 于x'轴和y'轴的线段；已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中的长度 ；平行于y轴的线段，在直观图中的长度 。 （3） 对照平面图，在直观图上找到相应的端点逐一连接，擦去x'轴、y'轴及其他辅助线。 6、用斜二测画法画空间图形的直观图的步骤： （1） 画底面，这时使用平面图形的 画法即可； （2） 画z’轴，'轴过点O'，且与x'轴的夹角为 ，并画出高线（与原图高线 ，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图； （3） 擦去辅助线，被遮线用 表示或者不画。 7、 棱锥的概念：一个面是多边形，其余面都是 ，并且这些 形有 的多面体，称为棱锥。 称为棱锥的底面（简称底），其余 称为棱锥的侧面，相邻侧面的公共边称为棱锥的 ，各侧面的公共点称为棱锥的 ，从 到 的距离称为棱锥的高。 8、正棱锥的概念：底面是 多边形，顶点在底面内的投影是底面的 的棱锥，称为正棱锥。正棱锥侧面三角形的高称为棱锥的 。 正棱锥的性质： （1）各条侧棱 ，斜高 ，侧面是 三角形； （2）顶点到底面中心的连线 于底面，是正棱锥的 ； （3）正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的投影组成一个 三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面的投影构成一个 三角形。 9、正棱锥的侧面积、表面积和体积。 （1）正棱锥的侧面积计算公式： ； 正棱锥的表面积计算公式： 。 （2） 对于底面积和高都相等的棱柱与棱锥，棱锥的体积是棱柱体积的 。棱锥体积的计算公式： 。 【典例解析】 例1 下列结论正确的是（ ） A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．水平放置的三角形的直观图是三角形 D．水平放置的菱形的直观图是菱形 【答案】C. 【解析】对于A，相等的角在直观图中不一定相等，如一个等腰直角三角形，画出直观图后不是等腰直角三角形，故错误； 对于B，相等的线段在直观图中不一定相等，如正方形在直观图中是平行四边形，邻边不相等，故错误； 对于C，三角形的直观图仍然是三角形，正确． 对于D，菱形的直观图不一定是菱形，也可能是矩形，故错误；故选C． 变式1 下列关于直观图的斜二测画法的说法，不正确的是（    ） A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变 B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的 C．画与直角坐标系对应的 时，∠必须是45° D．在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同 例2一个正方形的直观图是个平行四边形，如图其中有一边长为4，则此正方形的面积是___。 【答案】16或64.. 【解析】若，则正方形边长为4，其面积为16；若，则正方形边长为8，面积为64.故答案为：16或64. 变式2 已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图面积为(　　) A. B. C. D. 例3 已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为2，则该四棱锥的表面积等于 。 【答案】. 【解析】设正四棱锥的侧面高为 ，由题意知：，则正四棱锥的侧面积为，底面面积为1；∴该四棱锥的表面积为. 变式3 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，若，则该四棱锥的体积为（    ）    A．48 B．18 C．16 D．8 【小试牛刀】 1、 四棱柱有 条棱， 个顶点。 2、 如果某棱柱有5个面，那么它有 条侧棱， 个顶点。 3、 一正棱柱有10个顶点，那么它是正 棱柱，若其所有的侧棱长的和为40cm，则每条侧棱长为 cm。 4、 在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点A（2，0），在直观图上的对应点是点A'，则点A'的坐标为 。 5、 一个棱锥至少有 个面，面数最少的棱锥有个 顶点，有 条棱。 6、 由6个面围成的几何体，其中一个面是五边形，其余5个面都是有一个公共点的三角形，那么该几何体是 。 7、 棱长都是4的三棱锥的表面积为 。 8、 下列说法错误的是 。 （1） 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； （2） 正棱锥的侧面是等边三角形； （3） 正三棱锥的底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形。 9、下列关于斜二测画法所得直观图的说法中正确的有（  ） ①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形； ③菱形的直观图是菱形；④正方形的直观图是正方形。 A． ① B．①② C．③④ D．①②③④ 10、如图四个几何体中是棱锥的选项是（       ） A． B． C． D． 11、下列结论不正确的是（       ） A．长方体是平行六面体 B．正方体是正四棱柱 C．平行六面体是四棱柱 D．直四棱柱是长方体 12、用平行于棱柱侧棱的一个平面去截棱柱，所得的截面是____ ___。 13、棱长为1的正四面体的表面积是（       ） A． B． C． D． 14、所有棱长均为2的正三棱锥的体积为____ ___。 15、已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥。 （1）求它的表面积； （2）求它的体积. 7.2 旋转体 【要点梳理】 1、 圆柱的概念：以 的一条边所在直线为旋转轴，其余各边绕轴旋转所形成的封闭几何体，称为圆柱。 称为圆柱的 轴， 于轴的边旋转形成的圆面称为圆柱的底面。 于轴的高母线边旋转而成的曲面称为圆柱的侧面，通常用 来表示圆柱。 圆柱的结构特征： （1） 两个底面是半径 的圆，平行于底面的横截面是与底面 的圆； （2） 母线 ，并且 圆柱的高； （3） 过轴的截面（ ）是 ，其长为圆柱的 ，宽为底面的 。 2、 圆柱的表面积和体积。 圆柱的侧面展开图是一个 ，它的边长分别是 和 。 同时 就是圆柱的侧面积。 （1） 圆柱的侧面积的计算公式： ，表面积的计算公式： （2） 圆柱的体积的计算公式： 。 3、 圆锥的概念：以 的一条 边所在直线为轴，其余各边绕轴旋转形成的封闭几何体称为圆锥。 称为圆锥的轴， 旋转形成的圆面称为圆锥的底面， 旋转而成的曲面称为圆锥的侧面， 同时 称为圆锥的母线。母线与轴的交点称为 。顶点到底面圆心的距离称为圆锥的 。 圆锥的结构特征： （1） 底面以及平行于底面的截面都是 ； （2） 高 于底面圆，且过 ； （3） 轴截面为 ，高是圆锥的 ，腰是圆锥的 ，底边是底面圆的 。 4、 圆锥的表面积和体积。 圆锥的侧面展开图是一个 ，其底面圆的周长是 ，扇形的半径是 ，因此 的面积即为圆锥的侧面积。 （1） 圆锥的侧面积的计算公式： 。 （2） 圆锥的表面积的计算公式： 。 （3） 对于底面积和高都相等的圆柱与圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的 。圆锥体积的计算公式： 。 5、 球的概念。 半圆绕着它的 所在直线旋转一周，半圆弧线形成的曲面称为半圆绕着它的球面，球面所围成的几何体称为 ，简称 。半圆的圆心称为 ，连接球心和球面上任意一点的线段称为 。通常用 表示球。 6、 球截面。 用一个平面截球0，截面是 ，这个圆面称为 。 球心的平面截球所得的圆称为球的大圆， 球心的平面截球所得的圆称为球的小圆。 当球截面是小圆时： （1） 球截面的圆心与球心的连线 于球截面； （2） 设球心O到球截面圆心O'的连线长为d，球的半径为R，球截面的半径为r， 则 。 7、 球的表面积和体积。 若R为球的半径，则球的表面积公式： ；体积的公式 。 【典例解析】 例1 铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（       ） A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球挖去一个正方体 【答案】B 【解析】半圆及其内部旋转一周后所得几何体为球，而矩形及其内部绕一边旋转后所得几何体为圆柱，故题设中的平面图形绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱，故选：B. 变式1 下列平面图形中，通过围绕定直线旋转可得到如图几何体的是（       ） A． B． C． D． 变式2 长方形的两边长分别为和，将其绕一边进行旋转，得到不同圆柱的种数为（       ） A． B． C． D． 变式3 下列平面图形中，绕轴旋转一周得到如图所示的空间图形的是（    ） A． B． C． D． 例2 已知圆锥的高与底面圆半径相等，若底面圆的面积为1，则该圆锥的侧面积是 。 【答案】. 【解析】设圆锥的底面圆半径为 ，高为 ，母线为 ，则底面圆的面积为1； ∴. 变式4 若一个圆锥的侧面展开图是面积为8π的半圆面，则该圆锥体积为 。 例3 用宽2厘米、长3厘米的矩形卷一个圆柱，则此圆柱的侧面积为（       ）平方厘米。 A．5 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【解析】用一个宽2厘米、长3厘米的矩形卷一个圆柱，所以此圆柱的侧面积为矩形的面积平方厘米，故选：B. 变式5 已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（       ） A． B． C． D． 例4 圆锥的底面半径为1，侧面展开图是个圆心角为120°的扇形，该圆锥的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆锥的母线长为，则，解得，则该圆锥的表面积为，故选：C. 变式6 圆锥的表面积为，侧面展开图是圆心角为的扇形，该圆锥的体积为___________. 例5 已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为，由 ，则，则圆锥的体积为 ，故选：A 变式7 已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（       ） A． B． C． D． 例6 表面积为24的正方体的顶点都在一个球面上，则该球的体积为____________。 【答案】 【解析】设正方体的棱长为a，则，得，设球的半径为R，则，即．所以球的体积．故答案为： 变式8 如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（          ） A． B． C． D． 例7 若球、的表面积之比，则它们的体积之比 。 【答案】8 【解析】设球、的半径分别为、，则可得即，∴，故答案为：8． 变式9 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱体积比是（       ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 1、圆柱的底面半径为3 ，母线为4，则侧面积为 。 2、矩形长为，宽为，将该矩形卷成圆柱的侧面，那么圆柱的底面积为 。 3、圆锥底面的周长为，母线长为2，则该圆锥的体积为 。 4、若圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的侧面积为 。 5、已知球的半径为2CM，则其表面积为 ，体积为 。 6、若球的半径扩大至原来的3倍，则其表面积为原来的 倍，体积为原来的 倍。 7、球的半径为13，平面截球所得截面圆半径是5，截面圆的圆心与球之间的距离为 。 8、圆锥的母线长是3，侧面积是，则该圆锥的高为（       ） A． B． C．2 D． 9、若一个球的体积为4π，则它的表面积为（        ） A．3π B．12 C．12π D．36π 10、圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 11、某圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 12、若圆锥侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则这个圆锥表面积与侧面积的比为（    ） A． B． C． D． 13、已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图扇形的圆心角为，则圆锥的母线长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 14、已知圆柱的底面半径是3，高是4，那么圆柱的侧面积是（    ） A． B． C． D． 15、如图，圆柱的底面半径是2，高是3，则这个圆柱的体积是（    ）    A． B． C． D． 16、一个圆柱的体积是36，它的底面积是18，它的高是（     ） A． B．2 C．6 D．18 17、如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论不正确的是（    ） A．圈柱的侧面积为 B．圆柱的侧面积与球面面积相等 C．圆锥的侧面积为 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小 18、设球的大圆的面积是，求球的表面积和体积。 7.3 简单几何体的三视图 【要点梳理】 三视图 概念 规律 主视图 从物体的 向 投影所得到的视图 （1） 位置： 主视图画在 位置， 左视图画在主视图的 ， 俯视图画在主视图的 。 （2）投影规律： ①主视图与俯视图的 相同，即“ ” ②左视图和主视图的 相同，即“ ” ③俯视图与左视图的 相同，即“ ” （3）画线规则： ①能看见的轮廓线用 表示； ②看不见的轮廓线用 表示。 左视图 从物体的 向 投影所得到的视图 俯视图 从物体的 向 投影所得到的视图 【小试牛刀】 1．下列物体的主视图、俯视图和左视图不全是圆的是（    ） A．橄榄球 B．乒乓球 C．篮球 D．排球 2．已知球的俯视图面积为，则该球的表面积为 3．已知一个三棱柱（底面是正三角形）的直观图如图所示，则该几何体的正视图是（    ）    A．   B．  C．  D．   4．如图是某几何体的三视图，该几何体是（    ）    A． 三棱柱 B． 三棱锥 C． 圆锥 D．圆柱 5．如图所示，该几何体是由一个长方体木块锯成的. （1）判断该几何体是否为棱柱； （2）画出它的三视图. 6．画出该几何体的主视图、左视图、俯视图． 7．一个几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图可能是（    ）    A．①② B．②④ C．①②④ D．②③④ 8．某几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都是边长分别为1和2的矩形，俯视图是半径为1的四分之一个圆，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 9．画出如图所示的三棱柱的三视图。 第7章 自我检测 1、用一个平面去截一个几何体，得到的截面不可能是圆的几何体是（　　） A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．三棱锥 2、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是下面的（    ） A． B． C． D． 3、已知一个圆锥的三视图如图，该圆锥的内切球也是棱长为的正四面体的外接球，则此正四面体的表面积为（    ） A． B． C． D． 4、下列命题中真命题的序号为______ ________。 ①直棱柱的侧棱长与高相等； ②直棱柱的侧面及过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形； ③如果棱柱有一个侧面是矩形，那么它是直棱柱； ④正棱锥的侧面是正三角形； ⑤正棱锥的各侧面与底面所成二面角均相等。 5、（1）已知正四棱柱的底面边长为4cm，高为5cm，则这个正四棱柱的侧面积为_____，表面积为 ，体积为 ； （2）设正三棱锥高为1，底面边长为4，则它的斜高为 ，侧面积为 ，全面积为 ，体积为 ； （3）已知圆锥的母线长为l，A为顶点，BC为底面圆的直径，∠ABC=60°，则圆锥的侧面积为 ，体积为 ； （4）已知球的大圆周长为6πcm，则球的表面积为 ，体积为 ； （5）已知圆柱的底面半径为4cm，高为10cm，则该圆柱的全面积为 。 6、（1）若球的表面积变为原来的2倍，则球的体积变为原来的 倍； （2）已知圆锥的高等于底面半径，若底面圆的面积是1，则该圆锥的侧面积是 ； （3）底面半径为2，高为4的圆柱，它的侧面积为 ； （4）若圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的体积为 ； （5）一个正四棱锥的高和底面边长都是4，则它的侧面积为 ，体积为 。 7、正方体的内切球和外接球的半径之比为 。 8、（1）已知球的半径为5，一个平面截球得一小圆半径为r，且球心到截面的距离为3，则小圆的面积为 ； （2）已知球的表面积为8π，此球面上有A,B,C三点，且AB=AC=，BC=2，则球心到平面ABC的距离为 。 9、已知一个几何体（正方体挖去一个圆锥）的直观图如图所示，说出它的结构特征并画出它的三视图。    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章概率与统计初步 8.1 随机事件 【要点梳理】 1.随机事件和确定事件 （1）在条件S下， 的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件。 （2）条件S下， 的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件。 （3）必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件。 （4）条件S下， 的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件。 2.概率与频率 （1）概率与频率的概念： 在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的 ，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的 。 （2） 概率与频率的关系： 对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用 来估计概率P(A)。 4.概率的几个基本性质 （1）概率的取值范围： 。 （2）必然事件的概率：P(A)＝ 。 （3）不可能事件的概率：P(A)＝ 。 （4）概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝ _。 （5）对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件。 P(A∪B)＝ ，P(A)＝ 。 【典例解析】 例1　（1）从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　　) A．“至少有1个白球”和“都是红球”B．“至少有2个白球”和“至多有1个红球” C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D．“至多有1个白球”和“都是红球” （2）从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数，其中： ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。 上述事件中，是对立事件的是(　 　) A．① B．②④ C．③ D．①③ [解析]　(1)对于选项A，“至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件，不符合题意；对于选项B，“至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的，而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球，或者2个都是白球，二者不是互斥事件，不符合题意；对于选项C，“恰有1个白球”表示取出2个球1个红球1个白球，与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事件，符合题意；对于选项D，“至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球，或者2个都是红球，与“都是红球”不是互斥事件，不符合题意．故选C． (2)从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，2个奇数，2个偶数．其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或2个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件．又①中的事件可以同时发生，不是对立事件，故选C． 变式1 抽查10件产品，设事件A为“至少有2件次品”，则事件A的对立事件为(　 　) A．至多有2件次品 B．至多有1件次品 C．至多有2件正品 D．至少有2件正品 例2 （1）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　 　) A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 [解析]　设事件A为“不用现金支付”，事件B为“既用现金支付也用非现金支付”，事件C为“只用现金支付”，则P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.15－0.45＝0.4故选B． （2）O为正方形ABCD的中心，O，A，B，C，D中任取3点，取到3点共线的概率为(　　) A． B． C． D． [解析]　O，A，B，C，D中任取3点，共有C＝10种， 即OAB，OAC，OAD，OBC，OBD，OCD，ABC，ABD，ACD，BCD十种， 其中共线为A，O，C和B，O，D两种， 故取到的3点共线的概率为P＝＝，故选A． 变式2 （1）某公司欲派甲、乙、丙3人到A，B两个城市出差，每人只去1个城市，且每个城市必须有人去，则A城市恰好只有甲去的概率为(　 　) A． B． C． D． （2）某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买。 ①估计顾客同时购买乙和丙的概率； ②估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率； 　　　　　商品 顾客人数　　　 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × 【小试牛刀】 1. 判断题： （1）抛一枚硬上这个随机试验的样本点为“正面向上”和“反面向上”，样本空间。 （2）盒子里有3个黑色小球和4个白色小球，任取3个小球，一定既有黑色又有白色。 （3）抛掷两颗骰子，点数之和为13，这是不可能事件。 （4）抛掷一颗骰子，掷出点数的所有可能的结果组成的集合是样本空间 （5）过马路时恰好遇到红灯的概率小于1 （6）某药厂生产一款新药，抽检时新药品的合格率为120%。 （7）一名篮球运动员投篮10次，投中3次，由此可知，该运动员投中的概率为0.3。 （8）频率和概率的数值一定是相等的。 2.填空题 （1）抛掷一枚硬币100次，出现“正面向上”的次数为46，那么46是此试验的 ，0.46是此试验的 。 （2）在“劝君莫惜金缕衣，劝君惜取少年时，好花堪折直须折，莫待无花空折枝”中，汉字“花”字出现的频率是 。 （3）小丽的身高将会达到5m，这个事件的概率为 。 （4）将一块铁加热到100℃，它会熔化，这个事件的概率为5.将一个实心铁球抛到湖里，铁球沉入湖底的概率为 。 8.2 古典概型 【要点梳理】 1.古典概型的定义 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。 (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件 。 (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性 。 2.古典概型的概率公式 P(A)＝ 。 【典例解析】 例1（1）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　 　) A． B． C． D． （2）有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出3个，则取出的球的编号互不相同的概率是(　 　) A． B． C． D． （3）在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A，B，C三个小区志愿者中各选取2人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作．若每个小区安排2人，则每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排的志愿者来自不同小区的概率为(　 　) A． B． C． D． [解析]　(1)画出树状图如图： 所有的基本事件共有25个，满足题意的基本事件有10个，故所求概率P＝＝.故选D． (2)选A(3)选C 变式1 （1）甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，则甲、乙两人中至少有一人站在两端的概率为(　 　) A． B． C． D． （2）十二生肖，又称十二属相，中国古人拿十二种动物来配十二地支，组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相．现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是 。 [解析]　(1)选A．(2) 【小试牛刀】 1、超市的货架上有ABCDEF六个品牌的牛奶，每种牛奶数量相同，则随机抽到c品牌牛奶的概率为 。 2.从标有数字1.2.…10的十张卡片中任意抽取一张，抽取卡片上的数字是奇数的概率为 。 3.下列试验是古典概型的是 。 (1)某小组有男生3人、女生2人，从中任选一人担任小组长； (2)口袋中有质地、大小完全相同的7个球，从中任取一球； (3)从一副花色都朝上的扑克牌中拿出大、小王。 4.抛掷一颗骰子，点数是偶数的概率为 。 5.一个密封的盒子里有编号为0~9的10个小球，从中随机取出一个，编号不大于1的概率为 。 6.在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这3个数字的和大于6”这一事件是(　 　) A．必然事件　　B．不可能事件 C．随机事件　　D．以上选项均不正确 7.某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次10环，3次9环，4次8环，1次脱靶，在这次练习中，这个人中靶的频率是 ，中9环的概率是 。 8.手表实际上是个转盘，一天二十四小时，分针指到哪个数字的概率最大(　 　) A．12 　B．6 C．1　　D．12个数字概率相等 9.甲队和乙队进行足球比赛，两队踢成平局的概率是，乙队获胜的概率是，则甲队不输的概率是(　 　) A．　　 　B． C．　 　D． 10.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　 　) A．0.3　　 B．0.4 C．0.6　　 D．0.7 11.抛掷两颗质地均匀的骰子，求以下几种情况的概率。 （1）两颗骰子的点数之和为12。 （2）两颗骰子的点数之积为12。 （3）两颗骰子的点数之差的绝对值比3大。 12.从数字1、2、3、4、5中任取两个不同的数字组成一个两位数，求以下几种情况的概率。 （1）这个两位数大于40； （2）这个两位数是偶数； （3）这个两位数能被3整除。 8.3 概率的简单性质 【要点梳理】 事件的关系与计算 定义 符号表示 并事件（和事件） 若某事件发生 ，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件） 交事件（积事件） 若某事件发生 ，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件） 互斥事件 若A∩B为 事件， 则称事件A与事件B互斥 对立事件 若A∩B为 事件，A∪B为 ，则称事件A与事件B互为对立事件 【典例解析】 例1 在一个不透明的盒子里有红色小球5个、黄色小球7个、蓝色小球机拿出一个小球，现从中随机拿出一个小球，事件A={取到红色小球}，事件B={取到黄色小球}，求事件C={取到的小球不是蓝色的}的概率。 解析 事件C是事件A与事件B的和事件，且事件A与事件B互斥，因此可用互斥事件的概率加法公式求解。 解：因为，， 所以， 即事件C={取到的小球不是蓝色的}的 变式1 在不包含大、小王的52张扑克牌中随机抽取1张牌，事件A={取到红桃牌}，事件B={取到红方块牌}，求事件C={取到红色牌}的概率。 例2 衣柜里有5件衬衫、6件外套，从中任取两件，讨论下列给出的哪一组事件是互斥事件。 （1） 事件A={取出的两件都是衬衫}与事件B={取出的两件都是外套}； （2） 事件C={恰有一件是衬衫}与事件D={至少一件是外套}； （3） 事件E={至少一件是衬衫}与事件F={至多一件是外套}。 分析 （1） 事件A与事件B不可能同时发生； （2） 事件D包含“一件衬衫和一件外套”“两件都是外套”两种情况，因此，它与事件C可能同时发生，也可能不同时发生； （3） 事件E和事件F都包含“一件衬衫和一件外套”“两件都是衬衫”两种情况，因此，两事件所描述的是同一个意思，即可能同时发生。只有（1）中的事件A、B为互斥事件。 变式2 抛掷一颗质地均匀的骰子，求事件C={点数为偶数或1}的概率。 【小试牛刀】 1、 某随机事件A发生的概率是0.51，那么该事件不发生的概率是 。 2、 某射击运动员在一次射击中命中10环、9环的概率分别是0.71、0.28，那么他击中环数比9环成绩差的概率是 。 3、 箱子里有7枚大小质地相同但颜色不同的棋子，分别是红色、白色、黄色、蓝色、绿色、紫色、黑色，随机抽取一枚，抽到红色或白色棋子的概率为 。 4、 甲、乙两人下棋，两人下成“和棋”的概率是，甲获胜的概率是，则甲输棋的概率为 。 5、 设事件A，B为互斥事件，且，，则 。 6、 抛掷一颗质地均匀的骰子，求事件C={出现奇数点或4点}的概率。 8.4 抽样方法 【要点梳理】 1．简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N个个体，从中 抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都 ，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。 最常用的简单随机抽样方法是抽签法。 抽签法(抓阄法)：一般地，抽签法就是把总体中的N个个体 ，把号码写在 上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中 ，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。 简单随机抽样有 的优点，在总体个数 的情况下是行之有效的。 2．系统抽样 一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样： ①先将总体的N个个体 。有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等； ②确定分段间隔k，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取 ，如果遇到不是整数的情况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除； ③在第1段用简单随机抽样方法确定 l(l≤k)； ④按照一定的规则 。通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本。 当总体中元素个数 时，常采用简单随机抽样，当总体中元素个数较多时，常采用 。 3．分层抽样 （1）分层抽样的概念： 一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的 ，从 独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，即是一种分层抽样。 （2）当总体是由 几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法。 （3）分层抽样时，每个个体被抽到的机会是 。 【典例解析】 例1 为了了解霍城县江苏中学高二年级参加数学测试的1000名学生的数学成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析，在这个问题中，被抽取的200名学生是（    ） A．总体 B．个体 C．样本 D．样本量 【答案】C 【解析】在这个问题中，1000名学生是总体，被抽取的200名学生是样本，每个学生是个体，样本量为200， 故选：C. 变式1 为检查某校学生心理健康情况，市教委从该校名学生中随机抽查名学生，检查他们心理健康程度，则下列说法正确的是（    ） A．名学生的心理健康情况是总体 B．每个学生是个体 C．名学生是总体的一个样本 D．名学生为样本容量 例2 对总数为N的一批零件抽取一个容量为15的样本，若每个零件被抽到的概率为0.25，则N的值为（    ） A．60 B．100 C．75 D．50 【答案】A 【解析】每个零件被抽取的概率都相等，，． 故选：A． 变式2 某医院对某学校高三年级的600名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为50的样本，己知女生比男生少抽了10人，则该年级的女生人数是_________． 例3 2022年7月24日，搭载问天实验舱的长征五号B遥三运载火箭，在我国文昌航天发射场成功发射，我国的航天事业又上了一个新的台阶．某市长虹中学现有高一学生440人，高二学生400人，高三学生420人，为了调查该校学生对我国航天事业的了解程度，现从三个年级中采用分层抽样的方式抽取63人填写调查问卷，则高二年级被抽中的人数为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】A 【解析】高一，高二，高三三个年级学生人数的比例为， 所以高二年级被抽中的人数为， 故选：A. 变式3 某高校有2400名毕业生参加国家公务员考试，其中专科生有200人，本科生1000人，研究生有1200人，现用分层抽样的方法调查这些学生利用因特网查找学习资料的情况，从中抽取一个容量为的样本，已知从专科生中抽取的人数为10人，则等于（    ） A．100 B．200 C．120 D．400 例4 中国福利彩票“双色球”中的红色球号码区的33个号码分别为01，02，…，33.一位彩民用随机数法从红色球号码区的33个号码中选取6个号码.选取方法是从下面的随机数表中第1行第6列开始，从左向右读数，则依次选出来的第4个号码为________. 【答案】16 【解析】依次选出来的号码依次为21，32，09，16，第四个是16. 故答案为：16. 变式4 某校高三（1）班有56名学生，学号为01到56，现采用随机数表法从该班抽取8名学生参与问卷调查，已知随机数表中第2行和第3行的各数如下： 98  29  32  60  57  34  81  32  08  92  15  64  59  72  08  26 75  90  86  73  51  98  75  81  70  09  16  21  80  89  79  30 若从随机数表的第2行第5列的数开始向右读，则抽取的第6名学生的学号是（    ） A．08 B．26 C．51 D．09 例5 现要完成下列2项抽样调查： ①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查； ②东方中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本． 较为合理的抽样方法是（    ） A．①抽签法，②分层随机抽样 B．①随机数法，②分层随机抽样 C．①随机数法，②抽签法 D．①抽签法， ②随机数法 【答案】A 【解析】①总体较少，宜用抽签法；②各层间差异明显，宜用分层随机抽样． 故选：A． 变式5 现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；②报告厅有32排，每排有40个座位. 有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了调查听众对报告会的意见，需要请32名听众进行座谈；③平罗中学共有360名教职工，其中专职教师300名，行政教辅人员36名，后勤人员名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为60的样本．较为合理的抽样方法是（    ） A． ①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样 B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样 C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样 D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样 【小试牛刀】 1、某社区医院在一周内为3900人接种了新型冠状病毒疫苗，相关研究人员针对每一位接种者在接种前和接种后分别做了各项监测，并记录在“留观监测表”上，现准备从3900份“留观监测表”中抽取390份做临床研究。此案例中的样本为 ，样本容量为 。 2、已知某手机制造企业七月份生产智能手机50000台，从中抽取1000台进行质量检测，其中，50000台智能手机是 ；每一台智能手机是 ；被抽取的1000台智能手机是 ；样本容量是 。 3、某职业学校2100名新生参加了入学体能测试，从中抽取140名新生的体能测试成绩进行调研，其中2100名新生的体能测试成绩是 ；每一名新生的体能测试成绩是 ；被抽取的140名新生的体能测试成绩是 ；样本容量为 。4、为了解某厂200台扫地机器人的质量，把这200台扫地机器人编上序号，然后用抽签的方法取40台，这种抽样方法是 ，这种抽样方法抽取的样本 代表性（填“具有”或“不具有”）。 5、若采用系统抽样的方法，从个体数为2400的总体中抽取一个容量为60的样本，则分段间隔为 。 6、一个年级共有20个班，每个班学生的学号都是1~50，为交流学习经验，要求每个班中学号为22的学生参加座谈会，这里采用的抽样方法是 。 7、某质检员拟采用系统抽样的方法从200件产品中抽取40件产品质检。将200件产品按1—200进行编号，按编号顺序平均分成40组，即1-5，6—10，...，196—200。若第1组中用抽签法确定的号码是3号，那么第34组应抽取的号码是 。 8、用系统抽样的方法从180名学生中抽取容量为20的样本。将180名学生按1—180进行编号，按编号顺序平均分成20组，即1—9，10—18，...，172—180，若第1组中用抽签法确定的号码是6号，那么第16组应抽取的号码是 。 9、某专家想针对学生的睡眠质量进行调研，他选取小学、初中、高中各1所学校，共计5000人，其中小学有学生2000人，初中有学生1600人，高中有学生1400人，现从3所学校的所有学生中随机选取100人进行问卷调查，此次选取100人应采用的抽样方法是 。 10、A公司生产草莓、香蕉、葡萄三种不同口味的口香糖，草莓、香蕉、葡萄口味的口香糖产量之比为1：3：6，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中草莓口味的口香糖为50袋，那么样本容量n为 。 11、某公司研发I型、Ⅱ型、Ⅲ型三种产品共900件，其中Ⅲ型产品300件，Ⅲ型产品的数量是Ⅱ型产品的3倍，检测员为检测产品，采用分层抽样的方法进行样本抽取，在抽取的样本中I型产品有10件，那么该样本中Ⅱ型产品有 件。 12、某学校老、中、青教师共有215人，其中青年教师80人，中年教师人数是老教师人数的2倍，为了解教师的身体健康情况，现采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有青年教师16人，则该样本中的老教师人数为 。 13、某工厂生产A、B、C三种不同类型的产品，A、B、C三种产品的数量之比为3：4：13，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A产品有15件，那么样本容量n为 。 8.5 统计图表 【要点梳理】 名称 概念 频数、频率 将一批数据按要求分为若干个组，各组内数据的个数，叫作该组的频数.每组频数除以全体数据个数的商叫作该组的频率.频率反映该组数据在样本中所占比例的大小 样本的频率分布 根据随机所抽样本的大小，分别计算某一事件出现的频率，这些频率的分布规律(取值状况)就叫作样本的频率分布 极差 若一组数据的最小值为a，最大值为b，则b-a的差就叫作极差 组距 把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离称为组距 频率直方图的制作步骤： (1)求极差（即一组数据中 与 的差） (2)决定组距与组数 组距是指每个小组的 之间的距离。为方便起见一般取等长组距，并且组距的选择应力求“取整”。极差、组距、组数有如下关系： 若为 ，则 组数；若不为整数，则[]+ =组数。 (3)将数据分组：通常对组内数据所在区间取左 右 区间，最后一组取 区间。 (4)列频率分布表：统计各组数据的 ，计算频率，填入表格中，完成频率分布表。 (5)画频率直方图：画图时，横轴表示 ，纵轴（小长方形的高）表示 。 在频率分布直方图中，纵轴表示 ，数据落在各小组内的频率用各小长方形的 表示，各小长方形的面积总和等于 。 【典例解析】 例1 为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20 000人，并根据所得数据画出样本的频率直方图如图所示(最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值)．现按月收入分层，用分层抽样的方法在这20 000人中抽出200人做进一步调查，则月收入在[1 500，2 000)(单位：元)内的应抽取 人． 【答案】40 【解析】月收入在[1 500，2 000)内的频率为1－(0.000 2＋0.000 5×2＋0.000 3＋0.000 1)×500＝0.2，故应抽取200×0.2＝40(人)， 故答案为：. 变式1 某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布的直方图如下： （1）求图中的的值； （2）若得分在分及以上的学生都有奖品，试估计这次能力测评的获奖率； （3）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，根据频率直方图估计此次能力测评全部同学的平均成绩。 变式2 某工厂对200个电子元件的使用寿命进行检查，按照使用寿命（单位：h），可以把这批电子元件分成第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组.由于工作中不慎将部分数据丢失，现有以下部分图表： 使用 寿命 频数 30 20 频率 0.2 0.4 （1）求图2中A的值； （2）补全图2频率分布直方图，并求图2中阴影部分的面积； （3）为了某次展销会，用分层抽样的方法在寿命位于内的产品中抽取5个作为样本，那么在内应抽取多少个？ 【小试牛刀】 1、现对某班50名学生的身高进行统计，160~162cm的有5名，则身高在160~162cm的频率为 。 2、某工厂生产一批零件，现要对这批零件的质量做调查，技术人员抽取了一组容量为12的样本（单位：g）如下： 21，25，45，29，22，31，42，33，27，43，37，26。 这个样本中数据的最大值是 ，最小值是 ，极差为 。 3、某质检部门要对某厂家生产的产品做抽样调查，抽取的样本中，数据的最大值是48，最小值是13，组数是8，则组距为 。 4、在总体个数为10000的数据中，采用系统抽样的方法，抽取了一组容量为80的样本，如果样本中某组数据的频率是0.25，则该组样本的频数是 。 5、高中有三个年级，高一学生900人，高二学生860人，现采用分层抽样的方法调查学生的视力情况，抽取的样本中有高二学生43人、高三学生39人，则学生总人数应为（    ） A．2600 B．2580 C．2540 D．2500 6、采用简单随机抽样抽到一个容量为20的样本数据，分组后，各组的频数如下表： 分组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70) 频数 2 3 x 5 y 2 样本数据在区间[20，40)内的频率为0.35，则样本数据在区间[50，60)内的频率为（ ） A．0.70 B．0.50 C．0.25 D．0.20 7、为了解一批塑料球的直径，从中随机抽取12个进行测量，数据如表所示.在这个问题中，总体是 　 　⁠，个体是 　 　⁠ ，样本是 　 　⁠，样本容量是  ，最大值是 ，最小值  ，极差是  ，如果取组距为 ，则数据会分成 组，设第1组范围是22.5～25.5，该组频数是 ，频率是  ，“频率/组距”是  ，频率分布直方图中该组对应的小矩形面积是 。 26 34 28 30 26 25 30 23 32 25 28 26 8.6 样本均值和标准差 【要点梳理】 1、 众数，中位数，平均数 众数：在一组数据中，出现次数 的数据叫做这组数据的众数。 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在 位置的 数据（或者最中间两个数据的 ）叫做这组数据的中位数。 平均数：样本数据的算术平均数，即＝ 。 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该 。 2、样本方差，样本标准差 标准差 s＝ ，其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，是平均数。标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是样本标准差的平方。通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差。 【典例解析】 例1 一组样本数据为：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，则这组数据的众数和中位数分别为(　　) A．14，14　　　　　　　B．12，14 C．14，15.5 D．12，15.5 【答案】A 【解析】把这组数据按从小到大排列为：10，12，12，14，14，14，17，18，19，23，27，则可知其众数为14，中位数为14.， 故选：A. 变式1 已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16，18，15，11，16，18，18，17，15，13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　) A．a＞b＞c　　　 B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 例2 我校在科技文化节活动中，8位评委给某个节目的评分各不相同，去掉1个最高分和1个最低分，剩下的6个评分与原始的8个评分相比一定不发生变化的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 【答案】B 【解析】根据题意，从8个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效评分．6个有效评分与8个原始评分相比，中位数一定不发生变化， 故选：B． 变式2 两年前，某校七（1）班的学生平均年龄为13岁，方差为4，若学生没有变动，则今年升为九（1）班的学生年龄中（　　） A．平均年龄为13岁，方差改变 B．平均年龄为15岁，方差不变 C．平均年龄为15岁，方差改变 D．平均年龄不变，方差不变 例3 在一次科技作品制作比赛中，某小组六件作品的成绩（单位：分）分别是：7，10，9，8，7，9，对这组数据，下列说法正确的是（　　） A．平均数是8 B．中位数8.5 C．众数是8 D．极差是4 【答案】B 【解析】A．平均数为＝，故本选项不合题意； B．中位数为＝8.5，故本选项符合题意； C．众数是7和9，故本选项不合题意； D．极差为10﹣7＝3，故本选项不合题意； 故选：B． 变式3 已知一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，以下说法错误的是（    ） A．极差是5 B．众数是8 C．中位数是9 D．方差是2.8 例4 一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是 。 【答案】 【解析】平均数为：，故方差是：， 故答案为：． 变式4 李老师为了了解学生暑期在家的阅读情况，随机调查了20名学生某一天的阅读小时数，具体情况统计如表： 阅读时间 （小时） 2 2.5 3 3.5 4 学生人数（名） 1 2 8 6 3 则关于这20名学生阅读小时数的说法正确的是（　　） A．中位数是3 B．平均数是3.3 C．众数是8 D．极差是7 【小试牛刀】 1、若样本x1，x2，x3，⋯，xn的平均数为8，方差为4，则对于样本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，xn﹣3，下列结论正确的是（　　） A．平均数为8，方差为1 B．平均数为5，方差为1 C．中位数变小，方差不变 D．众数不变，方差为4 2、“秋风响，蟹脚痒”，正是食蟹好时节。某蟹农在今年五月中旬向自家蟹塘投放蟹苗1200只，为赶在食蟹旺季前上市销售，该蟹农于九月中旬在蟹塘中随机试捕了4次，获得如下数据： 数量/只 平均每只蟹的质量/g 第1次试捕 4 166 第2次试捕 4 167 第3次试捕 6 168 第4次试捕 6 170 （1）四次试捕中平均每只蟹的质量为 　　g； （2）若蟹苗的成活率为75%，试估计蟹塘中蟹的总质量为 　　kg； （3）若第3次试捕的蟹的质量（单位：g）分别为：166，170，172，a，169，167． ①a＝　 　； ②求第3次试捕所得蟹的质量数据的方差。 第8章 自我检测 1、关于简单随机抽样的特点,有以下几种说法,其中不正确的是　(　　) A．要求总体中的个体数有限 B．从总体中逐个抽取 C．这是一种不放回抽样 D．每个个体被抽到的机会不一样,与先后顺序有关 2、某公司有160名员工，其中研发部120名，销售部16名，客服部24名，为调查他们的收入情况，从中抽取一个容量为20的样本，较为合适的抽样方法是（    ） A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．其他抽样 3、现要完成3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行卫生检查；②科技报告厅有座椅32排，每排40个座位，有一次报告会恰好坐满了观众，抽取32位进行座谈；③某中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了解教职工对校务公开方面的意见，抽取一个容量为20的样本进行调查（　　） A．①简单随机抽样②系统抽样③分层抽样 B．①简单随机抽样②分层抽样③系统抽样 C．①系统抽样②简单随机抽样③分层抽样 D．①分层抽样②系统抽样③简单随机抽样 4、某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数为（       ） A．83 B．85 C．87 D．89 5、在一次数学测试中，某学习小组6名同学的成绩(单位：分)分别为65，82，86，82，76，95．关于这组数据，下列说法错误的是（ ） A．众数是82 B．中位数是82 C．极差是30 D．平均数是82 6、在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是16，乙的成绩方差是8，下列说法正确的是（　　） A．甲的成绩比乙的成绩稳定 B．乙的成绩比甲的成绩稳定 C．甲、乙两人的成绩一样稳定 D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 7、某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为300，200，400，为了了解学生的课业负担情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取18名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取人数分别是（　　 ） A．6,4,8 B．6，6，6 C．5，6，7 D．4，6，8 8、在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：9.4、8.4、9.4、9.9、9.6、9.4、9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（       ） A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.016 9、50名同学的体重情况如下表所示： 分组（） 频数 6 8 15 18 3 则这50名同学体重小于的频率为（    ） A．0.28 B．0.58 C．0.42 D．0.94 10、一容量为20的数据样本，分组和频数为，2个、，3个、，4个、，5个、，4个、，2个，则样本数据在区间的可能性为（    ） A．5% B．25% C．50% D．70% 11、 掷一枚均匀的硬币100次，其中54次出现正面，则出现正面的频率是______。 12、 中国篮球职业联塞（CBA）中，某男篮球运动是在最近几次比赛中的得分情况如下表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 没投中 100 55 18 m 记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 13、从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞赛，则乙被选中的概率为（ ） A． B． C． D． 14、袋子中有3个红球和2个黑球，从中摸出一个球，该球为黑球的概率是（　　） A． B． C．1 D． 15、同时抛掷两枚质地均匀的相同骰子，则两枚骰子的点数和为的概率是（    ） A． B． C． D． 16、“某彩票的中奖概率为”意味着（    ） A．买100张彩票就一定能中奖 B．买100张彩票能中一次奖 C．买100张彩票一次奖也不中 D．购买彩票中奖的可能性为 17、下列说法不正确的是（    ） A．任一事件的概率总在内 B．不可能事件的概率一定为0 C．必然事件的概率一定为1 D．概率是随机的，在试验前不能确定 18、某家电视台在因特网上征集某电视节目现场参与的观众，报名的总人数为12000人，分别来自4个城区，其中区2400人，区4600人，区3800人，区1200人，从中抽取60人参加现场的节目，应当如何抽取？写出抽取过程。 19、从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试.现要求这两名学生在相同条件下各射箭5次，命中的环数如下： 甲 8 9 7 9 7 乙 10 9 8 6 7 （1）计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差； （2）比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛。 20、某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布的直方图如下： （1）求图中的的值； （2）若得分在分及以上的学生都有奖品，试估计这次能力测评的获奖率； （3）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，根据频率直方图估计此次能力测评全部同学的平均成绩。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$