8.1 同底数幂的乘法 教学设计 2023-2024学年苏科版数学七年级下册

同底数幂的乘法教学设计 一、课标要求 《2022版新课标》指出数学课程要求，数学课程要培养学生的核心素养：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现世世界。数与代数是数学知识体系的基础之一，是学生认知数量关系，探索数学规律、建立数学模型的基石。其中包含的抽象能力、运算能力、和数学的交流表达能力，是提高学生核心素养的知识载体。按课程标准要求学生运算的能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，能够明细运算对象和意义，理解算法和算理之间的关系；能够理解运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题；能够运用运算促进数学推理能力的发展。运算的能力有助于形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度。 二、教材分析 本课时内容为八年级上第十四章第一节《整式的乘法》第一课时《同底数幂的乘法》，在新课标中属于“数与代数”部分内容。是在学习了有理数的乘方和整式的加减之后，为了学习整式的乘法而学习的关于幂的一个基本性质，又是幂的三个性质中最基本的一个性质，学好了同底数幂的乘法，对其他两个性质以及整式乘法和除法的学习能形成正向迁移。 三、学情分析 八年级的学生已掌握有理数的运算， 并已初步具有用字母表示数的思想，虽然对已有知识具备直接运用的能力，但思维具有局限性，尚缺乏化未知为已知的转化能力，整体思想和转化思想这种数学思维模型还处于萌芽阶段，因此本课设计从“特殊——一般——特殊”探究方式，引导学生观察、发现、归纳。 四、教学创新点 本节课的设计充分体现了“会用数学思维思考显示世界”的核心素养目标。通过“问题情境”设置问题串的形式，让学生经历独立的数学思维过程，通过层层递进的问题引导学生理解数学基本概念和法则的发生与发展过程；按照合乎逻辑地数学思维解释或论证数学的基本方法与结论，并分析、解决简单的数学问题和实际问题；经历数学的“不断发现”的过程，使学生形成实事求是的科学态度。 五、学法指导 在教学中从学生实际出发，创设有助于学生思维提升的问题式学习情境，引导鼓励学生通过师生，生生互动交流的方式获得新知。让学生经历由有理数的幂到抽象的字母表示的幂过程，通过“特殊——一般——特殊”的数学思想，以问题串的形式激发学生积极思考，在运用和变化中引导学生思维步步深入,不仅仅对基础知识和基本技能有较好地提高，在数学思考能力的发展上理解应用知识的过程也就是转化的过程也进一步提高，提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，逐步形成数学学科核心素养。 六、教学目标 （一）基础知识目标 1.掌握同底数幂乘法的运算法则，并能利用法则进行数学运算。 2.经历探索同底数幂的乘法运算法则的探究过程，进一步体会幂的意义。 （二）基本技能目标 运用“从特殊到一般”的方法发现并归纳同底数幂的乘法法则，经历“观察--猜想--验证--概括”的过程，培养观察、发现、归纳的能力以及语言表达能力。 （三）基本思想目标 理解法则的意义和适用条件，能熟练运用法则进行计算，体验转化思想并能解决一些简单的实际问题。 （四）基本活动经验目标 经历同底数幂乘法法则的生成、探求、应用与反思，形成与问题相关的基本数学思想，收获相关数学解题中的基本活动经验。 七、教学过程 （一）法则的猜想、验证 【问题情境一】请你利用“2,3,5”三个数中的两个数写出一些乘方运算，并用幂的形式表示，且说出底数和指数分别是什么？ 思考1：你能给这些幂分一下类吗？为什么这样分？ 预设：按同底数进行分类或按指数相同进行分类。 思考2：这些同底数的幂能进行哪些运算? 预设：加法、减法、乘法和除法 思考3：我们今天来研究一下同底数幂的乘法运算，请大家尝试说出下列运算的计算方法并用幂的形式表示其结果。 （1）23×25 （2）32×35 (3)52×53 解析：23×25=（2×2×2）×（2×2×2×2×2）=28 即23×25=23+5=28 32×35=（3×3）×（3×3×3×3×3）=37 即32×35=32+5=37 52×53=（5×5）×（5×5×5）=55 即52×53=52+3=55 师生总结：当底数相同时幂的乘法运算都可以找到这样的规律——底数不变，指数相加。 思考4：假如将（1）（2）（3）的具体的数字换成字母a,请大家猜想其运算结果： （1）a3×a5=a3+5=a8 （2） a2×a5=a2+5=a7 （3）a2×a3=a2+3=a5 思考5：是否可以把指数也换成字母，请说出你的猜想。 猜想am×an=? am×an=am+n 设计意图：设计从具体到抽象“猜想归纳法则”，先让学生写出一些幂的形式表示的乘方运算，通过同底数幂的组合辨别同底数幂的特点，然后老师通过追问帮助学生经历了底数从特殊的数到一般字母从具体到抽象的过程，经历从特殊到一般，探索、猜想、归纳法则的过程，在抽象的过程中渗透“代数思想”，使得学生在法则归纳的过程中，逐步感悟可以用“字母代替数”来寻求一般规律，对后续法则等其他内容的学习产生正迁移。 【问题情境二】刚才我们从数到字母猜测am×an=am+n，这个等式确实对所有的底数a都成立吗? 请大家讨论一下，说出你的论证过程。 am×an =（a×a×a×……×a×a×a）（a×a×a×……×a×a×a） m个a n个a =a×a×a×……×a×a×a×a×a×……×a×a×a=am+n （m+n）个a 结论：am·an=am+n（m、n都是正整数） 设计意图：学生在猜想归纳得到用算式表示的“规律”以后，还不能称之为“法则”，要引导学生对猜想进行推理证明或者验证、解释规律。这些“推理、验证、解释”的习惯帮助学生感悟“合情推理用来发现结论，演绎推理用来证明结论”引导学生说明对所有的同底数幂相乘，以上猜想都成立，学生在说理的过程中进一步理解了乘方的意义，感受猜想的正确需要进行验证、推理证明，目的是让学生感受形成数学法则需要合情推理，更需要“步步有据”的演绎推理。 思考：(1)等号左边是什么运算? (2)等号两边的底数有什么关系? (3)等号两边的指数有什么关系? (4)公式中的底数a可以表示什么？ (5)当三个以上同底数幂相乘时，上述法则是否成立? 设计意图：通过上面的问题引导学生剖析法则，得出法则使用一般性和使用的条件。 【归纳总结】同底数幂的乘法的运算法则：am×an=am+n（m，n都是正整数） 文字语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加 设计意图：同底数幂的乘法法则的算式从底数是正整数、负整数、分数到指数是正整数、字母，让学生感悟法则的本质属性，在完善法则的过程中，引导学生反思，从特殊算式归纳得到的法则是否完整归纳了所有类型的数或式子的运算，从而让学生发现需要补充完善；文字语言表述的法则比符号语言表述的法则往往更具一般性，所以在得到完整的法则以后，我们还应引导学生学会叙述法则。 练习1：判断：下面计算是否正确，不正确的请改正。 （1） b2·b3=2b3 （2）x4x4=x16 （3）（-a）3（-a）2=-a5 （4）（-a）3•（-a）3=a6 （二）例题分析 例1计算： （1）x2·x5; （2）a·a6; （3）（-2）×（-2）4×（-2）5 （4）xm·x3m+1 设计意图：充分利用教材的基础上对学生进行例题讲解，让学生熟悉教材，为学生形成自学能力提供保障。对（3）题目中的运算采取两种办法，一种方法是直接运算，另一种办法是先运算符号，将底数转化为2运算，提高学生多角度思维能力。 练习2.计算下列格式，结果用幂的形式表示（课本第96页练习） （1）b5·b （2）a2·a6 （3）y2nyn+1 （4）（-）×（-）2×（-）3 设计意图：帮助学生数量应用法则进行运算，并检验学生对运算法则的理解和熟练程度。 例2. 一种电子计算机每秒可进行1千万亿（1015）次运算，它工作103秒可进行多少次运算? 启发、点拨学生列出算式，并计算结果。 设计意图：运算都是因为生活现实的需要而产生的，这些现实问题既让学生感受运算的必要性，同时也为解决其他实际问题提供了模型，帮助学生感受每一种运算模型的特点，加强运算模型的理解是运算教学应该力求渗透的。 练习3： 1. 若2x=3.2y=5，计算2x+y=（ ） 2. 计算：（a-b）2（a-b） 3. 已知32x+1=27，求x=（ ） 设计意图：本练习是同底数幂的乘法运算的拓展，第一题的同底数幂的运算的逆用，第二题为底数转化为多项式，第三题利用转化思想，转化成同底数幂再解决问题。 （四）课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 知识学习：同底数幂的乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变指数相加 思想技能：从特殊到一般的思想和猜想-论证-归纳得到运算法则 设计意图：通过小结归纳，使学生所学内容条理化、系统化、并通过反思学习过程、学会学习、学会思考。 （五）当堂达标 1.计算a2·a3的正确结果是（ ） A a5 B a6 C a8 D a9 2.xn·（-x）2=（ ） 3.若x5=a,x6=b,则x11=（ ） 4.已知a3·ax = a8，求2x的值 八、布置作业 1．基础巩固 （1）下列各式中，计算结果是x6的是（） A x2·x3 B x2+x4 C x·x6 D x·x5 （2）（a+b）3·（a+b）7= A（a+b）21 B（a+b）10 C（a3+b3）（a7+b7） D a10+b10 （3）已知下列式子 ①（-a）3·（-a）2（-a）=a6 ②（-a）2·（-a）（-a）4=a7 3 （-a）2（-a）3（-a）2=a7 ④（-a3）·（-a2）（-a）3=a8 其中正确的是 A ①② B ②③ C ①④ D ③④ （4）下列计算错误的是 A (x+y)3+（x+y）6=（x+y）9 B （x-y）3·（x-y）5=（x-y）8 C （-a）2·（-a）4=a6 D （-x）·（-x）5=x6 （5）若2n+2n+2n+2n=4，则n=（） A -1 B -2 C 0 D （6）已知x3=27，x4=81.则x7=（） （7）计算 1 a2m+1·a1-m ②a·（-a）2·a2m ③（）3×（）3×（- ）3× ④（-a）5·（-a）4+（-a）6·a3 2.能力提升 某居民小区要建一个长方形的花坛，已知长是宽的2.5倍，宽为2.5×102 cm．求这个长方形花坛的面积。（用科学记数法表示结果） 设计意图：为根据《课标》要求，设计不同层次的作业题，要求学生分层完成，确保尊重学生的个体差异，实现学生在自身能力上的提高。 九、教学反思 运算是推理的基础，运算能力是数学学习中的一种重要能力，在实际教学中若干学生的运算能力相对较差，特别是有的学生运算能力与思维能力很不匹配，许多学生或者家长把运算能力差归结为“粗心”，这“粗心”的背后既是基础知识不够扎实造成的后果，也是学习或教学习惯不良的表现。在本节课的运算教学中，“法则由来”教学是核心，它能够帮助学生理解算理，掌握算法。本节课幂运算法则的获得过程可以归纳为：从具体算式抽象出一系列算式 → 根据算式表达的规律归纳法则 → 根据规则制定的完整性完善法则 → 得到完整的法则(含文字语言、符号语言形式)。因此，运算法则的教学不能简化为“告知执行”，应该让学生充分经历法则的获得过程，提升学生的抽象思维，解决问题的能力。 数学思想方法的“渗透”是一个“润物无声”的过程，本节课积极搭建思考的平台，让学生在活动和思考的过程中逐步感受和体会数学思想，数学知识是一个联系的整体，本课合理地运用“类比”的策略，引导学生在“类比”中探究，在“探究”中建构新知识，形成稳定、清晰的认知结构，为后面类比同底数幂乘法法则的获得过程去探究幂的乘方、积的乘方法则提供思维策略和保证。 本节课遵循学生身心发展规律，着重培养独立思考的习惯和合作交流的意愿，让数学思维在课堂真实发生，并对不同学生在不同的问题中得到不同的发展，不仅仅学习了基本知识和基本技能，还在教师引导下应用基本思想，获得了基本活动经验，形成和发展了学生的核心素养。 学科网（北京）股份有限公司 $$