专题03 一元一次不等式（思维导图+4重点+9题型8类型+过关检测）【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

专题03 一元一次不等式 知识点 1 ： 不等式的基础 一、不等式的相关概念 不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 二、常见的不等式基本语言与符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是负数 a＜0 a是非正数 a≤0 a是非负数 a≥0 a、b同号 ab＞0 a、b异号 ab＜0 （1）不等号具有方向性，不等号两边的式子不能随意变换； （2）不等式中可以含有未知数，也可以不含未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等式所表示的大小关系，不等式成立；否则，不等式不成立. 三、不等式的性质 基本性质1 若a>b，则a±c > b±c 若a<b，则a±c < b±c 基本性质2 若a>b,c>0，则ac>bc（或） 基本性质3 若a>b,c<0，则ac<bc（或） 知识点2： 一元一次不等式 一、一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，叫作一元一次不等式. 1. 一元一次不等式满足的条件： （1）左右两边都是整式(单项式或多项式)； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数为1． 2. 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 二、一元一次不等式的解法 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数 不等式性质2、3 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律 去括号法则 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各项都要变号； 3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各项都不变号. 移项 把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 不等式性质1 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号.而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为或的形式 合并同类项法则 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 系数化为1 将不等式两边都除以未知数系数a，得到不等式的解 不等式性质2、3 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 【易错易混】 1. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 2. 进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论． 3. 在解一元一次不等式时,上述的五个步骤不一定都能用到,并且也不一定按照自上而下的顺序,要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 知识点3： 一元一次不等式组 一、一元一次不等式组 1. 把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组； 2. 一元一次不等式组满足的条件：①不等式组中所有不等式都是一元一次不等式；②不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数；③不等式组中的一元一次不等式的个数为两个或两个以上. 二、一元一次不等式组的解集 1. 不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集； 2. 利用数轴确定一元一次不等式组的解集的步骤： （1）将组成不等式组的一元一次不等式的解集在同一条数轴上分别正确地表示出来； （2）确定数轴上解集的公共部分，公共部分就是此不等式组的解集，若没有公共部分，则不等式组无解. 3. 一元一次不等式组的解集共有如下四种情况： 不等式组 （设） 不等式组的解集 无解 不等式组的解集 在数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无解 大小小大中间找 Ps：当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变. 三、解一元一次不等式组的一般步骤： 1） 求出不等式组中各不等式的解集. 2） 将各不等式的解决在数轴上表示出来. 3） 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 知识点4： 不等式（组）的实际应用 1. 列一元一次不等式（组）解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； （2）设：设出适当的未知数； （3）列：根据题中的不等关系，列出不等式（组）； （4）解：解所列的不等式（组）； （5）答：检验求得的解或解集是否符合题意，并写出答案． 2. 常见的一些等量关系 （1）行程问题：路程＝速度×时间； （2）工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 （3）利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，； （4）和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率； （5）本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率； （6）多位数的表示方法：例如：. 3. 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式 6x≤50. 题型归纳 【题型1 解一元一次不等式（组）】 1．（23-24七年级下·河南新乡·期中）解下列不等式，并在数轴上表示解集． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，掌握一元一次不等式的解法是解本题的关键， （1）移项，合并同类项，可得到不等式的解集，再在数轴上表示解集即可； （2）先去分母、去括号，移项，合并同类项，把未知数的系数化1，可得到不等式的解集，再在数轴上表示解集即可. 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项，得： ∴； 在数轴上表示其解集如下： （2） 去分母得： 去括号得， 移项得， 合并同类项，得： 解得：． 2．（2024·福建厦门·三模）解不等式 的解集，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式；然后把解集表示在数轴上． 【详解】解∶   去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 化系数为1得，， 在数轴上表示为：   … 3．（23-24七年级下·吉林长春·期中）解下列不等式（组）： (1)； (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解一元一次不等式以及解一元一次不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再移项合并同类项，系数化1，即可作答． （2）分别算出每个不等式组的解集，再取公共部分的解集，即可作答． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， 由，得，解得， 由，得，解得， 此时不等式组无解． 【题型2 解特殊不等式组】 4．（20-21七年级下·北京昌平·期末）阅读下列材料：我们知道表示的是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，对表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离． 例1解方程． 解：∵， ∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为，即该方程的解为． 例2解不等式． 解：如图，首先在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程的解为______； （2）解不等式； （3）若，则的取值范围是_______； （4）若，则的取值范围是_______． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】（1）利用绝对值的性质，直接化简进而求出即可； （2）将原式化解为，首先在数轴上找出的解，即或，则的解集为到-2的距离小于4的点对应的所有数，写出解集即可； （3）表示到1的点与到-2的点距离和为3，-2与1之间的距离为3，据此可得出答案； （4）表示数x到1的距离，表示数x到-2的距离，表示数到1的距离减去数x到-2的距离，然后分三者情况讨论y的取值即可． 【详解】解：（1）， ， 解得：， 故答案为：； （2） ， 首先找的解， 即到-2距离为4的点对应的数为-6和2， 表示到-2的距离小于4的点对应的所有数， 不等式解集为； （3）， 表示到1的点与到-2的点距离和为3， -2与1之间的距离为3， ； 故答案为：； （4）， 表示数x到1的距离， 表示数x到-2的距离， 表示数x到1的距离减去数x到-2的距离， 当x在点1右边时，， 当x在点-2左边时，， 当x在-2到1之间时，， ； 故答案为：． 【点睛】本条考查含有绝对值的方程和不等式的解法，正确对x的范围进行讨论，转化为一般的不等式是关键． 【题型3 求一元一次不等式（组）整数解】 5．（2024·湖南永州·模拟预测）解不等式，并求它的非正整数解． 【答案】，非正整数解有 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解不等式的步骤是解题关键． 根据解不等式的步骤解不等式，然后找到相应非正整数解即可． 【详解】解：原式， 移项，得， 合并同类项，得， 不等式的两边同时除以，得， 所以，原不等式的解集为． 如图所示： 所以非正整数解是． 6．（2024·陕西渭南·三模）解不等式，并求出该不等式的最大整数解． 【答案】，最大整数解为 【分析】本题考查了解一元一次不等式，求一元一次不等式的最大整数解，按照解一元一次不等式的步骤即可求出不等式的解集，再根据解集即可得到不等式的最大整数解，正确求出一元一次不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， ∴该不等式的最大整数解为． 7．（23-24八年级下·河北邯郸·期中） 解不等式组：    在数轴上表示出它的解集，并求出它的正整数解． 【答案】不等式组的解集为，正整数解为：1，2，3，4，5．画图见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组并在数轴上表示解集，熟练掌握一元一次不等式的解法及解集在数轴上表示的方法是解题的关键．先分别求出一元一次不等式的解集，再将其解集在数轴上表示出来，取其正整数即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得，， ∴， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， 其解集在数轴上表示如下： ∴该不等式组的正整数解为：1，2，3，4，5． 8．（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）（1）解不等式； （2）解不等式组：，并写出不等式组的整数解． 【答案】（1）；（2）不等式组的解集是，整数解为：3，4，5，6，7． 【分析】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解不等式的方法是解本题的关键． （1）不等式去分母，移项合并，把系数化为1，即可求出解集； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，找出解集中的整数解即可． 【详解】解：（1）， 去分母1，得出， 移项合并同类项，得出， 系数化1，得出； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是， ∴整数解为：3，4，5，6，7． 【题型4 解|x|≥a型不等式】 9．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，或 (2)或 (3) 【分析】此题是一个阅读题目，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意． （1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定和的解集； （2）把当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出的取值范围，然后就可以求出的取值范围； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）根据题干规律可得，不等式（）的解集为； 不等式（）的解集为或； （2）由（1）得：由于， 所以或， 所以或， 所以的解集为或； （3）由绝对值的意义得方程的解就是求在数轴上到1和对应点的距离之和等于5的点对应的x的值， 因为数轴上1和对应点的距离为3， 所以满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得； 所以方程的解为或， 所以不等式的解集为． 10．（23-24七年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．      参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了绝对值及不等式的知识： （1）利用在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或求解即可； （2）先求出的解，再求的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 【详解】（1）解：∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或， ∴方程的解为或， 故答案为：或． （2）在数轴上找出的解， ∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点对应的数为或8， ∴方程的解为或， ∴不等式的解集为． （3）在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值， ∵在数轴上3和对应的点的距离为7， ∴满足方程的x对应的点在3的右边或的左边． 若x对应的点在3的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为或． 【题型5 由一元一次不等式组解集求参数】 11．（23-24七年级下·吉林长春·期中）若不等式组的解集为，求的值. 【答案】 【分析】本题考查了求不等式组的解集，根据不等式组的解集求参数，代数式求值问题，根据不等式组的解集求出参数是解决本题的关键．首先可求得不等式组的解集为，再根据不等式组的解集为，即可求得、的值，据此即可求得结果． 【详解】解： 解不等式①： ， ， ， 解不等式②： ， ， 不等式组的解集为， 不等式组的解集为， ，， 解得：，， ． 12．（22-23七年级下·广西河池·期末）若不等式的解集为，求代数式的值． 【答案】． 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先用、表示出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，然后根据即可得到关于和的方程，求得和的值，代入即可求解，根据不等式组的解求出得到关于和的方程是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∵不等式的解集为， ∴，， 解得：，， ∴． 【题型6 由一元一次不等式组的解集情况求参数】 13．（23-24七年级下·河南周口·期中）已知关于x的不等式组． (1)若这个不等式组无解，求a的取值范围； (2)若也是该不等式组的一个解，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，解题的关键是根据不等式组解的情况列出关于a的不等式或不等式组． （1）根据不等式组无解得出，解关于a的不等式即可； （2）根据也是该不等式组的一个解，得出，解关于a的不等式组即可． 【详解】（1）解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 这个不等式组无解， ， 解得：； （2）解不等式①得：， 解不等式②得：， 是该不等式组的一个解， ， 解得：． 14．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的不等式组 (1)若，求这个不等式组的解集； (2)若这个不等式组的整数解共有3个，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求不等式组的解集，根据解集的情况求参数的范围： （1）先求解不等式组得到解集，然后将代入即可； （2）根据（1）求得的解集结合有3个整数解的条件即可解答． 【详解】（1）解：． 解不等式①，得， 解不等式②，得． ∴当时，， ∴不等式组的解集是． （2）∵不等式组的整数解共有3个， ∴由（1）可知： ∴整数解是，0，1， ∴， ∴的取值范围是． 15．（2024·江苏扬州·二模）若关于x的不等式组有1个整数解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是明确“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则． 用含的式子表示出不等式的解，结合条件进行求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有1个整数解， ∴． 16．（2024七年级下·安徽·专题练习）已知关于的不等式组的所有整数解的和为，求的取值范围． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次不等式组．正确解出不等式组的解集，并会根据整数解的情况确定的取值范围是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围． 【详解】解：，由①得，， 不等式组有解， 不等式组的解集为， 不等式组的所有整数解的和为， 不等式组的整数解为、、或、、、、0、1． 当不等式组的整数解为、、时，有，的取值范围为； 当不等式组的整数解为、、、、0、1时，有，的取值范围为． ∴m的取值范围是：或. 【题型7 解一元一次不等式组有关的遮挡/污染问题】 17．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）嘉淇准备完成题目：解不等式组时，发现常数“□”印刷不清楚． (1)他把“□”猜成3，请你解不等式组； (2)王老师说：我做一下变式，若不等式组的解集为，请求常数“□”的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，确定解集的方法，掌握确定不等式组的解集的方法是关键． （1）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可； （2）先解不等式组中的两个不等式，再根据解集为，再确定范围即可； 【详解】（1）解： 解不等式得， ∴， ∴ 解不等式得， ∴， ∴ ∴不等式组的解集为． （2）解：， 设常数“□”为m， ∵， ∴， ∴ ∴不等式的解集为 又∵不等式的解集为， 而不等式组的解集为 ∴， ∴． ∴． 【题型8 不等式组与方程组综合问题】 18．（23-24七年级下·北京·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m得取值范围． (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求一元一次不等式组的整数解，根据不等式的解集求参数： （1）先利用加减消元法求出方程组的解为，进而得到，解不等式组即可得到答案； （2）先把原不等式变形为，根据解集为得到，进而求出，据此可得答案． 【详解】（1）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为， ∵x为非正数，y为负数， ∴，， ∴， 解得， ∴m的取值范围是． （2）解：将不等式整理，得， ∵其解集为， ∴， 解得 ∴． 结合m取整数，可得， 即当时，不等式的解集为． 19．（23-24八年级下·广东梅州·期中）（1）【情境再现】如下是某种八年级课下册数学课外巩固练习《数学作业设计》的部分内容． 已知关于的方程：的解是负数，求的取值范围． （2） 【拓展】若关于、的方程组 的解满足 ，求的最小整数值． 【答案】（1）；（2）的最小整数值为 【分析】本题考查了一元一次方程的解，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先解一元一次方程，可得，然后题意可得，进行计算即可解答； （2）先利用加减消元法解方程组，求出、的值，然后根据题意可得关于的不等式，解不等式即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， 关于的方程的解是负数， ， 解得：； （2） 得：， 解得：， 得：， 解得：， ， ， 解得：， 的最小整数值为． 20．（23-24七年级下·全国·假期作业）关于x，y的方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，求符合条件的整数k的值． 【答案】k的值为，0，1，2，3． 【详解】解： ①＋②，得，∴． ∵，∴，解得． 解不等式③，得．解不等式④，得． ∵关于x的不等式组有解，∴． 综上所述，． 故符合条件的整数k的值为，0，1，2，3． 21．（20-21七年级下·甘肃金昌·期末）关于x、y的二元一次方程组的解满足不等式组，求m的取值范围． 【答案】0＜m＜ 【分析】将方程组两方程相加减可得x+y、x﹣y，代入不等式组可得关于m的不等式组，求解可得． 【详解】解：， ①+②得：3x+3y＝3+2m，即x+y＝， ①﹣②，得：x﹣y＝2m﹣1， ∵， ∴， 解得：0＜m＜． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组，根据题意得出关于m的不等式组是解题的关键． 【题型9 不等式（组）的应用】 【类型一】工程问题 22．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）现有甲乙两个工程队参加一条道路的施工改造，受条件阻制，每天只能由一个工程队施工．甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工5天，则可以完成340米施工任务；若甲工程队先单独施工2天，再由乙工程对单独施工4天，则可以完成260米的施工任务． (1)求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？ (2)要改造的道路全长1300米，工期不能超过30天，那么乙工程队至少施工多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天能完成施工任务30米，乙工程队每天能完成施工任务50米 (2)乙工程队至少施工20天 【分析】（1）设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，然后根据甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工5天，则可以完成340米施工任务；甲工程队先单独施工2天，再由乙工程对单独施工4天，则可以完成260米的施工任务建立方程求解即可； （2）设乙工程队施工天，根据时间任务量每天的工作任务列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米． 根据题意得：， 解得： 答：甲工程队每天能完成施工任务30米，乙工程队每天能完成施工任务50米． （2）解：设乙工程队施工天． 根据题意得：， 解得： 答：乙工程队至少施工20天． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程，找到不等关系建立不等式是解题的关键． 23．（21-22七年级下·湖北十堰·期末）“十淅高速”项目工程建设已近尾声，其中某施工路段总长90公里，若由甲、乙两工程队合做6个月可以完成，若甲工程做4个月，乙工程队做9个月也可以完成． (1)甲、乙两队每月的施工路段各是多少公里？ (2)已知甲队每月施工费用为12万元，乙队每月施工费用为9万元，按要求该工程总费用不超过130万元，工程必须在10个月内竣工．为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工，请你设计施工费用最低的施工方案． 【答案】(1)甲队每月的施工路段是9公里，乙队每月的施工路段是6公里 (2)方案为甲队做10个月，乙队做0个月，施工费用最低，为120万元 【分析】（1）设甲队每月的施工路段是x公里，乙队每月的施工路段是y公里，依据“某施工路段总长90公里，由甲、乙两工程队合做6个月完成，甲工程做4个月，乙工程队做9个月也可以完成”列出方程组并解答； （2）根据费用不超过130万元列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲队每月的施工路段是x公里，乙队每月的施工路段是y公里， 依题意得， 解得． 答：甲队每月的施工路段是9公里，乙队每月的施工路段是6公里． （2）根据题意， 解得：a≥，b≤10． 又a=10﹣b，且a，b都为正整数， ∴b为3的倍数， ∴b=0，3，6，9． 当b=0时，a=10，此时施工费用为10×12+0×9=120（元）； 当b=3时，a=8，此时施工费用为8×12+3×9=123（元）； 当b=6时，a=6，此时施工费用为6×12+6×9=126（元）； 当b=9时，a=4，此时施工费用为4×12+9×9=129（元）； 故方案为甲队做10个月，乙队做0个月，施工费用最低，为120万元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用中的工程问题．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 【类型二】销售问题 24．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）玩具店准备购进甲、乙两种玩具，若购进甲种玩具20个，乙种玩具15个，需要320元；若购进甲种玩具30个，乙种玩具50个，需要700元． (1)求玩具店购进甲、乙两种玩具每个各需要多少元； (2)玩具店购进甲、乙两种玩具共100个，每个甲种玩具的售价为15元，每个乙种玩具的售价为12元，销售这两种玩具的总获利润不低于470元，那么这个玩具店至少购进甲种玩具多少个？ 【答案】(1)甲种玩具每个需要10元，乙种玩具每个需要8元 (2)70个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用 （1）设玩具店购进甲种玩具每个需要x元，乙种玩具每个需要y元，根据“购进甲种玩具20个，乙种玩具15个，需要320元；若购进甲种玩具30个，乙种玩具50个，需要700元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设玩具店购进m个甲种玩具，则购进个乙种玩具，根据销售这两种玩具的总获利润不低于470元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设玩具店购进甲种玩具每个需要元，乙种玩具每个需要元， 依题意得：， 解得：， 答：玩具店购进甲种玩具每个需要10元，乙种玩具每个需要8元． （2）解：设玩具店购进个甲种玩具，则购进个乙种玩具，依题意得： ， 解得： 答：玩具店至少购进甲种玩具70个． 25．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）某商场的运动服装专柜，对A，B两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售．已知这两种服装过去两次的进货情况如下表： 第一次 第二次 A品牌运动服装数/件 10 10 B品牌运动服装数/件 20 30 累计采购款/元 6000 7800 (1)问A，B两种品牌运动服的进货单价各是多少元？ (2)由于B品牌运动服的销量明显好于A品牌，商家决定采购B品牌的件数A品牌件数倍多10件，在采购总价不超过12000元的情况下，最多能购进多少件B品牌运动服？ 【答案】(1)A，B两种品牌运动服的进货单价各是240元、180元 (2)40 【分析】（1）设A，B两种品牌运动服的进货单价各是x元、y元，根据两次采购的总费用列方程组进行求解即可； （2）设购进A品牌运动服m件，购进B品牌运动服件，根据题意列不等式，再进行求解即可． 【详解】（1）解：设A，B两种品牌运动服的进货单价各是x元、y元， 由题意可得， ， 解得， 答：A，B两种品牌运动服的进货单价各是240元、180元； （2）解：设购进A品牌运动服m件，购进B品牌运动服件， 则， 解得， 经检验，不等式的解符合题意， ∴， 答：最多能购进40件B品牌运动服． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用和一元一次不等式的实际应用，理解题意列方程和不等式是解题的关键． 26．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）端午节期间，某商场打算购入A，B两种粽子礼盒共100件，A种粽子礼盒的进价为每件22元，B种粽子礼盒的进价为每件15元，在销售过程中，顾客甲买3件A和1件B共付款150元，顾客乙买1件A和2件B共付款100元． (1)请问A，B两种粽子礼盒的售价各是多少？ (2)若该商店计划A，B两种礼盒的进货总投入不超过1755元，且全部销售完后总利润不低于1600元，则购进A，B两种礼盒时，共有哪几种进货方案． 【答案】(1)A，B两种粽子礼盒的售价各是40元，30元 (2)该商店共有三种进货方案：方案一：购进A种礼盒34件，B种礼盒66件；方案二：购进A种礼盒35件，B种礼盒65件；方案三：购进A种礼盒36件，B种礼盒64件 【分析】（1）设A，B两种粽子礼盒的售价各是x元，y元，根据题中等量关系列二元一次方程组求解即可； （2）根据题中不等量关系列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设A，B两种粽子礼盒的售价各是x元，y元， 根据题意，得，解得， 答：A，B两种粽子礼盒的售价各是40元，30元； （2）解：设购进A种礼盒a件，则B种礼盒件， 根据题意，得， 解得， ∵a为整数， ∴a的值为34、35、36， 故该商店共有三种进货方案： 方案一：购进A种礼盒34件，B种礼盒66件； 方案二：购进A种礼盒35件，B种礼盒65件； 方案三：购进A种礼盒36件，B种礼盒64件． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【类型三】行程问题 27．（22-23八年级上·全国·课后作业）A，B，C，D四座小山的山脚到学校的路程分别是．学校准备组织一次八年级学生登山活动，计划在上午8时出发，以平均每小时的速度前进，登山和在山顶活动的时间为1小时，下山的时间为30分钟，再以平均每小时的速度返回，在下午4时30分前赶回学校．你认为学校可计划登哪几座山?请说明理由． 【答案】、两座小山符合计划． 【分析】设路程为千米，根据在下午4时30分前赶回学校，得出不等式求出的取值范围，继而可作出判断． 【详解】解：设路程为千米， 出发时间为，回家时间，总共花费时间8.5小时，活动时间加登山下山时间为1.5小时， ， 解得：， 、两座小山符合计划． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是设出未知数，求出路程的范围． 28．（22-23七年级下·重庆巴南·期末）甲、乙两车分别从相距210千米的A、B两地相向而行，甲、乙两车均保持匀速行驶．若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇；若乙车比甲车提前1小时出发，则乙车出发后3小时两车相遇． (1)求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)若甲、乙两车同时出发，甲车行驶了1小时后发生故障，甲车原地检修用了30分钟后继续原速度行驶，此时，乙车提高速度，为了保证乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米/小时？ 【答案】(1)甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时 (2)乙车要比原来的行驶速度至少增加15千米/小时 【分析】（1）设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时，然后根据甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇；若乙车比甲车提前1小时出发，则乙车出发后3小时两车相遇列出方程组求解即可； （2）设乙车要比原来的行驶速度增加千米/小时，然后根据乙车再经过不超过1小时与甲车相遇即乙车再经过1小时两车所走的所有路程之和要大于等于210千米列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时， 根据题意，得 解得． 答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时． （2）解：设乙车要比原来的行驶速度增加千米/小时， 根据题意，得． 解得． 答：乙车要比原来的行驶速度至少增加15千米/小时． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程组，找到不等关系列出不等式是解题的关键． 29．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）甲、乙两车分别从相距200千米的A、B两地相向而行，甲乙两车均保持匀速行驶，若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇． (1)求甲乙两车的速度（单位：千米/小时）是多少． (2)若甲乙两车同时按原速度行驶了1小时，甲车发生故障不动了，为了保证乙车再经过不超过2小时与甲车相遇，乙车提高了速度，求乙车提速后的速度至少是每小时多少千米？ 【答案】(1)甲车的速度为，乙车的速度为 (2)乙车提速后的速度至少是每小时60千米 【分析】（1）设甲车的速度为，乙车的速度为，根据“若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇”列出方程组，即可求解； （2）设乙车提速后的速度为，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设甲车的速度为，乙车的速度为， 根据题意得，解得， 答：甲车的速度为，乙车的速度为； （2）解：设乙车提速后的速度为， 根据题意得， 解得， 答：乙车提速后的速度至少是每小时60千米． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程组或不等式是解题的关键． 【类型四】比赛积分问题 30．（22-23七年级下·山东泰安·阶段练习）我市某初中举行“八荣八耻”知识抢答赛，总共50道抢答题．抢答规定：抢答对1题得3分，抢答错1题扣1分，不抢答得0分．小军参加了抢答比赛，只抢答了其中的20道题，要使最后得分不少于50分，问小军至少要答对几道题？ 【答案】小军至少要答对18道题 【分析】设小军要答对x道题，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：设小军要答对x道题， 根据题意，得， 解得， ∵x为整数， ∴x最小为18， 答：小军至少要答对18道题． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，理解题意，找出不等量关系并正确列出不等式是解答的关键． 31．（22-23七年级下·河南南阳·期末）在某次篮球联赛中，火炬队与勇士队要争夺一个出线权（得分高的队夺得出线权），比赛规定：胜一场得2分，负一场得1分，弃权得0分．火炬队目前的战绩是17胜13负，后面还要比赛6场；勇士队目前的战绩是15胜16负，后面还要比赛5场． (1)为确保出线，火炬队在后面的比赛中至少要胜多少场？ (2)如果火炬队在后面的比赛中2胜4负，未能出线，那么勇士队在后面的比赛中的战果如何？ 【答案】(1)为确保出线，火炬队在后面的比赛中至少要胜4场； (2)勇士队后5场比赛全胜． 【分析】（1）要保证火炬队出线，只需要考虑勇士队后面5场比赛全胜即可，设火炬队后6场比赛胜x场，根据火炬队出线列不等式求解即可； （2）火炬队19胜未能出线，则勇士队后面5场比赛需全胜． 【详解】（1）解：要保证火炬队出线，只需要考虑勇士队后面5场比赛全胜即可， 设火炬队后6场比赛胜x场， 根据题意，得， 解得， ∵x为正整数， ∴， 答：为确保出线，火炬队在后面的比赛中至少要胜4场； （2）解：如果火炬队在后面的比赛中2胜4负，未能出线， 即是胜，未能出线， 则勇士队后面5场比赛需全胜， 答：勇士队后5场比赛全胜． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系正确列出一元一次不等式是解题的关键． 32．（21-22七年级下·广东中山·期末）在某次知识竞赛中，甲、乙两人轮流答题，每人都要回答20道题，每道题回答正确得m分，回答错误或放弃回答扣n分．当甲、乙两人恰好都答完12道题时，甲答对了9道题，得分为45分；乙答对了10道题，得分为54分． (1)求m和n的值； (2)假如最后得分不低于70分就能晋级，甲在剩下的比赛中至少还要答对多少道题才能顺利晋级？ 【答案】(1) (2)甲在剩下的比赛中至少还要答对6题才能顺利晋级 【分析】（1）由题意列出方程组：，解方程组即可求得m、n； （2）设要答对x道题才能顺利晋级，列不等式为：，解不等式组即可． 【详解】（1）解：由题意列方程组为：， 解得：； （2）设：答对x道题才能顺利晋级，则答错（8-x）道题， 由题意列不等式为：， 解得：， ∵x为正整数， ∴x=6， 即：甲在剩下的比赛中至少还要答对6题才能顺利晋级． 【点睛】本题主要考查的是二元一次方程组的应用，以及一元一次不等式的应用，根据题意列出对应的关系式是解题的关键． 【类型五】古代问题 33．（2022·湖南长沙·三模）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、羊各值多少两银子？ (2)若某商人准备用50两银子买牛和羊共20只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两可以有剩余，请问商人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案． 【答案】(1)每头牛值3两银子，每只羊值2两银子． (2)共有4种购买方法，方案1：购买10头牛，10只羊；方案2：购买9头牛，11只羊；方案3：购买8头牛，12只羊；方案4：购买7头牛，13只羊． 【分析】（1）设每头牛值两银子，每只羊值两银子，根据“5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买头牛，则购买只羊，利用羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两可以有剩余，列出关于的不等式组，结合为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子， 依题意得：， 解得：． 答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子； （2）解：设购买头牛，则购买只羊， 依题意得：， 解得：． 为整数， 有4种方案：①购买7头牛，购买13只羊； ②购买8头牛，购买12只羊； ③购买9头牛，购买11只羊； ④购买10头牛，购买10只羊． 【点睛】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解题的关键是仔细审题，将实际问题转化为方程思想求解． 34．（21-22七年级下·福建龙岩·期末）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和几只兔？根据以上译文，回答以下问题： (1)笼中鸡、兔各有多少只？ (2)若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过32只．鸡每只值80元，兔每只值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？ 【答案】(1)笼中鸡有23只，兔有12只 (2)这笼鸡兔最多值2260元，最少值2060元 【分析】（1）设笼中有x只鸡，y只兔，根据上有35个头、下有94只脚，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设笼中有m只鸡，则兔有只，根据“笼中鸡兔至少30只且不超过32只”列出不等式，再根据“鸡每只值80元，兔每只值60元”解答即可． 【详解】（1）解：（1）设笼中鸡有x只，兔有y只， 依题意得：， 解得：. 答：笼中鸡有23只，兔有12只； （2）设笼中鸡有只，则兔有只， 依题意得：， 解得：13≤≤17. ∵为整数 ∴=13、14、15、16、17 ①当=13时， 这笼鸡兔共值80×13+60×17=2060（元） ②当=14时， 此种情况不符合题意 ③当=15时， 这笼鸡兔共值80×15+60×16=2160（元） ④当=16时， 此种情况不符合题意 ⑤当=17时， 这笼鸡兔共值80×17+60×15=2260（元） 综上所述，当=13，=15，=17，符合实际意义 答：这笼鸡兔最多值2260元，最少值2060元. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，理清题中的数量关系列出方程不等式是解题的关键． 【类型六】方案问题 35．（22-23七年级下·重庆黔江·期中）某体育用品店准备购进甲，乙品牌乒乓球两种，若购进甲种乒乓球10个，乙种乒乓球5个，需要100元，若购进甲种乒乓球5个，乙种乒乓球3个，需要55元． (1)求购进甲，乙两种乒乓球每个各需多少元？ (2)若该体育用品店刚好用了1000元购进这两种乒乓球，考虑顾客需求，要求购进甲种乒乓球的数量不少于乙种乒乓球数量的6倍，且乙种乒乓球数量不少于23个，那么该文具店共有哪几种进货方案？ 【答案】(1)购进每个甲种乒乓球需要5元，每个乙种乒乓球需要10元． (2)该文具店共有3种进货方案，方案1：购进154个甲种乒乓球，23个乙种乒乓球；方案2：购进152个甲种乒乓球，24个乙种乒乓球；方案3：购进150个甲种乒乓球，25个乙种乒乓球． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组； （1）设购进每个甲种乒乓球需要x元，购进每个乙种乒乓球需要y元，根据“若购进甲种乒乓球10个，乙种乒乓球5个，需要100元，若购进甲种乒乓球5个，乙种乒乓球3个，需要55元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该文具店购进m个乙种乒乓球，则购进个甲种乒乓球，根据购进甲种乒乓球的数量不少于乙种乒乓球数量的6倍且乙种乒乓球数量不少于23个，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案； 【详解】（1）解：设购进每个甲种乒乓球需要x元，购进每个乙种乒乓球需要y元， 依题意，得：，解得：． 答：购进每个甲种乒乓球需要5元，每个乙种乒乓球需要10元． （2）设该文具店购进m个乙种乒乓球，则购进个甲种乒乓球， 依题意，得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以取23，24，25， ∴该文具店共有3种进货方案，方案1：购进154个甲种乒乓球，23个乙种乒乓球；方案2：购进152个甲种乒乓球，24个乙种乒乓球；方案3：购进150个甲种乒乓球，25个乙种乒乓球． 36．（2023七年级下·浙江·专题练习）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需元；购买5个A奖品和4个B奖品共需元． (1)求A，B两种奖品的单价； (2)王老师带了元准备购买A，B两种奖品共个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．王老师有几种购买方案？ 【答案】(1)A种奖品的单价是元，B种奖品的单价是元 (2)有3种购买方案：A种奖品购买8个，则购买B奖品个或A种奖品购买9个，则购买B奖品个或A种奖品购买个，则购买B奖品个 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系、不等关系． （1）设A种奖品的单价是x元，B种奖品的单价是y元，可得：，即可解得答案； （2）设A种奖品购买m个，则购买B奖品个，可得：，解出不等式组，再由m是正整数即可得到答案． 【详解】（1）设A种奖品的单价是x元，B种奖品的单价是y元， 根据题意得：， 解得， 答：A种奖品的单价是元，B种奖品的单价是元； （2）设A种奖品购买m个，则购买B奖品个， 根据题意得：， 解得， m是正整数， m可以取8、9、10， 有3种购买方案： A种奖品购买8个，则购买B奖品个 A种奖品购买9个，则购买B奖品个 A种奖品购买个，则购买B奖品个 37．（22-23七年级下·福建泉州·期末）第一届茶博会在海丝公园举行，全国各地客商齐聚于此，此届茶博会主题“精彩闽茶•全球共享”．一采购商看中了铁观音和大红袍这两种优质茶叶，并得到如表信息： 铁观音 大红袍 总价/元 质变/Akg 2 5 1800 3 1 1270 (1)求每千克铁观音和大红袍的进价； (2)若铁观音和大红袍这两种茶叶的销售单价分别为450元/kg、260元/kg，该采购商准备购进这两种茶叶共30kg，进价总支出不超过1万元，全部售完后，总利润不低于2660元，该采购商共有几种进货方案？（均购进整千克数）（利润＝售价﹣进价） 【答案】(1)每千克铁观音的进价是350元，每千克大红袍的进价是220元； (2)该采购商共有2种进货方案． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用： （1）设每千克铁观音的进价是x元，每千克大红袍的进价是y元，利用总价=单价×数量，结合表格中的数据，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m千克铁观音，则购进千克大红袍，根据“进价总支出不超过1万元，全部售完后，总利润不低于2660元”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出该采购商共有2种进货方案． 【详解】（1）解：设每千克铁观音的进价是x元，每千克大红袍的进价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每千克铁观音的进价是350元，每千克大红袍的进价是220元； （2）设购进m千克铁观音，则购进千克大红袍， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为25，26， ∴该采购商共有2种进货方案． 【类型七】数字问题 38．（22-23七年级下·河南周口·期中）有一个两位数，它十位上的数字比个位数字小，如果这个两位数大于，且小于，求这个两位数． 【答案】或 【分析】设个位数字为，则十位数字为，根据题意表示这个两位数，列出不等式求解即可． 【详解】解：设个位数字为，则十位数字为， 依题意得：， 解得：， 因为为正整数，则，或， 当时，则这个两位数为； 当时，这个两位数为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题关键是找出题目中的已知量和未知量之间的关系，并用含有未知量的式子表示出来列出不等式． 39．（22-23七年级下·全国·课后作业）小刚想给小东打电话，但忘了电话号码中的一个数字，只记得电话号码是（表示忘记的一个数字）．若表示的数字是不等式组的整数解，求可能表示的数字． 【答案】6，7，8 【分析】先分别求出对应不等式组每个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，再根据解集求出整数解即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为6，7，8. ∴可能表示的数字为6，7，8. 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组和求不等式组的整数解，熟知解不等式组的步骤是解题的关键：先分别求出两个不等式的解集，再找出公共部分即可．要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小无解． 40．（21-22七年级下·河南南阳·期中）一个两位数，其十位上数字与个位上数字之和等于9，且十位上数字与个位上数字都不为0． 若将其十位上数字与个位上数字调换，所得新数小于原来数的． 求这个两位数． 【答案】72或81 【分析】设这个数十位上数字是，则其个位上数字是，这个数可表示为：；将十位上数字与个位上数字对调后所得新数可表示为：．依题意，得 []解不等式即可． 【详解】解：设这个数十位上数字是，则其个位上数字是，这个数可表示为：；将十位上数字与个位上数字对调后所得新数可表示为：．依题意，得 [] 解这个不等式，得 ， ∵十位上数字与个位上数字都不为0， ∴ ∴整的整数值为5、6、7、8 当时，，这个数为54，对调后所得数为45，，不符合题意； 当时，，这个数是63，对调后所得数字为36，，不符合题意； 当时，9-，这个数为72，十位上数字与个位上数字对调后所得数为27，27＜，符合题意； 当时，，这个数为81，十位上数字与个位上数字对调后所得数为18，18＜，符合题意． ∴这个两位数是72或81． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 【类型八】几何问题 41．（21-22九年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为，宽为． (1)当时，求的值； (2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围． 【答案】(1)10； (2)． 【分析】（1）根据等量关系“围栏的长度为50”可以列出代数式，再将a=30代入所列式子中求出b的值； （2）由（1）可得a，b之间的关系式，用含有b的式子表示a，再结合，列出关于b的不等式组，解不等式组即可求出b的取值范围． 【详解】（1）解：由题意，得， 当时，． 解得． （2）解：∵， ∴， ， ∴ 解这个不等式组，得． 答：矩形花园宽的取值范围为． 【点睛】此题主要考查了列代数式及不等式组的应用，正确理解题意得出关系式及不等式组是解题关键． 42．（17-18七年级下·湖北武汉·期末）有一个长方形，若它的长增加 9cm，则变为宽的两倍；若它的宽增加 5cm，则只比长少 1cm． (1) 这个长方形的长和宽各是多少 cm？ (2) 将这个长方形的长减少 a cm，宽增加 b cm，使它变成一个正方形，若 a，b均为正整数，所得正方形的周长不大于原长方形的周长，求这个正方形的最大面积． 【答案】(1) 长为21cm，宽为15cm ；(2)． 【分析】（1）设该长方形的长为，宽为，根据若它的长增加 9cm，则变为宽的两倍和若它的宽增加 5cm，则只比长少 1cm各列一个方程，组成方程组求解即可； （2）由题意得，，即,然后根据a，b均为正整数和所得正方形的周长不大于原长方形的周长列不等式组求解即可. 【详解】（1）设该长方形的长为，宽为， 依题意得:， 解得:， 答：该长方形的长为21cm，宽为15cm． （2）依题意：， ∴， 又，     ∴， ∵ a为整数，所以3，4，5， 对应正方形面积分别为324cm2，289cm2，256cm2， ∴这个正方形的最大面积为324cm2． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的几何应用，仔细审题，从中找出列方程组和不等式组所需的等量关系和不等量关系式，是解答本题的关键． 43．（22-23七年级下·福建泉州·期中）已知：点、在数轴上的位置如图所示，为原点，点对应的数是90．点从点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向点运动，同时点从点出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向点运动（当点运动到点时，点、均停止运动）．设运动的时间为秒．    (1)若、两点相遇，求的值；； (2)若、两点相距18个单位长度，求的值； (3)若在、相遇前，线段之间只有10个整数点（不包括点、点），求的取值范围． 【答案】(1)秒 (2)秒或秒 (3) 【分析】（1）由两点的路程之和等于90，再列方程求解即可； （2）由两点的路程之和等于或，再列方程求解即可； （3）设这10个整数为、、、、、，则可得，解得，由①、②有公共部分，可得，解得：，再确定k的整数值，从而可得答案． 【详解】（1）解：设经过后，点A、B相遇． 依题意，得， 解得：． 答：经过秒钟后，点A、B相遇； （2）设经过（），A、B两点相距，依题意， 得：或， 解得，或． 综上所述，或． 答：经过秒或秒后，A、B两点相距； （3）设这10个整数为、、、、、，则 解得： 有解 ①、②有公共部分 解得： 为整数 将代入①、②，得： ． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，建立准确的方程与不等式组是解本题的关键． 过关检测 一、单选题 1．（22-23七年级下·北京东城·期中）若，则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由可得，原不等式不成立，不符合题意； B、由可得，原不等式不成立，不符合题意； C、由可得，原不等式成立，符合题意； D、由可得，原不等式不成立，不符合题意； 故选：C． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组的解集及在数轴上表示不等式组的解集．分别求解两个一元一次不等式，然后把解在数轴上表示出来，公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解：解不等式组得：， ∴不等式组的解集为：． 在数轴上表示解集为： 故选C． 3．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）若关于x的不等式组只有三个整数解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查解一元一次不等式组．根据题意先将不等式组整理为，分别将两个不等式解出，再列出关于的一元一次不等式组即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的不等式组只有三个整数解， ∴整数解为：，即， ∴，解得：， 故选：B． 4．（22-23七年级下·山东烟台·阶段练习）实数a，b，c满足，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质以及化简绝对值，不等式两边同时加上或减去一个数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘上或除去一个负数，不等号的方向改变；不等式两边同时乘上或除去一个正数，不等号的方向不变，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，故选项是错误的； B、∵，，故选项是错误的； C、∵，，故选项是错误的； D、∵，∴，故选项是正确的； 故选：D 5．（22-23七年级下·广西梧州·阶段练习）满足不等式的所有正整数解有几个（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次不等式，先求得不等式的解集，再求得所有正整数解，进而可求解． 【详解】解：解不等式得，则， ∴该不等式的所有正整数解为1，2，3，4，5，共5个， 故选：B． 6．（22-23七年级下·辽宁营口·期末）已知关于x的不等式组的整数解是，0，1，2，若m，n为整数，则的值是（  ） A．5 B．4 C．5或6 D．4或7 【答案】C 【分析】本题考查求不等式组的整数解，根据不等式的整数解求出整数m，n的值，代入计算是解题的关键． 【详解】解：解不等式组得， ∵整数解是，0，1，2， ∴，， 解得：，， 又∵m，n为整数， ∴或，， 当，时，； 当，时，． 故选：C． 7．（22-23七年级下·海南省直辖县级单位·期末）下面是小王解不等式的过程，则他开始出现错误是从（  ）步开始 第一步：去分母，得. 第二步：去括号，得. 第三步：移项，得. 第四步：合并同类项，得. 第五步：系数化为1，得. A．第一步 B．第三步 C．第四步 D．第五步 【答案】D 【分析】本题主要考查解分式不等式，熟记不等式两边同时除以负数不等号的方向要改变这一知识是解题的关键． 【详解】解： 第五步：系数化为1，得 故选：D． 8．（22-23七年级下·全国·课后作业）某社区阅览室出售会员卡，每张会员卡50元，只限本人使用，凭会员卡购入场券每张2元，没有会员卡购入场券每张4元，在什么情况下，购会员卡比不购会员卡更合算（    ） A．购券多于30次 B．购券少于30次 C．购券多于25次 D．购券少于25次 【答案】C 9．（22-23七年级下·全国·课后作业）若不等式组的解集中的任意x都能使不等式x－4＞0成立，则a的取值范围是（    ） A．a＞－4 B．a≥－4 C．a＜－4 D．a≤－4 【答案】D 10．（22-23七年级下·江苏南通·期末）已知a，b，c是三个非负数，且满足，，设，则s的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数和不等式组的应用能力．先分别用含有c的式子表示出a，b，再根据非负数的定义和列不等式组并求解出c的取值范围，最后将c的最大值代入s进行求解． 【详解】，， ，， ， ，，是三个非负数， ， 解得， ， 解得， 故选：C 二、填空题 11．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于x的不等式组的解集中所有整数解之和最小，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】 本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于a的不等式组是解此题的关键．先求出求出不等式组的解集，再根据已知得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集中所有整数解之和最小， ∴不等式组的整数解为或， ∴， 解得， 故答案为：． 12．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知关于x的方程无解，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查含绝对值符号的一元一次方程，绝对值的几何意义； 表示的几何意义是数轴上对应的点到和对应的点距离之和，当对应的点在和对应的点之间任意位置时，有最小值，最小值为．因此，若方程无解，必有，从而求出的取值范围即可． 【详解】解：表示的几何意义是数轴上对应的点到和对应的点距离之和， 当对应的点在和对应的点之间任意位置时，有最小值，最小值为． 当时，方程无解． ， 或， 或． 故答案为：或． 13．（22-23七年级下·吉林长春·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，则满足题意的最小整数a是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，先利用整体的思想求出，从而可得：，然后根据已知，可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：， 得：， 解得：， ∵， ∴， 解得，， ∴满足题意的最小整数a是3， 故答案为：3． 14．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）我们用表示不大于a的最大整数，例如：，，若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用．根据新定义“规定为不大于的最大整数”，由题意得出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 用表示不大于的最大整数， 的取值范围是， 故答案为：． 15．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）如果关于的不等式组的解集为，且整数使得关于的二元一次方程组的解为整数（均为整数），则符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组以及分式的整数值，解不等式组，结合其解集得出；解方程组得出其解，结合解均为整数得出整数m的值；综合前面m的取值范围确定m的最终取值，从而得出答案． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式的解集为， ∴， 解方程组得， ∵解集为整数， ∴或或或， ∴或或或， ∵， ∴或或， ∴整数的和是， 故答案为：2． 三、解答题 16．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）已知． (1)用含x的代数式表示y则______； (2)若y为非负数，则x的取值范围是______； (3)若，求整数x的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查了解不等式组和不等式，解题的关键是根据题意列出不等式或不等式组． （1）把移到右边即可； （2）为非负数，列出关于x的不等式，解不等式即可； （3）根据，得出，解不等式组即可． 【详解】（1）解：， 移项得：． 故答案为：． （2）解：∵为非负数， ∴， 解得：． 故答案为：． （3）解：由题意得：， 解得：， ∴， 又∵是整数， ∴，． 17．（22-23七年级下·北京东城·期中）某学校的编程课上，一位同学设计了一个运算程序，如图所示． 按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行． (1)若，请通过计算写出该程序需要运行多少次才停止； (2)若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围． 【答案】(1)4次 (2) 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算，程序流程图与不等式： （1）根据流程图，列出算式进行计算，直至最终的结果大于，即可得出结果； （2）根据流程图，列出不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴若，该程序需要运行4次才停止； （2）依题意，得，解得． 故若该程序只运行了2次就停止了，x的取值范围为． 18．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆．某超市为了满足广大航天爱好者需求，销售每件进价分别为80元和60元的A，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 4件 5件 955元 第二周 2件 6件 810元 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进价） (1)求A，B两种型号运载火箭模型的销售单价； (2)若超市准备用不超过1400元的金额再采购这两种型号的运载火箭模型共20件，求A种型号的运载火箭模型最多能采购多少件？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这20件运载火箭模型能否实现利润为800元的目标？请说明理由． 【答案】(1)A种型号的销售单价为120元，B种型号的销售单价为95元 (2)A种型号最多能采购10件 (3)超市销售完这20件运载火箭模型能实现利润为700元的目标，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，读懂题意，找出数量有关系是解题的关键． （1）设A种型号的销售单价为x元，B种型号的销售单价为y元，根据表格中的销售收入列方程即可解答； （2）设A种型号采购m件，则B种型号为件，根据题意列出一元一次不等式，即可解答； （3）由（2）可知A种型号最多能采购10件，代入求解即可． 【详解】（1）解：设A种型号的销售单价为x元，B种型号的销售单价为y元， 根据题意列方程组得， 解得， 答：A种型号的销售单价为120元，B种型号的销售单价为95元； （2）解：设A种型号采购m件，则B种型号为件， 根据题意得， 解得， 答：A种型号最多能采购10件； （3）解：超市销售完这20件运载火箭模型能实现利润为700元的目标．理由如下： 由（2）可知A种型号最多能采购10件， （元）， ， ∴超市销售完这20件运载火箭模型能实现利润为700元的目标． 19．（22-23七年级下·四川资阳·期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． (1)在不等式：①，②，③中，不等式的“云不等式”是______ （填序号）； (2)若关于x的不等式不是的“云不等式”，求m的取值范围； (3)若，关于x的不等式与不等式互为“云不等式”，求a的取值范围． 【答案】(1)①② (2)的取值范围是； (3)的取值范围为或． 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）根据云不等式的定义即可求解； （2）解不等式可得，解不等式得，再根据云不等式的定义可得，解不等式即可求解； （3）分两种情况讨论根据云不等式的定义得到含的不等式，解得即可． 【详解】（1）解：不等式和不等式有公共解，故①是不等式的“云不等式”； 不等式和不等式有公共解，故②是不等式的“云不等式”； 不等式和不等式没有公共解，故③不是不等式的“云不等式”； 故答案为：①②； （2）解：解不等式可得， 解不等式得， 关于的不等式不是的“云不等式”， ， 解得， 故的取值范围是； （3）解：①当时，即时，依题意有，即，故； ②当时，即时，始终符合题意，故； 综上，的取值范围为或． 20．（22-23七年级下·重庆江津·阶段练习）某商家欲购进甲、乙两种抗疫用品共件，其进价和售价如表． 甲 乙 进价（元/件） 售价（元/件） (1)若商家计划销售完这批抗疫用品后能获利元，问甲、乙两种用品应分别购进多少件？ (2)若商家计划投入资金不超过元，且销售完这批抗疫用品后获利大于元请问有哪几种购货方案？并写出其中获利最大的购货方案的利润． 【答案】(1)购进甲种用品件，乙种用品件 (2)购进甲种用品件，乙种用品件获利最大为（元） 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找数量关系，列方程． （1）设购进甲种用品x件，乙种用品y件，找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （2）设购进甲种用品m件，则购进乙种用品件，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出各购货方案可分别求出2个购货方案可获得的利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设购进甲种用品件，乙种用品件，依题意得∶ 解得∶． 答∶购进甲种用品件，乙种用品件， （2）设购进甲种用品件，则购进乙种用品件， 依题意得∶ 解得∶， 又为正整数， 可以取， 共有2种购货方案， 方案1∶购进甲种用品件，乙种用品件； 方案2∶购进甲种用品件，乙种用品件； 方案1可获得的利润为 （元） 方案2可获得的利润为 （元）． ， 购进甲种用品件，乙种用品件获利最大为（元）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元一次不等式 知识点 1 ： 不等式的基础 一、不等式的相关概念 不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 二、常见的不等式基本语言与符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是负数 a＜0 a是非正数 a≤0 a是非负数 a≥0 a、b同号 ab＞0 a、b异号 ab＜0 （1）不等号具有方向性，不等号两边的式子不能随意变换； （2）不等式中可以含有未知数，也可以不含未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等式所表示的大小关系，不等式成立；否则，不等式不成立. 三、不等式的性质 基本性质1 若a>b，则a±c > b±c 若a<b，则a±c < b±c 基本性质2 若a>b,c>0，则ac>bc（或） 基本性质3 若a>b,c<0，则ac<bc（或） 知识点2： 一元一次不等式 一、一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，叫作一元一次不等式. 1. 一元一次不等式满足的条件： （1）左右两边都是整式(单项式或多项式)； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数为1． 2. 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 二、一元一次不等式的解法 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数 不等式性质2、3 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律 去括号法则 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各项都要变号； 3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各项都不变号. 移项 把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 不等式性质1 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号.而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为或的形式 合并同类项法则 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 系数化为1 将不等式两边都除以未知数系数a，得到不等式的解 不等式性质2、3 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 【易错易混】 1. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 2. 进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论． 3. 在解一元一次不等式时,上述的五个步骤不一定都能用到,并且也不一定按照自上而下的顺序,要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 知识点3： 一元一次不等式组 一、一元一次不等式组 1. 把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组； 2. 一元一次不等式组满足的条件：①不等式组中所有不等式都是一元一次不等式；②不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数；③不等式组中的一元一次不等式的个数为两个或两个以上. 二、一元一次不等式组的解集 1. 不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集； 2. 利用数轴确定一元一次不等式组的解集的步骤： （1）将组成不等式组的一元一次不等式的解集在同一条数轴上分别正确地表示出来； （2）确定数轴上解集的公共部分，公共部分就是此不等式组的解集，若没有公共部分，则不等式组无解. 3. 一元一次不等式组的解集共有如下四种情况： 不等式组 （设） 不等式组的解集 无解 不等式组的解集 在数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无解 大小小大中间找 Ps：当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变. 三、解一元一次不等式组的一般步骤： 1） 求出不等式组中各不等式的解集. 2） 将各不等式的解决在数轴上表示出来. 3） 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 知识点4： 不等式（组）的实际应用 1. 列一元一次不等式（组）解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； （2）设：设出适当的未知数； （3）列：根据题中的不等关系，列出不等式（组）； （4）解：解所列的不等式（组）； （5）答：检验求得的解或解集是否符合题意，并写出答案． 2. 常见的一些等量关系 （1）行程问题：路程＝速度×时间； （2）工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 （3）利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，； （4）和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率； （5）本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率； （6）多位数的表示方法：例如：. 3. 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式 6x≤50. 题型归纳 【题型1 解一元一次不等式（组）】 1．（23-24七年级下·河南新乡·期中）解下列不等式，并在数轴上表示解集． (1)；(2)． 2．（2024·福建厦门·三模）解不等式 的解集，并把它的解集在数轴上表示出来．   3．（23-24七年级下·吉林长春·期中）解下列不等式（组）： (1)；(2) 【题型2 解特殊不等式组】 4．（20-21七年级下·北京昌平·期末）阅读下列材料：我们知道表示的是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，对表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离． 例1解方程． 解：∵， ∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为，即该方程的解为． 例2解不等式． 解：如图，首先在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程的解为______； （2）解不等式； （3）若，则的取值范围是_______； （4）若，则的取值范围是_______． 【题型3 求一元一次不等式（组）整数解】 5．（2024·湖南永州·模拟预测）解不等式，并求它的非正整数解． 6．（2024·陕西渭南·三模）解不等式，并求出该不等式的最大整数解． 7．（23-24八年级下·河北邯郸·期中） 解不等式组：    在数轴上表示出它的解集，并求出它的正整数解． 8．（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）（1）解不等式； （2）解不等式组：，并写出不等式组的整数解． 【题型4 解|x|≥a型不等式】 9．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 10．（23-24七年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．      参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 【题型5 由一元一次不等式组解集求参数】 11．（23-24七年级下·吉林长春·期中）若不等式组的解集为，求的值. 12．（22-23七年级下·广西河池·期末）若不等式的解集为，求代数式的值． 【题型6 由一元一次不等式组的解集情况求参数】 13．（23-24七年级下·河南周口·期中）已知关于x的不等式组． (1)若这个不等式组无解，求a的取值范围； (2)若也是该不等式组的一个解，求a的取值范围． 14．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的不等式组 (1)若，求这个不等式组的解集； (2)若这个不等式组的整数解共有3个，求的取值范围． 15．（2024·江苏扬州·二模）若关于x的不等式组有1个整数解，求a的取值范围． 16．（2024七年级下·安徽·专题练习）已知关于的不等式组的所有整数解的和为，求的取值范围． 【题型7 解一元一次不等式组有关的遮挡/污染问题】 17．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）嘉淇准备完成题目：解不等式组时，发现常数“□”印刷不清楚． (1)他把“□”猜成3，请你解不等式组； (2)王老师说：我做一下变式，若不等式组的解集为，请求常数“□”的取值范围． 【题型8 不等式组与方程组综合问题】 18．（23-24七年级下·北京·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m得取值范围． (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 19．（23-24八年级下·广东梅州·期中）（1）【情境再现】如下是某种八年级课下册数学课外巩固练习《数学作业设计》的部分内容． 已知关于的方程：的解是负数，求的取值范围． （2） 【拓展】若关于、的方程组 的解满足 ，求的最小整数值． 20．（23-24七年级下·全国·假期作业）关于x，y的方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，求符合条件的整数k的值． 21．（20-21七年级下·甘肃金昌·期末）关于x、y的二元一次方程组的解满足不等式组，求m的取值范围． 【题型9 不等式（组）的应用】 【类型一】工程问题 22．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）现有甲乙两个工程队参加一条道路的施工改造，受条件阻制，每天只能由一个工程队施工．甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工5天，则可以完成340米施工任务；若甲工程队先单独施工2天，再由乙工程对单独施工4天，则可以完成260米的施工任务． (1)求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？ (2)要改造的道路全长1300米，工期不能超过30天，那么乙工程队至少施工多少天？ 23．（21-22七年级下·湖北十堰·期末）“十淅高速”项目工程建设已近尾声，其中某施工路段总长90公里，若由甲、乙两工程队合做6个月可以完成，若甲工程做4个月，乙工程队做9个月也可以完成． (1)甲、乙两队每月的施工路段各是多少公里？ (2)已知甲队每月施工费用为12万元，乙队每月施工费用为9万元，按要求该工程总费用不超过130万元，工程必须在10个月内竣工．为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工，请你设计施工费用最低的施工方案． 【类型二】销售问题 24．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）玩具店准备购进甲、乙两种玩具，若购进甲种玩具20个，乙种玩具15个，需要320元；若购进甲种玩具30个，乙种玩具50个，需要700元． (1)求玩具店购进甲、乙两种玩具每个各需要多少元； (2)玩具店购进甲、乙两种玩具共100个，每个甲种玩具的售价为15元，每个乙种玩具的售价为12元，销售这两种玩具的总获利润不低于470元，那么这个玩具店至少购进甲种玩具多少个？ 25．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）某商场的运动服装专柜，对A，B两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售．已知这两种服装过去两次的进货情况如下表： 第一次 第二次 A品牌运动服装数/件 10 10 B品牌运动服装数/件 20 30 累计采购款/元 6000 7800 (1)问A，B两种品牌运动服的进货单价各是多少元？ (2)由于B品牌运动服的销量明显好于A品牌，商家决定采购B品牌的件数A品牌件数倍多10件，在采购总价不超过12000元的情况下，最多能购进多少件B品牌运动服？ 26．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）端午节期间，某商场打算购入A，B两种粽子礼盒共100件，A种粽子礼盒的进价为每件22元，B种粽子礼盒的进价为每件15元，在销售过程中，顾客甲买3件A和1件B共付款150元，顾客乙买1件A和2件B共付款100元． (1)请问A，B两种粽子礼盒的售价各是多少？ (2)若该商店计划A，B两种礼盒的进货总投入不超过1755元，且全部销售完后总利润不低于1600元，则购进A，B两种礼盒时，共有哪几种进货方案． 【类型三】行程问题 27．（22-23八年级上·全国·课后作业）A，B，C，D四座小山的山脚到学校的路程分别是．学校准备组织一次八年级学生登山活动，计划在上午8时出发，以平均每小时的速度前进，登山和在山顶活动的时间为1小时，下山的时间为30分钟，再以平均每小时的速度返回，在下午4时30分前赶回学校．你认为学校可计划登哪几座山?请说明理由． 28．（22-23七年级下·重庆巴南·期末）甲、乙两车分别从相距210千米的A、B两地相向而行，甲、乙两车均保持匀速行驶．若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇；若乙车比甲车提前1小时出发，则乙车出发后3小时两车相遇． (1)求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)若甲、乙两车同时出发，甲车行驶了1小时后发生故障，甲车原地检修用了30分钟后继续原速度行驶，此时，乙车提高速度，为了保证乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米/小时？ 29．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）甲、乙两车分别从相距200千米的A、B两地相向而行，甲乙两车均保持匀速行驶，若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇． (1)求甲乙两车的速度（单位：千米/小时）是多少． (2)若甲乙两车同时按原速度行驶了1小时，甲车发生故障不动了，为了保证乙车再经过不超过2小时与甲车相遇，乙车提高了速度，求乙车提速后的速度至少是每小时多少千米？ 【类型四】比赛积分问题 30．（22-23七年级下·山东泰安·阶段练习）我市某初中举行“八荣八耻”知识抢答赛，总共50道抢答题．抢答规定：抢答对1题得3分，抢答错1题扣1分，不抢答得0分．小军参加了抢答比赛，只抢答了其中的20道题，要使最后得分不少于50分，问小军至少要答对几道题？ 31．（22-23七年级下·河南南阳·期末）在某次篮球联赛中，火炬队与勇士队要争夺一个出线权（得分高的队夺得出线权），比赛规定：胜一场得2分，负一场得1分，弃权得0分．火炬队目前的战绩是17胜13负，后面还要比赛6场；勇士队目前的战绩是15胜16负，后面还要比赛5场． (1)为确保出线，火炬队在后面的比赛中至少要胜多少场？ (2)如果火炬队在后面的比赛中2胜4负，未能出线，那么勇士队在后面的比赛中的战果如何？ 32．（21-22七年级下·广东中山·期末）在某次知识竞赛中，甲、乙两人轮流答题，每人都要回答20道题，每道题回答正确得m分，回答错误或放弃回答扣n分．当甲、乙两人恰好都答完12道题时，甲答对了9道题，得分为45分；乙答对了10道题，得分为54分． (1)求m和n的值； (2)假如最后得分不低于70分就能晋级，甲在剩下的比赛中至少还要答对多少道题才能顺利晋级？ 【类型五】古代问题 33．（2022·湖南长沙·三模）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、羊各值多少两银子？ (2)若某商人准备用50两银子买牛和羊共20只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两可以有剩余，请问商人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案． 34．（21-22七年级下·福建龙岩·期末）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和几只兔？根据以上译文，回答以下问题： (1)笼中鸡、兔各有多少只？ (2)若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过32只．鸡每只值80元，兔每只值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？ 【类型六】方案问题 35．（22-23七年级下·重庆黔江·期中）某体育用品店准备购进甲，乙品牌乒乓球两种，若购进甲种乒乓球10个，乙种乒乓球5个，需要100元，若购进甲种乒乓球5个，乙种乒乓球3个，需要55元． (1)求购进甲，乙两种乒乓球每个各需多少元？ (2)若该体育用品店刚好用了1000元购进这两种乒乓球，考虑顾客需求，要求购进甲种乒乓球的数量不少于乙种乒乓球数量的6倍，且乙种乒乓球数量不少于23个，那么该文具店共有哪几种进货方案？ 36．（2023七年级下·浙江·专题练习）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需元；购买5个A奖品和4个B奖品共需元． (1)求A，B两种奖品的单价； (2)王老师带了元准备购买A，B两种奖品共个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．王老师有几种购买方案？ 37．（22-23七年级下·福建泉州·期末）第一届茶博会在海丝公园举行，全国各地客商齐聚于此，此届茶博会主题“精彩闽茶•全球共享”．一采购商看中了铁观音和大红袍这两种优质茶叶，并得到如表信息： 铁观音 大红袍 总价/元 质变/Akg 2 5 1800 3 1 1270 (1)求每千克铁观音和大红袍的进价； (2)若铁观音和大红袍这两种茶叶的销售单价分别为450元/kg、260元/kg，该采购商准备购进这两种茶叶共30kg，进价总支出不超过1万元，全部售完后，总利润不低于2660元，该采购商共有几种进货方案？（均购进整千克数）（利润＝售价﹣进价） 【类型七】数字问题 38．（22-23七年级下·河南周口·期中）有一个两位数，它十位上的数字比个位数字小，如果这个两位数大于，且小于，求这个两位数． 39．（22-23七年级下·全国·课后作业）小刚想给小东打电话，但忘了电话号码中的一个数字，只记得电话号码是（表示忘记的一个数字）．若表示的数字是不等式组的整数解，求可能表示的数字． 40．（21-22七年级下·河南南阳·期中）一个两位数，其十位上数字与个位上数字之和等于9，且十位上数字与个位上数字都不为0． 若将其十位上数字与个位上数字调换，所得新数小于原来数的． 求这个两位数． 【类型八】几何问题 41．（21-22九年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为，宽为． (1)当时，求的值； (2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围． 42．（17-18七年级下·湖北武汉·期末）有一个长方形，若它的长增加 9cm，则变为宽的两倍；若它的宽增加 5cm，则只比长少 1cm． (1) 这个长方形的长和宽各是多少 cm？ (2) 将这个长方形的长减少 a cm，宽增加 b cm，使它变成一个正方形，若 a，b均为正整数，所得正方形的周长不大于原长方形的周长，求这个正方形的最大面积． 43．（22-23七年级下·福建泉州·期中）已知：点、在数轴上的位置如图所示，为原点，点对应的数是90．点从点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向点运动，同时点从点出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向点运动（当点运动到点时，点、均停止运动）．设运动的时间为秒．    (1)若、两点相遇，求的值；； (2)若、两点相距18个单位长度，求的值； (3)若在、相遇前，线段之间只有10个整数点（不包括点、点），求的取值范围． 过关检测 一、单选题 1．（22-23七年级下·北京东城·期中）若，则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）若关于x的不等式组只有三个整数解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·山东烟台·阶段练习）实数a，b，c满足，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级下·广西梧州·阶段练习）满足不等式的所有正整数解有几个（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（22-23七年级下·辽宁营口·期末）已知关于x的不等式组的整数解是，0，1，2，若m，n为整数，则的值是（  ） A．5 B．4 C．5或6 D．4或7 7．（22-23七年级下·海南省直辖县级单位·期末）下面是小王解不等式的过程，则他开始出现错误是从（  ）步开始 第一步：去分母，得. 第二步：去括号，得. 第三步：移项，得. 第四步：合并同类项，得. 第五步：系数化为1，得. A．第一步 B．第三步 C．第四步 D．第五步 8．（22-23七年级下·全国·课后作业）某社区阅览室出售会员卡，每张会员卡50元，只限本人使用，凭会员卡购入场券每张2元，没有会员卡购入场券每张4元，在什么情况下，购会员卡比不购会员卡更合算（    ） A．购券多于30次 B．购券少于30次 C．购券多于25次 D．购券少于25次 9．（22-23七年级下·全国·课后作业）若不等式组的解集中的任意x都能使不等式x－4＞0成立，则a的取值范围是（    ） A．a＞－4 B．a≥－4 C．a＜－4 D．a≤－4 10．（22-23七年级下·江苏南通·期末）已知a，b，c是三个非负数，且满足，，设，则s的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于x的不等式组的解集中所有整数解之和最小，则a的取值范围为 ． 12．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知关于x的方程无解，则的取值范围是 ． 13．（22-23七年级下·吉林长春·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，则满足题意的最小整数a是 ． 14．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）我们用表示不大于a的最大整数，例如：，，若，则x的取值范围是 ． 15．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）如果关于的不等式组的解集为，且整数使得关于的二元一次方程组的解为整数（均为整数），则符合条件的所有整数的和是 ． 三、解答题 16．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）已知． (1)用含x的代数式表示y则______； (2)若y为非负数，则x的取值范围是______； (3)若，求整数x的值． 17．（22-23七年级下·北京东城·期中）某学校的编程课上，一位同学设计了一个运算程序，如图所示． 按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行． (1)若，请通过计算写出该程序需要运行多少次才停止； (2)若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围． 18．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆．某超市为了满足广大航天爱好者需求，销售每件进价分别为80元和60元的A，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 4件 5件 955元 第二周 2件 6件 810元 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进价） (1)求A，B两种型号运载火箭模型的销售单价； (2)若超市准备用不超过1400元的金额再采购这两种型号的运载火箭模型共20件，求A种型号的运载火箭模型最多能采购多少件？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这20件运载火箭模型能否实现利润为800元的目标？请说明理由． 19．（22-23七年级下·四川资阳·期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． (1)在不等式：①，②，③中，不等式的“云不等式”是______ （填序号）； (2)若关于x的不等式不是的“云不等式”，求m的取值范围； (3)若，关于x的不等式与不等式互为“云不等式”，求a的取值范围． 20．（22-23七年级下·重庆江津·阶段练习）某商家欲购进甲、乙两种抗疫用品共件，其进价和售价如表． 甲 乙 进价（元/件） 售价（元/件） (1)若商家计划销售完这批抗疫用品后能获利元，问甲、乙两种用品应分别购进多少件？ (2)若商家计划投入资金不超过元，且销售完这批抗疫用品后获利大于元请问有哪几种购货方案？并写出其中获利最大的购货方案的利润． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$