第09讲 圆的对称性、确定圆的条件-2024年暑假九年级数学上册自学课系列（苏科版）

第09讲 圆的对称性、确定圆的条件 【苏科版】 ·模块一 圆心角、弧、弦之间的关系 ·模块二 垂径定理 ·模块三 确定圆的条件 ·模块四 课后作业 模块一 圆心角、弧、弦之间的关系 弧、弦、圆心角之间的关系： 定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。 注：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦，两条弧、两个弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量也分别相等 【考点1 圆心角、弧、弦之间的关系】 【例1.1】（2023九年级·广西南宁·期末）如图，在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023九年级·江苏淮安·期中）如图，在两个同心圆中，为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【例1.3】（2023九年级·江苏连云港·阶段练习）若一条弦把圆分成两部分，则劣弧所对的圆心角为 ． 【变式1.1】（2023九年级·全国·单元测试）如图，是⊙O的直径，点M是的中点，连接．求证：； 【变式1.2】（2023九年级·湖北省直辖县级单位·期中）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（　　） A．42° B．48° C．21° D．16° 【变式1.3】（2023九年级·江苏无锡·阶段练习）已知圆的半径为1，弦，则弧的度数是 ． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·全国·课后作业）如图，在中，D、E分别为半径上的点，且．C为弧上一点，连接，且．求证：C为 的中点． 【题型2】（2023九年级·江苏连云港·阶段练习）如图，是的直径，点在上，于，于，且，弧与弧相等吗？为什么？    【题型3】（2023九年级·浙江·专题练习）如图，是的直径，，，，，都是的弦，且，求与的度数． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023九年级·广东广州·期中）如图，在中，，，求的度数． 【题型2】（2023九年级·浙江杭州·期中）如图，在中，，求证： (1)； (2)． 【题型3】（2023九年级·浙江宁波·期中）如图，是的三等分点，连结分别交于点．    (1)求出的度数； (2)求证：． 模块二 垂径定理 垂径定理： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧． 【考点1 圆的对称性】 【例1.1】（2023九年级·江苏常州·阶段练习）圆是轴对称图形，它有 条对称轴，对称轴是 ． 【例1.2】（2023九年级·全国·课后作业）如图，在Rt中，∠ACB＝90度．点P是半圆弧AC的中点，连接BP交AC于点D，若半圆弧的圆心为O，点D、点E关于圆心O对称．则图中的两个阴影部分的面积S1，S2之间的关系是（    ） A．S1＜S2 B．S1＞S2 C．S1＝S2 D．不确定 【变式1.1】（2023九年级·河北沧州·期中）如图，两个同心圆中有两条互相垂直的直径，其中大圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023·江苏徐州·中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（    ） A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍 【考点2 垂径定理】 【例2.1】（2023九年级·江苏南通·期中）如图，是的直径，是弦，，垂足为M，则下列结论中错误的是（   ）    A． B． C． D． 【例2.2】（2023九年级·四川达州·阶段练习）如图，是的直径，弦于点E，，，则（     ） A．6 B． C．9 D．12 【例2.3】（2023九年级·江西南昌·期中）于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”，手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦长，弓形高长求半径的长． 【变式2.1】（2023九年级·湖北武汉·阶段练习）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF 【变式2.2】（2023九年级·浙江·开学考试）如图，是的直径，弦垂足为P．若，则的长为 ． 【变式2.3】（2023九年级·湖北武汉·阶段练习）某桥是典型的圆弧形石拱桥，如图，小雅同学测得水面宽为8m，拱顶到水面的距离也为8m，则这座桥的桥拱半径为（    ） A．4m B．5m C．6m D．8m 【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·全国·课后作业）如图，是的弦，长为8，是上一个动点（不与、重合），过点作于点，于点，则的长为 ． 【题型2】（2023九年级·全国·单元测试）如图，的两条弦（AB不是直径），点E为AB中点，连接EC，ED． （1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由； （2）求证：． 【题型3】（2023九年级·浙江宁波·期中）如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D．已知：，．求残片所在圆的面积．    【拓广探究创新练】 【题型1】（2023九年级·广东广州·期末）如图，是的两条弦，，垂足分别为E，F．比较和的大小，并证明你的结论． 【题型2】（2023九年级·湖北武汉·阶段练习）如图，两个圆都以点O为圆心． 求证：． 【题型3】（2023九年级·江苏镇江·阶段练习）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？“其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深DE=1寸，锯道长AB=10寸，问这块圆形木材的直径是多少？” 模块三 确定圆的条件 确定圆的条件： 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 【考点1 确定圆的条件】 【例1.1】（2023九年级·安徽芜湖·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【例1.2】（2023九年级·全国·课后作业）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【例1.3】（2023九年级·江苏宿迁·阶段练习）已知直线l：y=x+4，点A（0，2），点B（2，0），设点P为直线l上一动点，当P的坐标为 时，过P，A，B三点不能作出一个圆． 【变式1.1】（2023九年级·江苏淮安·阶段练习）平面直角坐标系内的三个点，，， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）． 【变式1.2】（2023九年级·浙江·单元测试）正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定 个不同的圆． 【变式1.3】（2023九年级·全国·单元测试）如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作 个． 【考点2 三角形的外接圆】 【例2.1】（2023九年级·广西防城港·期末）如图是一位考古学家发现的一块古代车轮的碎片． (1)请你帮他找出这个车轮所在圆环的圆心并还原画出这个车轮的圆环图（尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法）． (2)在（1）的条件下，若测量出车轮所在的圆环外径（外圆的直径）是，求车轮滚动一圈直走的路程（结果保留）． 【例2.2】（2023九年级·湖北随州·期末）如图，，是的直径，弦与交于点F，连接，，，，下列三角形中，外心是点O的是（    ） A． B． C． D． 【例2.3】（2023九年级·广东珠海·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（    ） A．（－2，－1） B．（－1，0） C．（－1，－1） D．（0，－1） 【变式2.1】（2023九年级·河南安阳·期中）在中，，，，则它的外心与顶点C之间的距离为 ． 【变式2.2】（2023·浙江绍兴·二模）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)过，，三点的圆的圆心坐标为______； (2)请通过计算判断点与的位置关系． 【变式2.3】（2023九年级·全国·专题练习）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，则的长度为（    ） A．4 B．5 C． D． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·河北石家庄·期中）九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（   ） A．ABC B．ABE C．ABD D．ACE 【题型2】（2023九年级·江苏常州·阶段练习）如图，的三个顶点的坐标分别为，则的外接圆圆心的坐标为 ． 【题型3】（2023·江西上饶·一模）平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023九年级·全国·课后作业）已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上． （1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？ （2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？ （3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？ 【题型2】（2023九年级·江苏·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，7)，点B的坐标为(0，3)，点C的坐标为(3，0)．    （1）在图中利用直尺画出的外接圆的圆心点D，圆心D的坐标为 ； （2）最小覆盖圆的面积为 ；（用含π的代数式表示） （3）若点E的坐标(6，0)，点E在外接圆 （填“圆内”“圆上”或“圆外”） 【题型3】（2023九年级·广东潮州·期末）如图，已知线段是的一条弦． (1)实践与操作：用尺规作图法作出圆心O；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：若弦，圆心O到的距离为4，求的半径． 模块四 课后作业 1．（2023·云南楚雄·三模）如图，是的直径，是的弦，且，的半径等于5，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（2023九年级·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．不在同一直线上的三点确定一个圆 C．直径是弦，弦是直径 D．长度相等的弧是等弧 3．（2023九年级·河北邯郸·期中）如图，在中，用尺规按照下面步骤作图： ①作线段的垂直平分线； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③以为圆心，长为半径作，分别交于点M，N． 嘉嘉和瑣瑣分别给出了一个结论．嘉嘉：点O是的外心． 瑣瑣：若，则． 对于两人的结论，下列判断正确的是（   ） A．两人的结论都正确 B．两人的结论都不正确 C．嘉嘉的结论正确，瑣瑣的结论不正确 D．瑣瑣的结论正确 ，嘉嘉的结论不正确 4．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，锐角三角形中，点O为中点．甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（    ） 甲的作法                            乙的作法                          过点B作与AC垂直的直线，            以O为圆心，OA长为半径画弧， 交AC于点P，则P即为所求            交AC于点P，则P即为所求 A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 5．（2023九年级·全国·专题练习）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为（　　）    A．4 B．5 C． D． 6．（2023九年级·江西赣州·阶段练习）如图，是的弦，半径经过的中点．若，则的大小为 ． 7．（2023九年级·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D、E，则的最大值为 ． 8．（2023·浙江绍兴·二模）如图，水暖管横截面是圆，当半径的水暖管有积水（阴影部分），水面的宽度为，则积水的最大深度是 ． 9．（2023九年级·江苏徐州·阶段练习）已知一个三角形的三条边的长分别为10，8，6，则这个三角形的外接圆半径是 ． 10．（2023九年级·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O、A、B、C均在格点上，则过A、B、C三点的圆的圆心坐标为 ． 11．（2023·安徽·一模）如图，AB为⊙O的一条弦． (1)用尺规作图：过点O作OC⊥AB，垂足为点C，交于点D(保留作图痕迹，不写作法)； (2)若(1)中的CD的长为2，BD的长为，求⊙O的半径． 12．（2023九年级·广东广州·期中）如图，AB是⊙O的弦，C、D为直线AB上两点，OC＝OD，求证：AC＝BD． 13．（2023九年级·安徽芜湖·期中）如图所示的是一个半圆形拱桥的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，已知拱桥的跨度，若测得某时水面宽度，求水深． 14．（2023九年级·浙江杭州·阶段练习）学习完《垂径定理》这一节内容后，同学们学到了如何用直尺和圆规来平分一条已知弧的方法，老师接下来请小亮同学做如下四等分圆弧问题的操作： 请利用直尺和圆规四等分． 小亮的作法如下： 如图， （1）连接； （2）作的垂直平分线交于点M，交于点T； （3）分别作线段，线段的垂直平分线，交于N，P两点；那么N，M，P三点把四等分． (1)请你帮判断小亮作法是否正确；若不正确，请你利用直尺和圆规四等分所给的（保留作图痕迹）． (2)找出圆的心（保留作图痕迹）． 15．（2023·黑龙江绥化·二模）如图，在中，，平分，    (1)在边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求的半径． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 圆的对称性、确定圆的条件 【苏科版】 ·模块一 圆心角、弧、弦之间的关系 ·模块二 垂径定理 ·模块三 确定圆的条件 ·模块四 课后作业 模块一 圆心角、弧、弦之间的关系 弧、弦、圆心角之间的关系： 定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。 注：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦，两条弧、两个弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量也分别相等 【考点1 圆心角、弧、弦之间的关系】 【例1.1】（2023九年级·广西南宁·期末）如图，在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆心角，弧，弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，由此即可得到答案． 【详解】解： ，， ． 故选：D． 【例1.2】（2023九年级·江苏淮安·期中）如图，在两个同心圆中，为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，可得结论． 【详解】解：∵的度数为， ∴， ∴的度数为， 故选D． 【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是理解圆心角的度数与所对的弧的度数相等． 【例1.3】（2023九年级·江苏连云港·阶段练习）若一条弦把圆分成两部分，则劣弧所对的圆心角为 ． 【答案】/60度 【分析】先根据圆心角、弧、弦的关系求出劣弧所对圆心角的度数即可． 【详解】解：∵一条弦把圆周分成的两段弧， ∴劣弧所对圆心角的度数， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在解答此类问题时要注意是在“同圆或等圆中”才适用，这是此类问题的易错点． 【变式1.1】（2023九年级·全国·单元测试）如图，是⊙O的直径，点M是的中点，连接．求证：； 【答案】见解析 【分析】利用圆中半径都相等，以及等弧对等角和三角形的外角的性质，推出，即可得证． 【详解】证明：∵M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等弧对等角，以及等边三角形等边对等角和三角形外角的性质，以及平行线的判定．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式1.2】（2023九年级·湖北省直辖县级单位·期中）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（　　） A．42° B．48° C．21° D．16° 【答案】C 【分析】根据弦相等可得，再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案． 【详解】解： 点A、B、C、D、E在上，，， ， ， 故选：C． 【点睛】题目主要考查同圆中，弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系，熟练运用圆周角定理及四者之间的关系是解题关键． 【变式1.3】（2023九年级·江苏无锡·阶段练习）已知圆的半径为1，弦，则弧的度数是 ． 【答案】90° 【分析】利用勾股定理的逆定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴， 即弧的度数是，    故答案为：． 【点睛】本题考查圆心角，勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·全国·课后作业）如图，在中，D、E分别为半径上的点，且．C为弧上一点，连接，且．求证：C为 的中点． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是圆心角，弧，弦的关系、全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．由证明，得出对应角相等，由圆心角，弧，弦的关系即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即C为的中点． 【题型2】（2023九年级·江苏连云港·阶段练习）如图，是的直径，点在上，于，于，且，弧与弧相等吗？为什么？    【答案】，见解析 【分析】连接，易得， ，推出，进而得出，则，即可求证． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，圆心角和弧的关系，解题的关键是掌握在同圆中，相等的圆周角所对的弧相等；全等三角形对应角相等． 【题型3】（2023九年级·浙江·专题练习）如图，是的直径，，，，，都是的弦，且，求与的度数． 【答案】， 【分析】由，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等得到，而是的直径，所以，． 【详解】解：∵， ∴， 而是的直径， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023九年级·广东广州·期中）如图，在中，，，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查弦、弧、圆心角的关系及等腰三角形的性质，由得出，根据等腰三角形的性质即可得答案，熟练掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型2】（2023九年级·浙江杭州·期中）如图，在中，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，解答本题用到的知识点为：同弧所对的圆心角相等，等腰三角形两底角相等等． （1）由，可知，得到； （2）根据圆心角、弧、弦的关系由，得到，然后利用等腰三角形底角相等即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ； （2）证明：， ， 又， ， 即． 【题型3】（2023九年级·浙江宁波·期中）如图，是的三等分点，连结分别交于点．    (1)求出的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是： （1）连接，，根据圆心角、弧、弦的关系求出，得到，即可求解； （2）根据三角形内角和求出，得到，同理得到，根据得到，继而可得结果． 【详解】（1）解：证明：连接，，如图，    ∵在中，半径，C、D为以O为圆心的弧的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴，同理， ∵C，D是的三等分点， ∴， ∴． 模块二 垂径定理 垂径定理： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧． 【考点1 圆的对称性】 【例1.1】（2023九年级·江苏常州·阶段练习）圆是轴对称图形，它有 条对称轴，对称轴是 ． 【答案】 无数 直径所在的直线 【分析】根据轴对称图形的定义知：把一个圆形纸无论怎么对折，两部分都能完全重合，所以圆是轴对称图形，因为任何一条直径所在的直线，把圆平分成两个半圆，所以任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴． 【详解】解：圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，圆的对称轴就是这个圆直径所在的直线． 故答案为：无数，直径所在的直线． 【点睛】本题考查了圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴．注意对称轴是直径所在的直线，不是直径． 【例1.2】（2023九年级·全国·课后作业）如图，在Rt中，∠ACB＝90度．点P是半圆弧AC的中点，连接BP交AC于点D，若半圆弧的圆心为O，点D、点E关于圆心O对称．则图中的两个阴影部分的面积S1，S2之间的关系是（    ） A．S1＜S2 B．S1＞S2 C．S1＝S2 D．不确定 【答案】C 【分析】连接OP，根据题意知半圆关于OP对称，因而S1，S2在直径AC上面的两部分的面积相等，由△CDB与△AEB的底CD与AE相等，高相同，因而△CDB与△AEB的面积相同，因而S1＝S2． 【详解】解：如图，连接OP， ∵点P是半圆弧AC的中点，半圆弧的圆心为O， ∴半圆关于OP对称， ∴S1，S2在直径AC上面的两部分的面积相等， ∵△CDB与△AEB的底CD与AE相等，高相同， ∴△CDB与△AEB的面积相同，因而S1＝S2． 故选：C． 【点睛】此题考查圆的轴对称性质，等底同高三角形的面积关系，正确理解圆的轴对称的性质是解题的关键． 【变式1.1】（2023九年级·河北沧州·期中）如图，两个同心圆中有两条互相垂直的直径，其中大圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的旋转对称性，可知阴影部分的面积刚好拼成大圆的一半，据此解题． 【详解】解：根据题意，大圆、小圆都被两条互相垂直的直径平均分成4份，由圆的旋转对称性，可得阴影部分的面积刚好拼成大圆的一半，阴影部分面积：π×22＝2π， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的旋转对称性等知识，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【变式1.2】（2023·江苏徐州·中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（    ） A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍 【答案】B 【分析】设OB=x，则OA=3x，BC=2x，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求解． 【详解】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC， ∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1， ∴设OB=x，则OA=3x，BC=2x， ∴圆的面积=π(3x)2=9πx2，正方形的面积==2x2， ∴9πx2÷2x2=，即：圆的面积约为正方形面积的14倍， 故选B． 【点睛】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的面积，是解题的关键． 【考点2 垂径定理】 【例2.1】（2023九年级·江苏南通·期中）如图，是的直径，是弦，，垂足为M，则下列结论中错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】垂直于弦的的直径平分弦及弦所对的两条弧，根据垂径定理即可进行判断，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径，是弦，，垂足为M， ∴，，， 无法判断， 故选：C． 【例2.2】（2023九年级·四川达州·阶段练习）如图，是的直径，弦于点E，，，则（     ） A．6 B． C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 先根据垂径定理得到，然后利用勾股定理可计算出的长． 【详解】解：， ， 在中，． 故选：C． 【例2.3】（2023九年级·江西南昌·期中）于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”，手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦长，弓形高长求半径的长． 【答案】半径的长为 【分析】此题主要考查了弓形的概念，熟练掌握弓形的概念，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．设半径的长为，则，由已知可得然后在中，由勾股定理得，即，由此解出r即可． 【详解】解：设半径的长为，则， ∵弓形高， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：． 答：半径的长为． 【变式2.1】（2023九年级·湖北武汉·阶段练习）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF 【答案】见解析 【分析】根据垂径定理进行解答即可． 【详解】解：∵E为AB中点，MN过圆心O， ∴MN⊥AB ， ∴∠MEB＝90°， ∵AB∥CD ， ∴∠MFD＝∠MEB＝90°， 即MN⊥CD ， ∴CF＝DF． 【点睛】本题考查了垂径定理的运用，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧． 【变式2.2】（2023九年级·浙江·开学考试）如图，是的直径，弦垂足为P．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，设的半径为，在直角三角形中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：设的半径为， 则 ∵， ∴ 则： 解得： ∴， 故答案为：． 【变式2.3】（2023九年级·湖北武汉·阶段练习）某桥是典型的圆弧形石拱桥，如图，小雅同学测得水面宽为8m，拱顶到水面的距离也为8m，则这座桥的桥拱半径为（    ） A．4m B．5m C．6m D．8m 【答案】B 【分析】连接，设，则，根据垂径定理得出，然后根据勾股定理得出关于x的方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：连接， 由题意可得：，设半径， 则， 由勾股定理可得：， 解得：． 则桥拱半径为． 故选：B． 【点睛】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意作出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·全国·课后作业）如图，是的弦，长为8，是上一个动点（不与、重合），过点作于点，于点，则的长为 ． 【答案】4 【分析】先利用垂径定理可得，，再根据三角形中位线定理，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，三角形形的中位线定理，得到是的中位线是解题的关键． 【题型2】（2023九年级·全国·单元测试）如图，的两条弦（AB不是直径），点E为AB中点，连接EC，ED． （1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由； （2）求证：． 【答案】（1）直线EO与AB垂直．理由见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论； （2）易证，由垂径定理可得结论. 【详解】解：（1）直线EO与AB垂直．理由如下： 如图，连接EO，并延长交CD于F． ∵ EO过点O，E为AB的中点， ． （2），， ． ∵ EF过点O， ， 垂直平分CD， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键. 【题型3】（2023九年级·浙江宁波·期中）如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D．已知：，．求残片所在圆的面积．    【答案】 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理，设点O是此残片所在的圆的圆心，连接，根据垂径定理得到，然后设，则，根据勾股定理列方程求出，然后根据圆的面积公式求解即可．解题的关键是正确找出圆心根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：设点O是此残片所在的圆的圆心，连接，如图．    ∵， ∴ ∵ ∴设，则 ∴在中，，即 解得 ∴ ∴圆的半径为 ∴残片所在圆的面积为：. 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023九年级·广东广州·期末）如图，是的两条弦，，垂足分别为E，F．比较和的大小，并证明你的结论． 【答案】，证明见解析 【分析】根据垂径定理得到，再由，即可证明． 【详解】解：，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解题的关键． 【题型2】（2023九年级·湖北武汉·阶段练习）如图，两个圆都以点O为圆心． 求证：． 【答案】过点O作于E，根据垂径定理可得，，即可得到结果． 【详解】过点O作OE⊥AB于E， 在小⊙O中，∵OE⊥CD，∴EC=ED． 在大⊙O中，∵OE⊥AB，∴EA=EB． ∴AC=BD． 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． 【题型3】（2023九年级·江苏镇江·阶段练习）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？“其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深DE=1寸，锯道长AB=10寸，问这块圆形木材的直径是多少？” 【答案】CD=26寸． 【分析】连接OA，由题意知CD过点O，且CD⊥AB，AE=BE=AB=5（寸），设圆形木材半径OA的长为x，可知OE=x-1，根据OA2=OE2+AE2列方程求解可得． 【详解】解：连接OA， ∵AB⊥CD，且AB=10， ∴AE=BE=AB =5（寸）， 设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x ∵DE=1， ∴OE=x-1， 在Rt△AOE 中，根据勾股定理得：OA2-OE2=AE2 ， 解得：x=13 所以CD=26（寸）． 故答案为CD=26寸． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧及勾股定理是解题的关键． 模块三 确定圆的条件 确定圆的条件： 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 【考点1 确定圆的条件】 【例1.1】（2023九年级·安徽芜湖·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】A 【分析】本题考查圆的确定，牢记平面内已知圆心与半径可以唯一确定圆是解决问题的关键． 【详解】解：∵点为圆心，1为半径作圆， ∴可以唯一确定圆，即：这样的圆只有1个， 故选：A． 【例1.2】（2023九年级·全国·课后作业）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】 本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：A． 【例1.3】（2023九年级·江苏宿迁·阶段练习）已知直线l：y=x+4，点A（0，2），点B（2，0），设点P为直线l上一动点，当P的坐标为 时，过P，A，B三点不能作出一个圆． 【答案】(−1, 3) 【分析】由而在同一直线上的三个点不能画一个圆可知，当P，A，B三点共线时，过P，A，B三点不能作出一个圆．为此，先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再与y=x-4联立，两直线的交点坐标即为所求． 【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b， ∵A(0,2)，点B(2,0)， ∴， 解得， ∴y=−x+2. 解方程组，得， ∴当P的坐标为(−1, 3)时，过P，A，B三点不能作出一个圆. 故答案为(−1, 3). 【点睛】本题考查确定圆的条件和一次函数的性质，解题的关键是掌握确定圆的条件和一次函数的性质. 【变式1.1】（2023九年级·江苏淮安·阶段练习）平面直角坐标系内的三个点，，， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查确定圆的条件，解题的关键是掌握：不在同一直线上的三个点确定一个圆． 判断三个点在不在一条直线上即可． 【详解】解：∵，，，在这条直线上，， ∴三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：不能． 【变式1.2】（2023九年级·浙江·单元测试）正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定 个不同的圆． 【答案】5 【分析】根据不在同一条直线上的三点可以确定一个圆分析得出． 【详解】解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆． 故答案为5． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟记不在同一条直线上的三点可以确定一个圆． 【变式1.3】（2023九年级·全国·单元测试）如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作 个． 【答案】3 【分析】根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”确定圆的个数即可． 【详解】过A、B、M；A、C、M；B、C、M共能确定3个圆， 故答案为3． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，注：过三点作圆，分两种情况：①三点共线；②三点不共线． 【考点2 三角形的外接圆】 【例2.1】（2023九年级·广西防城港·期末）如图是一位考古学家发现的一块古代车轮的碎片． (1)请你帮他找出这个车轮所在圆环的圆心并还原画出这个车轮的圆环图（尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法）． (2)在（1）的条件下，若测量出车轮所在的圆环外径（外圆的直径）是，求车轮滚动一圈直走的路程（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了确定圆心，求圆的周长； （1）先确定圆心，在小圆上任意取三点，作出两条线段，作这两条线段的垂直平分线，交于同一点即为圆环的圆心，进而画出车轮的圆环图； （2）根据圆环外径（外圆的直径）是，根据圆的周长公式，即可求解． 【详解】（1）解：如图为所求作的图形． （2）圆的周长， ∴车轮滚动一圈直走的路程是． 【例2.2】（2023九年级·湖北随州·期末）如图，，是的直径，弦与交于点F，连接，，，，下列三角形中，外心是点O的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用外心的定义，外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而判断得出即可． 【详解】解：只有的三个顶点都在圆上，故外心是点O的是． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形外心的定义，正确掌握外心的定义是解题关键． 【例2.3】（2023九年级·广东珠海·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（    ） A．（－2，－1） B．（－1，0） C．（－1，－1） D．（0，－1） 【答案】A 【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心． 【详解】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 如图所示：EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心， ∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）． 故选：A 【点睛】此题考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用． 【变式2.1】（2023九年级·河南安阳·期中）在中，，，，则它的外心与顶点C之间的距离为 ． 【答案】/厘米 【分析】先利用勾股定理计算出，由于的外心为斜边的中点，则可得的外接圆半径为，从而确定它的外心与顶点的距离． 【详解】解：，，， ， 的外心为斜边的中点， 的外接圆半径为， 它的外心与顶点的距离为． 故答案为：． 【变式2.2】（2023·浙江绍兴·二模）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)过，，三点的圆的圆心坐标为______； (2)请通过计算判断点与的位置关系． 【答案】(1) (2)在圆外 【分析】本题考查了垂径定理推论，勾股定理，平面坐标系中点的坐标，点与圆的位置关系，根据垂径定理得出圆心位置是解答本题的关键． （1）连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点，就是过，，三点的圆的圆心，由图形可得的坐标； （2）分别求出和的长度进行比较即可作出判断． 【详解】（1）解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点， 是过，，三点的圆的圆心，    ． （2），，， ，， ， 点在的外部． 【变式2.3】（2023九年级·全国·专题练习）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，则的长度为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置，然后利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵的外心为O， ， ， ， 、是方格纸格线的交点， 、的位置如图所示， ． 故选：D． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·河北石家庄·期中）九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（   ） A．ABC B．ABE C．ABD D．ACE 【答案】C 【分析】根据三角形的外心和等边三角形的性质解答； 【详解】∵外心为三角形三边中垂线的交点，且钝角三角形的外心在三角形的外部，∴点是的外心． 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和三角形外接圆的圆心，准确分析判断是解题的关键． 【题型2】（2023九年级·江苏常州·阶段练习）如图，的三个顶点的坐标分别为，则的外接圆圆心的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据三角形的外心是三边中垂线的交点，由的坐标可知，圆心M必在直线上；由图知：的垂直平分线正好经过，由此可得到． 【详解】解：设的外心为M， ， ∴M必在直线上，由图知：的垂直平分线过，故， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握三角形的外心是三边中垂线的交点、确定圆心的位置是解题的关键． 【题型3】（2023·江西上饶·一模）平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，②当三点在一直线上时，③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，根据不在同一直线上的三点可以画一个圆，画出图形，即可得出答案． 【详解】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时， ②当三点在一直线上时，如图2， 分别过或或作圆，共3个圆，即， ③当四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时， 分别过或或或作圆，共4个圆，即此时， 即不能是2， 故选：C． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023九年级·全国·课后作业）已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上． （1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？ （2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？ （3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？ 【答案】（1）1个；（2）0个；（3）无数个． 【分析】（1）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点，据此可得答案； （2）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点； （3）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心． 【详解】解：（1）如图1，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点， ∴当直线l与直线AB不垂直时，只能作1个圆； （2）如图2，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点， ∴当直线l与直线AB垂直但不经过AB的中点时，不能作圆；   （3）如图3，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心， ∴当直线l是线段AB的垂直平分线时，能作无数个圆． 【点睛】本题主要考查确定圆的条件，不在同一直线上的三点确定一个圆．即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 【题型2】（2023九年级·江苏·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，7)，点B的坐标为(0，3)，点C的坐标为(3，0)．    （1）在图中利用直尺画出的外接圆的圆心点D，圆心D的坐标为 ； （2）最小覆盖圆的面积为 ；（用含π的代数式表示） （3）若点E的坐标(6，0)，点E在外接圆 （填“圆内”“圆上”或“圆外”） 【答案】（1）（5，5）；（2）；（3）内 【分析】（1）根据网格的性质画出AB和BC的垂直平分线，交点即为点D； （2）求出△ABC的外接圆的面积即可； （3）求出DE的长，再与圆D的半径比较即可． 【详解】解：（1）如图所示， 点D的坐标为（5，5），    （2）△ABC的最小覆盖圆的面积即为外接圆的面积， ∵D（5，5），A（0，7）， ∴AD=， ∴△ABC的最小覆盖圆的面积为=； （3）∵E（6，0） 则DE= ＜， ∴点E在△ABC外接圆内， 故答案为：内． 【点睛】此题主要考查了三角形外接圆，勾股定理，解题的关键是能根据网格的性质找到圆心D． 【题型3】（2023九年级·广东潮州·期末）如图，已知线段是的一条弦． (1)实践与操作：用尺规作图法作出圆心O；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：若弦，圆心O到的距离为4，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图—确定圆心，垂径定理，勾股定理： （1）如图所示，在圆上取一点C，连接，分别作的垂直平分线，二者交于点O，点O即为所求； （2）连接，由垂径定理得到，再由，即可利用勾股定理得到． 【详解】（1）解：如图所示，在圆上取一点C，连接，分别作的垂直平分线，二者交于点O，点O即为所求； （2）解：如图所示，连接， ∵，，圆心O到的距离为4， ∴， ∴， ∴的半径为． 模块四 课后作业 1．（2023·云南楚雄·三模）如图，是的直径，是的弦，且，的半径等于5，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，先根据，得出，结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是的直径，是的弦，且 ∴ 则 ∴ 故选：C． 2．（2023九年级·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．不在同一直线上的三点确定一个圆 C．直径是弦，弦是直径 D．长度相等的弧是等弧 【答案】B 【分析】本题考查的是命题的真假判断，掌握垂径定理的推论、确定圆的条件、弦的定义、等弧的定义是解题的关键．根据垂径定理的推论、确定圆的条件、弦的定义、等弧的定义判断即可． 【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法错误，不符合题意； B、不在同一直线上的三点确定一个圆，说法正确，符合题意； C、直径是弦，弦不一定是直径，故本选项说法错误，不符合题意； D、能够重合的弧是等弧，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．（2023九年级·河北邯郸·期中）如图，在中，用尺规按照下面步骤作图： ①作线段的垂直平分线； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③以为圆心，长为半径作，分别交于点M，N． 嘉嘉和瑣瑣分别给出了一个结论．嘉嘉：点O是的外心． 瑣瑣：若，则． 对于两人的结论，下列判断正确的是（   ） A．两人的结论都正确 B．两人的结论都不正确 C．嘉嘉的结论正确，瑣瑣的结论不正确 D．瑣瑣的结论正确 ，嘉嘉的结论不正确 【答案】C 【分析】本题考查了作图复杂作图,尺规作图和三角形外心的性质．根据三角形外心的定义对嘉嘉的结论进行判断；利用垂径定理对瑣瑣的结论进行判断． 【详解】解：点是和的垂直平分线的交点， 点是的外心，故嘉嘉的结论正确； ， ∴，不能说明， 和的长度不确定，故瑣瑣的结论不正确． 故选：C． 4．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，锐角三角形中，点O为中点．甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（    ） 甲的作法                            乙的作法                          过点B作与AC垂直的直线，            以O为圆心，OA长为半径画弧， 交AC于点P，则P即为所求            交AC于点P，则P即为所求 A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，由三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，即可判断． 【详解】解：甲的作法， ， ， ∵O是中点， ， ， ∴O是的外心， ∴甲的作法正确． 乙的作法， 由作法知：， ∴O是的外心， ∴乙的作法正确． 故选：A． 5．（2023九年级·全国·专题练习）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为（　　）    A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置． 【详解】解：∵的外心为O， ∴， ∵， ∴， ∵B、C是方格纸格线的交点， ∴B、C的位置如图所示，    ∴． 故选：D． 6．（2023九年级·江西赣州·阶段练习）如图，是的弦，半径经过的中点．若，则的大小为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，熟知等腰三角形的性质以及直角三角形的性质是解本题的关键．根据垂径定理的推理得，再利用三线合一及直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵半径经过的中点． ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 7．（2023九年级·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D、E，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接，由可知当最小时，最大；又，故当最小时，最大；所以当时满足题意，据此即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， 为的半径，其值一定， ∴当最小时，最大， ∵ ∴当最小时，最大， ∵点C在上移动， ∴当时，最小 此时，点与点（或点）重合，点与点（或点）重合， ∴的最大值为 故答案为： 【点睛】本题考查了垂径定理的相关知识点，得出当时，最小，最大，也最大是解题关键． 8．（2023·浙江绍兴·二模）如图，水暖管横截面是圆，当半径的水暖管有积水（阴影部分），水面的宽度为，则积水的最大深度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是求出的长，由垂径定理得出的长，再根据勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解： ，， ， ， ， 故答案为：． 9．（2023九年级·江苏徐州·阶段练习）已知一个三角形的三条边的长分别为10，8，6，则这个三角形的外接圆半径是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了直角三角形与其外接圆之间的关系， 勾股定理的逆定理，先利用勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，进而得到该三角形的斜边即为其外接圆的直径，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴三边长为6，8，10的三角形是直角三角形， ∴该三角形的斜边即为其外接圆的直径， ∴这个三角形的外接圆半径是5， 故答案为：5． 10．（2023九年级·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O、A、B、C均在格点上，则过A、B、C三点的圆的圆心坐标为 ． 【答案】（1，4） 【分析】根据三角形外接圆的性质，作线段AB和BC的垂直平分线，其交点即为圆心，即可解答． 【详解】如图，分别作线段AB和BC的垂直平分线，其交点D，即为过A、B、C三点的圆的圆心． 根据图可知D点，即圆心坐标为(1，4)． 故答案为：(1，4)． 【点睛】本题考查三角形外接圆的圆心．掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点是解答本题的关键． 11．（2023·安徽·一模）如图，AB为⊙O的一条弦． (1)用尺规作图：过点O作OC⊥AB，垂足为点C，交于点D(保留作图痕迹，不写作法)； (2)若(1)中的CD的长为2，BD的长为，求⊙O的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）按照画垂直平分线的步骤作图即可； （2）构造直角三角形，运用垂径定理求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图 连接BD，OB 在中，CD=2，BD= ∵ ∴ ∴ ∴BC=4 设OC=x，则OD=OB=x+2 在中，由勾股定理可得： 即 解得：x=3 ∴x+2=5 ∴⊙O的半径为5． 【点睛】本题考查了垂直平分线的画法，垂径定理等，解题的关键是熟练垂直平分线的画法以及运用垂径定理求线段长． 12．（2023九年级·广东广州·期中）如图，AB是⊙O的弦，C、D为直线AB上两点，OC＝OD，求证：AC＝BD． 【答案】见解析 【分析】作OH⊥AB于H，根据垂径定理得到AH＝BH，而OC＝OD，由等腰三角形三线合一的性质OH平分CD，然后即可证得AC＝BD． 【详解】解：证明：作OH⊥AB于H，如图， 则AH＝BH， ∵OC＝OD，OH⊥AB， ∴CH＝DH， ∴CH﹣AH＝DH﹣BH， 即AC＝BD． 【点睛】此题考查了圆的垂径定理的运用，等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是熟练掌握圆的垂径定理，等腰三角形三线合一的性质． 13．（2023九年级·安徽芜湖·期中）如图所示的是一个半圆形拱桥的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，已知拱桥的跨度，若测得某时水面宽度，求水深． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理的实际应用，如图所示，连接，利用垂径定理得到，再利用勾股定理可得． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴水深为． 14．（2023九年级·浙江杭州·阶段练习）学习完《垂径定理》这一节内容后，同学们学到了如何用直尺和圆规来平分一条已知弧的方法，老师接下来请小亮同学做如下四等分圆弧问题的操作： 请利用直尺和圆规四等分． 小亮的作法如下： 如图， （1）连接； （2）作的垂直平分线交于点M，交于点T； （3）分别作线段，线段的垂直平分线，交于N，P两点；那么N，M，P三点把四等分． (1)请你帮判断小亮作法是否正确；若不正确，请你利用直尺和圆规四等分所给的（保留作图痕迹）． (2)找出圆的心（保留作图痕迹）． 【答案】(1)不正确，正确作图见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理，确定圆心的位置： （1）利用垂径定理即可判断小亮的作法是否正确；先作线段的垂直平分线，交于M，再分别作线段的垂直平分线交于N、P，则点M、N、P即为的四等分点； （2）在上任取一点C，分别作线段的垂直平分线，二者的交点即为圆心的位置． 【详解】（1）解：小亮作法错误，理由： 直线，平分的是线段，，但，不是，对应的圆上的弦，所以作法错误； 正确作法如下，先作线段的垂直平分线，交于M，再分别作线段的垂直平分线交于N、P，则点M、N、P即为的四等分点； （2）解：在上任取一点C，分别作线段的垂直平分线，二者的交点即为圆心的位置． 15．（2023·黑龙江绥化·二模）如图，在中，，平分，    (1)在边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为2． 【分析】（1）作的垂直平分线与的交点为圆心，为半径作圆即可； （2）设的半径为x，根据勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：如图：即为所求；   ； （2）解：连接，设的半径为x，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴的半径为2． 【点睛】本题考查了复杂作图，勾股定理．解题的关键是注意数形结合思想的应用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$