第15讲 抛物线-【暑假预科讲义】2024年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

第15讲 抛物线 【人教A版2019】 ·模块一 抛物线的标准方程 ·模块二 抛物线的简单几何性质 ·模块三 课后作业 模块一 抛物线的标准方程 1．抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (2)集合语言表示 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 2．抛物线的标准方程 抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 【考点1 动点的轨迹问题】 【例1.1】（23-24高二下·广西·阶段练习）点到直线的距离比到点的距离大2，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高二上·重庆·期末）已知点满足，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【变式1.1】（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高三上·安徽·开学考试）已知圆C与过点且垂直于x轴的直线仅有1个公共点，且与圆外切，则点C的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【考点2 利用抛物线的定义解题】 【例2.1】（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知抛物线上有两个点A，B，焦点为F，若，则线段AB的中点到x轴的距离是（    ） A． B．2 C． D．3 【例2.2】（23-24高二上·广东汕头·期末）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为8，到轴的距离为5，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【变式2.1】（23-24高二下·河南焦作·期末）已知点，抛物线的焦点为， 射线与抛物线 交于点，与拋物线准线相交于，若 ， 则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式2.2】（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为18，到轴的距离为12，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【考点3 抛物线的焦点坐标及准线方程】 【例3.1】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知抛物线过点，则该抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高二上·四川攀枝花·期末）对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为 【变式3.1】（23-24高二上·辽宁·阶段练习）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2024·全国·模拟预测）抛物线上一点到其准线的距离为（    ） A． B． C． D． 【考点4 求抛物线的标准方程】 【例4.1】（23-24高二上·全国·期末）已知抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高二上·陕西西安·期中）抛物线的准线与直线的距离为3，则此抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（23-24高二上·四川乐山·期中）已知点是抛物线的焦点，点在抛物线上，若，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（2024·北京·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 模块二 抛物线的简单几何性质 1．抛物线的几何性质 抛物线的简单几何性质： 标准 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 顶点 (0,0) (0,0) 轴 对称轴y=0 对称轴x=0 焦点 准线 离心率 e =1 e=1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 焦半径 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 2．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异 抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异： ①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形； ②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点； ④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是 e=1； ⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线； ⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线. 3．与抛物线有关的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解. 【考点1 抛物线的对称性的应用】 【例1.1】（23-24高二·全国·课后作业）若点在抛物线上，则下列点中一定在该抛物线上的是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高二下·安徽芜湖·期末）为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2024高二上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线，为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为 ，准线为，点在抛物线上，且点到准线的距离为6，的垂直平分线与准线交于点，点为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【考点2 与抛物线有关的最值问题】 【例2.1】（23-24高三上·广东东莞·阶段练习）抛物线的顶点为原点，焦点为，则点到抛物线上动点的距离最小值为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点，已知点A的坐标为，则的最小值为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式2.1】（2024·全国·模拟预测）已知点为抛物线：上的动点，点为圆上的动点，设点到轴的距离为，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．10 【变式2.2】（23-24高二上·河南新乡·期末）已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 【考点3 与抛物线有关的实际应用问题】 【例3.1】（23-24高二上·新疆阿克苏·阶段练习）鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，其宽为，高为，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点到准线距离为（    ） A． B．5 C．10 D．20 【例3.2】（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（    ）（，，）    A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m 【变式3.1】（23-24高二上·四川德阳·阶段练习）如图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯到水面的距离为（    ）（结果精确到0.01） A．4.96 B．5.06 C．4.26 D．3.68 【变式3.2】（23-24高二上·江苏泰州·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（    ） A． B． C． D． 模块三 课后作业 一、单选题 1．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线C：过点，则抛物线C的准线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（    ） A．4 B． C．2 D．3 3．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知线段的端点B的坐标是，端点A在抛物线上运动，则线段的中点的轨迹为（    ） A．直线 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆 4．（23-24高二上·陕西渭南·期中）点到抛物线（）的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知，抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）已知点是抛物线上的一动点，焦点为，若定点，则当点在抛物线上移动时，的最小值等于（    ） A． B．2 C．3 D．4 8．（23-24高三上·河南驻马店·期末）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A．的坐标为 B． C． D． 10．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，过点作轴于点，则（    ） A． B．抛物线的准线为直线 C． D．的面积为 三、填空题 11．（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线C:经过点，则此抛物线的准线方程是 . 12．（23-24高二上·重庆·期末）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 四、解答题 13．（2024高二上·江苏·专题练习）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为； (2)过点； (3)焦点在直线上． 14．（23-24高二上·上海浦东新·期末）已知点到点的距离等于它到直线的距离， (1)求点的轨迹方程; (2)若，求周长的最小值. 15．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，A地在B地东偏北45°方向相距处，且B与相距4km.已知曲线形公路上任意一点到B地的距离等于到高铁线（近似看成直线）的距离，现要在公路旁建造一个变电房M（变电房与公路之间的距离忽略不计）    (1)试建立适当的直角坐标系求环形公路所在曲线的轨迹方程； (2)问变电房M应建在相对A地的什么位置（方位和距离），才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度. 16．（23-24高二·全国·课后作业）在两个条件①点；②点中任选一个，补充在下面的问题中． 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在此抛物线上移动，求： (1)点P到点F与它到______的距离之和的最小值； (2)点P到点与它到准线l的距离之和的最小值； (3)点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 抛物线 【人教A版2019】 ·模块一 抛物线的标准方程 ·模块二 抛物线的简单几何性质 ·模块三 课后作业 模块一 抛物线的标准方程 1．抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (2)集合语言表示 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 2．抛物线的标准方程 抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 【考点1 动点的轨迹问题】 【例1.1】（23-24高二下·广西·阶段练习）点到直线的距离比到点的距离大2，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意点到直线的距离和到点的距离相等，可得点的轨迹为抛物线，即可得解. 【解答过程】根据题意，设点，且点在的下方， 故点到直线的距离和到点的距离相等， 所以点的轨迹为以为焦点，以直线为准线的抛物线， 所以的轨迹方程为， 故选：D. 【例1.2】（23-24高二上·重庆·期末）已知点满足，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【解题思路】根据已知条件及抛物线的定义即可求解. 【解答过程】表示点到点的距离； 表示点到直线的距离. 因为， 所以点到点的距离等于点到直线的距离， 所以的轨迹为抛物线. 故选：C. 【变式1.1】（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设圆心坐标为，依题意可得，化简整理即可得解. 【解答过程】设圆心坐标为，依题意可得，化简得， 即圆的圆心的轨迹方程为. 故选：C. 【变式1.2】（23-24高三上·安徽·开学考试）已知圆C与过点且垂直于x轴的直线仅有1个公共点，且与圆外切，则点C的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据外切关系结合抛物线定义，分析得到的轨迹为抛物线，由此求解出抛物线的方程. 【解答过程】由题意得，直线，且圆， 设点到直线的距离为， 则点到与点到的距离相等，都是， 故点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，故方程为. 故选：A. 【考点2 利用抛物线的定义解题】 【例2.1】（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知抛物线上有两个点A，B，焦点为F，若，则线段AB的中点到x轴的距离是（    ） A． B．2 C． D．3 【解题思路】设点A，B的坐标分别为和，利用抛物线的定义，结合求解. 【解答过程】解：由已知可得抛物线的准线方程为， 设点A，B的坐标分别为和， 由抛物线的定义得，即， 线段AB中点的纵坐标为， 故线段AB的中点到x轴的距离是3， 故选：D. 【例2.2】（23-24高二上·广东汕头·期末）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为8，到轴的距离为5，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【解题思路】根据题意，结合抛物线的焦半径公式，列出方程，即可求解. 【解答过程】由点为抛物线上一点，且到轴的距离为，可得， 又由点到的焦点的距离为，根据抛物线的焦半径可得， 即，解得. 故选：C. 【变式2.1】（23-24高二下·河南焦作·期末）已知点，抛物线的焦点为， 射线与抛物线 交于点，与拋物线准线相交于，若 ， 则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【解题思路】过作准线，垂足为，根据抛物线的定义可得，可得，运算求解即可. 【解答过程】过作准线，垂足为，则， 由题意可得：， 且为锐角，则， 可得， 在中，， 即，解得. 故选：C. 【变式2.2】（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为18，到轴的距离为12，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【解题思路】直接利用抛物线的定义分析求解即可. 【解答过程】由抛物线的定义知，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等， 因为点到的焦点的距离为18，所以点A到抛物线C准线的距离为18， 又点A到轴的距离为12，所以，则. 故选：D. 【考点3 抛物线的焦点坐标及准线方程】 【例3.1】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知抛物线过点，则该抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据点在抛物线上，求出，求出焦点坐标，判断选项. 【解答过程】根据点在抛物线上，则，解得，故，所以焦点坐标为. 故选：C. 【例3.2】（23-24高二上·四川攀枝花·期末）对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为 【解题思路】将抛物线方程化为标准方程，再由抛物线的性质，即可得到开口方向和焦点坐标． 【解答过程】抛物线，即为抛物线， 由抛物线的性质可得该抛物线开口向上， 焦点为． 故选：A． 【变式3.1】（23-24高二上·辽宁·阶段练习）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】结合抛物线的准线方程求解即可. 【解答过程】由题知抛物线,所以，故抛物线的准线方程为. 故选：A. 【变式3.2】（2024·全国·模拟预测）抛物线上一点到其准线的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据抛物线的标准方程及其简单几何性质进行求解. 【解答过程】把点的坐标代入抛物线方程，解得， 所以抛物线的方程为，即，抛物线的准线的方程为， 所以点到抛物线准线的距离为. 故选：B. 【考点4 求抛物线的标准方程】 【例4.1】（23-24高二上·全国·期末）已知抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 利用抛物线的标准方程的相关知识即可得解. 【解答过程】 依题意，设抛物线方程为， 由焦点坐标为，得，即， 所以抛物线的标准方程为. 故选：B. 【例4.2】（23-24高二上·陕西西安·期中）抛物线的准线与直线的距离为3，则此抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】准线与直线的距离为，计算得到答案. 【解答过程】抛物线的准线为，准线与直线的距离为， 故，解得，故此抛物线的方程为. 故选：B. 【变式4.1】（23-24高二上·四川乐山·期中）已知点是抛物线的焦点，点在抛物线上，若，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据抛物线的定义直接求出p即可. 【解答过程】由抛物线的定义知， ， 解得， 所以抛物线方程为， 故选：A. 【变式4.2】（2024·北京·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 根据抛物线的定义求得，然后在直角三角形中利用可求得，从而可得答案． 【解答过程】如图，连接，设准线与轴交点为    抛物线的焦点为，准线： 又抛物线的定义可得，又，所以为等边三角形， 所以， 所以在中，，则，所以抛物线的方程为. 故选：C. 模块二 抛物线的简单几何性质 1．抛物线的几何性质 抛物线的简单几何性质： 标准 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 顶点 (0,0) (0,0) 轴 对称轴y=0 对称轴x=0 焦点 准线 离心率 e =1 e=1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 焦半径 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 2．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异 抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异： ①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形； ②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点； ④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是 e=1； ⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线； ⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线. 3．与抛物线有关的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解. 【考点1 抛物线的对称性的应用】 【例1.1】（23-24高二·全国·课后作业）若点在抛物线上，则下列点中一定在该抛物线上的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用抛物线关于x轴对称求解即可 【解答过程】由抛物线关于x轴对称易知，点一定在该抛物线上. 故选：B. 【例1.2】（23-24高二下·安徽芜湖·期末）为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 在抛物线中可借助直角三角形的正切值的求解.再由对称性求. 【解答过程】， 抛物线中时可得，且 则，取（如图）    ， ,又对称性可知. 故选；C. 【变式1.1】（2024高二上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线，为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意得到四边形为菱形，再结合，求出点A的坐标，进而求解结论． 【解答过程】根据抛物线的对称性以及为线段的垂直平分线， 可得四边形为菱形， 又，可得， 故可设，代入抛物线方程可得，解得， 故， 故四边形的周长为：. 故选：D. 【变式1.2】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为 ，准线为，点在抛物线上，且点到准线的距离为6，的垂直平分线与准线交于点，点为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】解法一：先根据焦半径公式求出的坐标，再求出的垂直平分线的方程，从而可求的坐标，故可求的面积. 解法二：先根据焦半径公式求出的坐标，过点作的垂线，垂足为，利用抛物线的定义可得重合，从而可求的面积. 【解答过程】解法一：抛物线：的焦点为，准线为：， 设，由点到准线的距离为6，得，得， 代入抛物线的方程得，所以． 由抛物线的对称性，不妨设，则直线的斜率为， 又的中点坐标为，故的垂直平分线的方程为， 令，得，即． 所以的面积为． 故选：B. 解法二：抛物线：的焦点为，准线为：， 设，由到准线的距离为6，得，得， 代入抛物线的方程得，所以． 由抛物线的对称性，不妨设，则直线的斜率为， 所以．过点作的垂线，垂足为，则，连接， 则，而，所以是等边三角形，于是边的垂直平分线过点，即点与点重合，所以的面积为． 故选：B. 【考点2 与抛物线有关的最值问题】 【例2.1】（23-24高三上·广东东莞·阶段练习）抛物线的顶点为原点，焦点为，则点到抛物线上动点的距离最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求得抛物线的方程，设出点的坐标，根据两点间的距离公式以及二次函数的性质求得正确答案. 【解答过程】抛物线的焦点为，所以抛物线的方程为， 且，所以抛物线的方程为， 设，则， 所以当时，取得最小值为. 故选：B. 【例2.2】（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点，已知点A的坐标为，则的最小值为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 【解题思路】根据抛物线的定义及数形结合即可得解. 【解答过程】过作，交抛物线准线于，且交抛物线于点，如图， 由抛物线可得准线方程为， 由抛物线定义知，， 因为， 所以当点运动到时，即三点共线时，的最小值为，此时. 故选：B. 【变式2.1】（2024·全国·模拟预测）已知点为抛物线：上的动点，点为圆上的动点，设点到轴的距离为，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．10 【解题思路】设抛物线的焦点为，可得，转化为，当三点共线是取得最小值，结合圆的性质，即可求解. 【解答过程】如图所示，设抛物线的焦点为，圆心为，则，， 所以，则当三点共线是取得最小值， 此时，所以的最小值为. 故选：B. 【变式2.2】（23-24高二上·河南新乡·期末）已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 【解题思路】根据题意，求得抛物线的焦点为，设点关于的对称点为，得出，得到当且仅当点为直线与的交点时，取得最小值，结合两点间距离公式，即可求解. 【解答过程】由抛物线，可得焦点为，准线方程为， 如图所示，设点关于的对称点为，则， 可得，当且仅当点为直线与的交点时，取得最小值， 则， 即的最小值为. 故选：D. 【考点3 与抛物线有关的实际应用问题】 【例3.1】（23-24高二上·新疆阿克苏·阶段练习）鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，其宽为，高为，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点到准线距离为（    ） A． B．5 C．10 D．20 【解题思路】根据给定条件，设出抛物线方程，利用待定系数法求出抛物线方程即可得解. 【解答过程】依题意，设该抛物线的方程为，显然点在此抛物线上， 因此，解得， 所以该抛物线的焦点到准线距离为10. 故选：C. 【例3.2】（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（    ）（，，）    A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m 【解题思路】建立平面直角坐标系，求得抛物线方程并将水面宽度坐标化即可求得结果. 【解答过程】以为原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    设抛物线的标准方程为（）， 由题意可得，代入得，得，故抛物线的标准方程为， 设（，），则，则， 即可得， 所以截面图中水面宽的长度约为， 故选：D. 【变式3.1】（23-24高二上·四川德阳·阶段练习）如图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯到水面的距离为（    ）（结果精确到0.01） A．4.96 B．5.06 C．4.26 D．3.68 【解题思路】建立平面直角坐标系，设抛物线的方程，根据题意知抛物线经过点，把点代入抛物线方程即可求出，根据竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为，即可求出答案. 【解答过程】如图，设抛物线的方程为，抛物线经过点， 所以，解得，所以抛物线顶点到焦点的距离为， 故竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为米. 故选：A. 【变式3.2】（23-24高二上·江苏泰州·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，建立平面直角坐标系，即可得到抛物线方程，然后代入计算，即可得到结果. 【解答过程】 取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立直角坐标系， 则，设抛物线方程为 ，将点代入抛物线方程， 可得，则抛物线方程为，行车宽度，将代入抛物线方程， 可得，所以限度为. 故选：B. 模块三 课后作业 一、单选题 1．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线C：过点，则抛物线C的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，求得抛物线的方程，结合抛物线的几何性质，即可求解. 【解答过程】由抛物线C：过点，可得，解得， 即抛物线的方程为，可得抛物线的准线方程为. 故选：B. 2．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（    ） A．4 B． C．2 D．3 【解题思路】由抛物线定义计算即可得. 【解答过程】由抛物线定义可知等于点到准线的距离， 故点到轴的距离为. 故选：C. 3．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知线段的端点B的坐标是，端点A在抛物线上运动，则线段的中点的轨迹为（    ） A．直线 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆 【解题思路】设，借助为线段的中点及A在抛物线上，计算可得轨迹方程，即可得解. 【解答过程】设，由为线段的中点，故， 又端点A在抛物线上，故有， 化简得，故线段的中点的轨迹为抛物线. 故选：B. 4．（23-24高二上·陕西渭南·期中）点到抛物线（）的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将化为标准形式，利用抛物线定义可得答案. 【解答过程】将化为，准线，由已知得：，所以， 即，所以抛物线方程为. 故选：D. 5．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设另外两个顶点的坐标分别为，由图形的对称性可以得到方程，解此方程得到的值，即可得到答案. 【解答过程】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 可设另外两个顶点的坐标分别为， ，解得， 故这个等边三角形的边长为. 故选：A. 6．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知，抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】过点作垂直于准线且交准线于H，则的周长转化成即可求解. 【解答过程】由题意，抛物线的准线，过点作垂直于准线且交准线于H，则， 由题可知，的周长为，又， 如图，，当三点共线时， 的周长最小，且最小值为. 故选：C. 7．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）已知点是抛物线上的一动点，焦点为，若定点，则当点在抛物线上移动时，的最小值等于（    ） A． B．2 C．3 D．4 【解题思路】利用抛物线的定义，数形结合即可得解. 【解答过程】如图，过作抛物线的准线的垂线，垂足为，连接， 则，当且仅当共线时等号成立， 故的最小值为， 故选：A. 8．（23-24高三上·河南驻马店·期末）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先推导焦半径公式得，.由，求出，再由余弦定理求解. 【解答过程】不妨设点在第一象限，直线的倾斜角为， 所以，则，同理可得. 因为，所以，即，， 所以. 在中，. 故选：D. 二、多选题 9．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A．的坐标为 B． C． D． 【解题思路】直接由抛物线方程得焦点坐标及其准线方程可判断A，由抛物线定义可判断BC，由两点间距离公式可判断D. 【解答过程】对于A，抛物线的焦点为，准线方程为，故A错误； 对于BC，由抛物线定义可得，所以，，解得，故B正确C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 10．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，过点作轴于点，则（    ） A． B．抛物线的准线为直线 C． D．的面积为 【解题思路】根据抛物线的定义以及焦半径的长度可求出值，即可判断选项，根据点在抛物线上即可求出点的纵坐标，即可判断选项，利用三角形的面积公式即可求出的面积，即可判断选项. 【解答过程】抛物线的准线为直线，设点在第一象限，过点向准线作垂线垂足为， 由抛物线的定义可知，解得， 则抛物线的方程为，准线为直线，故A正确，B错误； 将代入抛物线方程，解得，故C错误； 焦点，点，即， 所以，故D正确； 故选：AD． 三、填空题 11．（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线C:经过点，则此抛物线的准线方程是 . 【解题思路】将点代入中，求得，从而得到抛物线的准线方程. 【解答过程】因为抛物线C:经过点，所以，解得， 所以抛物线方程为，故抛物线的焦点在轴的负半轴，所以抛物线的准线方程为. 故答案为：. 12．（23-24高二上·重庆·期末）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 【解题思路】设存在定点，使得点在圆上运动时，均有，结合两点间距离公式，可确定的值，从而有，再利用抛物线的方程，根据二次函数的性质，求得的最小值，即可得解． 【解答过程】由题意知，焦点， 设存在定点，使得点在圆上运动时，均有， 设，则， 由，知， 联立两式，消去可得， 令，则，满足上式， 所以， 所以， 当且仅当，三点共线时，等号成立， 设，则， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以， 即的最小值为． 故答案为：． 四、解答题 13．（2024高二上·江苏·专题练习）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为； (2)过点； (3)焦点在直线上． 【解题思路】（1）求出抛物线的焦点坐标，直接写出方程即得. （2）设出抛物线的标准方程，利用待定系数法求解即得. （3）求出直线与坐标轴的交点，再写出抛物线的标准方程即得. 【解答过程】（1）准线方程为，即，则抛物线的焦点坐标为， 所以所求抛物线的标准方程为. （2）设所求抛物线的标准方程为或， 于是，解得，或，解得， 所以所求抛物线的标准方程为或. （3）直线交y轴于点，则以为焦点的抛物线标准方程为； 直线交x轴于点，则以为焦点的抛物线标准方程为， 所以所求抛物线的标准方程为或. 14．（23-24高二上·上海浦东新·期末）已知点到点的距离等于它到直线的距离， (1)求点的轨迹方程; (2)若，求周长的最小值. 【解题思路】（1）利用抛物线的定义得解； （2）根据抛物线的定义可将问题转化成的最小值，根据三点共线即可求解. 【解答过程】（1）由题意知动点到的距离与它到直线的距离相等， 所以动点的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线， 因此动点的轨迹方程为. （2）由题意知，焦点为,, 当的值最小时，的周长最小. 设点在抛物线的准线上的射影为，根据抛物线的定义，可知 ， 因此的最小值即的最小值. 根据平面几何的知识可得，当 三点共线时，即可作准线于, 与抛物线交于,此时 三点共线， 此时， 所以周长的最小值为 15．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，A地在B地东偏北45°方向相距处，且B与相距4km.已知曲线形公路上任意一点到B地的距离等于到高铁线（近似看成直线）的距离，现要在公路旁建造一个变电房M（变电房与公路之间的距离忽略不计）    (1)试建立适当的直角坐标系求环形公路所在曲线的轨迹方程； (2)问变电房M应建在相对A地的什么位置（方位和距离），才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度. 【解题思路】（1）取经过点B且垂直的直线为y轴，垂足为K，并使原点与线段的中点重合，建立直角坐标系，由题意可知环形公路所在曲线的轨迹是抛物线，直接利用抛物线的定义得到其标准方程； （2）利用抛物线的定义，把所要求的最小值转化为在抛物线上取一点，使该点到A点的距离和到高铁线的距离最小. 【解答过程】（1）如图，    取经过点B且垂直的直线为y轴，垂足为K， 并使原点与线段的中点重合，建立直角坐标系， 则，， 因为环形公路上任意一点到B地的距离等于到直线的距离， 所以所在的曲线是以为焦点以l为准线的抛物线. 设抛物线方程为，则. ∴环形公路所在曲线的轨迹方程为. （2）要使架设电线长度最短，即最小， 过M作，垂足为H， ∴， 当A、M、H三点共线时，即取得最小值， 此时，位于A地正南方且与A地相距，所用电线最短长度为6km. 16．（23-24高二·全国·课后作业）在两个条件①点；②点中任选一个，补充在下面的问题中． 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在此抛物线上移动，求： (1)点P到点F与它到______的距离之和的最小值； (2)点P到点与它到准线l的距离之和的最小值； (3)点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值． 【解题思路】（1）（2）（3）数形结合，利用抛物线定义对所求距离之和进行转化为两点之间的距离，或点到直线的距离可得. 【解答过程】（1）过点B、P分别作准线的垂线，垂足为E、D. 选①：如图1 由抛物线定义可得， 所以点P到点F与它到B的距离之和的最小值为4. 选②：由图2可知， 所以点P到点F与它到B的距离之和的最小值为 （2）如图2 由抛物线定义可得， 点P到点与它到准线l的距离之和的最小值为. （3）记P到直线的距离为d，F到直线的距离为m. 由图2结合抛物线定义可知，则. 所以点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$