第14讲 双曲线-【暑假预科讲义】2024年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

第14讲 双曲线 【人教A版2019】 ·模块一 双曲线的标准方程 ·模块二 双曲线的简单几何性质 ·模块三 课后作业 模块一 双曲线的标准方程 1．双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫 作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．双曲线方程的求解 (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定 a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. 【考点1 双曲线定义及辨析】 【例1.1】（23-24高二上·新疆喀什·期末）设双曲线的焦点为，点为上一点，，则为（    ） A．22 B．14 C．10 D．2 【例1.2】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）双曲线：的两个焦点分别是与，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则等于（    ） A．9 B．9或1 C．1 D．6 【变式1.1】（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知双曲线，是它的两个焦点，为坐标原点，是双曲线右支上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高二上·重庆·期末）如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（    ） A． B． C．或 D．不确定 【考点2 曲线方程与双曲线】 【例2.1】（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）对于常数a，b，“”是“方程对应的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2.2】（23-24高二上·安徽蚌埠·阶段练习）方程所表示的曲线是（    ） A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆 C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的双曲线 【变式2.1】（2023高二上·江苏·专题练习）已知方程对应的图形是双曲线，那么的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式2.2】（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点3 双曲线的标准方程的求解】 【例3.1】（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线的左，右焦点分别是，，点在双曲线上，且，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高二上·宁夏吴忠·期末）已知双曲线的实轴长为，焦点为，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【考点4 求双曲线的轨迹方程】 【例4.1】（23-24高三·四川·对口高考）已知y轴上两点，，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高二上·广东东莞·期中）设、是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．轨迹不存在 【变式4.1】（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（23-24高二上·天津北辰·阶段练习）已知的两个顶点A，B的坐标分别是、，且，所在直线的斜率之积等于2，则顶点C的轨迹方程是（    ） A．（） B． C． D．（） 模块二 双曲线的简单几何性质 1．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 2．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 3．双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 【考点1 利用双曲线的几何性质求标准方程】 【例1.1】（23-24高三上·山东临沂·开学考试）已知双曲线的一条渐近线斜率为，实轴长为4，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高三上·广东东莞·阶段练习）已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为，且渐近线方程为，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2024高二上·全国·专题练习）以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2024高二·全国·专题练习）双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为（    ） A．=1 B．=1 C．=1 D．=1 【考点2 双曲线的渐近线方程】 【例2.1】（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的一条渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高三上·海南·阶段练习）已知双曲线()的实轴长为，其左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知平行于轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知双曲线的离心率为e，一条渐近线的斜率为k，若，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【考点3 求双曲线的离心率的值或取值范围】 【例3.1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为（　　） A． B． C． D．3 【例3.2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）双曲线的左，右焦点分别为，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且，则C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【变式3.1】（23-24高二上·江苏镇江·期末）双曲线C：（）的左，右焦点分别为，，过的直线l与双曲线的右支相交于A，B两点，的内切圆圆心的横坐标为1，则双曲线C的离心率为  （      ） A． B． C．2 D．3 【变式3.2】（23-24高二上·湖北鄂州·阶段练习）已知双曲线的焦距为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点.设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点4 双曲线中的最值问题】 【例4.1】（2024·青海玉树·模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C． D． 【例4.2】（23-24高二上·福建福州·期末）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 【变式4.1】（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（    ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【变式4.2】（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【考点5 双曲线的实际应用问题】 【例5.1】（23-24高二下·浙江·阶段练习）江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．30米 【例5.2】（2024·湖北荆州·一模）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚.已知各观测点到该中心的距离是.则该巨响发生在接报中心的（  ）处.（假定当时声音传播的速度为3，相关各点均在同一平面上） A．西偏北方向，距离 B．东偏南方向，距离 C．西偏北方向，距离 D．东偏南方向，距离 【变式5.1】（2023·全国·模拟预测）圆锥曲线的光学性质在实际生活中有着广泛的应用．我国首先研制成功的“双曲线电瓶新闻灯”就是利用了双曲线的光学性质，即从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点．如图，已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，当入射光线和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），，则该双曲线的离心率为（    ）    A． B．2 C． D． 【变式5.2】（23-24高二上·江西·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为，则该塔筒的高为（    ） A． B． C． D． 模块三 课后作业 一、单选题 1．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（    ） A．2 B．4 C． D．6 2．（23-24高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（    ）的方程上. A． B． C．或 D． 3．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高二上·全国·单元测试）已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，左焦点为，焦距为4，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·湖北恩施·阶段练习）已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，实半轴为1，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·上海·期末）方程表示焦距为的双曲线，则实数λ的值为（　　） A．1 B．或1 C．或 D．或1 7．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）若双曲线的实轴长为，则正数（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，M为双曲线右支上的一点，若M在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）已知曲线（且），则下列说法正确的是（    ） A．若，则C为圆 B．若，则C为椭圆 C．若，则C为双曲线 D．若C为焦点在y轴上的双曲线，则 10．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知直线与双曲线交于两点，为双曲线的右焦点，且，若的面积为，则下列结论正确的有（   ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的离心率为 C．双曲线的渐近线方程为 D． 三、填空题 11．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）已知双曲线，双曲线C上一点P到一个焦点的距离为15，则P到另一个焦点的距离为 . 12．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与左支交于两点，若，且双曲线的实轴长为，则的周长为 . 四、解答题 13．（23-24高二上·全国·单元测试）分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)经过两点； (2)与双曲线有公共的渐近线,且过点． 14．（23-24高二·全国·随堂练习）如图，在矩形中，把边AB分成n等份．在边的延长线上，的n分之一为单位长度连续取点．过边AB上各分点和作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，P在什么曲线上运动？     . 15．（23-24高二上·四川成都·期末）已知双曲线 的两个焦点为， 且过点 (1)求双曲线的虚半轴长; (2)求与求双曲线有相同的渐近线， 且过点的双曲线的标准方程． 16．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知双曲线是上的任意一点. (1)设点的坐标为，求的最小值； (2)若分别为双曲线的左､右焦点，，求的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 双曲线 【人教A版2019】 ·模块一 双曲线的标准方程 ·模块二 双曲线的简单几何性质 ·模块三 课后作业 模块一 双曲线的标准方程 1．双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫 作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．双曲线方程的求解 (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定 a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. 【考点1 双曲线定义及辨析】 【例1.1】（23-24高二上·新疆喀什·期末）设双曲线的焦点为，点为上一点，，则为（    ） A．22 B．14 C．10 D．2 【解题思路】根据双曲线上的点到两焦点距离差的绝对值为定值2a，即可求解. 【解答过程】由题可知，又点为上一点， 所以，又，所以或（舍去）， 故， 故选：B. 【例1.2】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）双曲线：的两个焦点分别是与，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则等于（    ） A．9 B．9或1 C．1 D．6 【解题思路】根据焦距，可得值，根据的关系，可得值，根据双曲线定义，分类讨论，即可求得答案. 【解答过程】因为，所以， 所以，解得， 根据双曲线定义可得， 所以，解得或， 当时，不合题意，故舍去， 当时，，满足题意， 综上，. 故选：A. 【变式1.1】（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知双曲线，是它的两个焦点，为坐标原点，是双曲线右支上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 先由题意得出，，，，利用余弦定理计算出；再利用三角形面积公式可计算出；最后根据点P在双曲线上及两点间距离公式即可得出结果. 【解答过程】   设点坐标为， 由题意可知，，， 则，，，. 在中，由余弦定理可得：， 即，解得． 因为，则． 因为， 所以，解得． 又因为点P在双曲线，所以， 则. 故选：A. 【变式1.2】（23-24高二上·重庆·期末）如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（    ） A． B． C．或 D．不确定 【解题思路】 根据双曲线的定义即可求得答案. 【解答过程】设双曲线的左、右焦点为，则； 则， 由双曲线定义可得，即， 所以或，由于， 故点到它的左焦点的距离是或， 故选：C.   【考点2 曲线方程与双曲线】 【例2.1】（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）对于常数a，b，“”是“方程对应的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答过程】解：可整理成， 当，则且或且，此时方程即表示的曲线为双曲线，则充分性成立； 若方程表示的曲线为双曲线，则即，则必要性成立， 故选：C. 【例2.2】（23-24高二上·安徽蚌埠·阶段练习）方程所表示的曲线是（    ） A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆 C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的双曲线 【解题思路】根据确定、的符号，由此可判断出方程所表示的曲线. 【解答过程】，则，， 所以，方程所表示的曲线是焦点在轴上的双曲线. 故选：C. 【变式2.1】（2023高二上·江苏·专题练习）已知方程对应的图形是双曲线，那么的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【解题思路】根据双曲线定义求的取值范围. 【解答过程】因为方程对应的图形是双曲线，则， 即或，解得或． 故选：B. 【变式2.2】（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据方程表示双曲线求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解答过程】若方程表示双曲线，则，解得， 所以由推不出方程表示双曲线，故充分性不成立， 由方程表示双曲线推得出，故必要性成立， 所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件. 故选：B. 【考点3 双曲线的标准方程的求解】 【例3.1】（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线的左，右焦点分别是，，点在双曲线上，且，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据双曲线定义求解即可. 【解答过程】由题意可知，，解得，， 所以双曲线的方程是． 故选：D． 【例3.2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】结合题意依次求得，从而得到双曲线的标准方程. 【解答过程】因为双曲线的下、上焦点分别为，， 所以设双曲线的方程为，半焦距为； 又因为是双曲线上一点且， 所以，即，则； 所以双曲线的标准方程为. 故选：C. 【变式3.1】（23-24高二上·宁夏吴忠·期末）已知双曲线的实轴长为，焦点为，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】 根据题意设出双曲线的标准方程并列出关系式求解即可. 【解答过程】根据题意设双曲线的标准方程为：. 则，解得：. 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 【变式3.2】（23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分析可知，所求双曲线的焦点在轴，设所求双曲线的标准方程为，由题意可得出、关于、的关系式，由此可得出双曲线的标准方程. 【解答过程】因为椭圆的焦点在轴上， 由题意可知，所求双曲线的焦点在轴，设所求双曲线的标准方程为， 因为所求双曲线的顶点为椭圆的焦点，则， 而双曲线的焦点在轴上，且双曲线的焦点为椭圆的顶点， 则，可得， 因此，所求双曲线的标准方程为. 故选：C. 【考点4 求双曲线的轨迹方程】 【例4.1】（23-24高三·四川·对口高考）已知y轴上两点，，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 根据给定条件，利用双曲线的定义求出轨迹方程作答. 【解答过程】点，，令为轨迹上任意点，则有， 因此动点的轨迹是以，为焦点，实轴长为8的双曲线， 即双曲线的实半轴长，而半焦距，则虚半轴长， 所以所求轨迹方程为. 故选：B. 【例4.2】（23-24高二上·广东东莞·期中）设、是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．轨迹不存在 【解题思路】由判断出正确答案. 【解答过程】依题意，、是两个定点，P是一个动点， 且满足，所以动点P的轨迹是双曲线的一支. 故选：B. 【变式4.1】（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由图结合两圆相外切性质可得，后由双曲线定义可得答案. 【解答过程】由题可得圆圆心，半径为；圆圆心，半径为 由图设动圆P与圆，圆外切切点分别为A，B.则共线，共线. 则，注意到， 则，又，则点P轨迹为以为焦点双曲线的右支. 设双曲线方程为：，由题可得. 故相应轨迹方程为：. 故选：A. 【变式4.2】（23-24高二上·天津北辰·阶段练习）已知的两个顶点A，B的坐标分别是、，且，所在直线的斜率之积等于2，则顶点C的轨迹方程是（    ） A．（） B． C． D．（） 【解题思路】首先设点，根据条件列式，再化简求解. 【解答过程】设，， 所以，整理为：，， 故选：A. 模块二 双曲线的简单几何性质 1．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 2．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 3．双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 【考点1 利用双曲线的几何性质求标准方程】 【例1.1】（23-24高三上·山东临沂·开学考试）已知双曲线的一条渐近线斜率为，实轴长为4，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据双曲线的基本量关系，结合渐近线方程求解即可. 【解答过程】由题意双曲线的焦点在轴上，则，， 又，则，故C的标准方程为. 故选：C. 【例1.2】（23-24高三上·广东东莞·阶段练习）已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为，且渐近线方程为，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由顶点位置可假设双曲线方程，结合顶点坐标和渐近线方程可求得，由此可得结果. 【解答过程】双曲线顶点在轴上，可设其方程为， 顶点坐标为，渐近线方程为，即， ，解得：，双曲线方程为：. 故选：A. 【变式1.1】（2024高二上·全国·专题练习）以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 确定双曲线的焦点和顶点，进而可得双曲线方程. 【解答过程】椭圆的长轴端点为， 椭圆焦点为， 即双曲线的焦点为，顶点为， 所以双曲线方程为. 故选：A. 【变式1.2】（2024高二·全国·专题练习）双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为（    ） A．=1 B．=1 C．=1 D．=1 【解题思路】根据题意可以得a及焦点的位置，再根据实轴长与虚轴长之和为焦距的倍建立方程组，进而求得答案. 【解答过程】由方程组，得a=2，b=2. ∵双曲线的焦点在y轴上，∴双曲线的标准方程为=1. 故选：B. 【考点2 双曲线的渐近线方程】 【例2.1】（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的一条渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用双曲线的性质计算即可. 【解答过程】由题意可知，即双曲线方程为， 所以其渐近线为.显然A正确. 故选：A. 【例2.2】（23-24高三上·海南·阶段练习）已知双曲线()的实轴长为，其左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据双曲线的性质并利用点到直线距离公式可得，，可得渐近线方程. 【解答过程】依题意可得，即； 不妨取左焦点到渐近线的距离为，即， 所以渐近线方程为. 故选：B. 【变式2.1】（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知平行于轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由为等边三角形可得渐近线的倾斜角，进而即可求得渐近线方程. 【解答过程】因为为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为， 所以， 所以渐近线方程为, 故选：B. 【变式2.2】（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知双曲线的离心率为e，一条渐近线的斜率为k，若，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用双曲线离心率与渐近线的斜率得到关于的关系式，从而得解. 【解答过程】因为双曲线， 所以，则， 又，所以，则渐近线方程为． 故选：A. 【考点3 求双曲线的离心率的值或取值范围】 【例3.1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为（　　） A． B． C． D．3 【解题思路】求出双曲线的渐近线方程，代入求出，进而求出离心率. 【解答过程】双曲线的渐近线方程为，依题意，，解得， 所以双曲线的离心率. 故选：C. 【例3.2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）双曲线的左，右焦点分别为，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且，则C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【解题思路】利用点到直线的距离公式求出，利用勾股定理求出，由锐角三角函数得出，在利用余弦定理可得出、、的齐次方程，可解出双曲线离心率的值． 【解答过程】如下图所示，双曲线的左焦点，渐近线的方程为，    由点到直线的距离公式可得， 由勾股定理得， 在中，，可知， 在中，则，，， 可得， 由余弦定理得， 整理得，即， 所以双曲线的离心率为. 故选：B． 【变式3.1】（23-24高二上·江苏镇江·期末）双曲线C：（）的左，右焦点分别为，，过的直线l与双曲线的右支相交于A，B两点，的内切圆圆心的横坐标为1，则双曲线C的离心率为  （      ） A． B． C．2 D．3 【解题思路】设的外接圆与及轴分别切于点，结合双曲线的定义和圆的性质，求得，再由离心率的定义，即可求解. 【解答过程】如图所示，设的外接圆与及轴分别切于点， 则 因为的内切圆圆心的横坐标为1，即， 由双曲线的定义，可得，可得， 所以，又由， 所以，解得，则， 所以双曲线的离心率为. 故选：C. 【变式3.2】（23-24高二上·湖北鄂州·阶段练习）已知双曲线的焦距为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点.设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 任取双曲线的一条渐近线为直线，由点到直线的距离公式，构造，，结合题目已知条件列不等式即可求出双曲线离心率的范围. 【解答过程】 由题意可知，直线经过双曲线的右焦点，且垂直于轴，不妨设， 代入椭圆方程，又，所以， 所以，，任取双曲线的一条渐近线为直线， 由点到直线的距离公式可得点到渐近线的距离， 点到渐近线的距离， 所以，因为， 所以，因，所以，即， 所以，所以， 因为双曲线离心率，所以， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：C. 【考点4 双曲线中的最值问题】 【例4.1】（2024·青海玉树·模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C． D． 【解题思路】 利用双曲线的定义表示，结合基本不等式求解最小值. 【解答过程】因为，为双曲线的左、右焦点，P是C的右支上的一点， 所以， 所以 ，当且仅当，即时，等号成立； 因为，所以，所以成立，的最小值为16. 故选：A. 【例4.2】（23-24高二上·福建福州·期末）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 【解题思路】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理，利用三角形三边关系，可得答案. 【解答过程】由双曲线，则，即，且， 由题意， ， 当且仅当共线时，等号成立. 故选：C. 【变式4.1】（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（    ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【解题思路】根据双曲线的定义以及三点共线来确定正确答案.. 【解答过程】依题意，下焦点，设上焦点， 双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为， 所以延长时，与双曲线没有交点，， 设延长，交双曲线上支于， 依题意，是双曲线上支上的动点， 根据双曲线的定义可知， ，当在点时等号成立，则， 所以，所以， 所以，所以的最大值不存在. 故选：A. 【变式4.2】（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据双曲线的定义，结合圆的几何性质进行求解即可. 【解答过程】 在双曲线中，，， ， ， 设双曲线的右焦点为，则， 在双曲线的右支上， ，即， 由题知，圆心，半径，在圆上， ， 则， 当，，三点共线且Q位于另两点之间时，取得最小值为， 此时， 的最小值为. 故选：D. 【考点5 双曲线的实际应用问题】 【例5.1】（23-24高二下·浙江·阶段练习）江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．30米 【解题思路】设双曲线方程为，如图建立直角坐标系，水面上升5米后，设水面宽为CD，设D.由题可得，代入方程可得，后可得x，即可得答案. 【解答过程】设双曲线方程为，如图建立直角坐标系. 水面上升5米后，设水面宽为CD，设D，其中. 又由题可得，代入双曲线方程可得： ，则D. 将D点坐标代入双曲线方程可得：，则D. 又由对称性可得，则水面上升5米，则水面宽为30米. 故选：D. 【例5.2】（2024·湖北荆州·一模）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚.已知各观测点到该中心的距离是.则该巨响发生在接报中心的（  ）处.（假定当时声音传播的速度为3，相关各点均在同一平面上） A．西偏北方向，距离 B．东偏南方向，距离 C．西偏北方向，距离 D．东偏南方向，距离 【解题思路】以接报中心为原点，正东、正北方向为轴、轴正向，建立直角坐标系；设、、分别是西、东、北观测点，写出、、点的坐标，设为巨响生成点，由双曲线定义知点在以、为焦点的双曲线上，依题意求出双曲线方程，从而确定该巨响发生的位置． 【解答过程】解：如图，以接报中心为原点，正东、正北方向为轴、轴正向，建立直角坐标系． 设、、分别是西、东、北观测点，则，，， 设为巨响为生点，由、同时听到巨响声，得，故在的垂直平分线上，的方程为，因点比点晚听到爆炸声， 故由双曲线定义知点在以、为焦点的双曲线上，依题意得，，， 故双曲线方程为，将代入上式，得，，， ，即 故 . 故巨响发生在接报中心的西偏北距中心处． 故选：A. 【变式5.1】（2023·全国·模拟预测）圆锥曲线的光学性质在实际生活中有着广泛的应用．我国首先研制成功的“双曲线电瓶新闻灯”就是利用了双曲线的光学性质，即从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点．如图，已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，当入射光线和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），，则该双曲线的离心率为（    ）    A． B．2 C． D． 【解题思路】根据三角函数的定义表示出，利用勾股定理表示出，根据双曲线的定义得到，即得离心率. 【解答过程】设双曲线C的焦距为，因为，， 所以，， 所以，故该双曲线的离心率为． 故选：B. 【变式5.2】（23-24高二上·江西·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为，则该塔筒的高为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可. 【解答过程】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点为原点，建立平面直角坐标系， 设A与分别为上，下底面对应点.设双曲线的方程为， 因为双曲线的离心率为，所以. 又喉部（中间最细处）的直径为，所以，所以双曲线的方程为. 由题意可知，代入双曲线方程，得， 所以该塔筒的高为. 故选:C. 模块三 课后作业 一、单选题 1．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（    ） A．2 B．4 C． D．6 【解题思路】利用双曲线方程求出a，b，然后求出c 即可得到结果. 【解答过程】双曲线的方程为：， 可得，，所以， 所以双曲线的焦距长为：. 故选：D. 2．（23-24高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（    ）的方程上. A． B． C．或 D． 【解题思路】 根据双曲线的定义进行求解即可. 【解答过程】设炮弹爆炸点为， 由题意可知：， 显然点的轨迹是以A，B的焦点的双曲线，因此有， 可得：，于是有， 根据四个选项可知，只有选项D符合， 故选：. 3．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】由关系以及离心率、可得双曲线方程，进一步代入即可求解. 【解答过程】由该花瓶横截面圆的最小直径为，有， 又由双曲线的离心率为，有， 可得双曲线的方程为，代入，可得，故该花瓶的高为. 故选：B. 4．（23-24高二上·全国·单元测试）已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，左焦点为，焦距为4，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】由双曲线的定义和三点共线取得最值的性质，可得最大值． 【解答过程】由题意可设双曲线的方程为， 则，即，得到，所以， 由双曲线的定义可得， 则， 当三点共线时，取得等号，则的最大值为， 故选：C． 5．（23-24高二上·湖北恩施·阶段练习）已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，实半轴为1，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】先确定，的值，再根据焦点所在位置直接写出双曲线的标准方程. 【解答过程】由已知：，，故，由双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为：. 故选：B. 6．（23-24高二上·上海·期末）方程表示焦距为的双曲线，则实数λ的值为（　　） A．1 B．或1 C．或 D．或1 【解题思路】分类讨论焦点的位置结合双曲线的定义计算即可. 【解答过程】由已知得双曲线的焦距， ①当双曲线的焦点在x轴上时， 由题意可得，解方程可得或，但和不满足不等式，故无解； ②当双曲线的焦点在y轴上时， 由题意可得，解方程得或， 但当时不能满足，故， 综合①②可得， 故选：A． 7．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）若双曲线的实轴长为，则正数（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依题意可得，解得即可. 【解答过程】由双曲线实轴长为，有，又， . 故选：A. 8．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，M为双曲线右支上的一点，若M在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得，设，则，，则，进而可得，即可得出答案． 【解答过程】由于M在以为直径的圆上，故， 设，则，， 根据双曲线的定义， 所以， 所以，， 所以， 故在单调递增， 当时，， 当时，， 所以，所以， 故选：D． 二、多选题 9．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）已知曲线（且），则下列说法正确的是（    ） A．若，则C为圆 B．若，则C为椭圆 C．若，则C为双曲线 D．若C为焦点在y轴上的双曲线，则 【解题思路】由表示双曲线，圆以及椭圆的条件逐一判断每一个选项即可求解. 【解答过程】对于AB，若，曲线即，表示原点在圆心半径为1的圆，故A正确B错误； 对于CD，若，则表示焦点在轴上的双曲线，故C正确D错误. 故选：AC. 10．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知直线与双曲线交于两点，为双曲线的右焦点，且，若的面积为，则下列结论正确的有（   ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的离心率为 C．双曲线的渐近线方程为 D． 【解题思路】先根据对称性及得到；进而得到以为直径的圆过点，列方程组求出的关系；对于A、B，求出离心率即可判断；对于C，求出渐近线方程即可判断；对于D，由对称性及题意求出的坐标，进而解出斜率即可判断. 【解答过程】 由题意知：，不妨取，由， 即，所以， 所以，所以以为直径的圆过点， 所以圆的直径，所以圆的方程为：， 设，连接，则四边形为矩形，则， 则的面积为：，且， 联立，解得， 再由， 所以离心率，故A错误，B正确； 对于C，双曲线的渐近线方程为：，故选项C正确； 对于D，不妨设点在第一象限，由对称性可知， ，代入中，得， 所以，由对称性知：当，， 所以，故选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题 11．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）已知双曲线，双曲线C上一点P到一个焦点的距离为15，则P到另一个焦点的距离为 31 . 【解题思路】 根据题意结合双曲线的定义即可求解. 【解答过程】 由双曲线方程可知， 设双曲线的左、右焦点分别为，，则， 根据对称性不妨设， 由双曲线定义可得，解得， 故答案为：31． 12．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与左支交于两点，若，且双曲线的实轴长为，则的周长为 . 【解题思路】根据双曲线的定义计算可得. 【解答过程】由双曲线的定义知，， 两式相加得，又 ，， 则， 故的周长为 . 故答案为：. 四、解答题 13．（23-24高二上·全国·单元测试）分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)经过两点； (2)与双曲线有公共的渐近线,且过点． 【解题思路】（1）设双曲线的方程,代入点的坐标,联立解参数即可. （2）设双曲线的方程,代入点的坐标,联立解参数即可. 【解答过程】（1）可设双曲线的方程为， 则有解得 则双曲线的标准方程为. （2）设所求双曲线的方程为. 将点代入双曲线方程得,解得， 因此，所求双曲线的标准方程为. 14．（23-24高二·全国·随堂练习）如图，在矩形中，把边AB分成n等份．在边的延长线上，的n分之一为单位长度连续取点．过边AB上各分点和作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，P在什么曲线上运动？    【解题思路】设，取所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设第组对应直线与的交点为，求出直线、的方程可得答案. 【解答过程】设，取所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 设第组对应直线与的交点为，且点在第一象限， 则，，，， 直线的方程为，① 直线的方程为，② 点坐标满足方程①②， ①②相乘得，即（点在第一象限）， 所以点在双曲线的右支上半部分上运动.     . 15．（23-24高二上·四川成都·期末）已知双曲线 的两个焦点为， 且过点 (1)求双曲线的虚半轴长; (2)求与求双曲线有相同的渐近线， 且过点的双曲线的标准方程． 【解题思路】（1）根据双曲线的定义求解，即可根据虚轴长求解， （2）根据共渐近线的双曲线方程，利用待定系数法即可求解. 【解答过程】（1）由题意易知， 且 在中，． 由双曲线的定义可知， ， 即． 双曲线的两个焦点分别为， 半焦距． 又 ． 故双曲线 的虚半轴长为 （2）由（1）知双曲线 的方程为． 设与双曲线 有相同浙近线的双曲线的方程为． 将点 的坐标代入上述方程， 得． 故所求双曲线的标准方程为 ． 16．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知双曲线是上的任意一点. (1)设点的坐标为，求的最小值； (2)若分别为双曲线的左､右焦点，，求的面积. 【解题思路】（1）设出点的坐标为，表示出，利用点再双曲线上，借助二次函数知识计算即可; （2）由双曲线的定义及余弦定理表示出，结合面积公式计算即可. 【解答过程】（1）   设点的坐标为， 则， 因为，所以当时，取得最小值. （2）由双曲线的定义知①, 由余弦定理得②, 根据①②可得，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$