高二第二学期期末模拟卷01（范围：选择性必修第二册）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019必修第二册）

高二第二学期期末模拟卷01 （范围：选择性必修第二册） 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 2．2024届高三某次联考中对尖端生采用屏蔽措施，某校历史方向有五名屏蔽生总分在前9名，现在确定第一、二、五名是三位同学，但不是第一名，两名同学只知道在6至9名，且的成绩比好，则这5位同学总分名次有多少种可能（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 3．已知的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（    ） A． B．240 C．60 D． 4．已知事件满足：，则（    ） A． B． C． D． 5．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知变量，的5对样本数据为，，，，，用最小二乘法得到经验回归方程：，过点，的直线方程为：，则（    ） A． B．样本数据的残差为 C． D． 7．习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第n行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 8．如图，在棱长为的正方体中，与平面交于点，与平面交于点，点分别在线段上运动，则线段的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．以下说法正确的是（    ） A．袋子中有个大小相同的小球，其中个白球、个黑球.每次从袋子中随机摸出个球，若已知第一次摸出的是白球，则第二次摸到白球的概率为 B．对分类变量与来说，越大，“与无关系”的把握程度越大 C．残差点分布在以横轴为对称轴的带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好 D．已知随机变量，若，则 10．甲、乙两个不透明的袋子中分别装两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有3个红球和4个绿球；乙袋中装有5个红球和2个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机获出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”，则下列说法正确的是（    ） A．，是对立事件 B．，是独立事件 C． D． 11．如图，在长方体中，，点E为的中点，点F为侧面（含边界）上的动点，则下列说法正确的是 （    ） A．不存在点F，使得 B．的最小值为 C．满足的点F的轨迹长度为 D．若平面，则线段长度的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．在的展开式中，的系数为，则实数为 . 13．某军事小组进行射击训练，甲、乙、丙三位战士同时对空中飞行的无人靶机进行射击，每位战士击中靶机的概率为0.5.靶机在被一人击中的条件下坠落的概率为0.2，靶机在被二人击中的条件下坠落的概率为0.6，靶机在被三人击中的条件下坠落的概率为0.8，则靶机被击中坠落的概率为 . 14．在n维空间中（，），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中.则5维“立方体”的顶点个数是 ；定义：在n维空间中两点与的曼哈顿距离为.在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则 . 四、解答题：本题共6小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知二项式 的展开式中， .  给出下列条件： ①第二项与第三项的二项式系数之比是； ②各项二项式系数之和为512；  ③第7项为常数项； 从上面三个条件中选择一个合适的条件补充在上面的横线上，并完成下列问题. (1)求实数的值； (2)展开式中二项式系数最大的项； (3)求的展开式中的常数项. 16．如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量，并求； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 17．冬季是某种流行疾病的高发季，为了检测预防这种疾病疫苗的免疫效果，对200名志愿者注射该疫苗，一段时间后，统计了这200名志愿者的年龄（单位:岁），并测量他们血液中的抗体医学指标现作出的散点图，如下: 抗体医学指标 年龄 合计 合计 图中，年龄岁的志愿者中抗体医学指标的有64人，的有36人;年龄岁的志愿者中抗体医学指标的有16人，的有84人. (1)请完成上面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断能否认为抗体医学指标不小于80与年龄不小于50岁有关; (2)对数据初步处理后计算得的方差分别为50，162，y关于的线性回归方程为，且其样本相关系数，求的值.若一名65岁的志愿者注射该疫苗，经过和200名志愿者注射后相同长度的一段时间后，预测这名志愿者的抗体医学指标值. 0.1 0.01 0.005 0.001 2.706 6.635 7.879 10.828 参考公式:（其中. 线性回归方程为，其中， 变量与变量的样本相关系数 18．在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，直线PA与BC所成的角的正切值等于、N分别是PB、PC的中点． (1)判断直线AM和DN的位置关系（不必说明理由，直接写出结论即可）； (2)证明：平面平面ABCD；(3)求平面MPD与平面APD夹角的余弦值． 19．网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.年初以来，我国网络正在大面积铺开.A市某调查机构为了解市民对该市网络服务质量的满意程度，从使用了手机的市民中随机选取了人进行了问卷调查，并将这人根据其满意度得分分成以下组：、、、、，统计结果如图所示：    (1)由直方图可认为市市民对网络满意度得分（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.若市恰有万名手机用户，试估计这些手机用户中满意度得分位于区间的人数（每组数据以区间的中点值为代表）； (2)该调查机构为参与本次调查的手机用户举行了抽奖活动，每人最多有轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为.每一轮抽奖，若中奖，奖金为元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束，现小王参与了此次抽奖活动. （ⅰ）求小王获得元话费的概率； （ⅱ）求小王所获话费总额的数学期望（结果精确到）. 参考数据：若随机变量z服从正态分布，即，则，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二第二学期期末模拟卷01 （范围：选择性必修第二册） 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由点在上，且，知；由为的中点，知. 所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对向量加法定义的运用. 2．2024届高三某次联考中对尖端生采用屏蔽措施，某校历史方向有五名屏蔽生总分在前9名，现在确定第一、二、五名是三位同学，但不是第一名，两名同学只知道在6至9名，且的成绩比好，则这5位同学总分名次有多少种可能（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【详解】第一步排有两种可能：第2名或第5名； 第二步排和有两种可能； 第三步排和，有6，7，8位三种可能； 当为第6名时，有7，8，9名三种可能， 当为第7名时，有8，9名两种可能， 当为第8名时，只有第9名一种可能， 所以第三步的总数为种； 根据分类计数原理，所有名次排位的总数种。 故选：C 3．已知的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（    ） A． B．240 C．60 D． 【答案】B 【详解】由题意可知：二项式系数之和为，可得， 其展开式的通项为， 令，解得， 所以其展开式的常数项为. 故选：B. 4．已知事件满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，设， 则， ， 所以. 故选：B. 5．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线的对称轴是， 则，又， 所以， 所以， 故选：A. 6．已知变量，的5对样本数据为，，，，，用最小二乘法得到经验回归方程：，过点，的直线方程为：，则（    ） A． B．样本数据的残差为 C． D． 【答案】D 【详解】对于A选项，由已知可得，，， 根据经验回归方程，可知，所以. 根据已知，可求出， 则直线的方程为，整理可得， 所以，故A选项错误； 对于B项，由已知，经验回归方程为， 样本数据的预测值为， 所以样本数据的残差为，故B项错误； 对于C、D选项，根据最小二乘法的意义，可知， 故D项正确. 故选：D. 7．习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第n行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 【答案】D 【详解】根据题意，由数表可得：第行的第个数为， 由此分析选项： 对于A，，A错误； 对于B，第2023行中从左往右第1013个数为，第1014个数为，两者不相等，B错误； 对于C，记第行的第个数为，则，则，C错误； 对于D，第20行中第8个数为，第9个数为，则两个数的比为，D正确． 故选：D． 8．如图，在棱长为的正方体中，与平面交于点，与平面交于点，点分别在线段上运动，则线段的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示：以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 可得， 则，可知， 且，平面，可知：平面， 且平面，可得， 设，即，则， 因为，解得，即； 同理可得：平面，， 则，， 又因为， 则三棱锥为正三棱锥，点为等边的中心， 在中，结合等边三角形可知：， 因为平面，平面，则，可知， 当时，取到最小值； 当时，取到最大值； 综上所述：线段的取值范围为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．以下说法正确的是（    ） A．袋子中有个大小相同的小球，其中个白球、个黑球.每次从袋子中随机摸出个球，若已知第一次摸出的是白球，则第二次摸到白球的概率为 B．对分类变量与来说，越大，“与无关系”的把握程度越大 C．残差点分布在以横轴为对称轴的带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好 D．已知随机变量，若，则 【答案】ACD 【详解】对于，在第一次摸出白球后，样本空间缩小为袋子中共有个小球，其中白球有个，所以第二次摸出白球的概率，所以正确； 对于，由独立性检验可知，的值越大，零假设成立的可能性越小，即“与有关系”的把握程度越大， 所以不正确； 对于，残差点分布在以横轴为对称轴的带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好， 所以正确； 对于，因为随机变量且，由正态分布的性质可得，所以，所以正确. 故选：. 10．甲、乙两个不透明的袋子中分别装两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有3个红球和4个绿球；乙袋中装有5个红球和2个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机获出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”，则下列说法正确的是（    ） A．，是对立事件 B．，是独立事件 C． D． 【答案】AD 【详解】A：由题意知，每次只摸出一个球，，， 则，所以对立，故A正确； B：，， 则，所以不相互独立，故B错误； C：，故C错误； D：，， 所以，故D正确. 故选：AD 11．如图，在长方体中，，点E为的中点，点F为侧面（含边界）上的动点，则下列说法正确的是 （    ） A．不存在点F，使得 B．的最小值为 C．满足的点F的轨迹长度为 D．若平面，则线段长度的最小值为 【答案】AC 【详解】以为原点，分别以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 设（其中）， 对于A中，若，则， 又由，所以， 即，此时方程无解， 所以不存在点，使得，所以A正确； 对于B中，设点关于平面的对称点为，则的坐标为， 可得， 当且仅当三点共线时，取等号，所以B错误； 对于C中，由，可得， 整理得，即点的轨迹为矩形内的线段， 因为，当时，；当时，， 即满足的点的轨迹长度为，所以C正确； 对于D中，由， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 因为平面，所以，即， 又由点，所以， 当时，可得的最小值为，所以D不正确. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．在的展开式中，的系数为，则实数为 . 【答案】/ 【详解】二项式展开式的通项， 显然是偶数，由，解得，则有的项为， 因此，所以. 故答案为： 13．某军事小组进行射击训练，甲、乙、丙三位战士同时对空中飞行的无人靶机进行射击，每位战士击中靶机的概率为0.5.靶机在被一人击中的条件下坠落的概率为0.2，靶机在被二人击中的条件下坠落的概率为0.6，靶机在被三人击中的条件下坠落的概率为0.8，则靶机被击中坠落的概率为 . 【答案】0.4 【详解】由全概率公式可知所求概率为. 故答案为：0.4. 14．在n维空间中（，），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中.则5维“立方体”的顶点个数是 ；定义：在n维空间中两点与的曼哈顿距离为.在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则 . 【答案】 32 【详解】（1）的可能值为0，1（，）.故五维立方体的顶点有个. （2）依题意，样本空间的样本点记为，M，N为五维立方体的顶点 样本点总数： 当时，有k个第i维坐标值不同，有个第i维坐标值相同. 满足的样本点个数为. 所以. 故分布列为： X 1 2 3 4 5 P . 故答案为：32；. 【点睛】关键点点睛：本题第二空关键在于确定当时，有k个第i维坐标值不同，有个第i维坐标值相同，再由求出概率. 四、解答题：本题共6小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知二项式 的展开式中， .  给出下列条件： ①第二项与第三项的二项式系数之比是； ②各项二项式系数之和为512；  ③第7项为常数项； 从上面三个条件中选择一个合适的条件补充在上面的横线上，并完成下列问题. (1)求实数的值； (2)展开式中二项式系数最大的项； (3)求的展开式中的常数项. 【答案】(1)选择见解析， (2)或 (3) 【详解】（1）因为二项式 展开式的通项公式为， 选①，由题知，解得， 选②，令，得到，解得， 选③，由题知，解得. （2）由（1）知，所以二项式系数最大的项为第项或第项， 又二项式 展开式的通项公式为， 所以展开式中二项式系数最大的项为或. （3）由（1）知，又， 因为展开式的通项公式为， 由，得到，由，得到， 所以的展开式中的常数项为. 16．如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量，并求； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以， ， 则. 则与所成的角的余弦值为. 17．冬季是某种流行疾病的高发季，为了检测预防这种疾病疫苗的免疫效果，对200名志愿者注射该疫苗，一段时间后，统计了这200名志愿者的年龄（单位:岁），并测量他们血液中的抗体医学指标现作出的散点图，如下: 抗体医学指标 年龄 合计 合计 图中，年龄岁的志愿者中抗体医学指标的有64人，的有36人;年龄岁的志愿者中抗体医学指标的有16人，的有84人. (1)请完成上面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断能否认为抗体医学指标不小于80与年龄不小于50岁有关; (2)对数据初步处理后计算得的方差分别为50，162，y关于的线性回归方程为，且其样本相关系数，求的值.若一名65岁的志愿者注射该疫苗，经过和200名志愿者注射后相同长度的一段时间后，预测这名志愿者的抗体医学指标值. 0.1 0.01 0.005 0.001 2.706 6.635 7.879 10.828 参考公式:（其中. 线性回归方程为，其中， 变量与变量的样本相关系数. 【答案】(1)列联表见解析，抗体医学指标不小于80与年龄不小于50岁有关． (2)，这名志愿者的抗体医学指标的预测值为 【详解】（1）补充完整的列联表如下： 抗体医学指标 年龄 合计 36 84 120 64 16 80 合计 100 100 200 零假设为：抗体医学指标不小于80与年龄不小于50岁无关． 根据列联表中的数据，得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 故抗体医学指标不小于80与年龄不小于50岁有关； （2）因为的方差分别为50，162， 所以， 由，得， 由样本相关系数的定义，得， 所以， 则， 所以经验回归方程为， 当时，， 故这名志愿者的抗体医学指标的预测值为． 18．在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，直线PA与BC所成的角的正切值等于、N分别是PB、PC的中点． (1)判断直线AM和DN的位置关系（不必说明理由，直接写出结论即可）； (2)证明：平面平面ABCD； (3)求平面MPD与平面APD夹角的余弦值． 【答案】(1)直线AM与DN相交 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）直线AM与DN相交. 理由如下：如图，连接，因为、N分别是PB、PC的中点， 所以是的中位线，所以，， 又底面四边形ABCD是正方形，所以，， 所以，， 所以四边形为梯形，且AM与DN是梯形的两个腰， 所以直线AM与DN相交. （2）取AD的中点为，连接PO，BO，因为，所以， 因为，所以就是直线PA与BC所成的角，所以， 又底面ABCD是边长为2的正方形，所以， 由得，， 又，则有，所以， 又平面，所以平面ABCD， 而平面PAD，所以平面平面ABCD. （3）因为M是PB的中点，所以平面MPD即为平面BPD， 在正方形ABCD中，取BC的中点，连接OQ，则， 又由（2）知平面ABCD，故以O为原点， OQ、OA、OP所在直线分别为x轴、y轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设平面BPD的一个法向量为， 则，取，则，故， 而平面APD的一个法向量为， ， 所以平面MPD与平面APD夹角的余弦值为． 19．网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.年初以来，我国网络正在大面积铺开.A市某调查机构为了解市民对该市网络服务质量的满意程度，从使用了手机的市民中随机选取了人进行了问卷调查，并将这人根据其满意度得分分成以下组：、、、、，统计结果如图所示：    (1)由直方图可认为市市民对网络满意度得分（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.若市恰有万名手机用户，试估计这些手机用户中满意度得分位于区间的人数（每组数据以区间的中点值为代表）； (2)该调查机构为参与本次调查的手机用户举行了抽奖活动，每人最多有轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为.每一轮抽奖，若中奖，奖金为元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束，现小王参与了此次抽奖活动. （ⅰ）求小王获得元话费的概率； （ⅱ）求小王所获话费总额的数学期望（结果精确到）. 参考数据：若随机变量z服从正态分布，即，则，. 【答案】(1)人； (2)（ⅰ），（ⅱ）元. 【详解】（1）由题意知样本平均数为，则 ，， 所以，，而， 故万名手机用户中满意度得分位于区间的人数约为（人）； （2）（ⅰ）小王获得元话费表明其前9轮连续中奖且第10轮未中奖，故所求的概率为； （ⅱ）由题意可知X的可能取值有,即， 当时，，说明小王前轮连续中奖且第轮未中奖，此时， 又满足，，故， 所以, 令，则， 上述两个等式相减得， 则，所以（元）. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$