第01讲 集合及其表示方法（思维导图+5知识点+7考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教B版2019必修第一册）

第01讲 集合及其表示方法 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解集合的概念、集合中元素的特征，凸显数学抽象的核心素养. 2.掌握集合的表示方法、几种特殊数集，能确定元素与集合的关系. 3.与方程、不等式、数轴等相结合考查集合的表示，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养. 知识点 1 集合与元素 1.含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合. 2.元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a∉A a不属于集合A 知识点2 集合中元素的特点 (1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一． (2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的． (3)无序性：集合中的元素可以任意排列．如果两个集合A，B,组成它们的元素完全相同，成这两个集合相等，记作A=B. 知识点3 集合的分类 含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集. 空集：不含任何元素的集合. 【特别提醒】空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集！ 知识点4 几种特殊数集 N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集． 知识点5 集合的表示方法 1.自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合． 2.列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 3.描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示成.这种表示集合的方法称为描述法. 4.区间表示法： （1）一般区间的表示． 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 __[a，b]__ {x|a＜x＜b} 开区间 __(a，b)__ {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] （2）特殊区间的表示. 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【特别提醒】　 ①关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点． ②区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆． ③正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号． ④区间的端点a,b，b-a称为区间的长度. 考点一：集合的概念 例1．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期中）下列说法正确的是（    ） A．0与的意义相同 B．某市文明市民可以组成一个集合 C．集合是无限集 D．方程的解集有二个元素 【变式1-1】（23-24高一上·重庆·期中）下列叙述能组成集合的是（　　） A．接近0的数 B．数学成绩好的同学 C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员 【变式1-2】（多选）（23-24高一上·陕西汉中·期中）下列说法中不正确的是（ ） A．0与表示同一个集合； B．集合与是两个相同的集合； C．方程的所有解组成的集合可表示为； D．集合可以用列举法表示． 【变式1-3】（多选）（23-24高一上·江西景德镇·期中）下列几组对象可以组成集合的有（    ） A．高中数学必修第一册课本中所有的难题 B．2023年参加杭州亚运会的全体运动员 C．小于9的所有素数 D．高一年级视力比较好的同学 【总结提升】 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合． 考点二：元素和集合的关系 例2.（22-23高一上·北京·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）下列关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】（23-24高一上·山东临沂·开学考试）已知集合，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（多选）（2022秋·江西南昌·高一统考期中）已知集合，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 考点三：根据元素与集合的关系求参数 例3.（23-24高一上·山东烟台·期中）若集合，且，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 【变式3-1】（23-24高一上·山东·阶段练习）已知集合，，则（    ）. A．1 B． C．或1 D．3 【变式3-2】（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知集合，若，则 . 【变式3-3】（21-22高一上·新疆阿克苏·期末）已知集合，若，则实数 . 【总结提升】 与集合元素有关问题解题思路： （1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集． （2）看这些元素满足什么限制条件． （3）根据限制条件列式求参数或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性. 考点四：根据集合中元素的个数求参数 例4.（23-24高一上·广东广州·期末）已知集合只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1或0 B．0 C．1 D．1或2 【变式4-1】（23-24高一上·山东临沂·期中）已知集合有三个元素.若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．0或1 【变式4-2】（多选）（23-24高一上·四川·期中）集合中有且仅有一个元素，则实数的值可能为（    ） A．1 B． C．0 D．2 【变式4-3】（2023秋·高一课时练习）如果集合至多有一个元素，求实数的取值范围. 考点五：区间的认识及其应用 例5.（23-24高一上·全国·课后作业）（1）用区间表示且为 ． （2）已知区间，则的取值范围是 ． 【变式5-1】（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）下列叙述正确的是（    ） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 【变式5-2】（23-24高一上·上海松江·期中）若为一确定区间，则的取值范围为 . 【变式5-3】（23-24高一上·河北石家庄·期中）用区间表示为 ；用区间表示为 ． 考点六：用适当的方法表示集合 例6.（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)； (3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合； (4)不等式的解集． 【变式6-1】（2022春·湖南长沙·高一浏阳市第六中学校考开学考试）集合,等于（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是 ．    【变式6-3】（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)奇数的集合； (2)正偶数的集合； (3)； (4)不等式的解集． 【规律方法】 1．用列举法表示集合，要注意是数集还是点集（数对）． 2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然． 因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键． 3．用描述法表示相应集合时，首先明确代表元素是点集还是数集，在此基础上，结合描述的定义给出集合的表示． 4．用描述法表示集合时，其代表元素的范围务必明确，如果省略不写，则默认为x∈R. 考点七：常用数集的应用 例7. （22-23高一上·北京·阶段练习）若集合，用列举法表示 ． 【变式7-1】（23-24高一上·青海西宁·期中）集合用列举法表示为 . 【变式7-2】（22-23高一上·上海金山·阶段练习）用列举法表示集合且为 ． 【变式7-3】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）集合用列举法表示为 ． 1．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）方程组的解构成的集合是（    ） A． B． C． D． 2．（2022高一上·全国·专题练习）下列命题中正确的（    ） ①与表示同一个集合； ②由组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上语句都不对 3．（23-24高一上·贵州黔西·阶段练习）已知集合，则与集合的关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2022高一上·全国·专题练习）设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（多选）（23-24高一上·安徽合肥·阶段练习）下列四个命题：其中不正确的命题为（    ） A．是空集 B．若，则； C．集合中只有一个元素 D．集合是有限集. 6．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）用列举法表示集合可以是 ． 7．（23-24高一上·全国·课后作业）已知区间，则a的取值范围是 . 8．（2023高一·全国·专题练习）用区间表示下列集合： （1）用区间表示为 ； （2）用区间表示为 . 9．（22-23高一上·广西桂林·阶段练习）集合，且，则 . 10.（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合，则集合为 . 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B选项，“2023年参加杭州亚运会的全体运动员”可以组成集合. C选项，“小于9的所有素数” 是“”，可以组成集合. D选项，“视力比较好”无法确定，所以不能组成集合. 故选：BC 【总结提升】 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合． 考点二：元素和集合的关系 例2.（22-23高一上·北京·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合之间的关系即可求解. 【详解】因为，即小于3的元素符合题意，，符合题意，A、C错误，B正确；对于D，属于的符合只能用于集合于元素的关系，故D错. 故选：B 【变式2-1】（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）下列关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据数集的含义和元素与集合间的关系判断即可. 【详解】Q表示有理数集，是有理数，故（1）正确； R表示实数集，为实数，故（2）错； 表正整数集，0不是正整数，故（3）错； Z表示整数集，不是整数，故（4）错； 和都表示集合，集合间的关系不能用表示，故（5）错. 故选：A. 【变式2-2】（23-24高一上·山东临沂·开学考试）已知集合，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程可求得集合，再根据元素和集合的关系即可求解. 【详解】由得或，则集合，所以，，，. 故选：B. 【变式2-3】（多选）（2022秋·江西南昌·高一统考期中）已知集合，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据已知集合逐个分析判断 【详解】对于A，，所以A正确， 对于B，，所以B错误， 对于C，，所以C正确， 对于D，，所以D正确， 故选：ACD 考点三：根据元素与集合的关系求参数 例3.（23-24高一上·山东烟台·期中）若集合，且，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 【答案】B 【分析】根据集合的元素不重复可解得. 【详解】因为，所以或，解得，或或， 当时，，又集合中不能有相同的元素，所以 故选：B 【变式3-1】（23-24高一上·山东·阶段练习）已知集合，，则（    ）. A．1 B． C．或1 D．3 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系可得或，解出，由集合的互异性检验即可得出答案. 【详解】因为，，所以或，解得或1， 当时，，不符合集合元素的互异性，舍去，当时，，符合题意. 故. 故选：B 【变式3-2】（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知集合，若，则 . 【答案】 【分析】由中有元素为0，注意元素的互异性即可． 【详解】因为，若，则，与集合中元素的互异性矛盾，因此， 若，则，此时，满足题意， 故答案为：． 【变式3-3】（21-22高一上·新疆阿克苏·期末）已知集合，若，则实数 . 【答案】0 【分析】讨论、求参数，结合集合的性质确定参数值. 【详解】若，则，而，不满足集合元素的互异性； 若，则，故，满足题设， 所以. 故答案为：0 【总结提升】 与集合元素有关问题解题思路： （1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集． （2）看这些元素满足什么限制条件． （3）根据限制条件列式求参数或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性. 考点四：根据集合中元素的个数求参数 例4.（23-24高一上·广东广州·期末）已知集合只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1或0 B．0 C．1 D．1或2 【答案】A 【分析】讨论，当时，方程是一次方程，当时，二次方程只有一个解，，即可求. 【详解】若集合只有一个元素，则方程只有一个解， 当时，方程可化为，满足题意， 当时，方程只有一个解，则，解得， 所以或. 故选：. 【变式4-1】（23-24高一上·山东临沂·期中）已知集合有三个元素.若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．0或1 【答案】C 【分析】根据，分类讨论结合元素的互异性求解即可. 【详解】因为，所以或. 当即时，，满足题意； 当即时， 若，则，满足题意；若，则，不满足题意； 综上，实数的值为或1. 故选：C 【变式4-2】（多选）（23-24高一上·四川·期中）集合中有且仅有一个元素，则实数的值可能为（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】AC 【分析】对方程进行分类讨论，结合一元一次方程、一元二次方程的解法作答． 【详解】集合有且仅有一个元素， 即方程有且仅有一个解， 时，解为，符合， 时，方程为一元二次方程，由，得， 综上，或，可知AC符合． 故选：AC． 【变式4-3】（2023秋·高一课时练习）如果集合至多有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】讨论、，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求参数范围. 【详解】若，此时，符合题意； 若，要使集合至多有一个元素，则，故， 综上，. 考点五：区间的认识及其应用 例5.（23-24高一上·全国·课后作业）（1）用区间表示且为 ． （2）已知区间，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】（1）根据区间的表示方法表示即可， （2）由题意可得，从而可求出的取值范围. 【详解】（1）且用区间可表示为， （2）由题意得，得，即的取值范围. 故答案为：；. 【变式5-1】（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）下列叙述正确的是（    ） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 【答案】D 【分析】根据区间的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，用区间可表示为，错误； 对于B，用区间可表示为，错误； 对于C，用集合可表示为，错误； 对于D，用集合可表示为，正确； 故选：D 【变式5-2】（23-24高一上·上海松江·期中）若为一确定区间，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由区间的含义列出限制条件可得答案. 【详解】由题意，，解得. 故答案为： 【变式5-3】（23-24高一上·河北石家庄·期中）用区间表示为 ；用区间表示为 ． 【答案】 【分析】根据区间的定义直接得到答案. 【详解】，. 故答案为：；. 考点六：用适当的方法表示集合 例6.（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)； (3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合； (4)不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据描述法及列举法的定义结合题意即可得出答案. 【详解】（1）由得，，解得，， 所以集合为； （2）由，得x为，，0，1，2， 当或时，； 当或时，； 当时，． 所以集合为； （3）； （4）解不等式得， 所以不等式的解集可表示为．用区间表示为（2，+∞）. 【变式6-1】（2022春·湖南长沙·高一浏阳市第六中学校考开学考试）集合,等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式即可求得集合中的元素． 【详解】由，可得，又， 所以集合,． 故选：C． 【变式6-2】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是 ．    【答案】 【分析】看图得出x，y的取值范围，用集合的描述法表示出来即可. 【详解】由图知，，，所以由集合的描述法可知 . 故答案为：. 【变式6-3】（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)奇数的集合； (2)正偶数的集合； (3)； (4)不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)； (4) 【分析】（1）（2）根据描述法写出； （3）根据描述法及列举法求解； （4）解一元一次不等式，利用描述法表示即可. 【详解】（1）奇数的集合用描述法表示为： （2）正偶数的集合用描述法表示为： （3）． （4）由解得，所以不等式的解集为． 【规律方法】 1．用列举法表示集合，要注意是数集还是点集（数对）． 2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然． 因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键． 3．用描述法表示相应集合时，首先明确代表元素是点集还是数集，在此基础上，结合描述的定义给出集合的表示． 4．用描述法表示集合时，其代表元素的范围务必明确，如果省略不写，则默认为x∈R. 考点七：常用数集的应用 例7. （22-23高一上·北京·阶段练习）若集合，用列举法表示 ． 【答案】 【分析】根据给定集合，结合代表元及约束条件的属性，求解作答. 【详解】集合，则是6的正约数，而6的正约数有1，2，3，6， 当时，，当时，，当时，，当时，， 所以. 故答案为： 【变式7-1】（23-24高一上·青海西宁·期中）集合用列举法表示为 . 【答案】 【分析】观察集合中的式子，给赋值，即可求解. 【详解】时，；时，；时，；时，； 可得. 故答案为： 【变式7-2】（22-23高一上·上海金山·阶段练习）用列举法表示集合且为 ． 【答案】 【分析】分别令即可求出集合中的元素. 【详解】时，， 时，， 时，， 所以集合且. 故答案为：. 【变式7-3】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）集合用列举法表示为 ． 【答案】 【分析】根据4能被整除分类即可. 【详解】时，时，时，时，时，；时，. 故． 故答案为：. 1．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）方程组的解构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先解出方程组，再由列举法表示出解集. 【详解】由，解得， 所以方程组的解构成的集合是. 故选：D 2．（2022高一上·全国·专题练习）下列命题中正确的（    ） ①与表示同一个集合； ②由组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上语句都不对 【答案】C 【分析】根据集合的定义和表示方法分别进行判断． 【详解】 ①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误； ②符合集合中元素的无序性，正确； ③不符合集合中元素的互异性，错误； ④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示，错． 故选：C 3．（23-24高一上·贵州黔西·阶段练习）已知集合，则与集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由元素与集合的关系，即可得到结果. 【详解】因为，所以. 故选:A 4．（2022高一上·全国·专题练习）设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据给定条件计算出所有的值，再借助集合中元素的性质即可作答. 【详解】，时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素． 故选：B． 5．（多选）（23-24高一上·安徽合肥·阶段练习）下列四个命题：其中不正确的命题为（    ） A．是空集 B．若，则； C．集合中只有一个元素 D．集合是有限集. 【答案】ABD 【分析】根据数集的概念、空集的概念、集合的分类以及元素与集合的关系进行判断. 【详解】对于A，含有一个元素，所以不是空集，故A错误； 对于B：当时，，则，故B错误； 对于C：只有一个元素，故C正确； 对于D：表示有理数，包括整数和分数，比如为正整数的倒数时，都有，所以集合是无限集，故D错误. 故选：ABD. 6．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）用列举法表示集合可以是 ． 【答案】 【分析】根据限制条件写出集合的元素即可. 【详解】. 故答案为：. 7．（23-24高一上·全国·课后作业）已知区间，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合区间的概念可直接求解，注意区间右端数值大于左端. 【详解】由，得，则a的取值范围为 故答案为：. 8．（2023高一·全国·专题练习）用区间表示下列集合： （1）用区间表示为 ； （2）用区间表示为 . 【答案】 【分析】根据区间与集合的关系即可得到答案. 【详解】根据区间与集合的关系可得结果. 故答案为：；. 9．（22-23高一上·广西桂林·阶段练习）集合，且，则 . 【答案】 【分析】分类讨论，，求出的值，再代入集合检验是否满足互异性即可. 【详解】因为，， 所以当时，解得，此时，集合不满足互异性，舍去； 当时，解得或（舍去），此时，满足题意； 综上：. 故答案为：. 10.（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合，则集合为 . 【答案】 【分析】根据分式为正数，得出为15的因数，即可计算得出答案. 【详解】，且， 为15的因数， 或3或5或15，解得或12或10或0， 集合为. 故答案为：. 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