专题08 反比例函数的图像与性质（二）（10大题型）-2024-2025学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（沪科版）

专题08 反比例函数的图像与性质（二） 目录 【题型一 比较反比例函数值或自变量的大小】 1 【题型二 已知比例系数求特殊图形的面积】 2 【题型三 根据图形面积求比例系数】 2 【题型四 求反比例函数解析式】 3 【题型五 实际问题与反比例函数】 4 【题型六 反比例函数与几何综合】 5 【题型七 一次函数与反比例函数图像共存问题】 6 【题型八 一次函数与反比例函数的交点问题】 7 【题型九 一次函数与反比例函数的实际应用】 8 【题型十 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 10 【题型一 比较反比例函数值或自变量的大小】 例题：（2024·湖北宜昌·模拟预测）已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·天津南开·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2024年5月山西省阳泉市部分学校中考三模数学试题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是 用“”连接）． 【题型二 已知比例系数求特殊图形的面积】 例题：（2024·湖北武汉·二模）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，交x轴于点C，连结，取的中点D，连结，则的面积为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 【变式训练】 1．（2024·湖北随州·二模）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，已知点B，C关于原点对称，则的面积为 ． 2．（2024·安徽淮南·三模）如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于两点，点在轴上，则 ． 【题型三 根据图形面积求比例系数】 例题：（2024·云南昭通·二模）如图，点在反比例函数的图象上，过点P分别向x轴、y轴作垂线、，若矩形的面积为6，则k的值为（　　） A．12 B． C．6 D． 【变式训练】 1．（2024·山西太原·三模）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上一点，连接，．若的面积为3，则的值是（    ） A．3 B． C．6 D． 2．（23-24八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的点，过点作轴的垂线交轴于点，点在轴上，若的面积为2，则的值是 ． 【题型四 求反比例函数解析式】 例题：（23-24八年级下·四川眉山·期中）若y与成反比例，且当时，，则y与x之间的关系式是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正方形的顶点A、B在y轴的正半轴上，点E在边上，且，反比例函数的图象经过点C、E，若，则k的值为 ． 2．（2024·云南昆明·二模）下表是几组y与x的对应值，则y关于x的函数解析式为 ． x … 1 2 3 … y … 3 4.5 9 … 【题型五 实际问题与反比例函数】 例题：（2024·河北石家庄·二模）某市有4家专卖店销售同样品牌的羽绒服，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四家专卖店的利润率（利润和成本的比值）与该店成本的情况，其中描述甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上，那么销售同样数量的羽绒服获得利润最多的店是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式训练】 1．（2024·山西太原·二模）已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）之间的关系如下表所示，则下列说法中错误的是（    ） 5 4 2 1 0.5 0.25 20 25 30 40 50 100 200 400 A．的值为2.5 B．与之间的函数表达式为 C．当时， D．随的增大而减小 2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积变化时，气体的密度随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示．当时，二氧化碳的密度ρ是 ． 【题型六 反比例函数与几何综合】 例题：（23-24八年级下·浙江杭州·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，我们把点称为点的“和差点”．如图，的直角边在轴上，点，若点在反比例函数的图象上，点为点的“和差点”，且点在的直角边上，则的面积为（　　） A．2 B． C．1 D． 【变式训练】 1．（2024·湖南益阳·三模）如图，已知反比例函数的图象经过斜边的中点D， 且与直角边相交于点C， 点A 在x轴上．若点B的坐标为，则点C的坐标为 ． 2．（2024·四川南充·三模）如图，反比例函数的图象与矩形的边、分别交于点、，已知点的纵坐标为，点的横坐标为，则的值为 ． 【题型七 一次函数与反比例函数图像共存问题】 例题：（23-24八年级下·福建泉州·期末）在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·浙江嘉兴·一模）函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象不可能是（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·安徽淮北·二模）如图，关于的二次函数是常数且的图象如图，则双曲线和直线在同一坐标系中大致是（    ） A． B． C． D． 【题型八 一次函数与反比例函数的交点问题】 例题：（2024·福建泉州·模拟预测）如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·安徽蚌埠·三模）如图：直线与x轴交于点A，与双曲线交于点P，过点P作轴于点C，且，则k的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，已知点的坐标为，则点的坐标为 ．    【题型九 一次函数与反比例函数的实际应用】 例题：（2023·河北保定·一模）某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 【变式训练】 1．（2024·广东深圳·二模）如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为 ． 2．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）我校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段，请根据图中信息解答下列问题： (1)第3分钟时消毒效果为________效力； (2)求深消毒阶段和降消毒阶段中与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【题型十 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 例题：（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（、是常数，且）与反比例函数（c是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式训练】 1．（2024·四川南充·二模）如图，直线与双曲线相交于，两点，则关于x的不等式的解集为 ．    2．（2024·湖北咸宁·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．    (1)求，的值，并直接写出不等式的解集； (2)点C是线段AB上一点，过C作y轴的平行线交反比例函数在第四象限的图象于点D，若△COD的面积为5，求点C的坐标． 一、单选题 1．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，是反比例函数和在轴上方的图象，轴的平行线分别与这两个函数图象相交于点，，则的面积是（    ） A．7 B．14 C．18 D．28 2．（2024·上海·模拟预测）已知点在反比例函数（k为常数）图象上，，若，则的值为（    ） A．0 B．负数 C．正数 D．非负数 3．（2024·广东深圳·模拟预测）如图所示平面直角坐标系中A点坐标，B点坐标，的平分线与相交于点C，反比例函数经过点C，那么k的值为（    ） A．24 B． C． D．30 4．（2024·浙江杭州·二模）如图，已知反比例函数图象的一支曲线经过对角线，的交点，且点的坐标为，则（　　） A．3 B． C．6 D． 5．（2024年辽宁省营口市中考一模数学试题）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，．的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 6．（2024·海南省直辖县级单位·二模）已知反比例函数的图象经过，两点，则 （填“”“”或“”） ． 7．（2024·山西吕梁·模拟预测）区间测速是指检测机动车通过两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小禾一家在五一小长假期间出去游玩，发现汽车在安全行驶且不超速的条件下，在某一测速区间内行驶的平均速度与行驶时间之间是反比例函数关系，其函数图象如图所示．若小禾的爸爸安全行驶的平均速度为，则他们通过此测速区间的时间为 ． 8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，直线经过原点，且分别交反比例函数的图象于点，，点在轴上，且．若，则的值为 ． 9．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点B，直线与y轴交于点A，若，则 ．    10．（2024年浙江省舟山市中考三模数学试题）如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为， 以为一边向上作，对角线与相交于点P，若点C和点P同时在反比例函数图象上，则点B的坐标为 ．    三、解答题 11．（2024·四川广元·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与x轴相交于点C．    (1)求反比例函数的表达式； (2)若为x轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标． 12．（2024·江苏苏州·一模）如图，四边形为菱形，且点A在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，且与边交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)判断点是否为边的中点，并说明理由． 13．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（，b均为常数） (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集． 14．（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图，一次函数与反比例函数图象相交于，． (1)直接写出两个函数的解析式； (2)在x轴上找一点P，使得的面积为6，求出P点坐标； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 15．（2024·山西晋中·三模）某汽车监测站用一种一氧化碳检测仪测量家用燃油汽车尾气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻的阻值随着尾气中一氧化碳的含量变化的关系图象如图2所示，为定值电阻，电源电压恒定不变． (1)根据图2可以判断气敏电阻与尾气中一氧化碳的含量之间成___________函数，其函数解析式为___________． (2)若某家用燃油汽车的气敏电阻为，求该家用燃油汽车尾气中一氧化碳的含量． (3)若家用燃油汽车尾气中一氧化碳的含量不超过方可达到环保标准，请直接写出该家用燃油汽车的气敏电阻应控制在什么范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 反比例函数的图像与性质（二） 目录 【题型一 比较反比例函数值或自变量的大小】 1 【题型二 已知比例系数求特殊图形的面积】 3 【题型三 根据图形面积求比例系数】 5 【题型四 求反比例函数解析式】 8 【题型五 实际问题与反比例函数】 10 【题型六 反比例函数与几何综合】 12 【题型七 一次函数与反比例函数图像共存问题】 15 【题型八 一次函数与反比例函数的交点问题】 18 【题型九 一次函数与反比例函数的实际应用】 20 【题型十 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 24 【题型一 比较反比例函数值或自变量的大小】 例题：（2024·湖北宜昌·模拟预测）已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．先判断出函数图象位于第二四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大判断出，，的大小关系，然后即可选取答案． 【详解】解：∵反比例函数， ∴函数图象位于第二四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大， ∵， ∴，， ∴； 故选：A． 【变式训练】 1．（2024·天津南开·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特点，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先根据反比例函数的解析式判断出函数图像所在的象限，再根据反比例函数的性质即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图像的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， ∵， ∴、B两点在第四象限，C点在第二象限， ∴． 故选D． 2．（2024年5月山西省阳泉市部分学校中考三模数学试题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是 用“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点．先根据反比例函数中，判断函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大． ∵， ∴点位于第二象限， ∴， ∵， ∴点位于第四象限， ∴， 故答案为：． 【题型二 已知比例系数求特殊图形的面积】 例题：（2024·湖北武汉·二模）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，交x轴于点C，连结，取的中点D，连结，则的面积为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数值的几何意义是关键． 根据反比例函数值的几何意义进行解答即可． 【详解】解：连接， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ， ∵是的中点， ， 故选：D． 【变式训练】 1．（2024·湖北随州·二模）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，已知点B，C关于原点对称，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】根据题意先求出，再根据点，关于原点对称得到计算即可．本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握值几何意义是关键． 【详解】解：点在反比例函数的图象上，轴于点， ， 点，关于原点对称， ， ． 故答案为：3． 2．（2024·安徽淮南·三模）如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于两点，点在轴上，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，连接，设直线与x轴交于D，先证明得到，再由反比例函数比例系数的几何意义得到，则． 【详解】解：如图所示，连接，设直线与x轴交于D， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵B、C分别在反比例函数和的图象上， ∴， ∴， 故答案为：1． 【题型三 根据图形面积求比例系数】 例题：（2024·云南昭通·二模）如图，点在反比例函数的图象上，过点P分别向x轴、y轴作垂线、，若矩形的面积为6，则k的值为（　　） A．12 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何定义，理解反比例函数解析式k的几何定义是解题关键．根据题意，由反比例函数解析式的k几何定义得，即可得出k的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴，轴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式训练】 1．（2024·山西太原·三模）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上一点，连接，．若的面积为3，则的值是（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，根据图象所在象限可得到满足条件的k的值． 【详解】如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， 而， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．（23-24八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的点，过点作轴的垂线交轴于点，点在轴上，若的面积为2，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，根据已知条件得到三角形的面积，由于三角形的面积，得到，即可得到结论，明确是解题的关键． 【详解】如图，连， ∵轴， ∴， ∴三角形的面积， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 【题型四 求反比例函数解析式】 例题：（23-24八年级下·四川眉山·期中）若y与成反比例，且当时，，则y与x之间的关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查求函数解析式，掌握反比例函数的定义以及待定系数法是关键．利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵y与成反比例， ∴设， ∵当时，， ∴，即：， ∴． 故选：C． 【变式训练】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正方形的顶点A、B在y轴的正半轴上，点E在边上，且，反比例函数的图象经过点C、E，若，则k的值为 ． 【答案】 【分析】过点E作轴于点N，交于点G，延长交x轴于点M，根据正方形，，得,设，则，根据反比例函数的图象经过点C、E，得到，解答即可．本题考查了反比例函数的性质，正方形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：过点E作轴于点N，交于点G，延长交x轴于点M， ∵正方形，，， ∴, 设，则， 根据反比例函数的图象经过点C、E， ∴， 解得． 故答案为：． 2．（2024·云南昆明·二模）下表是几组y与x的对应值，则y关于x的函数解析式为 ． x … 1 2 3 … y … 3 4.5 9 … 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，解题的关键是从表格中发现与的规律关系．观察表格得，，可得关于的函数解析式． 【详解】解：观察表格得，， ， 故答案为：． 【题型五 实际问题与反比例函数】 例题：（2024·河北石家庄·二模）某市有4家专卖店销售同样品牌的羽绒服，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四家专卖店的利润率（利润和成本的比值）与该店成本的情况，其中描述甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上，那么销售同样数量的羽绒服获得利润最多的店是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据图象获取信息，即可得出结果． 【详解】解：∵ 甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴当销售同样数量的羽绒服时，甲，丁的利润相等， ∵丙在双曲线的上方，乙在双曲线的下方， ∴当销售同样数量的羽绒服时，丙的利润大于甲，丁的利润，乙的利润小于甲，丁的利润． 故选C． 【变式训练】 1．（2024·山西太原·二模）已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）之间的关系如下表所示，则下列说法中错误的是（    ） 5 4 2 1 0.5 0.25 20 25 30 40 50 100 200 400 A．的值为2.5 B．与之间的函数表达式为 C．当时， D．随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，熟练掌握电流=电压÷电阻是解决此题的关键．根据等量关系“电流=电压÷电阻”，即可求出反比例函数解析式，再利用反比例函数性质分析得出答案． 【详解】解：∵闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系， ∴， ∴， 故A不合题意； ∵闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系， 则，把代入得： 故， 即， 故B不合题意； ∵， ∴I随R的增大而减小，故D不合题意； ∴当时，，故C符合题意． 故选：C． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积变化时，气体的密度随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示．当时，二氧化碳的密度ρ是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图像上点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 观察函数图像，根据函数图像上点的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数图像上点的坐标特征，即可求出当时的值． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将代入表达式中得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴当时，气体的密度是， 故答案为：． 【题型六 反比例函数与几何综合】 例题：（23-24八年级下·浙江杭州·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，我们把点称为点的“和差点”．如图，的直角边在轴上，点，若点在反比例函数的图象上，点为点的“和差点”，且点在的直角边上，则的面积为（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据题意设出点的坐标，即可得出点的坐标，根据点在的直角边上求出的值，从而求出的面积．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是由新定义求出点Q的坐标． 【详解】解：根据题意可设点的坐标为，且， 则点的坐标为，， 点在线段上， 则， 解得：，（舍， 此时点的坐标为，， 此时， 的面积， 故选：B． 【变式训练】 1．（2024·湖南益阳·三模）如图，已知反比例函数的图象经过斜边的中点D， 且与直角边相交于点C， 点A 在x轴上．若点B的坐标为，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得点，则有，然后再把点C的横坐标代入进行求解即可． 【详解】解：∵点D是的中点，且点， ∴点，即， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵轴， ∴点C的横坐标为8， ∴， ∴点C的坐标为； 故答案为． 2．（2024·四川南充·三模）如图，反比例函数的图象与矩形的边、分别交于点、，已知点的纵坐标为，点的横坐标为，则的值为 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据的几何意义解答即可． 【详解】解：连接、，由的几何意义， 点的纵坐标为，点的横坐标为， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型七 一次函数与反比例函数图像共存问题】 例题：（23-24八年级下·福建泉州·期末）在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答．对进行分类讨论，结合选项进行排除即可． 【详解】解：当时，， 反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象经过一、三、四象限，故B错误，C正确； 当时，， 反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象经过一、二、四象限，故A、D选项错误； 故选：C． 【变式训练】 1．（2024·浙江嘉兴·一模）函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象不可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图像，弄清函数图像与相关参数的关系成为解题的关键． 由题意可得，，然后分别分析各选项，看是否存在矛盾即可解答． 【详解】解：，， A.该选项的图像要求中，则，对要求，两图像不存在矛盾，当时，对于函数与x轴交点的横坐标为与图像不存在矛盾，不符合题意； B. 该选项的图像要求中，则；对要求，两图像不存在矛盾；当时，对于函数与x轴交点的横坐标为与图像不存在矛盾，不符合题意； C. 该选项的图像要求中，则；对要求，两图像不存在矛盾，当时，对于函数与x轴交点的横坐标为与图像不存在矛盾，不符合题意； D. 该选项的图像要求中，则，对要求，两图像存在矛盾，符合题意． 故选D． 2．（2024·安徽淮北·二模）如图，关于的二次函数是常数且的图象如图，则双曲线和直线在同一坐标系中大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与x轴交点，一次函数的图象及反比例函数的图象，根据二次函数图象及，可得，，进而得到，，再根据一次函数的定义及反比例函数的定义即可判断函数图象． 【详解】解：根据题意得：，， ，， 双曲线过二、四象限，直线过二、三、四象限， 只有D选项符合题意， 故选：D． 【题型八 一次函数与反比例函数的交点问题】 例题：（2024·福建泉州·模拟预测）如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据待定系数法，可得函数解析式，根据解方程，可得答案．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法得出，的值是解题关键． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象相交于点， ，， 解得， 关于的方程为， ， 解得，， 故选：D． 【变式训练】 1．（2024·安徽蚌埠·三模）如图：直线与x轴交于点A，与双曲线交于点P，过点P作轴于点C，且，则k的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．先把P点的纵坐标代入一次函数中可确定P点坐标，然后把P点坐标代入双曲线中可计算出k的值． 【详解】解：∵， ∴P点的纵坐标为2， 把代入得， 所以P点坐标为， 把代入得， 解得． 故k的值为． 故选：D． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，已知点的坐标为，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握．反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，据此求解即可． 【详解】∵直线与双曲线相交于两点， ∴点A与B关于原点对称， ∴B点的坐标为． 故答案为：． 【题型九 一次函数与反比例函数的实际应用】 例题：（2023·河北保定·一模）某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 【答案】C 【分析】根据图象中的数据逐项分析求解即可． 【详解】解：∵， ∴玻璃加热速度为， 故A选项不合题意； 由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴玻璃温度下降时，y与x的函数关系式是， 故B选项不合题意； ∴设玻璃温度上升时的函数表达式为， 由题可得，在正比例函数图象上， 代入点可得，， ∴玻璃温度上升时，y与x的函数关系式是， ∴将代入，得， ∴将代入，得， ∴， ∴能够对玻璃进行加工时长为， 故C选项符合题意； 将代入得，， ∴， ∴玻璃从降至室温需要的时间为， 故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的应用，读懂函数图像，获取信息是解决本题的关键． 【变式训练】 1．（2024·广东深圳·二模）如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的实际应用等知识．先求出与之间的反比例函数为，再根据求出，代入即可求出． 【详解】解：设电压表显示的读数与之间的反比例函数为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴与之间的反比例函数为， 当时，, ∵，， ∴， 把代入得， 解得． 故答案为： 2．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）我校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段，请根据图中信息解答下列问题： (1)第3分钟时消毒效果为________效力； (2)求深消毒阶段和降消毒阶段中与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】(1) (2)深消毒阶段的函数解析式为；降消毒阶段的函数解析式为； (3)本次消毒有效 【分析】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了求一次函数及反比例函数解析式，求自变量值和函数值，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）设渐消毒阶段的函数解析式为，将点代入，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时的函数值即可； （2）分别设深消毒阶段的函数解析式为，降消毒阶段的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分别求出深消毒阶段和降消毒阶段消毒效果达到4效力的时间，作差比较即可． 【详解】（1）解：由图象可知，第3分钟处于段渐消毒阶段， 设渐消毒阶段的函数解析式为， 将点代入得：， 解得：， 渐消毒阶段的函数解析式为， 当时，， 即第3分钟时消毒效果为效力， 故答案为： （2）解：设深消毒阶段的函数解析式为， 将点和代入得：， 解得：， 深消毒阶段的函数解析式为； 设降消毒阶段的函数解析式为， 将点代入得：， 解得：， 降消毒阶段的函数解析式为； （3）解：当深消毒阶段消毒效果达到4效力时，则， 解得：； 当降消毒阶段消毒效果达到4效力时，则， 解得：， ， 即本次消毒有效． 【题型十 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 例题：（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（、是常数，且）与反比例函数（c是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．一次函数落在与反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求． 【详解】 解：∵一次函数(k，b是常数，且) 与反比例函数 (c是常数，且) 的图象相交于，两点， ∴不等式的解集是或． 故选C． 【变式训练】 1．（2024·四川南充·二模）如图，直线与双曲线相交于，两点，则关于x的不等式的解集为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及根据交点情况求不等式解集，利用了数形结合的数学思想．先求得点B的坐标，然后根据图象即可求解． 【详解】解：直线与双曲线相交于，两点， ， ， ， 关于x的不等式的解集为， 故答案为：． 2．（2024·湖北咸宁·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．    (1)求，的值，并直接写出不等式的解集； (2)点C是线段AB上一点，过C作y轴的平行线交反比例函数在第四象限的图象于点D，若△COD的面积为5，求点C的坐标． 【答案】(1)，或 (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形面积等知识点，正确表达的面积是解题的关键． （1）将代入即可求出值，观察图象即可求出不等式的解集； （2）利用待定系数法求函数解析式，设点的坐标为，则，则，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得： ，解得， 由图象可得，当或时，一次函数的图象在反比例函数的下方， 不等式的解集为或； （2）将代入得： ，解得， ， 设交轴于，点的坐标为，则，    则， 解得， 点的坐标为或． 一、单选题 1．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，是反比例函数和在轴上方的图象，轴的平行线分别与这两个函数图象相交于点，，则的面积是（    ） A．7 B．14 C．18 D．28 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，利用反比例函数的比例系数的几何意义直接写出答案即可． 【详解】解：轴的平行线分别与这两个函数图象相交于点．， 轴， 点、在反比例函数和的轴上方的图象上， ， 故选：A． 2．（2024·上海·模拟预测）已知点在反比例函数（k为常数）图象上，，若，则的值为（    ） A．0 B．负数 C．正数 D．非负数 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．根据反比例函数可知反比例函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，据此即可解答． 【详解】解：∵ ∴反比例函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵ ∴或， 假设且，则， ∴，， ∴， 同理：当且时，， ∴的值为负数． 故选：B． 3．（2024·广东深圳·模拟预测）如图所示平面直角坐标系中A点坐标，B点坐标，的平分线与相交于点C，反比例函数经过点C，那么k的值为（    ） A．24 B． C． D．30 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：如图，作， ∵A点坐标，B点坐标， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， 设，,则，由勾股定理得： ， 解得：， ∴， ∵点C在反比例函数图象上， ∴． 故选：B． 4．（2024·浙江杭州·二模）如图，已知反比例函数图象的一支曲线经过对角线，的交点，且点的坐标为，则（　　） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴点D是的中点， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴， 故选B． 5．（2024年辽宁省营口市中考一模数学试题）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，．的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数解析式，图像法解不等式等知识，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．首先利用待定系数法解得反比例函数解析式，进而确定点坐标，然后根据不等式的解集是一次函数图像在反比例函数图像上方所对应的的取值范围，进行求解即可． 【详解】解：将点代入反比例函数， 可得，解得， ∴该反比例函数解析式为， 将代入， 可得，， 解得， ∴， 由图像知，不等式的解集是或． 故选：C． 二、填空题 6．（2024·海南省直辖县级单位·二模）已知反比例函数的图象经过，两点，则 （填“”“”或“”） ． 【答案】 【分析】本题考查了根据反比例函数的性质比较函数值的大小．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 由，可知，在第一或第三象限，随着的增大而减小，然后比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴，在第一或第三象限，在各个象限内，随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：>． 7．（2024·山西吕梁·模拟预测）区间测速是指检测机动车通过两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小禾一家在五一小长假期间出去游玩，发现汽车在安全行驶且不超速的条件下，在某一测速区间内行驶的平均速度与行驶时间之间是反比例函数关系，其函数图象如图所示．若小禾的爸爸安全行驶的平均速度为，则他们通过此测速区间的时间为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据函数解析式可得路程，进而根据路程除以速度，即可求解． 【详解】解：设平均速度与行驶时间的关系式为，将代入得，， ∵小禾的爸爸安全行驶的平均速度为， ∴他们通过此测速区间的时间为， 故答案为：． 8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，直线经过原点，且分别交反比例函数的图象于点，，点在轴上，且．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的对称性质，反比例函数比例系数k的几何意义；由反比例函数的中心对称性质得；过点A作于点D，则，从而得，由反比例函数比例系数k的几何意义即可求得k的值． 【详解】解：反比例函数的图像与直线关于原点O成中心对称， ， ； ， ； 过点A作于点D，则， ， ； ， ； 故答案为：． 9．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点B，直线与y轴交于点A，若，则 ．    【答案】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，先求解，设，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵直线与y轴交于点A， ∴， 设，而， ∴， 解得：（不符合题意的根舍去）， ∴， ∴， 故答案为： 10．（2024年浙江省舟山市中考三模数学试题）如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为， 以为一边向上作，对角线与相交于点P，若点C和点P同时在反比例函数图象上，则点B的坐标为 ．    【答案】 【分析】此题考查反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质，设点B的坐标为，得到点P的坐标为，点C的坐标是，根据点C和点P同时在反比例函数图象上得到关于m、n的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设点B的坐标为， ∵四边形是平行四边形，A点的坐标为，O点的坐标为， ∴点P是、的中点， ∴点P的坐标为，即， ∴点C的坐标是 ∵点C和点P同时在反比例函数图象上， ∴， 解得， ∴点B的坐标为 故答案为：． 三、解答题 11．（2024·四川广元·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与x轴相交于点C．    (1)求反比例函数的表达式； (2)若为x轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】主要考查了反比例函数几何综合题，求反比例函数解析式，根据一次函数与反比例函数的图象交点求不等式解集． （1）利用一次函数求出，问题随之得解； （2）先求出，表示出，根据的面积为，表示出，解方程即可求解． 【详解】（1）解：函数的图象经过， ，解得：， ， ， 反比例函数表达式为：； （2）解：如图：    在中， 当时，得， 解得：， ， ， ， ，， ， 解得：或， 点P的坐标为或． 12．（2024·江苏苏州·一模）如图，四边形为菱形，且点A在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，且与边交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)判断点是否为边的中点，并说明理由． 【答案】(1)， (2)点D不是边的中点，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标满足函数解析式是关键． （1）根据点坐标求出菱形边长，根据平移性质得到点坐标即可； （2）先求出线段的中点坐标，再代入反比例函数解析式验证即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∵四边形为菱形， ∴， 根据平移性质可得点B的坐标为． （2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为：， ，， 线段的中点坐标为， 在反比例函数中，当时，， 点不是边的中点 13．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（，b均为常数） (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，； (2)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题以及借助图象求不等式的解集． （1）利用待定系数法即可求出函数解析式； （2）根据图象位置关系找到一次函数在反比例函数上方的部分即可得解． 【详解】（1）解：将点代入得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 将点代入得， ∴， 将点、分别代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）根据图象可知，当时，直线在反比例函数图象的上方，满足， ∴不等式的解集为或． 14．（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图，一次函数与反比例函数图象相交于，． (1)直接写出两个函数的解析式； (2)在x轴上找一点P，使得的面积为6，求出P点坐标； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，也考查了待定系数法求函数解析式． （1）先把点坐标代入中求出得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）设P点的坐标，利用三角形面积公式得到，然后求出得到点坐标即可； （3）利用函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围． 【详解】（1）解：将代入得： ∴，则， ∵B点为，将B点代入反比例函数得：， ∴将A、B代入得， 解得， ∴一次函数解析式为． （2）设P点的坐标， ∵的面积为6，以的长为底，以点A纵坐标为上的高， ∴， 解得：或－4， ∴P点坐标为或． （3）由图象可得：． 15．（2024·山西晋中·三模）某汽车监测站用一种一氧化碳检测仪测量家用燃油汽车尾气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻的阻值随着尾气中一氧化碳的含量变化的关系图象如图2所示，为定值电阻，电源电压恒定不变． (1)根据图2可以判断气敏电阻与尾气中一氧化碳的含量之间成___________函数，其函数解析式为___________． (2)若某家用燃油汽车的气敏电阻为，求该家用燃油汽车尾气中一氧化碳的含量． (3)若家用燃油汽车尾气中一氧化碳的含量不超过方可达到环保标准，请直接写出该家用燃油汽车的气敏电阻应控制在什么范围． 【答案】(1)反比例； (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的应用： （1）根据图像上点的坐标可判断函数类型，从而得到解析式； （2）把代入计算既可； （3）根据题意列不等式，然后将变形求解即可 【详解】（1）解：由图2可知，图象上的点有， ∴，即， ∴R与β之间成反比例函数，解析式为：． 故答案为：反比例函数，． （2）解：在中，当时，， 解得， 该家用燃油汽车尾气中一氧化碳的含量为． （3）解：根据题意得， 由得，, ∴ ∴ 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$