预习01讲 空间向量及其运算（精讲+精练）-2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册） 预习01讲 空间向量及其运算（精讲+精练） ①空间向量的线性运算 ②空间向量共线的判断与应用 ③共面向量的判定与应用 ④空间向量的数量积运算（数量积、夹角、模长、投影向量） 一、空间向量及其加减运算 （1）空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或． （2）零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，． 模为1的向量称为单位向量． （3）相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量． 空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量． 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为． （4）空间向量的加法和减法运算 ①，．如图所示． ②空间向量的加法运算满足交换律及结合律 ， 二、空间向量的数乘运算 （1）数乘运算 实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍． （2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：，． （3）共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作． （4）共线向量定理：对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． （5）直线的方向向量 为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为② ①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式． （6）共面向量 如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量． （7）共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式． ②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立． 三、空间向量的数量积运算 （1）两向量夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． （2）数量积定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． （3）空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）； （分配律）． ①空间向量的线性运算 策略方法 用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形． (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中． (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）求为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·全国·单元测试）若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（  ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·北京·开学考试）已知平行六面体，则下列四式中错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·河南·阶段练习）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河北·阶段练习）在四面体中，，，，，为的中点，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 ②空间向量共线的判断与应用 策略方法 证明三点共线 三点(P，A，B)共线 ＝λ且同过点P 对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝x＋(1－x) 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 2．（23-24高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（22-23高二下·江苏·课后作业）若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 . 5．（23-24高二上·上海·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． ③共面向量的判定与应用 策略方法 证明空间四点共面 空间四点(M，P，A，B)共面 ＝x＋y 对空间任一点O，＝＋x＋y 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y) 【题型精练】 一、单选题 1．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（    ） A． B． C． D．4 3．（23-24高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 4．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 5．（23-24高二上·湖北省直辖县级单位·期中）若空间四点满足，则（    ） A．直线 B．直线 C．点P可能在直线上，也可能不在直线上 D．直线，且 ④空间向量的数量积运算（数量积、夹角、模长、投影向量） 策略方法 空间向量数量积的应用 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，正方体的棱长为1，设，，，则（    ）    A．1 B． C．0 D．2 2．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知，是相互垂直的单位向量，则＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二下·上海·阶段练习）由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 4．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知，，是空间中两两垂直的单位向量，则（    ） A． B．14 C． D．2 5．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 6．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 7．（2024高二·全国·专题练习）在正三棱锥中，是的中心，，则等于（ ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·江苏·课前预习）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册） 预习01讲 空间向量及其运算（精讲+精练） ①空间向量的线性运算 ②空间向量共线的判断与应用 ③共面向量的判定与应用 ④空间向量的数量积运算（数量积、夹角、模长、投影向量） 一、空间向量及其加减运算 （1）空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或． （2）零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，． 模为1的向量称为单位向量． （3）相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量． 空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量． 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为． （4）空间向量的加法和减法运算 ①，．如图所示． ②空间向量的加法运算满足交换律及结合律 ， 二、空间向量的数乘运算 （1）数乘运算 实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍． （2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：，． （3）共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作． （4）共线向量定理：对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． （5）直线的方向向量 为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为② ①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式． （6）共面向量 如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量． （7）共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式． ②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立． 三、空间向量的数量积运算 （1）两向量夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． （2）数量积定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． （3）空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）； （分配律）． ①空间向量的线性运算 策略方法 用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形． (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中． (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）求为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的数乘运算以及加减运算的性质，求解即可得出答案. 【详解】原式. 故选：B. 2．（22-23高二下·全国·单元测试）若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案. 【详解】对于A，； 对于B，； 对于C，； 对于D，. 故选：A. 3．（23-24高二下·北京·开学考试）已知平行六面体，则下列四式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行六面体的性质及空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，所以， 故D错误. 故选：D 4．（23-24高二下·河南·阶段练习）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】, 故选:A    5．（23-24高二上·河北·阶段练习）在四面体中，，，，，为的中点，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算即可得解. 【详解】如图，   因为，为的中点，所以， 又因为， 所以， 又，所以，解得：． 故选：B. ②空间向量共线的判断与应用 策略方法 证明三点共线 三点(P，A，B)共线 ＝λ且同过点P 对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝x＋(1－x) 【题型精练】 一、单选题 1．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由共面向量基本定理进行运算检验选项，排除法可得结果. 【详解】对于A，，所以三个向量共面，排除； 对于B，，所以三个向量共面，排除； 对于D，，所以三个向量共面，排除. 故选：C. 2．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】利用向量共面得到线性表示，再化简求值即可. 【详解】因为共面，所以存在实数，使得，所以，解得. 故选：A. 3．（23-24高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 【答案】C 【分析】利用空间向量的共线定理与共面定理. 【详解】若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故A错误； 同理若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故B错误； 根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误. 故选：C 4．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解. 【详解】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C 5．（23-24高二上·湖北省直辖县级单位·期中）若空间四点满足，则（    ） A．直线 B．直线 C．点P可能在直线上，也可能不在直线上 D．直线，且 【答案】A 【分析】根据四点共面、三点共线的知识求得正确答案. 【详解】由于，所以四点共面， 由于，所以三点共线， 根据平行四边形法则可知：是线段上，靠近的三等分点（如下图所示）. 所以A选项正确，BCD选项错误. 故选：A ③共面向量的判定与应用 策略方法 证明空间四点共面 空间四点(M，P，A，B)共面 ＝x＋y 对空间任一点O，＝＋x＋y 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y) 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 【答案】C 【分析】根据，结合，列出方程组，求解即可. 【详解】因为是不共面的空间向量且， 故，则， 解得，所以. 故选：C. 2．（23-24高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】把A、C、D三点共线转化为满足，列方程组，求出即可. 【详解】因为，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的，使得, 即， 即，解得：. 故选：A. 3．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量线性和基本定理运算可解. 【详解】由F为BE 的中点，得 又 所以，由 得 即所以 故选：D    二、填空题 4．（22-23高二下·江苏·课后作业）若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 . 【答案】－/ 【分析】根据空间共线向量可得，建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题意知，存在实数λ使得， 即，解得. 故答案为： 5．（23-24高二上·上海·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，由三点共线，可设，利用空间向量共线的充要条件，列出方程，即可求解. 【详解】因为，， 可得， 又因为三点共线，可设，即， 因为不共线，可得，解得， 所以实数的值为. 故答案为：. ④空间向量的数量积运算（数量积、夹角、模长、投影向量） 策略方法 空间向量数量积的应用 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，正方体的棱长为1，设，，，则（    ）    A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据垂直关系结合空间向量的数量积分析求解. 【详解】由题意可知：， 所以. 故选：A. 2．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知，是相互垂直的单位向量，则＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】 根据空间向量数量积公式计算出答案. 【详解】 是相互垂直的单位向量，故， 故. 故选：A 3．（23-24高二下·上海·阶段练习）由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据数量积的几何意义即可求解. 【详解】由正四棱柱性质可知，向量在上的投影向量为， 由数量积的几何意义可知，. 故选：A 4．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知，，是空间中两两垂直的单位向量，则（    ） A． B．14 C． D．2 【答案】A 【分析】利用空间向量数量积的性质即可求解. 【详解】依题意得，，； 所以， 故选：A. 5．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量在向量方向上的投影数量为，运算即可得解. 【详解】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影数量为. 所以所求投影向量的模长为2. 故选：A 6．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】先利用题给条件求得的值，进而求得的值. 【详解】如图所示， ∵ ， 又，， 则 ∴，∴，. 故选：D 7．（2024高二·全国·专题练习）在正三棱锥中，是的中心，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据给定条件，结合正三棱锥的结构特征求出，再利用数量积的运算律计算即得. 【详解】 在正三棱锥中，为正的中心，， 则平面，而平面，于是，，且， 所以. 故选：D 8．（23-24高二下·江苏·课前预习）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】由线面垂直推导出线线垂直，再利用向量运算及夹角公式运算求解. 【详解】∵平面，平面，平面， ∴. ∵，，∴， 又，∴E为的中点， ∴. ∵，∴. ∵ ∴＝, 又，∴. 故选：C. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$