精品解析：河南省信阳市高级中学2023-2024学年高三下学期三模数学试题（B）

河南省信阳高级中学2023-2024学年高三三模（B） 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意. 1. 下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若与共线且反向，则实数的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 或4 4. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象再关于轴对称，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线，则“”是“双曲线的离心率为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知且，若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆，P为椭圆上任意一点，过点P分别作与直线和平行的直线，分别交，交于M，N两点，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某次数学考试满分150分，记分别表示甲、乙两班学生在这次考试中的成绩，且，，则（ ） A. 甲班的平均分低于乙班的平均分 B. 甲班的极差大于乙班的极差 C. 成绩在的人数占比乙班更高 D. 成绩在的人数占比甲班更高 10. 函数.若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 设为正整数，已知函数，，. 当时，记，其中. 则（ ） A. ，； B. ，； C 若，则； D 若，则. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为______. 13. 一个盒子里有1个红球和2个绿球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出绿球的个数为，则__________. 14. 已知函数的两个极值点为，，记，．点B，D在的图象上，满足，均垂直于y轴．若四边形为菱形，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在三角形中，内角对应边分别为且. （1）求的大小； （2）如图所示，为外一点，，，，，求及面积. 16. 如图，直三棱柱中，，． （1）当时，求证：平面； （2）设二面角的大小为，求的取值范围． 17. 已知函数 （1）若恒成立，求a的值； （2）若有两个不同的零点，且，求a的取值范围. 18. 现有张形状相同的卡片，上而分别写有数字，将这张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机抽取4次. （1）若，求抽到的4个数字互不相同的概率； （2）统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义为随机变量的阶矩，其中1阶矩就是的期望，利用阶矩进行估计的方法称为矩估计. （ⅰ）记每次抽到的数字为随机变量，计算随机变量的1阶矩和2阶矩；（参考公式：） （ⅱ）知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为3，8，9，12，试利用这组样本并结合（ⅰ）中的结果来计算的估计值.（的计算结果通过四舍五入取整数） 19. 已知为坐标原点，双曲线的焦距为，且经过点. （1）求的方程： （2）若直线与交于，两点，且，求的取值范围： （3）已知点是上动点，是否存在定圆，使得当过点能作圆的两条切线，时（其中，分别是两切线与的另一交点），总满足？若存在，求出圆的半径：若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省信阳高级中学2023-2024学年高三三模（B） 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意. 1. 下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性定义判断奇偶性，再利用相应函数的性质判断ACD选项，利用判断B选项即可. 【详解】对于A，因为，所以是偶函数，当时，，是反比例函数，在上单调递减，故A错误； 对于B，因为，所以是偶函数， 当时，， ，，在上单调递增，故B正确； 对于C，因为，所以是奇函数，当时，不单调，故C错误； 对于D，因为，所以是奇函数，当时，不是单调递增函数，故D错误； 故选：B. 2. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举反例即可求解ABC，根据不等式的性质即可求解D. 【详解】由于，取，，，无法得到，，故AB错误， 取,则，无法得到，C错误， 由于，则，所以， 故选：D 3. 已知向量，，若与共线且反向，则实数的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 或4 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示求出，再结合反向共线即可得解. 【详解】由向量，共线，得，解得或， 当时，，，与同向，不符合题意， 当时，，，与反向，符合题意， 所以实数的值为4. 故选：A 4. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象再关于轴对称，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正切函数图象的平移变换、对称变换即可得变换后的函数的解析式. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，所得函数为， 则函数的图象再关于轴对称得函数. 故选：D. 5. 已知双曲线，则“”是“双曲线的离心率为”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论双曲线焦点所在位置，结合离心率可得的取值范围为，再根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若双曲线的离心率为，则有： 当双曲线的焦点在x轴上，则，解得， 可得，解得； 当双曲线焦点在y轴上，则，解得， 可得，解得； 综上所述：的取值范围为. 显然是的真子集， 所以“”是“双曲线的离心率为” 充分不必要条件. 故选：A. 6. 如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用几何法表示出，再根据边长关系即可比较大小． 【详解】如图所示，过点作于，过作于，连接， 则，，， ，，， 所以， 故选：A． 7. 已知且，若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由换底公式可得，由函数的单调性建立不等式并求解即可. 【详解】依题意，， 显然函数在上单调递增，而函数在上单调递减， 因此，而，则或，解得或， 所以实数a的取值范围为. 故选：D 8. 已知椭圆，P为椭圆上任意一点，过点P分别作与直线和平行的直线，分别交，交于M，N两点，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得四边形为平行四边形，设，，，根据与的中点相同得，再由两点间的距离公式，结合椭圆的性质即可求解. 【详解】设过点P分别与直线平行的直线为，如图： 设，，，则，， 显然四边形为平行四边形，故与的中点重合， 则，即， 又因P为椭圆上任意一点，所以，即， 即， 而，即，所以当时，. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题结合两点间的距离公式考查椭圆的几何性质的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，解题的关键是利用平行四边形的性质找到点的坐标之间的关系. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某次数学考试满分150分，记分别表示甲、乙两班学生在这次考试中的成绩，且，，则（ ） A. 甲班的平均分低于乙班的平均分 B. 甲班的极差大于乙班的极差 C. 成绩在的人数占比乙班更高 D. 成绩在的人数占比甲班更高 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题干中正态分布的性质即可判断. 【详解】对于A，甲班的平均分为90分，乙班的平均分为100分，甲班平均分低于乙班，故A正确； 对于B，甲班的方差大于乙班，但不能认为甲班的极差一定大于乙班，故B错误； 对于C，甲班的平均分为90分，乙班的平均分为100分， 且乙班方差小，成绩分布更集中， 故甲班成绩在区间的人数占比低于乙班， 且低于乙班成绩在区间的人数占比，故C正确，D错误． 故选：AC. 10. 函数.若存在，使得为奇函数，则实数值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】计算，存在使得函数为奇函数，则或，根据为奇函数，即可得解. 【详解】由题意可得，函数， 且， 存在，函数为奇函数， 则或， 当时，所以为奇函数， 可得， 所以, 当时，B满足条件， 当时，D满足条件，AC不满足； 当时，， 此时或， 当且仅当时为奇函数，不符合，不合题意. 故选：BD. 11. 设为正整数，已知函数，，. 当时，记，其中. 则（ ） A. ，； B. ，； C. 若，则； D. 若，则. 【答案】AC 【解析】 【分析】由在上递增，在上递减，在上递增，在和上递增，在上递减，利用单调性结合题意依次分析判断即可. 【详解】对于A，因为，所以， 因为在上递增，所以， 所以 ，所以A正确， 对于B，当时，， ， 所以，所以B错误， 对于C，当时，因为在上递减，在上递增，且图象关于直线对称，而，与在数轴上关于对称， 所以，，， 所以 ， 而在和上递增，在上递减， 而， 所以，， 所以 ， 由选项A可知， 因，所以，所以C正确， 对于D，当时，因为在上递减，在上递增，且图象关于直线对称，， 所以，， 所以 ，所以，所以D错误， 故选：AC 【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查函数的新定义，解题的关键是对新定义的正确理解，考查分类讨论思想和计算能力，属于难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为______. 【答案】12 【解析】 【分析】利用等比数列性质得，结合已知得，利用基本不等式求解即可. 【详解】由于数列为正项等比数列，所以， 因此， 当且仅当即时，等号成立，故的最小值为12. 故答案为：12 13. 一个盒子里有1个红球和2个绿球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出绿球的个数为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到随机变量的所有可能取值为，求得相应的概率，利用期望公式，即可求解. 【详解】由题意，随机变量的所有可能取值为， 则；；， 所以期望为. 故答案为：. 14. 已知函数的两个极值点为，，记，．点B，D在的图象上，满足，均垂直于y轴．若四边形为菱形，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】令得，四边形为菱形，由得，又，得，由，代入函数解析式求的值. 【详解】函数，， 若，恒成立，在上单调递增，不合题意， 时，，得， 则，， 四边形为菱形，则， ，故，， ，则，， 由，化简得，令，则， 即，解得，故，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点是用好四边形为菱形，由对角线互相垂直利用直线斜率得，利用对角线互相平分有，求出，由求的值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在三角形中，内角对应边分别为且. （1）求的大小； （2）如图所示，为外一点，，，，，求及的面积. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角可得，根据式子特点，变换，从而可以化简三角恒等式为，最后利用辅助角公式求出； （2）设，可知用表示，，利用正弦定理可得公共边的式子，最后可得一个关于角的三角方程求解出角的大小，然后求出求出和，最后利用面积公式即可求出面积. 【小问1详解】 ，由正弦定理边化角得： ，由三角形内角和为可得：， 即， 即， 又， 即，又，，即. 【小问2详解】 设，在中，， ，， ， 在中，，，， ， 即， ， ，又， ，解得， ， 又由 ， 于是. 16. 如图，在直三棱柱中，，． （1）当时，求证：平面； （2）设二面角的大小为，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，得出相关向量，求出，再结合线面垂直的判定即可； （2）求出相关法向量，得到，再结合函数单调性即可得到其范围. 【小问1详解】 以为基底建立如图所示空间直角坐标系， 则，. 当时，， 所以， 所以，所以. 又平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 ， 设平面的一个法向量为， 则，即，不妨取. 因为平面，所以平面的一个法向量为. 所以， 所以. 又因为，易知在上单调递减， 所以. 17. 已知函数 （1）若恒成立，求a的值； （2）若有两个不同的零点，且，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求导，然后讨论参数的范围，最后求出单调区间. （2）在第一问基础上，求出，然后讨论的范围，最后求出范围. 【小问1详解】 ， ①当时，，不符合题意. ②当时，令，解得， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值； 若恒成立，则， 设，则， 当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减， 所以，即的解为. 所以. 【小问2详解】 当时，，在区间上单调递增， 所以至多有一个零点，不符合题意； 当时，因为，不妨设， 若，则，不符合题意； 若，则， 由（2）可知，只需，即，解得， 即a的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略， 形如的恒成立的求解策略： 1.构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2.参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 3.数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 18. 现有张形状相同的卡片，上而分别写有数字，将这张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机抽取4次. （1）若，求抽到的4个数字互不相同的概率； （2）统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义为随机变量的阶矩，其中1阶矩就是的期望，利用阶矩进行估计的方法称为矩估计. （ⅰ）记每次抽到的数字为随机变量，计算随机变量的1阶矩和2阶矩；（参考公式：） （ⅱ）知甲同学抽到卡片上的4个数字分别为3，8，9，12，试利用这组样本并结合（ⅰ）中的结果来计算的估计值.（的计算结果通过四舍五入取整数） 【答案】（1） （2）（ⅰ），；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2）（ⅰ）根据阶矩的定义、期望公式及等差数列求和公式计算可得；（ⅱ）首先求出样本数据的阶矩及阶矩，结合（ⅰ）的中的结果得到方程组，解得即可. 【小问1详解】 依题意可得抽到的个数字互不相同的概率； 【小问2详解】 （ⅰ）依题意的可能取值为，，，， 且（且）， 所以 ， 依题意的可能取值为，，， 且（且）， 所以 ； （ⅱ）依题意样本数据，，，为期望（平均数）为， 则，，，为期望（平均数）为， 所以， 消去得， 整理得，解得（负值已舍去）， 又，，所以. 19. 已知为坐标原点，双曲线的焦距为，且经过点. （1）求的方程： （2）若直线与交于，两点，且，求的取值范围： （3）已知点是上的动点，是否存在定圆，使得当过点能作圆的两条切线，时（其中，分别是两切线与的另一交点），总满足？若存在，求出圆的半径：若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据焦距以及经过的点即可联立求解， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得，根据弦长公式，结合不等式即可求解， （3）根据圆心到直线的距离可得，进而根据数量积运算可判断，结合对称性即可求解；或者利用切线关系得,根据斜率相乘关系，代入韦达定理化简可得半径. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 故双曲线方程为 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，设, 将其代入双曲线方程， 又，解得， 此时， 当直线斜率存在时，设其方程为，设, 联立， 故， 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时， 当时，此时， ，故， 因此， 综上可得. 【小问3详解】 解法一：当直线与相切时， 圆心到直线的距离， 设设, 类似（2）中的计算可得 ， 所以， 由双曲线的对称性，延长交双曲线于另一点, 则，且， 根据轴对称性可得,且直线与也相切，即即为, 符合题意， 当或斜率不存在时，此时，，显然满足题意， 故存在这样的圆，半径为 解法二： 设，， 由于为圆的切线，平分，且,所以, 设过点与圆相切的直线方程为（直线斜率存在时） ， ，将两根记为， ， 同理可得 故 ， 故存在这样的圆，半径为 当或斜率不存在时，此时，，显然满足题意， 故存在这样的圆，半径为 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，如本题需先将用k表示出来，然后再利用基本不等式长最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$