串讲04 两条直线的位置关系（考点串讲）-【中职专用】2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（高教版2021）

串讲04 两条直线的位置关系 知识结构 要点梳理 知识点一　两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔__k1＝k2__ l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 知识点二 过一点与已知直线平行的直线方程 (1)由已知直线求出斜率，再利用平行的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程； (2)可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0，再由直线所过的点确定C1. 知识点三 两条直线的交点坐标 (1)求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可． (2)应用：可以利用两直线的__交点个数__判断两直线的位置关系． 一般地，将直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的方程联立，得方程组. 当方程组__有唯一__解时，l1和l2相交，方程组的解就是交点坐标； 当方程组__无__解时，l1与l2平行； 当方程组__有无数组__解时，l1与l2重合． 知识点四 两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于__－1__；如果它们的斜率之积等于－1，那么它们__互相垂直__． [归纳总结]　当直线l1⊥直线l2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和． 知识点五 距离公式 1、两点间的距离公式 一般地，设、为平面内任意两点， 、之间的距离 2、点到直线的距离公式 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝____. 3、两条平行直线间的距离 一般地，已知两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)．设P(x0，y0)是直线l2上的任意一点，则Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，于是P(x0，y0)到直线l1：Ax＋By＋C1＝0的距离d＝＝. 此式就是两条平行直线l1与l2间的距离公式． 题型探究： 考点一 两直线平行的判定 例1. 下列说法中正确的有（    ） ①若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行； ②若，则； ③所有的直线都有倾斜角； ④若两条直线的垂直，则它们的斜率之积为-1. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2. 判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)； (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)； (3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2，0)； (4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)． 【归纳提升】两直线平行的判定及应用 1．判定两直线是否平行时，应先看两直线的斜率是否存在，若都不存在，则平行(不重合的情况下)；若存在，再看是否相等，若相等，则平行(不重合的情况下)． 2．若已知两直线平行，求其参数值时，也应分斜率存在与不存在两种情况求解． 【变式】1. 直线与直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．异面 2. 已知直线l1：x＋my－2m－2＝0，直线l2：mx＋y－1－m＝0，当时，m＝ 考点二 两直线的交点问题 例3. 直线x-y+2＝0与x+y-2＝0的交点坐标是（　　） A．（0，2） B．（2，0） C．（1，1） D．（-1，1） 例4．两直线和的交点为 ． 【归纳提升】　两条直线相交的判定方法： (1)两直线方程组成的方程组只有一组解，则两直线相交； (2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交． 【变式】1.已知直线，则与的交点坐标是（    ）． A． B． C． D． 2. 一次函数与的图象的交点坐标是 ． 考点三 两条直线垂直关系的判断 例5. 判断下列各题中的直线l1、l2是否垂直： (1)l1经过点A(－1，－2)、B(1,2)，l2经过点P(－2，－1)、Q(2,1)； (2)l2经过点A(3,4)、B(3,6)，l2经过点P(－5,20)、Q(5,20)； (3)l1经过点A(2，－3)、B(－1,1)，l2经过点C(0，－1)、D(4,2)． 【归纳提升】两条直线垂直的判定条件： (1)如果两条直线的斜率都存在且它们的积为－1，则两条直线一定垂直； (2)两条直线中，如果一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率为0，那么这两条直线也垂直． 【变式探究】1．已知直线与直线互相垂直，则m为（    ） A． B．1 C． D．2 2.已知直线的斜率，直线的斜率，则与( ) A．平行      B．垂直      C．重合      D．非以上情况 考点四 平行、垂直的应用 例6．过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 例7．过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． [归纳提升]　过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法： (1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程； (2)可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2. 【变式探究】1. 经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2. 过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 考点五　点到直线的距离公式 例8. 原点到直线间的距离是（    ） A． B． C．1 D． 例9. 已知点到直线的距离为2，则 ． [归纳提升]　 1.求点到直线的距离，首先要把直线方程化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式． 2．当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合． 【变式探究】1. 已知点，直线：，则点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．已知直线过原点，且点到直线的距离为1，则直线的斜率 . 考点六 求两平行直线的距离 例9. 两条平行直线和间的距离为，则，分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 例10. 若： 与 ：平行，则 ． [归纳提升]　 求两平行直线间距离的两种思路： (1)转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)利用两条平行直线间距离公式d＝. 【变式】1.两条平行直线：，：之间的距离是（    ） A．1 B． C． D．2 2. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为 素养作业 1. 下列说法中，正确的个数为（    ） ①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； ②若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等； ③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交； ④若两条直线的斜率都不存在，则这两条直线平行． A．1 B．2 C．3 D．4 2. 直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．不能确定 3. 过点和点的直线与轴的位置关系是 A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 4. 已知点，若直线与直线垂直，则实数（    ） A． B．2 C．3 D．4 5．已知直线，，若，则实数（    ） A．2 B． C． D． 6．点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 7. 过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 8．已知点，，且，则a的值为（    ） A．1 B． C．或 D．1或 9．两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 10．若直线与直线垂直，则的值为 ． 11．点A（1，2）与点B（2，3）之间的距离|AB|= ． 12. 已知点到直线的距离为，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 串讲04 两条直线的位置关系 知识结构 要点梳理 知识点一　两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔__k1＝k2__ l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 知识点二 过一点与已知直线平行的直线方程 (1)由已知直线求出斜率，再利用平行的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程； (2)可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0，再由直线所过的点确定C1. 知识点三 两条直线的交点坐标 (1)求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可． (2)应用：可以利用两直线的__交点个数__判断两直线的位置关系． 一般地，将直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的方程联立，得方程组. 当方程组__有唯一__解时，l1和l2相交，方程组的解就是交点坐标； 当方程组__无__解时，l1与l2平行； 当方程组__有无数组__解时，l1与l2重合． 知识点四 两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于__－1__；如果它们的斜率之积等于－1，那么它们__互相垂直__． [归纳总结]　当直线l1⊥直线l2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和． 知识点五 距离公式 1、两点间的距离公式 一般地，设、为平面内任意两点， 、之间的距离 2、点到直线的距离公式 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝____. 3、两条平行直线间的距离 一般地，已知两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)．设P(x0，y0)是直线l2上的任意一点，则Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，于是P(x0，y0)到直线l1：Ax＋By＋C1＝0的距离d＝＝. 此式就是两条平行直线l1与l2间的距离公式． 题型探究： 考点一 两直线平行的判定 例1. 下列说法中正确的有（    ） ①若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行； ②若，则； ③所有的直线都有倾斜角； ④若两条直线的垂直，则它们的斜率之积为-1. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】对于①，根据斜率的定义进行判断；对于②，举出反例；对于③，根据倾斜角定义得到③正确；对于④，举出反例. 【详解】对于①，若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行，正确； 对于②，若，但可能斜率不存在，此时不能得到，错误； 对于③，所有的直线都有倾斜角，正确； 对于④，若两条直线中，一条直线斜率为0，另一条没有斜率，也满足垂直关系，但不满足它们的斜率之积为-1，错误.， 故正确的个数为2. 故选：B 例2. 判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)； (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)； (3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2，0)； (4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)． [分析]　斜率存在的直线求出斜率，利用l1∥l2⇔k1＝k2进行判断，若两直线斜率都不存在，可通过观察并结合图形得出结论． [解析]　(1)k1＝＝1，k2＝＝，k1≠k2，l1与l2不平行． (2)k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2，故l1∥l2或l1与l2重合． (3)k1＝＝－1，k2＝＝－1，则有k1＝k2. 又kAM＝＝－2≠－1，则A，B，M不共线．故l1∥l2. (4)由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2. 【归纳提升】两直线平行的判定及应用 1．判定两直线是否平行时，应先看两直线的斜率是否存在，若都不存在，则平行(不重合的情况下)；若存在，再看是否相等，若相等，则平行(不重合的情况下)． 2．若已知两直线平行，求其参数值时，也应分斜率存在与不存在两种情况求解． 【变式】1. 直线与直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．异面 【答案】A 【解析】由斜率和纵截距判断． 【详解】直线方程化为，直线斜率为2，纵截距为， 直线方程化为，直线斜率为2，纵截距为， 两直线斜率相等，纵截距不相等，两直线平行． 故选：A． 2. 已知直线l1：x＋my－2m－2＝0，直线l2：mx＋y－1－m＝0，当时，m＝ 【答案】1 【分析】根据两直线平行的判定方法即可求得结果 【详解】因为，且斜率一定存在，所以，即， 又因为，为两条不同的直线，所以，所以 故答案为：1 考点二 两直线的交点问题 例3. 直线x-y+2＝0与x+y-2＝0的交点坐标是（　　） A．（0，2） B．（2，0） C．（1，1） D．（-1，1） 【答案】A 【分析】联立方程组进行求解即可求出直线的交点坐标． 【详解】由，得，即交点坐标为(0，2). 故选：A． 例4．两直线和的交点为 ． 【答案】 【分析】 联立两条直线的方程可得交点. 【详解】由题意可得，解得， 交点坐标为. 故答案为： 【归纳提升】　两条直线相交的判定方法： (1)两直线方程组成的方程组只有一组解，则两直线相交； (2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交． 【变式】1.已知直线，则与的交点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立两直线方程，解方程即可得出交点的坐标. 【详解】由题意知， ， 所以两直线的交点为， 故选：A 2. 一次函数与的图象的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】将一次函数的解析式联立起来，解方程组即可. 【详解】联立次函数的解析式可得：，解得，于是图象的交点坐标为． 故答案为：． 考点三 两条直线垂直关系的判断 例5. 判断下列各题中的直线l1、l2是否垂直： (1)l1经过点A(－1，－2)、B(1,2)，l2经过点P(－2，－1)、Q(2,1)； (2)l2经过点A(3,4)、B(3,6)，l2经过点P(－5,20)、Q(5,20)； (3)l1经过点A(2，－3)、B(－1,1)，l2经过点C(0，－1)、D(4,2)． 【解析】　(1)直线l1的斜率k1＝＝2，直线l2的斜率k2＝＝，因为k1·k2＝1，所以l1与l2不垂直． (2)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率k2＝＝0，所以l1⊥l2. (3)直线l1的斜率k1＝＝－，直线l2的斜率k2＝＝，因为k1·k2＝－1，所以l1⊥l2. 【归纳提升】两条直线垂直的判定条件： (1)如果两条直线的斜率都存在且它们的积为－1，则两条直线一定垂直； (2)两条直线中，如果一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率为0，那么这两条直线也垂直． 【变式探究】1．已知直线与直线互相垂直，则m为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据两直线垂直的一般式的结论即可得出答案. 【详解】两直线垂直，则有，即，解得. 故选：C 2.已知直线的斜率，直线的斜率，则与( ) A．平行      B．垂直      C．重合      D．非以上情况 【答案】B 【详解】根据斜率乘积为-1，可知两条直线垂直 故选：B 考点四 平行、垂直的应用 例6．过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得解. 【详解】设过点且与直线平行的直线方程是， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 故所求直线方程为，即. 故选：A. [归纳提升]　过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法： (1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程； (2)可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2. 例7．过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线互相垂直可得所求直线的斜率，利用直线的点斜式方程即得. 【详解】由直线可得其斜率为：，则与其垂直的直线斜率为， 故过点且与直线垂直的直线方程为，即：. 故选：C. 【变式探究】1. 经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线斜率，利用点斜式写出直线方程即可. 【详解】直线斜率为， 故经过点，且与直线平行的直线方程为， 整理得. 故选：B. 2. 过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线垂直满足的斜率关系，即可由点斜式求解. 【详解】直线的斜率为，所以与直线垂直的直线斜率为， 故由点斜式可得，即， 故选：B 考点五　点到直线的距离公式 例8. 原点到直线间的距离是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式直接求值即可. 【详解】原点到直线间的距离是：. 故选：A 例9. 已知点到直线的距离为2，则 ． 【答案】 【分析】根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意可得， 故答案为： [归纳提升]　 1.求点到直线的距离，首先要把直线方程化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式． 2．当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合． 【变式探究】1. 已知点，直线：，则点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式计算即可. 【详解】已知点，直线，则点到直线l的距离, 故选：. 2．已知直线过原点，且点到直线的距离为1，则直线的斜率 . 【答案】0或 【分析】对直线的斜率分类讨论，再利用点到直线的距离公式即可得出． 【详解】当直线的斜率不存在时，即为轴，不满足条件，舍去． 直线的斜率存在时，设直线的方程为， 点，到直线的距离为1， ， 化为， 解得或． 故答案为：0或． 考点六 求两平行直线的距离 例9. 两条平行直线和间的距离为，则，分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据两直线平行的性质可得参数，再利用平行线间距离公式可得. 【详解】由直线与直线平行， 得，解得， 所以两直线分别为和，即和， 所以两直线间距离， 故选：D. 例10. 若： 与 ：平行，则 ． 【答案】3 【分析】根据两直线平行的条件列方程，解方程得到m的值，将m的值代入方程验证即可. 【详解】因为直线： 与 ：平行， 所以，解得， 将代入两直线方程，得： ， ：，两直线平行. 故答案为：3 [归纳提升]　 求两平行直线间距离的两种思路： (1)转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)利用两条平行直线间距离公式d＝. 【变式】1.两条平行直线：，：之间的距离是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用平行直线间的距离公式即可得解. 【详解】因为：，：， 所以它们之间的距离为. 故选：B. 2. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为 【答案】/ 【分析】利用两直线平行的条件及两直线平行间的距离公式即可求解. 【详解】由. 所以直线： 所以与之间的距离： 故答案为： 素养作业 1. 下列说法中，正确的个数为（    ） ①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； ②若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等； ③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交； ④若两条直线的斜率都不存在，则这两条直线平行． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据直线平行和斜率之间的关系分别判断即可 【详解】若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合，所以①不正确； 若两条直线都垂直于x轴，则这两条直线的斜率都不存在，所以②不正确； 若两条直线的斜率都不存在，则这两条直线平行或重合，所以④不正确；显然③正确． 故选：A． 2. 直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．不能确定 【答案】B 【解析】根据两直线的方程求出各自的斜率，然后斜率的关系进行判断即可. 【详解】由，因此该直线的斜率为：. 由，因此该直线的斜率为：， 因为，所以这两条直线相交但不垂直. 故选：B 3. 过点和点的直线与轴的位置关系是 A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 【答案】B 【解析】根据两点纵坐标相同即可判断出位置关系. 【详解】两点的纵坐标都等于    直线方程为： 直线与轴平行 本题正确选项： 4. 已知点，若直线与直线垂直，则实数（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据垂直直线的斜率关系，结合斜率公式即可求解. 【详解】直线的斜率为：， 因为直线与直线垂直， 所以，解得：. 故选：B. 5．已知直线，，若，则实数（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由两直线垂直的关系求解. 【详解】因为，所以. 故选：C 6．点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】与直线平行，计算出斜率，用点斜式写出直线方程即可. 【详解】直线的斜率为-2，所以所求直线的方程为， 即. 故选：A. 7. 过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直关系设出直线方程为，代入点的坐标，求出答案. 【详解】与直线垂直的直线方程可设为， 将代入可得，解得， 故过点且与直线垂直的直线方程为. 故选：B 8．已知点，，且，则a的值为（    ） A．1 B． C．或 D．1或 【答案】D 【分析】根据两点间的距离公式即可求出答案. 【详解】由两点间的距离公式，可得，解得或. 故选：D. 9．两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】利用平行线间距离公式计算即得. 【详解】平行直线和之间的距离. 故选：A 10．若直线与直线垂直，则的值为 ． 【答案】 【分析】由两直线垂直的条件求解. 【详解】结合题意：由两直线垂直可得：解得：. 故答案为：. 11．点A（1，2）与点B（2，3）之间的距离|AB|= ． 【答案】 【分析】直接利用两点间的距离公式计算得到结果. 【详解】由两点间的距离公式得. 12. 已知点到直线的距离为，则 . 【答案】或 【分析】利用点到直线的距离公式可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【详解】由点到直线的距离公式得，得或. 故答案为：或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$