4.1角的概念的推广课件-2023-2024学年高一上学期高教版（2021）中职数学基础模块上册

4.1 角的概念的推广 1 在义务教育阶段我们学习过，角是有公共端点的两条射线构成的图形. 已经学习过的角包括锐角、直角、钝角、平角 、周角等，它们都在0° ~ 360°范围内. 锐角 直角 钝角 平角 周角 任意角 4.1.1 首先是教学分析 4 游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上，小明与小华两人同时登上摩天轮，旋臂转过一圈后，小明下了摩天轮，小华继续乘坐一圈．那么，小华走下来时，旋臂转过的角度是多少呢 ？ 创设情景 兴趣导入 问题 用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向 由OA旋转到OB位置时，就形成一个角 ； 在扳手由OA逆时针旋转一周的过程中，就形成 了0°到360°之间的角；扳手继续旋转下去，就 形成大于 的角． 如果用扳手旋紧螺母，就需将扳手按顺时针 方向旋转，形成与上述方向 的角． 创设情景 兴趣导入 问题 通过上面的两个实例，发现仅用0°-360°范 围的角，已经不能反映生产、生活中的一些实际 问题，需要对角的概念进行推广． 创设情景 兴趣导入 归纳 动脑思考 探索新知 一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O，按逆时针（或 顺时针）方向旋转到另一位置OB 就形成角α． 旋转开始位置的射线OA叫角α的始边，终止位置的射线OB 叫做角α的终边，端点O 叫做角α的顶点． 如果时钟快了2h，应该如何校准？校准过程中分针相对起始位置转过了多少度？如果时钟慢了2h呢？ 如果时钟快了2h,则需要将分针相对于起始位置逆时针旋转720°,如果时钟慢了2h,则需要将分针相对于起始位置顺时针旋转720°. 由于旋转的方向不同,其效果也不同.因此,关于角,不仅要知道旋转的度数,还要考虑旋转的方向. 11 规定：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角称为正角；按顺时针方向旋转形成的角称为负角． 如果一条射线没有做任何旋转,也认为形成了一个角,这个角称为零角. 动脑思考 探索新知 分针按逆时针方向旋转2周形成的角，记作 ，如图(1)所示； 分针按顺时针方向旋转2周形成的角，记作 ，如图(2)所示. (1) (2) 开始/结束 开始/结束 通常使用角的顶点或顶点与始边、终边上的字母来表示角.例如,下图中的角,可以记作“∠AOB”或“∠O”. 也经常使用小写的希腊字母 α,β, γ,…来表示角,记作“角α”.在不引起混淆的情况下,可以简记成“α”. 例如,α=420°, β= −135°. 设角α与角β是两个任意角，如何理解角-α 、角α + β和角α-β ？ 为了方便,通常在平面直角坐标系中讨论角. 将角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,此时角的终边在第几象限,就称这个角为第几象限角． A B 角∠AOB”是第一象限角 角∠AOB”是第二象限角 角∠AOB”是第三象限角 角∠AOB”是第四象限角 A A A B B B 动脑思考 探索新知 依此方法，学生就φ和A对曲线的影响作用进行分析，操作互动课件将图像连续变化和对比的情况直观展现于出来，借助感官帮助思维 16 角α是第一象限角 角β是第三象限角 GO GO 如果角的终边在坐标轴上, 就认为这个角不属于任何一个象限，称为界限角．如, 0°,90°,180°,360°,−90°角都是界限角． 0° 90° 180° 360° 0° －90° GO GO GO GO GO 动脑思考 探索新知 18 (1) 490°角是射线绕着原点逆时针旋转490°形成的, 终边落在第二象限, 所以490°为第二象限角; 例1 在平面直角坐标系中，叙述下列各角的形成过程，并指出它们是第几象限角. (1) 490° ；(2)−650° ． 解 将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合. GO 巩固知识 典型例题 19 (2) −650°角是射线绕着原点顺时针旋转650°形成的, 终边落在第一象限, 所以−650°为第一象限角. GO 例1 在平面直角坐标系中，叙述下列各角的形成过程，并指出它们是第几象限角. (1) 490° ；(2)−650° ． 解 将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合. 巩固知识 典型例题 20 1．填空题： (1) −15°是第_____象限角； (2) 400°是第______象限角； (3) 163°是第______象限角； (4) −460°是第______象限角． 运用知识 强化练习 21 2. 判断题(正确的打“√”，错误的打“×”)： (1)第四象限角一定是负角； ( ) (2) 第二象限角一定是正角； ( ) (3)小于90°的角一定是锐角； ( ) (4)第一象限角一定是锐角； ( ) (5)钝角一定是第二象限角； ( ) (6)第二象限角一定是钝角． ( ) 运用知识 强化练习 22 运用知识 强化练习 3.在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象限的角： ⑴ 60°； ⑵ －210°； ⑶ 225°； ⑷ －300°. 终边相同的角 4.1.2 24 问题引导 动手探究 在直角坐标系中作出390°、－330°和30°角， 这三个角的终边有何关系？ 问题引导 动手探究 与30°角终边相同的角还有哪些？ 390°=30°+1×360° -330°=30°+（-1）×360° 它们是射线绕坐标原点旋转到30°角的 终边位置后，分别继续按逆时针或顺时 针方向再旋转一周所形成的角． 390°、－330°与30°角之差都是 360°角的整数倍数， 从上述角的形成过程可以看出，与30°终边相同的角有无数多个，它们与30°角均相差360°的整数倍. 因此与30°终边相同的所有角可以表示为 β= 30° +k360°，k∈Z． 动脑思考 探索新知 例3 写出与−950°角终边相同的所有角构成的集合,并找出0°~360°范围内与其终边相同的角. 解 与−950°角终边相同的所有角构成的集合为 S={β|β＝−950°+ k 360°,k∈Z }. 当k=3时， β＝−950°+3 360° = 130°, 故在0°~360°范围内, 与−950°角终边相同的角是130°角． 巩固知识 典型例题 因为−950°与130°终边相同,集合 S={β|β＝−950°+k360°，k∈Z} 也可写成 S={β|β＝130°+k360°，kZ}． 例4 写出终边在射线y=x(x≥0)上的角组成的集合. 解 在0°~360°范围, 终边在射线y=x(x≥0)上的角为45°角, 因此终边在射线 y=x(x≥0)上的角组成的集合为 S={β|β=45°+k·360° , k∈Z}. 巩固知识 典型例题 巩固知识 典型例题 例5 写出终边在y轴上的角的集合． 巩固知识 典型例题 32 小结 作业 1.书面作业：完成课后习题和学习与训练； 2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾; 3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容. 再见 解 终边在 轴上的角的集合是 ｛ ︱ ｝． 当 取偶数时，角的终边在 轴非负半轴上； 当 取奇数时，角的终边在 轴非正半轴上． 1.在0°～360°间，找出与下列各角终边相同的角， 并指出它们是哪个象限的角： ⑴ 405°；⑵ 165°；⑶ 1563°；⑷ 5421°． 2.写出与下列各角终边相同的角的集合， 并且把集合中在－360°～360°之间的角写出来： ⑴ 45°；⑵ －55°；⑶ －220°45′；⑷ 1330°． 3.写出终边在x轴上的角的集合。 $$