21.1 一元二次方程（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

九年级人教版数学上册 第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解一元二次方程的概念.（难点） 2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点） 要设计一座高2m的人体雕像,使 它的上部(腰以上)与下部(腰以 下)的高度比等于下部与全身的 高度比,则雕像的下部应设计多 少米高? 情景导入 1.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程. 2.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程. 想一想：什么叫一元二次方程呢？ 想一想 没有未知数 1.下列式子哪些是方程？ 2+6=8 2x+3 5x+6=22 x+3y=8 x-5＜18 代数式 一元一次方程 二元一次方程 不等式 分式方程 辨一辨 问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 解：设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为（100－2x)cm,宽为(50－2x)cm,根据方盒的底面积为3600cm2,得 化简，得 方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 一元二次方程的概念 新知探究 问题2：要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛? 设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x－1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共 场. 解：根据题意，列方程： 化简，得： 问题3：小明用30 cm的·铁丝围成一斜边长等于13 cm的直角三角形，求该直角三角形的两直角边长． 本题必须设两个未知数吗？如果只设一个未知数，那么方程应该怎样列？ x 17-x 化简，得： ③ 解： 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？ 32 20 x 练一练 1.若设小路的宽是xm，那么横向小路的面______m2，纵向小路的面积是 m2,两者重叠的面积是 m2. 32x 2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？ 整理以上方程可得： 思考： 2×20x 32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570 2x2 x2-36x＋35=0 ③ 32 20 x 还有其它的列法吗？试说明原因. (20-x)(32-2x)=570 32-2x 20-x 32 20 想一想 方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 特点: ①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2. x2-36x＋35=0 ③ 概念归纳 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a , b , c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0) 一元二次方程的一般形式是 ax2 称为二次项, a 称为二次项系数. bx 称为一次项, b 称为一次项系数. c 称为常数项. 一元二次方程的概念 新知探究 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都可以化为 的形式,我们把 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。 a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0) 二次项系数 一次项系数 常数项 概念归纳 想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成 x2-3x+2=0 少了限制条件 a≠0 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. 提示 典例剖析 判断下列方程是否为一元二次方程？ (2) x3+ x2=36 (3)x+3y=36 (5) x+1=0         (1) x2+ x=36 练一练 18 例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2－x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0. 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程. 方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值． 典例剖析 变式：方程(2a-4)x2－2bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程 （2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程 典例剖析 一元一次方程 一元二次方程 一般式 相同点 不同点 思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ ax=b (a≠0） ax2+bx+c=0 (a≠0） 整式方程，只含有一个未知数 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 概念归纳 例3：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10. 系数和项均包含前面的符号. 注意 典例剖析 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）. 练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4 解： 3和-2. 你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根. 一元二次方程的根 新知探究 例4：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+2018的值. 解：由题意得 方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值． 典例剖析 1.判断下列各方程是不是一元二次方程． ①x2－3xy＋4y2＝0； ②y2＝3y＋2； ③    不是整式方程 含两个未知数 总结：1.判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是 2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程． 练一练 二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的 2.将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 3x2－8x－10＝0 解：化为一般形式为 其中二次项系数为3，一次项系数为-8， 常数项为-10. 练一练 3.填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 -2 1 3 1 3 -5 4 0 -5 3 -2 练一练 27 5.已知方程5x²+mx-6=0的一个根为4，则ｍ的值为_______． 4.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0, 当k 　　　时，是一元二次方程． 当k 　　　时，是一元一次方程． ≠±1 ＝－1 练一练 6.(1) 如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中π取3）. 解：设由于圆的半径为xcm，则它的面积为 3x2 cm2. 整理，得 根据题意有， 200cm 150cm 练一练 (2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x 整理，得 根据题意有， 练一练 7.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值. 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得 32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9 练一练 8.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0 有一个根为0，求m的值. 二次项系数不为零不容忽视 解：将x=0代入方程m2-4=0， 解得m= ±2. ∵ m+2 ≠0， ∴ m ≠-2， 综上所述：m =2. 练一练 32 课本练习 1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）5x²-1=4x （2）4x²=81 （3）4x(x+2)=25 （4）(3x-2)(x+1)=8x-3 解：（1）5x2-4x-1=0，二次项系数为5，一次项系数为-4，常数项为-1    （2）4x2-81=0，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-81  （3）4x2+8x-25=0，二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为-25 （4）3x2-7x+1=0，二次项系数为3，一次项系数为-7，常数项为1 【规律方法：化为一般形式即把所有的项都移到方程的左边，右边化为0的行驶，在确定二次项系数，一次项系数和常数项时，要特别注意各项系数及常数项均包含前面的符号。】 课本练习 2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x； （2）一个矩形的长比宽多 2，面积是 100，求矩形的长x； （3）把长为 1 的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长 x. 解：（1）4x2=25， 4x2-25=0  （2）x（x-2）=100，x2-2x-100=0   （3）x∙1=（1-x）2-3x+1=0 课本练习 1．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）3x2 + 1 = 6x； （2）4x2 + 5x = 81； （3）x(x + 5) = 0； （4）(2x – 2)(x – 1) = 0； （5）x(x + 5) = 5x – 10； （6）(3x – 2)(x + 1) = x(2x – 1). 习题21.1 复习巩固 解：如下表： 题号 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） 3x2 – 6x + 1 = 0 3 –6 1 （2） 4x² + 5x – 81 = 0 4 5 – 81 （3） x² + 5x = 0 1 5 0 （4） x² – 2x + 1 = 0 1 –2 1 （5） x² + 10 = 0 1 0 10 （6） x² + 2x – 2 = 0 1 2 –2 解：设这个圆的半径为 R m， 由圆的面积公式得 πR² = 6.28， ∴ πR² – 6.28 = 0. 2．根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）一个圆的面积是 2π m2，求半径； 复习巩固 2．根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （2）一个直角三角形的两条直角边相差 3 cm，面积是 9 cm2,求较长的直角边的长． 解：设较长的直角边的长为 x m，则较短的直角边的长为 (x – 3) m． ∴ x(x – 3) = 9，即 x² – 3x – 18 = 0. 3．下列哪些数是方程 x2 + x – 12 = 0 的根？ –4，–3，–2，–1，0，1，2，3，4． 解：将各数分别代入方程左边，只有 –4 和 3 能使等式成立，故方程 x² + x – 12 = 0 的根是 –4 和 3. 复习巩固 根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式（第 4 ~ 6 题）： 4．一个矩形的长比宽多 1 cm，面积是 132 cm2，矩形的长和宽各是多少？ 解：设矩形的宽为 x cm，则矩形的长为 (x + 1) cm， 由矩形的面积公式，得 x(x + 1) = 132， ∴ x2 + x – 132 = 0. 综合运用 解：设矩形的长为 x m，则矩形的宽为 (0.5 – x) m， 由矩形的面积公式，得 x(0.5 – x) = 0.06， ∴ x² – 0.5x + 0.06 = 0. 5．有一根 1 m 长的铁丝，怎样用它围成一个面积为 0.06 m2 的矩形？ 解：设有 n 人参加聚会，根据题意， 可得 = 10，即 n² – n – 20 = 0. 6．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手 10 次，有多少人参加聚会？ 综合运用 7．如果 2 是方程 x2 - c = 0 的一个根，那么常数 c 是多少？求出这个方程的其他根. 解：由题意可知 2² – c = 0，∴ c = 4． ∴ 原方程为 x² – 4 = 0，∴ x = ±2． ∴ 这个方程的另一个根为 –2. 拓广探索 整式 一个 2 ≠1 C 分层练习-基础 相等 －2 B 分层练习-基础 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) ax2 a bx b c －5x －2 分层练习-基础 分层练习-基础 (x－1) x2－x－56＝0 1、－1、－56 分层练习-基础 D B 分层练习-巩固 C 分层练习-巩固 C －1 分层练习-巩固 2 －6 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 19.已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值. 解：由题意得 思考:1.若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗? 解：由题意得 ∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1. 2. 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗? x=2 分层练习-拓展 ⑤ 课堂反馈 C 课堂反馈 －3 课堂反馈 一元二次方程 概念 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是2. 一般形式 ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件； 根 使方程左右两边相等的未知数的值. 课堂小结 Lavf57.25.100 知识点一：一元二次方程的概念 等号两边都是 ，只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的方程，叫做一元二次方程． 1．当m 时，关于x的方程(m－1)x2－mx＋2－m＝0是关于x的一元二次方程． 2．在下列方程中，一元二次方程是(　 　) A．x2－2xy＋y2＝0　　　 B．x(x＋3)＝x2－1 C．x2－2x＝3 D．x＋eq \f(1,x)＝0 知识点二：一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边 的未知数的值叫做一元二次方程的根． 3．(苏州中考)若关于x的一元二次方程x2＋mx＋2n＝0有一个根是2，则m＋n＝ . 4．下列各未知数的值是方程3x2＋x－2＝0的解的是(　 　) A．x＝1　　　 B．x＝－1　　　 C．x＝2　　　 D．x＝eq \f(1,3) 知识点三：一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是 ，其中 是二次项， 是二次项的系数， 是一次项， 是一次项的系数， 是常数项． 5．将方程4x2＝5x＋2化为一般形式后，若二次项系数为正，则其一次项与常数项分别为 、 . 6．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)(2x－1)－3x(x－2)＝0; (2)2x(x－1)＝3(x＋5)－4. 解：(1)去括号，得2x－1－3x2＋6x＝0，移项、合并同类项，得：3x2－8x＋1＝0，其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为1; 　 (2)去括号，得2x2－2x＝3x＋15－4，移项、合并同类项，得2x2－5x－11＝0，其中二次项系数为2，一次项系数为－5，常数项为－11. 知点四：根据实际问题列一元二次方程 7．在一次同学聚会时，同学见面后每两人一握手次，共握手28次，有多少同学参加了这次聚会？学习以下解答过程，并完成填空． 解：设参加聚会的同学有x人，则每人共握手 次，握手的总次数用含x的式子表示为　 　，根据题意，可列方程为　 　，化为一般形式，得 .二次项系数、一次项系数、常数项分别为 . eq \f(1,2)x(x－1) eq \f(1,2)x(x－1)＝28 8．将方程x(x＋5)＝5x＋9化为一元二次方程的一般形式，下面正确的是(　　) A．x(x＋5)－5x＝9　　 B．x2＋5x＝5x＋9 C．x2＋5x－9＝5x D．x2－9＝0 9．(盐城中考)已知一元二次方程x2＋k－3＝0有一个根为1，则k的值为(　　) A．－2　　　 B．2　　　 C．－4　　 D．4 10．某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为(　　) A．x(x－11)＝180 B．2x＋2(x－11)＝180 C．x(x＋11)＝180 D．2x＋2(x＋11)＝180 11．根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a、b、c为常数)一个解x的范围是(　　) x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09 A.3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26 12．关于x的方程(k－1)x|k|＋1－2x＝3是一元二次方程，则k＝ . 13．(资阳中考)已知关于x的一元二次方程mx2＋5x＋m2－2m＝0有一个根为0，则m＝ . 14．若a是一元二次方程x2＋x－1＝0的根，则a3＋2a2－7的值为 . 15．下列方程是不是一元二次方程？是一元二次方程的，指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)x2－3xy＋4y＝0; (2)4x－5x2＝－6； (3)y2＝4y＋1; (4)eq \f(1,x2)＋x＋4＝0. 解：(1)含有两个未知数，所以不是一元二次方程； (2)含有一个未知数，并且是最高次数为2的整式方程，所以是一元二次方程．二次项系数为－5，一次项系数为4，常数项为6； (3)含有一个未知数，并且是最高次数为2的整式方程，所以是一元二次方程．二次项系数为1，一次项系数为－4，常数项为－1； (4)不是整式方程，所以不是一元二次方程． 16．已知关于x的方程2x2－kx＋1＝0的一个解与方程eq \f(2x＋1,1－x)＝4的解相同，求k的值． 解：解eq \f(2x＋1,1－x)＝4，得x＝eq \f(1,2).∵2x2－kx＋1＝0的一个解与方程eq \f(2x＋1,1－x)＝4的解相同，∴2×(eq \f(1,2))2－eq \f(1,2)k＋1＝0，k＝3. 17．根据下列条件列出一元二次方程，并化成一般形式． (1)三角形的底比这边上的高大2，且它的面积是12cm2，求三角形的这条底． 解：设三角形的底为xcm，由题意，得eq \f(1,2)x(x－2)＝12，即x2－2x－24＝0. (2)x支球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了30场比赛，求参赛的篮球队支数x. 解：由题意，得eq \f(xx－1,2)＝30，即x2－x－60＝0. 18．已知关于x的方程(m－eq \r(3))xm2－1＋(m－1)x＋1＝0，试问： (1)m为何值时，它是一元二次方程？ 解：依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m－\r(3)≠0,m2－1＝2))，解得m＝－eq \r(3)，∴当m＝－eq \r(3)时，它是一元二次方程． (2)m为何值时，它是一元一次方程？ 解：依题意，得：m2－1＝0，且m－1≠0或m－eq \r(3)＝0或m2－1＝1，解得m＝－1或m＝eq \r(3)或m＝±eq \r(2)，∴当m＝－1或eq \r(3)或m＝±eq \r(2)时，它是一元一次方程． 能准确判断一元二次方程． 【例1】下列关于x的方程：①x3－x2＝2；②x＋3＝eq \f(1,x)；③x2＋y2＝12；④x2－3eq \r(x )＝2；⑤eq \f(x2,4)＋eq \f(x,2)＋1＝0；⑥ax2－5x＋1＝0.其中，是一元二次方程的是 (只填序号)． 【思路分析】根据一元二次方程的定义进行判断． 【方法归纳】先将方程化简，再观察是否同时满足：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2. 会将一元二次方程化成一般形式． 【例2】把一元二次方程2x(x－1)＝(x－3)＋4化成一般形式之后，其二次项系数与一次项分别是(　　) A．2，－3　　　　　 B．－2，－3 C．2，－3x D．－2，－3x 【思路分析】方程2x(x－1)＝(x－3)＋4去括号、移项、合并同类项后得2x2－3x－1＝0.二次项系数与一次项分别是2与－3x. 能根据一元二次方程的意义求解字母系数． 【例3】(荆门中考)已知x＝2是关于x的一元二次方程kx2＋(k2－2)x＋2k＋4＝0的一个根，则k的值为 . 【思路分析】把x＝2代入kx2＋(k2－2)x＋2k＋4＝0得4k＋2k2－4＋2k＋4＝0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值． 【易错警示】要注意二次项系数不等于0. $$