串讲03 直线的方程（考点串讲）-【中职专用】2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（高教版2021）

串讲03 直线的方程 知识结构 要点梳理 知识点一 倾斜角 定义 当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向__上__方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角． 规定 当直线l与x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为__0°__. 图示 范围 0°≤α<180° 作用 (1) 用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的__倾斜程度__ (2) 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的__倾斜角__，二者缺一不可 知识点二 斜率(倾斜角为α) 定义 α≠90° 一条直线的倾斜角α的__正切值__叫做这条直线的斜率 α＝90° 斜率不存在 记法 斜率k＝tanα 范围 __R__ 公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率为k＝____ 作用 用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度 知识点三 直线的点斜式方程 (1)定义：如下图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程__y－y0＝k(x－x0)__叫做直线l的点斜式方程． (2)说明：如下图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为__x＝x0__． 知识点四 直线的斜截式方程 (1)定义：如下图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程__y＝kx＋b__叫做直线l的斜截式方程． (2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的__截距__.倾斜角是__90°__的直线没有斜截式方程． 强调：(1)截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能是0，不能将其理解为“距离”． (2)并不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线x＝1没有纵截距，直线y＝2没有横截距． 知识点五 直线的一般式方程 关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程__Ax＋By＋C＝0__(其中A，B不同时为0)叫做直线的__一般式方程__，简称一般式． 思考1：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ 提示：都可以，原因如下： (1)若直线的斜率k存在．直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程． (2)若直线的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0. 题型探究： 考点一 直线的倾斜角和斜率 例1. 给出下列命题： ①任何一条直线都有惟一的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴； ④按照倾斜角的概念，直线倾斜角的集合{α|0°≤α<180°}与直线构成的集合建立了一一映射关系． 正确命题的个数(　A　) A．1个　　 B．2个 C．3个　　 D．4个 【解析】　由倾斜角α∈[0°，180°)知②错；又平行于x轴的直线的倾斜角是0°， 这样的直线有无数条，故③④错；只有①是正确的． 例2. 若直线l过两点和，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不与轴垂直的直线斜率与倾斜角的关系,根据正切值求即可. 【详解】该直线不与轴垂直，设倾斜角为， 斜率,. 故选：B 例3．已知两点，所在直线的斜率为，则 . 【答案】 【分析】根据两点的斜率公式计算可得. 【详解】因为两点，所在直线的斜率为， 所以，解得. 故答案为： 【归纳提升】　 (1)对求斜率的两个公式注意其应用的条件，必要时应分类讨论；(2)当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与y轴平行(或重合)时，斜率由0逐渐增大到＋∞；按顺时针方向时，斜率由0逐渐减小到－∞，这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围． 【变式】1. 图中能表示直线的倾斜角的是（    ） A．①④ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据直线的倾斜角的定义判断即可. 【详解】根据倾斜角的定义可知图①中的为直线的倾斜角， 图③中的的对顶角为直线的倾斜角， 图②中的的补角为直线的倾斜角， 图④中的为直线的倾斜角. 故符合题意的只有①③. 故选：C 2. 经过两点，的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】根据条件可知直线垂直轴，即可得倾斜角大小． 【详解】∵直线经过两点，， ∴直线垂直轴，故倾斜角为． 故选：C． 3.已知直线经过两点，，则它的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】由斜率公式计算可得直线的斜率. 【详解】因为直线经过两点，， 所以它的斜率为. 故答案为：. 考点二 直线的点斜式方程 例4. 求满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3； (2)过点P(3，－4)，且与x轴平行； (3)过P(－2,3)、Q(5，－4)两点． 【解析】　(1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3， 由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)． (2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，即y＋4＝0． (3)过点P(－2,3)、Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝＝＝－1． 又∵直线过点P(－2,3)， ∴直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2)． 例5．过两点的直线方程为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率公式求得直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】由两点，可得过两点的直线的斜率为， 又由直线的点斜式方程，可得，即. 故选：B. 【归纳提升】　求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0、y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0、y0)的所有直线，但x＝x0除外． 【变式】过点，倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程. 【详解】由倾斜角为知，直线的斜率为，又直线过点， 所以直线方程为，化简得. 故选：C. 考点三 直线的斜截式方程 例6. 写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率是3，在y轴上的截距是－3； (2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5； (3)倾斜角是150°，在y轴上的截距是0． 【解析】　(1)y＝3x－3． (2)∵k＝tan60°＝，∴y＝x＋5． (3)∵k＝tan150°＝－，∴y＝－x． 【归纳提升】　斜截式是点斜式的特例，应用斜截式方程时，应注意斜率不存在的情形．当k≠0时，斜截式方程y＝kx＋b是一次函数的形式；而一次函数y＝kx＋b中，k是直线的斜率，常数b是直线在y轴上的截距． 【变式探究】1．直线的斜率和在y轴上的截距分别是( ) A．，3      B．3，      C．，      D．3，3 【答案】A 【详解】根据直线的点斜式方程可知斜率为-2，纵截距为3 故选：A 考点四 直线的一般式方程 例7．根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式． ①斜率是－，且经过点A(8，－6)的直线方程为__x＋2y＋4＝0__； ②经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为__x＋y－1＝0__. [归纳提升]　 直线的一般式方程的特征． 求直线方程时，要求将方程化为一般式方程，其形式一般作如下设定：x的系数为正；系数及常数项一般不出现分数；一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列． 例8．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出斜率，进而可得倾斜角 【详解】由直线得 故直线的斜率为，又倾斜角范围为， 所以倾斜角为． 故选：A． 【变式探究】1. 求经过点且斜率为的直线一般式方程是 ． 【答案】 【分析】根据直线的点斜式方程，准确运算，即可求解. 【详解】根据直线的点斜式方程，可得，即， 所以所求直线的方程为. 故答案为：. 2. 经过点和的直线的一般式方程为 ． 【答案】 考点五　直线的一般式方程的应用 例9. 设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值； (2)已知直线l的斜率为1，求m的值． [解析]　(1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，得x＝， ∴＝－3，得m＝－或m＝3(舍去)． ∴m＝－. (2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠且m≠－1. 由直线l化为斜截式方程得y＝x＋， 则＝1， 得m＝－2或m＝－1(舍去)． ∴m＝－2. [规律方法]　含参直线方程的研究策略 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程要注意验根． 【变式探究】1. 若三点共线，则a＝ ． 【答案】4 【分析】利用斜率相等建立方程即可求解. 【详解】三点共线，则，即＝，即，∴. 故答案为：4. 2．已知在过和的直线上，则的值是 【答案】 【分析】由题意，，根据两点间的斜率公式即可求解. 【详解】解：因为在过和的直线上， 所以，即，解得， 故答案为：. 素养作业 1. 已知点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用斜率与倾斜角的关系计算即可. 【详解】由， 又直线的倾斜角，故. 故选：C 2. 若直线l经过点，，则l的斜率为 . 【答案】3 【分析】根据直线经过两点的斜率公式即可求解. 【详解】因为直线经过点，， 所以直线的斜率， 故答案为：3. 3. 过点且倾斜角为150°的直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据倾斜角求出直线的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解. 【详解】依题意，直线l的斜率， 故直线l的方程为， 即， 故选：B. 4. 直线过点，斜率为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的点斜式方程即可得解. 【详解】解：因为直线过点，斜率为， 所以直线的方程为，即. 故选：D. 5．经过点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用直线方程的两点式公式求解即可 【详解】由已知得直线的两点式方程为，即． 故选：D 6．已知三点三点共线，则实数的值为 . 【答案】6 【分析】依题意可得，根据斜率公式计算可得. 【详解】解：因为三点共线， 所以，即，解得； 故答案为： 7. 直线经过点，，则直线的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】由两点连线斜率公式可直接求得结果. 【详解】由题意知：直线斜率. 故答案为：. 8．已知直线的倾斜角，且过点，则该直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据直线的倾斜角求出斜率，再根据点斜式写出直线方程，化为一般式方程． 【详解】解：直线的倾斜角，所以直线的斜率为 又因为直线过点， 所以直线的方程为， ． 故答案为：． 9．经过点且斜率为的直线l的点斜式方程为 . 【答案】 【分析】根据点斜式方程的定义即可. 【详解】根据点斜式方程的定义， ，即 ； 故答案为：. 10．直线的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】利用斜率与倾斜角的关系计算即可. 【详解】由题意得该直线的斜率为，故其倾斜角为． 故答案为： 11．三角形的顶点坐标为，，，求直线和直线的方程． 【答案】：；：. 【分析】首先求出斜率，再由斜截式求出直线方程，最后再化为一般式. 【详解】因为，，， 所以，， 所以直线的方程为，即； 直线的方程为，即. 12. 由下列各条件，写出直线的方程，并且化成一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，平行于x轴； (3)在x轴和y轴上的截距分别是； (4)经过两点； (5)在x轴上的截距是，倾斜角是； (6)倾斜角为，与y轴的交点到x轴的距离是3． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6)或 【分析】（1）由点斜式可得结果；（2）由点斜式可得结果；（3）由截距式可得结果；（4）由两点式可得结果；（5）由点斜式可得结果；（6）由斜截式可得结果. 【详解】（1）由点斜式得，即. （2）因为直线平行于轴，所以斜率等于， 由点斜式得，即. （3）因为在x轴和y轴上的截距分别是； 所以直线方程的截距式为：，即. （4）由两点式得，即. （5）斜率， 由点斜式得，即. （6）斜率为， 因为直线与y轴的交点到x轴的距离是3，所以直线在轴上的截距为， 所以所求直线方程为或，即或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 串讲03 直线的方程 知识结构 要点梳理 知识点一 倾斜角 定义 当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向__上__方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角． 规定 当直线l与x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为__0°__. 图示 范围 0°≤α<180° 作用 (1) 用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的__倾斜程度__ (2) 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的__倾斜角__，二者缺一不可 知识点二 斜率(倾斜角为α) 定义 α≠90° 一条直线的倾斜角α的__正切值__叫做这条直线的斜率 α＝90° 斜率不存在 记法 斜率k＝tanα 范围 __R__ 公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率为k＝____ 作用 用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度 知识点三 直线的点斜式方程 (1)定义：如下图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程__y－y0＝k(x－x0)__叫做直线l的点斜式方程． (2)说明：如下图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为__x＝x0__． 知识点四 直线的斜截式方程 (1)定义：如下图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程__y＝kx＋b__叫做直线l的斜截式方程． (2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的__截距__.倾斜角是__90°__的直线没有斜截式方程． 强调：(1)截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能是0，不能将其理解为“距离”． (2)并不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线x＝1没有纵截距，直线y＝2没有横截距． 知识点五 直线的一般式方程 关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程__Ax＋By＋C＝0__(其中A，B不同时为0)叫做直线的__一般式方程__，简称一般式． 思考1：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ 提示：都可以，原因如下： (1)若直线的斜率k存在．直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程． (2)若直线的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0. 题型探究： 考点一 直线的倾斜角和斜率 例1. 给出下列命题： ①任何一条直线都有惟一的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴； ④按照倾斜角的概念，直线倾斜角的集合{α|0°≤α<180°}与直线构成的集合建立了一一映射关系． 正确命题的个数(　 　) A．1个　　 B．2个 C．3个　　 D．4个 例2. 若直线l过两点和，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 例3．已知两点，所在直线的斜率为，则 . 【归纳提升】　 (1)对求斜率的两个公式注意其应用的条件，必要时应分类讨论；(2)当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与y轴平行(或重合)时，斜率由0逐渐增大到＋∞；按顺时针方向时，斜率由0逐渐减小到－∞，这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围． 【变式】1. 图中能表示直线的倾斜角的是（    ） A．①④ B．①② C．①③ D．②④ 2. 经过两点，的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 3.已知直线经过两点，，则它的斜率为 ． 考点二 直线的点斜式方程 例4. 求满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3； (2)过点P(3，－4)，且与x轴平行； (3)过P(－2,3)、Q(5，－4)两点． 例5．过两点的直线方程为( ) A． B． C． D． 【归纳提升】　求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0、y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0、y0)的所有直线，但x＝x0除外． 【变式】过点，倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 考点三 直线的斜截式方程 例6. 写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率是3，在y轴上的截距是－3； (2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5； (3)倾斜角是150°，在y轴上的截距是0． 【归纳提升】　斜截式是点斜式的特例，应用斜截式方程时，应注意斜率不存在的情形．当k≠0时，斜截式方程y＝kx＋b是一次函数的形式；而一次函数y＝kx＋b中，k是直线的斜率，常数b是直线在y轴上的截距． 【变式探究】1．直线的斜率和在y轴上的截距分别是( ) A．，3      B．3，      C．，      D．3，3 考点四 直线的一般式方程 例7．根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式． ①斜率是－，且经过点A(8，－6)的直线方程为__x＋2y＋4＝0__； ②经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为__x＋y－1＝0__. [归纳提升]　 直线的一般式方程的特征． 求直线方程时，要求将方程化为一般式方程，其形式一般作如下设定：x的系数为正；系数及常数项一般不出现分数；一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列． 例8．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1. 求经过点且斜率为的直线一般式方程是 ． 2. 经过点和的直线的一般式方程为 ． 考点五　直线的一般式方程的应用 例9. 设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值； (2)已知直线l的斜率为1，求m的值． [规律方法]　含参直线方程的研究策略 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程要注意验根． 【变式探究】1. 若三点共线，则a＝ ． 2．已知在过和的直线上，则的值是 素养作业 1. 已知点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2. 若直线l经过点，，则l的斜率为 . 3. 过点且倾斜角为150°的直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 4. 直线过点，斜率为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．经过点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 6．已知三点三点共线，则实数的值为 . 7. 直线经过点，，则直线的斜率为 ． 8．已知直线的倾斜角，且过点，则该直线的方程为 ． 9．经过点且斜率为的直线l的点斜式方程为 . 10．直线的倾斜角为 ． 11．三角形的顶点坐标为，，，求直线和直线的方程． 12. 由下列各条件，写出直线的方程，并且化成一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，平行于x轴； (3)在x轴和y轴上的截距分别是； (4)经过两点； (5)在x轴上的截距是，倾斜角是； (6)倾斜角为，与y轴的交点到x轴的距离是3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$