精品解析：河南省新安县职业高级中学2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题

新安职高2023-2024学年第二学期职业类期中考试 高二数学试题卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】解：因为则， 故可以由“”可以推出“”， 又因为解得或， 所以由“”不能推出“”. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2. 已知，求的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量坐标的线性运算求解即可. 【详解】因为. 所以. 所以. 故选：C. 3. 已知，则与之间的关系是（ ） A. 平行 B. 不平行也不垂直 C. 垂直 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线、垂直的坐标表示可判断. 【详解】由知， ， 故； 另一方面，， 故与不平行. 故选：C 4. 椭圆的焦距是（ ） A. 6 B. 4 C. 10 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆方程确定焦距即可. 【详解】因为椭圆. 所以，即. 所以焦距. 故选：A. 5. 已知椭圆上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义即可求解. 【详解】在椭圆中，， 设P到另一个焦点的距离为，由题意可得 ，解得. 故选：C 6. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线方程可得，从而可得，根据离心率公式可求解. 【详解】由双曲线方程可得， 所以，. 故选：B 7. 以为渐近线，焦点在的双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的焦点与渐近线方程求得，即可求得方程. 【详解】解：因为焦点为，所以设双曲线方程为：. 由题意可得，，则. 因为，所以，解得，则. 所以双曲线的方程为.即. 故选：D 8. 焦点在的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由焦点可设抛物线的方程为，由可求p值，从而解决问题． 【详解】因为焦点为在y轴的正半轴上， 所以设抛物线的标准方程为， 因为，解得， 所以抛物线的标准方程为. 故选：C 9. 垂直于平面的两条不重合直线一定（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 异面 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质定理可判断结果. 【详解】根据线面垂直的性质可知：垂直于同一平面的两条直线互相平行. 故选：A 10. 下列说法正确的是（ ） A. 如果直线不在平面内，那么直线就与平面平行 B. 当一条直线与一个平面平行时，它与平面内的任何一条直线平行 C. 当一条直线与一个平面垂直时，它与平面内的任何一条直线垂直． D. 阳光下，人在地面上的影子就是人在地面上的射影 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系可判断A错误；由线面平行、线面垂直的性质可判断B错误、C正确；由射影的定义可判断D错误． 【详解】对A选项，直线可以与平面相交，故错误； 对B选项，该直线与平面内的直线可以平行，也可异面，故错误； 对C选项，由线面垂直的性质可知，选项正确； 对D选项，人在地面上的影子与光线的角度有关，根据射影的定义可知，选项错误. 故选：C 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. “且”是“”的______________________条件.（用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义即可求解. 【详解】“且”能推出“”，但“”不一定只有“且”，还可以“且”. 即“且”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量内积的定义即可得解. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 13. 已知向量，若，则实数___________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知，根据向量共线的坐标表示可求解. 【详解】由已知，根据向量共线的坐标表示可得 ，解得. 故答案为： 14. 椭圆的长轴长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】将椭圆方程化为标准式后，可求得，据此可求解. 【详解】椭圆可化为， 所以，解得. 所以长轴长为. 故答案为： 15. 双曲线的两条渐近线的方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线公式求解即可. 【详解】由双曲线的标准方程知焦点在轴上，，， 则，，故双曲线的两条渐近线的方程为. 故答案为：. 16. 抛物线的焦点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的方程确定的值，即可得到焦点坐标． 【详解】因为，焦点为. 在方程中，， 所以焦点坐标为. 故答案为：. 17. 如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就与这个平面内的任何一条直线都___________． 【答案】垂直 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质可判断结果. 【详解】如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就与这个平面内的任何一条直线都垂直. 故答案为：垂直 18. 若的二面角的一个面上一点到另一个面的距离是，则这个点到棱的距离是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先作出图形，再根据线面垂直的判定与性质找出二面角的平面角，再根据直角三角形三角函数的定义求解. 【详解】 如图所示，点是二面角中平面内一点， ,交于点,平面，交于点. 因为平面，平面，平面. 所以. 因为.所以平面. 因为平面.所以. 所以为二面角的平面角.所以. 因为.所以. 因为. 所以. 故答案为：. 三、解答题（每题8分，共24分） 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】由向量的加法，减法和数乘运算计算即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 . 20. 已知椭圈的焦点为点，且椭圆上一点M与两个焦点所构成的三角形的周长为32，求椭圆的标准方程． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的焦点坐标及椭圆的定义可得，，据此可求解. 【详解】因为椭圈的焦点为， 所以椭圆的焦点在y轴上，且，. 又因为椭圆上一点M与两个焦点所构成的三角形的周长为32， 所以， 即， 由椭圆的定义,可得，解得， 从而. 所以椭圆的标准方程为所求. 21. 已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，一条渐近线的方程为．若该双曲线经过点，求它的标准方程． 【答案】 【解析】 【分析】设双曲线的标准方程为，根据双曲线的渐近线方程及双曲线经过的点列方程组可求解. 【详解】由于双曲线的中心在原点，焦点在x轴上， 故设双曲线的标准方程为. 由题意可得 ，解得. 所以该双曲线的标准方程为. 四、证明题（每题6分，共12分） 22. 已知，证明：. 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】根据向量的坐标分别求出，，，再利用公式可证明结论. 【详解】由已知可得 ， ， 所以. 所以原式成立. 23. 在空间四边形ABCD中，已知，求证：． 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】取BD的中点E，连接CE，AE，由已知可证明平面，据此可证结论. 【详解】 如图，取BD的中点E，连接CE，AE， 因为， 所以. 又因为，在平面内， 所以平面. 因为平面, 所以. 五、综合题（本题10分） 24. 已知抛物线的顶点为坐标原点，准线方程为． （1）求抛物线的标准方程； （2）在抛物线上有一点P到抛物线的焦点的距离，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由准线方程求解抛物线方程即可. （2）根据抛物线的定义可知抛物线上点到焦点距离等于到准线距离，即可列式求解. 【小问1详解】 因为准线方程为，即. 设抛物线方程为：， 所以，解得， 所以抛物线方程为. 【小问2详解】 设点，由抛物线定义知，. 因为点P到抛物线的焦点的距离. 所以，解得， 所以，解得， 故点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新安职高2023-2024学年第二学期职业类期中考试 高二数学试题卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知，求的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则与之间的关系是（ ） A. 平行 B. 不平行也不垂直 C. 垂直 D. 以上都不对 4. 椭圆的焦距是（ ） A. 6 B. 4 C. 10 D. 9 5. 已知椭圆上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 以为渐近线，焦点在的双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 8. 焦点在的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 9. 垂直于平面的两条不重合直线一定（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 异面 10. 下列说法正确的是（ ） A. 如果直线不在平面内，那么直线就与平面平行 B. 当一条直线与一个平面平行时，它与平面内的任何一条直线平行 C. 当一条直线与一个平面垂直时，它与平面内的任何一条直线垂直． D. 阳光下，人在地面上的影子就是人在地面上的射影 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. “且”是“”的______________________条件.（用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 12. 已知，则__________． 13. 已知向量，若，则实数___________． 14. 椭圆的长轴长为___________． 15. 双曲线的两条渐近线的方程为________. 16. 抛物线的焦点坐标是________． 17. 如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就与这个平面内的任何一条直线都___________． 18. 若的二面角的一个面上一点到另一个面的距离是，则这个点到棱的距离是___________． 三、解答题（每题8分，共24分） 19. 计算 （1） （2） 20. 已知椭圈的焦点为点，且椭圆上一点M与两个焦点所构成的三角形的周长为32，求椭圆的标准方程． 21. 已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，一条渐近线的方程为．若该双曲线经过点，求它的标准方程． 四、证明题（每题6分，共12分） 22. 已知，证明：. 23. 在空间四边形ABCD中，已知，求证：． 五、综合题（本题10分） 24. 已知抛物线的顶点为坐标原点，准线方程为． （1）求抛物线的标准方程； （2）在抛物线上有一点P到抛物线的焦点的距离，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $