2.2点、直线、平面的投影（课件）-《汽车机械制图》同步教学（航空工业出版社）

汽车机械制图 1 二、点、直线、平面的投影 2 二、点、直线、平面的投影 立体是由点、直线、平面等几何元素组成的，绘制立体的三视图，实质上就是绘制这些点、直线、平面的投影。 因此，理解点、直线、平面的投影特性并掌握其画法，是识读和绘制复杂立体三视图的基础。 3 1．点的投影 1）点的投影规律 点的投影仍是点。将点 M 置于三投影面体系中不动，由点 M 分别向三个投影面作垂线，垂足 m、 、 即为点M的三面投影，如图（a）所示。 将三个相互垂直的投影面展开并摊平在同一平面上，便得到点M的三视图，如图（b）所示。其中，mX、mYH、mYW、mZ 分别为点 M 的投影连线与投影轴 OX、OYH、OYW、OZ 的交点。 （a） （b） 4 小贴士 空间点及其投影的标记方法： 5 点在 V 面的投影 用相应的小写字母或阿拉伯数字并加一撇（‘）标记，如 、 、 ……或 、 、 …… 点在 W 面的投影 用相应的小写字母或阿拉伯数字并加两撇（ ）标记，如 、 、 ……或 、 、 …… 空间点 用大写字母或罗马数字标记，如 A、B、C……或Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ…… 点在 H 面的投影 用相应的小写字母或阿拉伯数字标记，如 a、b、c……或1、2、3…… 1．点的投影 1）点的投影规律 点的投影规律，具体如下。 （1）点的两面投影的连线，必定垂直于相应的投影轴， 即 ， ， ， 。 （2）点的投影到投影轴的距离等于空间点到相应投影面的距离，即 点 M 到 H 面的距离 点 M 到 V 面的距离 点 M 到 W 面的距离 6 1．点的投影 2）点的投影与直角坐标的关系 点的空间位置可用直角坐标来表示。 若将三投影面体系看作直角坐标系，则可将投影面当作坐标面，投影轴当作坐标轴，点 O 当作坐标原点，点 M 的坐标可写为 M（x，y，z）。 点 M 的坐标表示了其到三个投影面的距离， 点 M 的 x 坐标 ，即点 M 到 W 面的距离； 点 M 的 y 坐标 ，即点 M 到 V 面的距离； 点 M 的 z 坐标 ，即点 M 到 H 面的距离。 7 融会贯通 【例2-1】 已知点 A（30，10，20），求作点 A 的三面投影。 作图步骤： 方法一 如图所示，具体如下。 （1）作投影轴 OX、OYH、OYW、OZ。 （2）在 OX 轴上由点 O 向左量取30 mm，得到点aX。 （3）过点 aX 作 OX 轴的垂线，并沿垂线向下量取 aX a=10mm，得到点 a ；向上量取 mm，得到点 。 （4）根据点 a 和点 ，作出第三投影点 。 8 融会贯通 【例2-1】 已知点 A（30，10，20），求作点 A 的三面投影。 方法二 如图所示，具体如下。 （1）作投影轴 OX、OYH、OYW、OZ。 （2）在 OX 轴上由点 O 向左量取30 mm，得到点aX；在 OYH 轴和 OYW 轴上由点 O 分别向下、向右量取10 mm，得到点 aYH 和点aYW ；在 OZ 轴上由点 O 向上取20 mm，得到点 aZ 。 （3）过点 aX 作 OX 轴的垂线，过点 aYH 和点 aYW 分别作 OYH 轴和 OYW 轴的垂线，过点 aZ 作 OZ 轴的垂线。 （4）各条垂线的交点 a、 、 即为点 A 的三面投影。 9 两点在空间的相对位置是指两点间的上下、左右、前后关系，可由两点的坐标大小来确定： x 坐标大的点在左， y 坐标大的点在前， z 坐标大的点在上。 两点的坐标差可精确地计算两点间的相对位置。 1．点的投影 3）两点的相对位置 （1）两点在空间的相对位置 10 ① 由图可知 xA＞xB ，因此点A在点B的左方，A、B两点的左右相对位置由两点 x 轴方向的坐标差 |xA-xB| 确定。 ② 由图可知 yA＞yB ，因此点A在点B的后方，A、B两点的前后相对位置由两点 y 轴方向的坐标差 |yA-yB| 确定。 ③ 由图可知 zA＞zB ，因此点A在点B的下方，A、B两点的上下相对位置由两点 z 轴方向的坐标差 |zA-zB| 确定。 由上述可知，点 A 在点 B 的左后下方，点 B 在点 A的右前上方。 1．点的投影 3）两点的相对位置 （1）两点在空间的相对位置 11 1．点的投影 3）两点的相对位置 如图所示，点 E、点 F 的投影点 、点 重合，说明点 E、点 F 的 x、z 坐标相同，即 xE=xF 、zE=zF，点 E、点 F 处在垂直于 V 面的同一投射线上。 由此可知，处在同一投射线上的两点，必在相应的投影面上具有重合的投影，这两个点称为对该投影面的一对重影点。 （2）重影点及可见性判断 12 1．点的投影 3）两点的相对位置 重影点的可见性可根据其坐标的大小来判断： 当两点在 V 面的投影重合时，y 坐标大的点可见； 当两点在 H 面的投影重合时，z 坐标大的点可见； 当两点在 W 面的投影重合时，x 坐标大的点可见。 （2）重影点及可见性判断 13 1．点的投影 3）两点的相对位置 图中，点 E、点 F 在 V 面的投影点 、点 重合，但在 H 面的投影不重合，且点 e 在前、点 f 在后，即 yE＞yF 。因此，对 V 面来说，点 E 的投影点 可见、点 F 的投影点 不可见。 对于不可见的点，在重影处的投影需要加圆括号表示，如点 F 在 V 面的投影应标记为（ ）。 （2）重影点及可见性判断 14 融会贯通 【例2-2】 在已知点 A（20，20，10）的三面投影中作点 B（10，20，10）的三面投影，并判断两点在空间的相对位置。 分析：点 A 与点 B 的 y、z 坐标相等，说明两点在 W 面上的投影重合。 （1）如图所示，在 OX 轴上从点 O 向左量取10 mm，得到点 bX；过点 bX 作 OX 轴的垂线，并沿垂线向下量取 bX b=20mm，得到点 b；沿垂线向上量取 ，得到点 。 作图步骤： 15 融会贯通 【例2-2】 在已知点 A（20，20，10）的三面投影中作点 B（10，20，10）的三面投影，并判断两点在空间的相对位置。 分析：点 A 与点 B 的 y、z 坐标相等，说明两点在 W 面上的投影重合。 （2）根据点 b 和点 ，作出第三投影点 。点 A 与点 B 的 y、z 坐标相等，故 、 重合。由于 xA＞xB ，因此对 W 面来说，点 A 的投影可见、点 B 的投影不可见，点 B 在 W 面的投影应标记为（ ）。 作图步骤： 16 融会贯通 【例2-2】 在已知点 A（20，20，10）的三面投影中作点 B（10，20，10）的三面投影，并判断两点在空间的相对位置。 （3）判断点 A 和点 B 在空间的相对位置，即 左右相对位置：xA-xB =10 mm，故点A在点B左方10 mm处； 前后相对位置：yA-yB = 0 mm ，故点A与点B前后位置一致； 上下相对位置：zA-zB = 0 mm ，故点A与点B上下位置一致。 因此，点 A 在点 B 的左侧10 mm处。 17 直线没有端点，可以无限向两端延长，但在机械图样中通常用线段来表示。通常，直线的投影仍为直线，特殊情况下直线的投影为一个点。 如图所示，直线 AB 在 H 面上的投影为直线 ab；直线 CD 垂直于投影面，其在 H 面上的投影积聚为一点 c（d）。 2．直线的投影 1）直线的投影规律 18 2．直线的投影 2）各种位置直线的投影 19 直线 根据直线与投影面之间的相对位置 一般位置直线 投影面平行线 投影面垂直线 （1）一般位置直线是指对三个投影面都倾斜的直线，如图所示。 直线与投影面之间的夹角称为直线对投影面的倾角。直线 AB 对 H 面、V 面、W 面的倾角分别以 a、b、g 表示，如图（a）所示。 2．直线的投影 2）各种位置直线的投影 （a）立体图 （b）投影图 20 小贴士 一般位置直线具有以下特性。 （1）各面投影都与投影轴倾斜。 （2）各面投影长度均小于实长。 （3）各面投影与投影轴的夹角不反映直线对投影面的倾角。 21 （2）投影面平行线是指平行于某一个投影面且与其他两个投影面都倾斜的直线。 2．直线的投影 2）各种位置直线的投影 名称 水平线 （平行于H面，与V、W面倾斜） 正平线 （平行于V面，与H、W面倾斜） 侧平线 （平行于W面，与H、V面倾斜） 立体图 投影图 22 2．直线的投影 2）各种位置直线的投影 名称 水平线 （平行于H面，与V、W面倾斜） 正平线 （平行于V面，与H、W面倾斜） 侧平线 （平行于W面，与H、V面倾斜） 投影 特性 ① H 面投影 ab=AB ② V 面投影 ，W 面投影 ，两者都不反映实长 ③ab与OX轴、OYH轴的夹角b、g等于AB对V面、W面的倾角 ① V 面投影 ② H 面投影 ，W面投影 ，两者都不反映实长 ③ 与OX轴、OZ轴的夹角a、g等于CD对H面、W面的倾角 ① W 面投影 ② H 面投影 ，V面投影 ，两者都不反映实长 ③ 与OYH轴、OZ轴的夹角a、b等于EF对H面、V面的倾角 小结：① 在所平行的投影面上的投影反映实长 ② 其他两面投影为缩短的直线，且平行于相应的投影轴 ③ 反映实长的投影与投影轴所夹的角度，等于空间直线对相应投影面的倾角 （续表） 23 （3）投影面垂直线是指垂直于某一投影面的直线。 2．直线的投影 2）各种位置直线的投影 名称 铅垂线 （垂直于H面，平行于V、W面） 正垂线 （垂直于V面，平行于H、W面） 侧垂线 （垂直于W面，平行于H、V面） 立体图 投影图 24 2．直线的投影 2）各种位置直线的投影 名称 铅垂线 （垂直于H面，平行于V、W面） 正垂线 （垂直于V面，平行于H、W面） 侧垂线 （垂直于W面，平行于H、V面） 投影 特性 ① H面投影a（b）积聚成一点 ② ， 且 、 ① V面投影 （ ）积聚成一点 ② ， 且 、 ① W面投影 （ ）积聚成一点 ② ， 且 、 小结：① 在所垂直的投影面上的投影有积聚性 ② 其他两面投影反映实长，且垂直于相应的投影轴 （续表） 25 2．直线的投影 3）直线上点的投影特性 26 直线上点的投影 从属性 定比性 2．直线的投影 3）直线上点的投影特性 （1）从属性：直线上任意一点的投影必在该直线的同面投影上。反之，一点的三面投影中只要有一面投影不在直线的同面投影上，则该点不在该直线上。 如图所示，若点 C 在 AB上，则点 c 必定在 ab 上，点 必定在 上，点 必定在 上。 动画 27 2．直线的投影 3）直线上点的投影特性 （2）定比性：直线上的点将直线按一定比例进行分割，分割后各分割线段的长度之比与各分割线段投影的长度之比相等。 如图所示， 。 28 小贴士 由直线上点的投影特性可知，如果点在已知直线上，则可根据该点的一个投影（投影面垂直线的积聚投影除外）作出其另外两面投影。 例如，已知直线AB 的三视图和直线AB 上点C 在H 面上的投影点c，则点C 在 V 面上的投影点 和在W 面上的投影点 可按如图所示的画法作出。 29 2．直线的投影 4）两直线的相对位置 共面直线 异面直线 30 空间中两直线的相对位置 平行 相交 交叉 2．直线的投影 4）两直线的相对位置 不同相对位置的两直线的投影规律 位置关系 投影规律 图例 平行 ① 如果两直线平行，则它们的各组同面投影一定相互平行。反之，若两直线的各组同面投影均相互平行，则这两直线一定平行 ② 如果两直线平行，则它们的长度之比等于它们同面投影的长度之比 例如，直线AB与直线CD平行，则 、 、 ，且 31 2．直线的投影 4）两直线的相对位置 不同相对位置的两直线的投影规律 位置关系 投影规律 图例 相交 如果空间两直线相交，则它们的各组同面投影一定相交，且交点的投影符合直线上点的投影规律。反之，如果空间两直线的各组同面投影都相交，且交点的投影均符合直线上点的投影规律，则这两条直线一定相交 例如，直线AB与直线CD相交于点K，则其投影ab与cd相交于点k， 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，且点k、点 、点 符合直线上点的投影规律 （续表） 32 2．直线的投影 4）两直线的相对位置 不同相对位置的两直线的投影规律 位置关系 投影规律 图例 交叉 如果空间两直线既不平行也不相交，则两直线交叉。交叉两直线的同面投影可能有一组、两组或三组分别相交，但其交点的投影并不符合直线上点的投影规律。反之，如果空间两直线的各组同面投影既不符合两直线平行的投影规律，也不符合两直线相交的投影规律，则这两直线一定交叉 例如，直线AB和CD为交叉直线，这两条直线在V面和H面的投影均相交，但V面投影中的交点与H面投影中的交点并非同一点 （续表） 33 空间中不共线的三点可以确定一平面。因此，可以用下列任意一组几何元素的投影表示平面的投影。 （1）不共线的三点，如图（a）所示。 （2）一条直线和这条直线外的一点，如图（b）所示。 （3）两条相交直线，如图（c）所示。 （4）两条平行直线，如图（d）所示。 （5）平面图形，如三角形、圆及其他图形，如图（e）所示。 3．平面的投影 1）平面投影的表示方法 （a） （b） （c） （d） （e） 34 小贴士 绘制平面的三视图时，应先画出平面各顶点在三个投影面上的投影，然后将各顶点的同面投影依次连接起来，所得图形即为平面的三视图，如图所示。 35 3．平面的投影 2）各种位置平面的投影 36 平面 根据平面与投影面的相对位置 一般位置平面 投影面平行面 投影面垂直面 3．平面的投影 2）各种位置平面的投影 （1）一般位置平面是指对三个投影面都倾斜的平面。 如图所示，△ABC 为一般位置平面，它对三个投影面都倾斜，其各面投影虽然仍是三角形，但都不反映实形，而是原平面图形的类似形——边数相同、形状类似。 37 3．平面的投影 2）各种位置平面的投影 （2）投影面平行面是指平行于某一投影面的平面。 名称 水平面（平行于H面） 正平面（平行于V面） 侧平面（平行于W面） 立体图 投影图 38 3．平面的投影 2）各种位置平面的投影 名称 水平面（平行于H面） 正平面（平行于V面） 侧平面（平行于W面） 投影 特性 ① H面投影反映实形 ② V面投影积聚成一条直线，且平行于OX轴 ③ W面投影积聚成一条直线，且平行于 OYH轴 ① V面投影反映实形 ② H面投影积聚成一条直线，且平行于OX轴 ③ W面投影积聚成一条直线，且平行于OZ轴 ① W面投影反映实形 ② H面投影积聚成一条直线，且平行于 OYH轴 ③ V面投影积聚成一条直线，且平行于OZ轴 小结：① 在所平行的投影面上的投影反映实形 ② 其他投影为有积聚性的线段，且平行于相应的投影轴 （续表） 39 3．平面的投影 2）各种位置平面的投影 （3）投影面垂直面是指垂直于某一投影面且与其他两个投影面都倾斜的平面。 名称 铅垂面（垂直于H面） 正垂面（垂直于V面） 侧垂面（垂直于W面） 立体图 投影图 40 3．平面的投影 2）各种位置平面的投影 名称 铅垂面（垂直于H面） 正垂面（垂直于V面） 侧垂面（垂直于W面） 投影 特性 ① H面投影积聚成一条倾斜直线 ② V面投影和W面投影为原形的类似形 ① V面投影积聚成一条倾斜直线 ② H面投影和W面投影为原形的类似形 ① W面投影积聚成一条倾斜直线 ② V面投影和H面投影为原形的类似形 小结：① 在所垂直的投影面上积聚成一条与投影轴倾斜的线段 ② 其他两面投影为原形的类似形 （续表） 41 3．平面的投影 3）平面上的直线和点 具备下列两个条件之一的直线，必在给定的平面上。 ① 一条直线若经过平面上的两点，则该直线必定在该平面上。 （a） 如图（a）所示，根据上述条件①作图： 在直线AB上任取一点M，其投影分别为m和 ；在直线BC上任取一点N，其投影分别为点n和点 ；连接点M和点N的同面投影。由于点M和点N皆属于平面ABC，因此mn和 所表示的直线MN必在平面ABC上。 动画 （1）平面上的直线 42 3．平面的投影 3）平面上的直线和点 （b） 如图（b）所示，根据上述条件②作图： 在直线AB上任取一点M，其投影分别为点m和点 ；在平面ABC上任取一点D，使直线MD平行于已知直线BC，点D的投影分别为点d和点 ；连接点M和点D的同面投影。由于点M和直线BC皆属于平面ABC，且直线MD平行于直线BC，因此md和 所表示的直线MD必在平面ABC上。 具备下列两个条件之一的直线，必在给定的平面上。 ② 一条直线若经过平面上的一点且平行于该平面上的另一条直线，则该直线必定在该平面上。 （1）平面上的直线 43 融会贯通 【例2-3】 如图（a）所示，在平面ABC上作一条水平线，使其到H面的距离为10 mm。 分析：根据水平线的投影特性，其V面投影为平行于OX轴的直线，又根据水平线到H面的距离即可作出其V面投影，再根据直线在平面内的投影特性，可作出其H面投影。 （a） 44 融会贯通 【例2-3】 如图（a）所示，在平面ABC上作一条水平线，使其到H面的距离为10 mm。 （b） 作图步骤： （1）如图（b）所示，作一条与OX轴平行且距离为10 mm的直线，交 于点 ，交 于点 ，直线 即为水平线在V面上的投影。 （2）根据点在线上的从属性，作出点M和点N的H面投影点m和点n，直线mn即为水平线的H面投影。 动画 45 3．平面的投影 3）平面上的直线和点 点在平面上的条件： 若点在平面内的任意一条直线上，则该点必在该平面上。 因此，绘制平面上的点时，应先在平面内绘制辅助直线，然后在此直线上绘制点。 （2）平面上的点 46 融会贯通 【例2-4】 分析：因为点E和点F属于平面ABC，故过点E和点F各作一条属于平面ABC的直线，则点E和点F的两个投影必在相应直线的同面投影上。 （a） 如图（a）所示，已知属于平面ABC的点E的V面投影点 和点F的H面投影点f，试求它们在另一面上的投影。 47 融会贯通 【例2-4】 如图（a）所示，已知属于平面ABC的点E的V面投影点 和点F的H面投影点f，试求它们在另一面上的投影。 （b） 作图步骤： （1）如图（b）所示，过点E作直线Ⅰ Ⅱ平行于AB，即过 作 ，然后作出直线Ⅰ Ⅱ的H面投影12；最后过 作OX轴的垂线与12相交，交点即为点E的H面投影点e。 （2）过点F和定点A作直线，即过 f 作直线FA的H面投影fa，fa交bc于点3，再作出其V面投影点 ，连接 。 （3） 过 f 作OX轴的垂线，该垂线与 的延长线相交，交点即为点F的V面投影点 。 48 常用的尺规绘图工具有哪些？ 机械制图中，画底稿用哪种铅笔？描深图线用哪种铅笔？写字和画箭头用哪种铅笔？ 课堂检测 49 课堂小结 点、直线、平面的投影 点的投影 直线的投影 平面的投影 50 项目实施 作出直线与平面的交点并判断其可见性 51 1．描述 已知直线EF与平面ABC的两面投影，平面ABC为侧垂面。 请作出直线EF与平面ABC的交点G，并判断直线EF的可见性（不可见的部分用虚线表示）。 52 2．分析 侧垂面ABC在W面上的投影积聚成直线，点G为直线EF与平面ABC的交点，其投影也必定在直线EF与平面ABC的投影上，因此直线EF与平面ABC在W面上的投影的交点即为点G在W面上的投影。 作图时，可利用直线和平面的投影规律，先作出直线EF、平面ABC的W面投影，找到点G在W面上的投影，再利用点的投影规律作出点G在V面、H面的投影。 53 3．作图 （a） （1）建立直角坐标系，作直线EF与平面ABC在W面上的投影 、 ，如图（a）所示。由上述分析可知， 与 的交点即为点G在W面上的投影点 。 54 3．作图 （b） （2）利用点的投影规律，作出点G在V面、H面的投影点g、点 ，如图（b）所示。 55 3．作图 （c） （3）由W面上的投影可判断直线EF在V面、H面上投影的可见性，如图（c）所示。 56 课堂小结 项目实施 作出直线与平面的交点并判断其可见性描述 绘制 分析 作图 57 科技前沿 近日，中国科学技术大学龚雷老师所在课题组提出了一种超高密度3D全息投影的新方法。 该研究团队将光散射引入三维全息投影技术中，克服了传统全息投影技术深度调控的两个瓶颈，实现了超高密度的三维动态全息投影。该技术将更多深度信息融入全息图中，可以更逼真地重构三维图像。 研究人员表示，这项技术能够实现高密度、低串扰、大视角的三维动态全息投影，有望应用于全息显微成像、立体显示、投影光刻、信息存储、光学微操控等领域。 创享未来——超高密度三维动态全息投影 58 科技前沿 在汽车制造领域，全息投影技术也有较为广泛的应用。 利用全息投影技术可以清晰地展示汽车及其零部件的三维图像，帮助设计人员在设计过程中更好地预览设计效果，帮助制造人员更好地掌握设计要求、把控零件的形状及构造细节。 随着科学技术的不断进步，相信全息投影技术将会拥有更为广阔的应用空间。 创享未来——超高密度三维动态全息投影 59 指导教师根据学生的实际学习成果对其进行评价，学生配合指导教师完成如表所示的学习成果评价表。 学习成果评价表 学习成果评价 评价项目 评价内容 分值/分 评分/分 知识 （40%） 投影法概述 8   三视图的投影规律与画法 8   点的投影 8   直线的投影 8   平面的投影 8   学习成果评价表 学习成果评价 评价项目 评价内容 分值/分 评分/分 技能 （40%） 掌握三视图的投影规律与画法 10   掌握点、直线、平面的投影规律 10   正确绘制点、直线、平面在三视图上的投影 20   （续表） 学习成果评价表 学习成果评价 评价项目 评价内容 分值/分 评分/分 素养 （20%） 能与他人进行良好沟通 5   具备团队精神，能够积极与他人合作 5   积极、认真参加实践活动，按时完成学习任务 5   具备良好的学习态度 5   合计 100   自我评价   指导教师 评价   （续表） 二维码放置处 老师在APP中生成作业布置二维码，放在此处即可 作业布置 感谢聆听！ 64 $$