专题02 中心对称图形-平行四边形（5大考点题型）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

专题02 中心对称图形-平行四边形 【考点1：】图形的旋转 【考点2：】中心对称与中心对称图形 【考点3：】平行四边形 【考点4：】矩形、菱形、正方形 【考点5：】三角形的中位线 一、旋转的概念和性质 （1）将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转. （2）一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等. 二、中心对称与中心对称图形 （1）一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称.这个点叫做对称中心． （2）成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. （3）把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心 三、平行四边形 1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积： 4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 注意：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等； （2） 等底等高的平行四边形面积相等. 四、矩形 1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质； （2）四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： ４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 注意：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 五、菱形 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等； （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形. 六、正方形 1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行； （2）四个角都是直角； （3）四条边都相等； （4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； （5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 七、三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 八、中点四边形 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 注： （1）任意四边形的中点四边形是平行四边形. （2）对角线相等的四边形的中点四边形是菱形. （3）对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形. （4）对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形. 考点剖析 【考点1：】图形的旋转 1．如图，平面直角坐标系中，已知点，将绕点O逆时针旋转得到，则点A的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，此时点C恰好落在边上．若，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，点在上，连接，作等腰直角，，连接，交于点，若，，则的长为 ．    4．如图，直线与x轴交于点A，将该直线绕点A旋转，得到的直线解析式为 ． 5．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点分别在格点上． (1)先将向右平移9个单位，再向下平移4个单位，在网格中画出平移后的； (2)把以点为中心，顺时针旋转， ①请在网格中画出旋转后的； ②在线段上确定一点，使． 6．（1）问题发现： 如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请按此方法求的度数，写出求解过程； （2）拓展研究： 请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图2，中，,，点E，F为边上的点，且，判断之间的数量关系并证明； ②如图3，在中，，，，在内部有一点P，连接，直接写出的最小值． 【考点2：】中心对称与中心对称图形 1．花钿是古时汉族妇女脸上用金翠珠宝制成的一种花形首饰，有红、绿、黄三种颜色，是唐代比较流行的一种首饰．下列四种花钿图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　） A． B． C． D． 2．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一．为弘扬优秀传统文化，某中学开展了“剪纸进校园，文化共传承”的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．将点向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，Q与B关于原点对称，则点B的坐标是 4．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上． (1)先将向左平移2个单位，再作与所得三角形关于原点成中心对称的图形，得到，请在图中画出． (2)边上有一点，经上述变换后所得的对应点为，则点的坐标为________（用含a，b的代数式表示）． 6．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向右平移6个单位长度后得到，请画出； (2)请画出关于原点的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得，请直接写出旋转中心的坐标． 【考点3：】平行四边形 1．在平面直角坐标系中，已知，若A、B、O、C四点构成平行四边形，那么点C的坐标不可能是（　　） A． B． C． D． 2．如图，中，，将沿折叠，使点C落在点E处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，点在上，，且，连接，，交于点，，，则的长度为 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形，，，直线与，分别交于，，且将的面积分成相等的两部分，则的值是 5．如图，四边形是平行四边形，E、F是对角线上的两点，且，顺次连接B、E、D，F．求证：四边形是平行四边形． 6．如图，在中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿的边逆时针匀速运动；动点Q同时从点A出发，以每秒的速度沿的边顺时针匀速运动；设点P的运动时间为t秒． (1)当点P在上运动时，______cm（用含t的代数式表示）； (2)当______秒时，P，Q两点相遇； (3)是否存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【考点4：】矩形、菱形、正方形 1．下列说法错误的是（    ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．四个角都相等的菱形是正方形 D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 2．如图，在菱形中，点是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为（    ） A． B．3 C． D． 3．如图，在四边形中，四边形为正方形，，，，则 ． 4．如图，矩形中，，，对角线、相交于点，点是线段上任意一点，且于点，于点，则的值是 ． 5．如图，在中，是的角平分线，是的外角的平分线，过点C作，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 6．阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是：_______________________；      利用此数量关系解决以下问题： （2）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索的长为x尺，根据题意，可列方程为_____________________； （3）如图，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，求的长． 【考点5：】三角形的中位线 1．如图，是的中位线，按以下步骤作图：以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于点；分别以点为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点；作射线交于点． 若 ，则长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知矩形，，，点分别是上的点，点分别是的中点，当点在上从向移动，而点不动时，若，则（    ） A． B． C． D．不能确定 3．“做数学”可以帮助学生积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第次折叠使点 落在 边上的点处，折痕交 于点 ；第次折叠使点落在点处，折痕交于点．若， 则 ． 4．在矩形中，，动点P在边上，过点P作于点E，连接，取的中点F，连接，在运动过程中当线段最小时，则线段的长为 ． 5．已知∶ 等边三角形中， 点D、E、F分别为边的中点， 点M在直线上，以点 M为旋转中心，将线段顺时针旋转 至 连接 ． (1)如图1，当点M在点B左侧时，线段与的数量关系是 ； (2)如图2，当点M在边上时，（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请利用图2证明，如果不成立，请说明理由； (3)当点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，直接判断（1）中的结论是否依然成立？不必给出证明或说明理由． 6．阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)这个中点四边形的形状是 ； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，、、、分别为、、、的中点，试判断四边形的形状并证明． 过关检测 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．小明同学在喝水时发现了这样一个有趣的现象：当水杯保持某一静止状态时，水面始终与桌面保持平行．如图所示，矩形为静止状态的某水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯侧面与桌面的夹角为54°时，则的度数为（    ） A．46° B．36° C．54° D．56° 3．已知平行四边形的一边长为10，则对角线、的长可取下列数组为（    ） A．4，8 B．6，8 C．8，10 D．11，13 4．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（　） A． B． C． D． 5．把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，，把三角板绕点C顺时针旋转得到（如图乙），此时与交于点O，则线段的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 6．如图，正方形中，E为边上一点，F为边上一点，且．连接，，交对角线于G，连接．若，则（    ） A． B． C． D． 7．我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，直角三角形的三边a，b，c满足，分别以a、b、c为边作三个正方形：正方形、正方形、正方形，把它们拼成如图所示形状，使E、F、G三点在一条直线上，若，四边形与面积之和为7，则正方形的面积为（    ） A．49 B．28 C．21 D．14 8．如图，在中，，，以，为边向外作正方形与正方形，作，的反向延长线与交于点，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，对角线相交于点O，若要使成为矩形，需要添加的条件是 ． 10．在中，，则它的周长等于 ． 11．已知在菱形中，，对角线与相交于点O，若，则该菱形的面积为 ．（结果保留根号） 12．在平面直角坐标系中，，点C在x轴上，以A、B、C、D为顶点的平行四边形的顶点C的横坐标是 ． 13．如图，矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长为 ． 14．如图，在矩形中，在边上，为中点，，，，则线段的长为 ． 15．如图，在中，为斜边的中点，点在边上，将沿折叠至．若点在线段上，，，则的长为 ． 16．菱形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转，得到线段，连接，是线段的中点，连接，则旋转一周的过程中线段的最大值是 ． 17．将两个大小相等的圆部分重合，其中重叠的部分（如图中的阴影部分）我们称之为一个“花瓣”，由一个“花瓣”及圆组成的图形称之为花瓣图形，下面是一些由“花瓣”和圆组成的图形． (1)在A、B、C、D、E这5个图形中，是轴对称图形的有__________，是中心对称图形有________ (2)设“花瓣”在圆中是均匀分布的，当花瓣数大于1时，若花瓣的个数是_______，则花瓣图形既是轴对称图形又是中心对称图形；若花瓣的个数是_________，则花瓣图形仅是轴对称图形 (3)根据上面的结论，试判断下列花瓣图形是什么对称图形： ①九瓣图形是_______________    ②十二瓣图形是_______________ 18．如图，已知四边形，请用尺规作图法在边上分别求作一点，连接，使得四边形是平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 19．如图，中，E、F为对角线上的两点，且，连接，． (1)求证：． (2)连接、，求证：四边形是平行四边形． 20．如图，已知四边形是平行四边形，是等边三角形． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求四边形的面积． 21．如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． (1)线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； (3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 22．如图，在矩形中，，，点与点同时出发，点从点出发向点运动，运动到点停止，点从点出发向点运动，运动到点停止，点，的速度都是，连接，设点，的运动的时间为． (1)求当t为何值时，四边形是正方形； (2)求当t为何值时，； (3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值． 23．我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”． (1)在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 　　（请填序号）； (2)在“完美”四边形中，，，连接． ①如图1，求证：平分； 小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明平分 想法一：通过，可延长到，使，通过证明，从而可证平分； 想法二：通过，可将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，可证，，三点在一条直线上，从而可证平分． 请你参考上面的想法，帮助小明证明平分； ②如图2，当，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 24．定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形” (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_______ (填序号)； ①平行四边形②菱形③矩形④正方形 (2)如图2，在矩形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“优乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点． 求证：四边形是“忧乐四边形” (3)如图3，在四边形中，，，，，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 中心对称图形-平行四边形 【考点1：】图形的旋转 【考点2：】中心对称与中心对称图形 【考点3：】平行四边形 【考点4：】矩形、菱形、正方形 【考点5：】三角形的中位线 一、旋转的概念和性质 （1）将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转. （2）一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等. 二、中心对称与中心对称图形 （1）一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称.这个点叫做对称中心． （2）成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. （3）把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心 三、平行四边形 1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积： 4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 注意：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等； （2） 等底等高的平行四边形面积相等. 四、矩形 1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质； （2）四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： ４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 注意：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 五、菱形 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等； （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形. 六、正方形 1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行； （2）四个角都是直角； （3）四条边都相等； （4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； （5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 七、三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 八、中点四边形 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 注： （1）任意四边形的中点四边形是平行四边形. （2）对角线相等的四边形的中点四边形是菱形. （3）对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形. （4）对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形. 考点剖析 【考点1：】图形的旋转 1．如图，平面直角坐标系中，已知点，将绕点O逆时针旋转得到，则点A的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题涉及图形旋转，体现了新课标的精神，应抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通过画图求解． 根据旋转的性质和坐标系内点的坐标特征解答． 【详解】解：由图知点的坐标为，根据旋转中心，旋转方向逆时针，旋转角度，画图，从而得的坐标为． 故选：C． 2．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，此时点C恰好落在边上．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，由旋转性质得，，进而，进而利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转后得到， ∴，，又， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，在中，，，点在上，连接，作等腰直角，，连接，交于点，若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质的综合，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质，将绕点逆时针旋转得，可得直角，根据勾股定理可求出的长，根据全等三角形的判定和性质可证，可求出的值，过点作，根据勾股定理可求出的值，在直角中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴是等腰直角三角形，，， ∴， 如图所示，将绕点逆时针旋转得，则与重合，连接，    ∴，，，, ∴， 在直角中，， ∵， ∴， ∴，则，， ∴， 如图所示，过点作于点，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在直角中，， 故答案为： ． 4．如图，直线与x轴交于点A，将该直线绕点A旋转，得到的直线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数性质，记直线解析式与轴交与点，原点为，利用解析式得到点A，，根据题意可绕点A逆时针旋转得到，得到旋转后的直线，利用旋转的性质得到，设旋转后的直线解析式为，利用待定系数法求出函数解析式，即可解题． 【详解】解：记直线解析式与轴交与点，原点为， 直线解析式为， 点A，， 该直线绕点A旋转， 即绕点A逆时针旋转得到， ，， ， 设旋转后的直线解析式为，且直线过点A，， ，解得， 旋转后的直线解析式为． 故答案为：． 5．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点分别在格点上． (1)先将向右平移9个单位，再向下平移4个单位，在网格中画出平移后的； (2)把以点为中心，顺时针旋转， ①请在网格中画出旋转后的； ②在线段上确定一点，使． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②见解析 【分析】本题考查了网格作图，平移作图、旋转作图，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）分别找出对应点、、即可求解； （2）①分别找出对应线段、即可求解；②根据三角形同底时面积比等于高之比即可找到点． 【详解】（1）分别将点、、向右平移9个单位，再向下平移4个单位得到对应点、、，连接各点，得平移后的，如图所示： （2）①利用网格特点，分别将、以为中心顺时针旋转找出对应线段、，连接，得旋转后的，如图所示： ②如图，点即为所求的点，理由如下： 由图可知，中边上的高为2，、边上的高为1， 6．（1）问题发现： 如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请按此方法求的度数，写出求解过程； （2）拓展研究： 请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图2，中，,，点E，F为边上的点，且，判断之间的数量关系并证明； ②如图3，在中，，，，在内部有一点P，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1），见解析；（2）①，见解析；② 【分析】（1）连接，根据题意得到，，，进而得到'为等边三角形，，根据勾股定理逆定理证明是直角三角形， 且，即可求出； （2）①证明，将绕点A逆时针旋转， 得到， 连接，得到，，，，进而得到，根据勾股定理得到 ，证明，得到，即可得到； ②将绕点B逆时针旋转，得到， 连接，，即可得到，，，，从而得到为等边三角形，，根据两点之间线段最短得到 ，即可得到当且仅当，，P，C四点共线时， 的值最小为 的长，根据勾股定理求出，即可得到的最小值为 【详解】解： （1）连接， ∵将绕顶点 A 逆时针旋转60°到， ∴，， ∴'为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， 且， ∴， ∴； （2）①． 证明： ∵,， ∴， 如图，将绕点A逆时针旋转， 得到， 连接， 则：，，，， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴； ②的最小值为 如图，将绕点B逆时针旋转，得到， 连接，， 则：，，，， ∴为等边三角形，， ∴ ∴ ， ∴当且仅当，，P，C四点共线时， 的值最小为 的长， ∵， ∴， ∴的最小值为 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质等知识，综合性较强，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键． 【考点2：】中心对称与中心对称图形 1．花钿是古时汉族妇女脸上用金翠珠宝制成的一种花形首饰，有红、绿、黄三种颜色，是唐代比较流行的一种首饰．下列四种花钿图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 【详解】A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、该图形既轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一．为弘扬优秀传统文化，某中学开展了“剪纸进校园，文化共传承”的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 3．将点向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，Q与B关于原点对称，则点B的坐标是 【答案】 【分析】本题考查坐标与平移及关于点对称．根据点的平移规则：左减右加，上加下减确定，然后进行求解即可． 【详解】解：点向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q， ∴，即：； ∵Q与B关于原点对称， ∴点B的坐标是 故答案为：． 4．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化--旋转问题，解题的关键是推出点的横坐标、纵坐标规律．首先根据是边长为的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，即可求出的坐标． 【详解】解：是边长为的等边三角形， 的坐标为，的坐标为， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， …， ，，，，…， 的横坐标是，当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 的顶点的坐标是， 故答案为 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上． (1)先将向左平移2个单位，再作与所得三角形关于原点成中心对称的图形，得到，请在图中画出． (2)边上有一点，经上述变换后所得的对应点为，则点的坐标为________（用含a，b的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图−旋转变换、平移变换，平移的坐标变换与关于原点中心对称点的坐标变换．解题关键是熟练掌握利用中心对称与平移的性质作图；平移的坐标变换规律：左加右减，上加下减；关于原点对称的点的坐标变换规律：横坐标与横坐标、纵坐标与纵坐标互为相反数． （1）先根据平移的性质作出平移后的三角形，再根据中心对称的性质作出即可； （2）先根据平移坐标变换规律：左减右加，得出平移后对应点的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标变换规律：横坐标与横坐标、纵坐标与纵坐标互为相反数求解即可； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：点向左平移2个单位后坐标为， 点关于原点对称点的坐标为． 故答案为：. 6．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向右平移6个单位长度后得到，请画出； (2)请画出关于原点的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3) 【分析】（1）由点的平移，作出的三个顶点向右平移6个单位长度后的点，连接顶点即可得到； （2）根据点的对称性，作出的三个顶点关于原点的中心对称点，连接顶点即可得到； （3）根据中心对称性质，连接两个中心对称的图形对应点，连线的交点即是旋转中心，由点在平面直角坐标系中位置，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）解：如图所示： 即为所求； （3）解：如图所示： 旋转中心的坐标为． 【点睛】本题考查平移作图、中心对称作图，涉及点的平移、点的对称、确定中心对称图形的对称中心、图形与坐标等知识，熟练掌握平移性质、中心对称性质作图是解决问题的关键． 【考点3：】平行四边形 1．在平面直角坐标系中，已知，若A、B、O、C四点构成平行四边形，那么点C的坐标不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质求解，坐标与图形，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得到C点坐标的三种情况分别求出C的坐标即可． 【详解】解：如图所示，    ∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形， ∴可以分以下三种情况分别求出C点的坐标：如图所示： ①当时，C点的坐标为； ②当时，C点的坐标为； ③当时，C点的坐标为． 故选：B． 2．如图，中，，将沿折叠，使点C落在点E处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，平行四边形的性质，先求解，可得，可得，再进一步结合平行四边形的性质可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选D 3．如图，在中，，点在上，，且，连接，，交于点，，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．依据题意，过点作交的延长线于点，连接，结合题目条件可得，四边形为平行四边形，从而，在中求出，再在中求出，故，最后在中，，进而得解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，连接， ． ， ． ． 又，， ． ． 又， 是等腰直角三角形． ． 又， ． ∴． ， ∴． 四边形为平行四边形． ，． 在等腰中，，且， ． 在中，，， ． ． 在中，，， ． 故答案为：． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形，，，直线与，分别交于，，且将的面积分成相等的两部分，则的值是 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、平行四边形对称中心的性质，熟知“过平行四边形对称中心的直线平分平行四边形的面积”是解题的关键． 根据将的面积分成相等的两部分，知直线经过平行四边形的对称中心，根据线段的中点坐标公式，得到平行四边形对称中心坐标为，然后把代入求解得出的值即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，直线将的面积分成相等的两部分， ∴直线经过平行四边形的对称中心，即的中点， ∵，， ∴平行四边形的对称中心坐标为，即， ∴把代入得：， 解得：． 故答案为：． 5．如图，四边形是平行四边形，E、F是对角线上的两点，且，顺次连接B、E、D，F．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟记判定方法是解本题的关键； （1）先证明，，再结合证明，由全等三角形的性质可得，，再证明，可得，从而可得结论． 【详解】证明：四边形为平行四边形， ，， ， 又， ， ，， ， ∴， 四边形是平行四边形． 6．如图，在中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿的边逆时针匀速运动；动点Q同时从点A出发，以每秒的速度沿的边顺时针匀速运动；设点P的运动时间为t秒． (1)当点P在上运动时，______cm（用含t的代数式表示）； (2)当______秒时，P，Q两点相遇； (3)是否存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）结合题意利用距离速度时间的关系式解答即可； （2）利用的代数式表示出点，移动的距离，再利用两点移动的距离之和为平行四边形的周长列方程解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当为平行四边形时，利用平行四边形的对边相等的性质列出关于的方程解答即可；②当为平行四边形时，利用同样的方法解答即可． 【详解】（1）解：动点从点出发，以每秒的速度沿的边逆时针匀速运动， 点t秒运动的距离为， ， 当点在上运动时，， 故答案为：； （2）解：在中，，， 的周长为． 由题意得：点经过秒运动的距离为，点经过秒运动的距离为， ，两点相遇时，， ， ． 当秒时，，两点相遇． 故答案为：； （3）解：存在的值，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，的值为秒或秒．理由： ①当为平行四边形时，如图， 由题意得：，， 四边形为平行四边形， ， ， ． ②当为平行四边形时，如图， 由题意得：，， 四边形为平行四边形， ， ， ． 综上，存在的值，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，的值为秒或秒． 【考点4：】矩形、菱形、正方形 1．下列说法错误的是（    ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．四个角都相等的菱形是正方形 D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查了正方形、菱形、矩形及平行四边形的判定，注意正方形是特殊的菱形或者矩形．熟练掌握各特殊四边形的判定定理是解题关键． 根据正方形、菱形、矩形及平行四边形的判定定理对各选项逐一判断即可得答案． 【详解】解：A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该选项说法正确，不符合题意， B． 对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项说法正确，不符合题意， C． 四个角都相等的菱形是正方形，故该选项说法正确，不符合题意， D． 一组对边平行另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故该选项说法错误，符合题意， 故选D． 2．如图，在菱形中，点是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理．先求出得出是等边三角形，再求，最后求用勾股定理求即可． 【详解】解：四边形是菱形， 故是等边三角形 是其对角线 是边的中点, ， , 由 ． 故选：D． 3．如图，在四边形中，四边形为正方形，，，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和判定，作出合适的辅助线是解题的关键．连接，，作垂直交于点H，根据四边形为正方形，，得到，证明，得到，由，证得，证明，，得到，设，则，，在中，利用勾股定理，解方程即可求解． 【详解】解析：如图所示，连接，，作垂直交于点H， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ，， ， ， ， ，， ，，， ， ， ，， ． 设，则，， 在中，， ， 解得， ， 故答案为3． 4．如图，矩形中，，，对角线、相交于点，点是线段上任意一点，且于点，于点，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握矩形的性质，勾股定理的运用．连接，根据矩形的性质，得，点是对角线的中点，则，再根据，，即可求出的值． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ，，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．如图，在中，是的角平分线，是的外角的平分线，过点C作，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)矩形的面积为2． 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识． （1）证明，根据矩形的判定即可得到结论； （2）证明是等腰直角三角形，再根据矩形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵，是的平分线， ∴， ∴， ∵是外角的平分线， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积为． 6．阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是：_______________________；      利用此数量关系解决以下问题： （2）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索的长为x尺，根据题意，可列方程为_____________________； （3）如图，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）3 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形与折叠问题： （1）根据勾股定理解答即可； （2）设绳索的长为x尺，则的长为尺，根据勾股定理得，据此列出方程即可； （3）设，则，由折叠的性质可知，，结合勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）在中，，，，， 由勾股定理得，， 故答案为：； （2）设绳索的长为x尺，则的长为尺， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：； （3）设，则， 由折叠的性质可知，， 由矩形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，， 则的长为3． 【考点5：】三角形的中位线 1．如图，是的中位线，按以下步骤作图：以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于点；分别以点为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点；作射线交于点． 若 ，则长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的作法和性质，由三角形中位线性质可得，，，推导出，又由作图可知为的角平分线，得到，即可得，得到，进而可得，再根据即可求解，掌握角平分线的作法和三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】∵是的中位线， ∴，，， ∴， 由作图可知，为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，已知矩形，，，点分别是上的点，点分别是的中点，当点在上从向移动，而点不动时，若，则（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理及三角形的中位线定理，连接，由勾股定理，然后根据中位线得定理即可求解，熟练掌握勾股定理和三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵点分别是的中点， ∴， 故选：． 3．“做数学”可以帮助学生积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第次折叠使点 落在 边上的点处，折痕交 于点 ；第次折叠使点落在点处，折痕交于点．若， 则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，折叠的性质，根据第一次折叠的性质求得和，由第二次折叠得到，，进而得到，易得是的中位线，是的中位线，最后由三角形的中位线定理求解即可． 【详解】解：∵已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点， ∴，． ∵第2次折叠使点落在点处，折痕交于点， ∴，， ∴， ∴． 如图所示，取中点H，连接，则是的中位线， ∴， ∴由平行线的唯一性可知，重合，即点H与点N重合， ∴是的中位线， ∴， 同理可得是的中位线， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 4．在矩形中，，动点P在边上，过点P作于点E，连接，取的中点F，连接，在运动过程中当线段最小时，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，正确做出辅助线是解题的关键； 设点D关于直线的对称点为点G，连接，，延长，交于H点，连接，根据对称性质得，，在证和，然后将构造成三角形的中位线，将动线段转化为定点B到直线得最短距离，然后根据勾股定理和点到直线垂线段最短，求得取最小值的情况以及对应线段长度即可． 【详解】如图所示，设点D关于直线的对称点为点G，连接，，延长，交于H点，连接， 点G，D关于直线对称， ，， 在和中 ， ， ， ， ， 在和中 ，即E为的中点， 又F为的中点， 为的中位线， ， 要使最小，则需取得最小值，而B为固定点，H在固定直线上， 由点到直线垂线段最短可知，当时取得最小值， ， ， ， 在中，， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 5．已知∶ 等边三角形中， 点D、E、F分别为边的中点， 点M在直线上，以点 M为旋转中心，将线段顺时针旋转 至 连接 ． (1)如图1，当点M在点B左侧时，线段与的数量关系是 ； (2)如图2，当点M在边上时，（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请利用图2证明，如果不成立，请说明理由； (3)当点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，直接判断（1）中的结论是否依然成立？不必给出证明或说明理由． 【答案】(1) (2)成立，证明见解析 (3)成立，证明见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，以及正确画出辅助线，构造全等三角形． （1）连接，通过证明，即可得出结论； （2）连接，通过证明，即可得出结论； （3）先根据题意画出图形，连接，通过证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵点D、E、F分别为边的中点， ∴，， ∴，， 由旋转可得：，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：成立，证明如下： 连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵点D、E、F分别为边的中点， ∴，， ∴，， 由旋转可得：，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （3）解：成立，证明如下： 连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵点D、E、F分别为边的中点， ∴，， ∴，， 由旋转可得：，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 6．阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)这个中点四边形的形状是 ； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，、、、分别为、、、的中点，试判断四边形的形状并证明． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为菱形，证明见解析 【分析】（1）连接，由三角形中位线定理得出，，，，得出，，即可得出结论； （2）连接、，由等边三角形的性质得出，，，证出，由证明，得出，由三角形中位线定理得出，，，，，得出，，证出四边形是平行四边形；再得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：中点四边形是平行四边形； 理由如下：连接，如图1所示： ，，，分别是边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形； （2）证明：四边形为菱形．理由如下： 连接与，如图2所示： 和为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ，，，分别是边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，，， ，， 四边形是平行四边形； ， ， 四边形为菱形． 【点睛】本题考查了中点四边形、菱形的判定方法、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质；熟练掌握中点四边形，证明三角形全等得出是解决问题（2）的关键． 过关检测 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．小明同学在喝水时发现了这样一个有趣的现象：当水杯保持某一静止状态时，水面始终与桌面保持平行．如图所示，矩形为静止状态的某水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯侧面与桌面的夹角为54°时，则的度数为（    ） A．46° B．36° C．54° D．56° 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质．由平行线的性质可得，由矩形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ， 四边形是矩形， ， ， 故选：B． 3．已知平行四边形的一边长为10，则对角线、的长可取下列数组为（    ） A．4，8 B．6，8 C．8，10 D．11，13 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的对角线互相平分等性质的运用．解题关键是利用平行四边形的性质结合三角形三边的关系来解决有关的问题． 设，根据平行四边形的性质知道，，在中，由此即可确定选择项． 【详解】解：如图在平行四边形中，交于， 解：如图，在平行四边形中，交于， 设， ，， 在中， 即， A、，，不符合不等式，故本选项不符合题意； B、，，不符合不等式，故本选项不符合题意； C、，，不符合不等式，故本选项不符合题意； D、，，符合不等式，故本选项符合题意． 故选：D． 4．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平移性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握平移性质和正方形的性质是解答的关键，由题意得，根据正方形的性质和勾股定理，求出，进而求出答案即可； 【详解】由题意得， 四边形是正方形， ， ， ， 点D，之间的距离为， 故选：D． 5．把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，，把三角板绕点C顺时针旋转得到（如图乙），此时与交于点O，则线段的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 【答案】A 【分析】此题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识， 证明出是等腰直角三角形，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵旋转角为， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 故选：A． 6．如图，正方形中，E为边上一点，F为边上一点，且．连接，，交对角线于G，连接．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，以及三角形外角的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键. 先证，得出，再证明，得出，再根据三角形外角的性质即可求解. 【详解】解：四边形是正方形， ，， 在和中 ， ， ， ， ， 是正方形的对角线， ， 在和中 ， ， ， ， ， 故选C. 7．我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，直角三角形的三边a，b，c满足，分别以a、b、c为边作三个正方形：正方形、正方形、正方形，把它们拼成如图所示形状，使E、F、G三点在一条直线上，若，四边形与面积之和为7，则正方形的面积为（    ） A．49 B．28 C．21 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形全等，根据图形面积得到相应等式，从而进行计算．证明，得到，再证明，从而推出，化简得到，再根据，得到，结合两式可得，从而计算结果． 【详解】解：在与中， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 化简得：①， ∵， ∴②， ，得：， ∴． 故选：C． 8．如图，在中，，，以，为边向外作正方形与正方形，作，的反向延长线与交于点，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作点N关于的对称点，连接交于点Q，连接，则，连接，当三点共线时，有最大值，即有最大值，先证明，得到，再证明点N是的中点，得到，再证明，得到，进而得到，易证，得到，由即可求解． 【详解】解：如图，作点N关于的对称点，连接交于点Q，连接，则，连接， ，， 当三点共线时，有最大值，即有最大值，如图 四边形与四边形都是正方形， ， ， ， 点N与点P关于对称， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点N是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，三角形三边关系的应用，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 9．如图，在中，对角线相交于点O，若要使成为矩形，需要添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行作答即可． 【详解】解：要使成为矩形，，需要添加的条件是，理由如下： ∵四边形是平行四边形，， ∴为矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 10．在中，，则它的周长等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，由平行四边形性质得出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的周长为：， 故答案为：． 11．已知在菱形中，，对角线与相交于点O，若，则该菱形的面积为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，根据菱形的性质得到，，则，根据勾股定理求出，进而求出，根据菱形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，∵四边形为菱形， ∴， ∵， 设，则， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为．    故答案为： 12．在平面直角坐标系中，，点C在x轴上，以A、B、C、D为顶点的平行四边形的顶点C的横坐标是 ． 【答案】1或5或 【分析】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．分两种情况讨论，由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解． 【详解】解：设点C为， 若为边，则， ∴， ∴， ∴点， ∴， ∴， ∴或5； 当为对角线，则与互相平分， ∴， ∴， ∴点， ∴， ∴， 故答案为：1或5或． 13．如图，矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长为 ． 【答案】/ 【分析】连接，利用矩形的性质以及折叠的性质，即可得到与全等，设，则可得，在中利用勾股定理即可得到的值，在中利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴，, ∵为中点， ∴， 由折叠可得，，， ∴，, 又∵， ∴， 又∵， ∴（）， ∴， 设，则，，， ∵， ∴中，， 即， 解得， ∴， ∵， ∴中，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及折叠问题，解题时我们常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 14．如图，在矩形中，在边上，为中点，，，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质等知识，延长到点G，使，连接，，利用线段垂直平分线的性质，利用三角形中位线定理得出，，证明，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：延长到点G，使，连接， ∵矩形， ∴， 即， ∴， ∵为中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴ 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，在中，为斜边的中点，点在边上，将沿折叠至．若点在线段上，，，则的长为 ． 【答案】9 【分析】取中点，连接，得是的中位线，，折叠的性质可得，，依据，得到，进而求得，设，，则，得出，在中，根据勾股定理得：，根据，得出，在中，根据勾股定理得：，得出，证明，得出，在中，根据勾股定理得：，即，整理得：，得出方程，利用平方根定义，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：如图，取中点，连接， ∵为斜边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，，， ∴， ∵为斜边的中点， ∴， ∴， 即， ∴， 设，，则， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∵为斜边的中点， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 整理得：， ∵， ∴设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 整理得：， ∴， ， ， 开平方得：， 解得：或（舍去）， ∴． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 16．菱形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转，得到线段，连接，是线段的中点，连接，则旋转一周的过程中线段的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，三角形的中位线定理，等边三角形的性质与判定，延长到点，使得，连接，，由三角形的中位线定理得，当、、依次在同一直线上时的值最大，据此求得的最大值便可求得的最大值． 【详解】解：延长到点，使得，连接，，如图， 四边形是菱形， ，， ， ， 为等边三角形， ， 点是的中点， ， 当取最大值时，的值就最大， 由题意知，点在以为圆心，以为半径的圆上， 当、、依次在同一直线上时，的值最大，如图， 由旋转性质知，， 的最大值为 ， 故答案为：． 17．将两个大小相等的圆部分重合，其中重叠的部分（如图中的阴影部分）我们称之为一个“花瓣”，由一个“花瓣”及圆组成的图形称之为花瓣图形，下面是一些由“花瓣”和圆组成的图形． (1)在A、B、C、D、E这5个图形中，是轴对称图形的有__________，是中心对称图形有________ (2)设“花瓣”在圆中是均匀分布的，当花瓣数大于1时，若花瓣的个数是_______，则花瓣图形既是轴对称图形又是中心对称图形；若花瓣的个数是_________，则花瓣图形仅是轴对称图形 (3)根据上面的结论，试判断下列花瓣图形是什么对称图形： ①九瓣图形是_______________    ②十二瓣图形是_______________ 【答案】(1)A、B、C、D、E；A、C、E (2)偶数；奇数 (3)轴对称图形，轴对称图形和中心对称图形 【分析】本题主要属于轴对称图形与中心对称的图形的问题，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键； （1）轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此可回答第一问； （2）通过第一问所填的轴对称图形和中心对称图形，便可发现“花瓣”的个数与其是什么图形的关系； （3）根据（2）发现的规律回答第三问． 【详解】（1）A，B，C，D，E的图形具有沿一条直线折叠，直线两侧的部分能够完全重合的特点；A，C，E的图形具有绕某一点旋转度后的图形，能和原图形完全重合的特点， ∴A，B，C，D，E的图形是轴对称图形，A，C，E的图形是中心对称图形． （2）轴对称图形A，B，C，D，E中，花瓣的个数分别为，，，，；中心对称图形A，C，E中，花瓣的个数分别为，，，“花瓣”在圆中均匀分布时，“花瓣”的个数与花瓣图形的对称性（轴对称或中心对称）之间的规律：当花瓣是偶数个，则是中心对称图形也是轴对称图形；若花瓣是奇数个，则是轴对称图形． （3）九瓣图形是轴对称图形；十二瓣图形是轴对称图形，也是中心对称图形． 18．如图，已知四边形，请用尺规作图法在边上分别求作一点，连接，使得四边形是平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，尺规作图—作一个角等于已知角．延长至，在点A作一个角等于，该角的一边交于一点E，再在点E作一个角等于，该角的一边交于一点F，使得四边形是平行四边形，即可作答． 【详解】解：平行四边形如图所示： 19．如图，中，E、F为对角线上的两点，且，连接，． (1)求证：． (2)连接、，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据四边形的性质得出，，证明，得出即可； （2）根据，得出，，证明，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴． （2）证明：连接、． 由（1）得，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 20．如图，已知四边形是平行四边形，是等边三角形． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的性质及矩形的判定，难度一般，对于此类题目一定要重点掌握矩形的判定定理，及矩形的基本性质． （1）根据矩形的判定可知，平行四边形，再加上对角线相等可证明是矩形． （2）矩形面积的计算，底边长乘以高代入数值即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形（已知）， ，（平行四边形的对角线互相平分）， 是等边三角形（已知）， （等量代换）， （等量代换）， 平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）； （2）解：， 在中，， ， 平行四边形的面积． 21．如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． (1)线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； (3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 【答案】(1)＝，⊥； (2)线段与线段的关系不发生变化．证明见解析； (3)． 【分析】（1）由直角三角形斜边中线定理即可证明，进而可证； （2）如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，证明，推出，再利用三角形中位线定理即可解决问题； （3）分别求出的最大值、最小值即可解决问题． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：＝，⊥； （2）线段与线段的关系不发生变化．理由如下： 如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，     ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 同理可证，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （3）如图2，连接．     ∵， ∴如图3时取得最大值时，点E落在上时，     ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最大值； 如图4中，当点E落在的延长线上时，的值最小，     ∵，， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最小值， 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形三边的关系，三角形中位线定理等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 22．如图，在矩形中，，，点与点同时出发，点从点出发向点运动，运动到点停止，点从点出发向点运动，运动到点停止，点，的速度都是，连接，设点，的运动的时间为． (1)求当t为何值时，四边形是正方形； (2)求当t为何值时，； (3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，平行四边形的判定和性质，菱形的判定及性质，以及勾股定理，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． （1）设经过后四边形是正方形，则，，在矩形中，，，则当时，四边形是正方形，即，解方程即可求解； （2）由于，，得四边形为平行四边形，当时，四边形为菱形，，再利用勾股定理列方程即可求解； （3）四边形为平行四边形，四边形的面积，，解得，，，再分别求矩形的周长与四边形的周长即可求解． 【详解】（1） 在矩形中，，， ，， 设经过后四边形是正方形， 则，， 在矩形中，，， 当时，四边形是正方形， ，解得， 故当时，四边形是正方形； （2），， 四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形， ， 由（1）知， ，解得， 故当时，； （3） 四边形为平行四边形， 四边形的面积， ，解得， ，， 四边形的周长， 矩形的周长， 矩形的周长与四边形的周长的比值为． 23．我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”． (1)在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 　　（请填序号）； (2)在“完美”四边形中，，，连接． ①如图1，求证：平分； 小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明平分 想法一：通过，可延长到，使，通过证明，从而可证平分； 想法二：通过，可将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，可证，，三点在一条直线上，从而可证平分． 请你参考上面的想法，帮助小明证明平分； ②如图2，当，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)④ (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】（1）由“完美四边形”定义可求解； （2）①想法一：由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得结论； 想法二：由旋转的性质可得，，，可证点，，在一条直线上，由等腰三角形的性质可得结论； ②延长使，连接，由①可得为等腰三角形，由，可证为等腰直角三角形，即可得解． 【详解】（1）解：由“完美四边形”的定义可得正方形一组邻边相等且对角互补， 正方形是“完美四边形”． 故答案为：④； （2）解：①想法一：延长使，连接 ，， ， ， ． ． 即平分； 想法二：将绕点顺时针旋转，使边与边重合，得到， ． ； ； ． ， ． 点，，在一条直线上． ， 即平分 ② 理由如下： 延长使，连接， 由 ①得为等腰三角形． ， ， ． ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 24．定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形” (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_______ (填序号)； ①平行四边形②菱形③矩形④正方形 (2)如图2，在矩形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“优乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点． 求证：四边形是“忧乐四边形” (3)如图3，在四边形中，，，，，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)②④ (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据“忧乐四边形”的定义对几个四边形进行逐一判定即可解决问题； （2）连接，证明，得出四边形沿折叠完全重合，则可得出结论； （3）分两种情况，由折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理可得出答案． 【详解】（1）①平行四边形，③矩形，沿着它的一条对角线对折后不能完全重合；②菱形，④正方形，沿着它的一条对角线对折后能完全重合． ②菱形，④正方形一定是忧乐四边形； 故答案为：②④； （2）证明：如图2，连接， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 将沿折叠后得到， ，，， ， ， ， 四边形沿折叠完全重合， 四边形是“忧乐四边形”； （3）． 若，连接，则四边形是矩形， ， 由（2）知，， 设，则，， ， ， ， ； 若，连接，过点作于点，，交的延长线于点，如图， 由（2）知， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 设， ， （负值舍）， ． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了新定义，矩形的性质，平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．深入理解题意，理解新定义是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$