专题06 统计概率综合（六大题型）-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编（天津专用）

专题06 统计概率综合 考点一、计算原理 考点二、概率 考点三、随机变量及其分布列 考点四、二项式定理和统计案例 考点五、概率综合 考点六、随机变量及其分布列 计算原理 1．（22-23高二下·天津·期末）若，则 . 2．（22-23高二下·天津·期末）用数字1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个.（用数字作答） 3．（22-23高二下·天津滨海新·期末）新学期开始，学校要求每名学生上3门选修课和参加2种课外活动.学生可从本年级开设的6门选修课中任意选择3门，从5种课外活动小组中选择2种.不同的选法种数是 .（用数字作答）. 4．（22-23高二下·天津西青·期末）“碳中和”是指通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”，某“碳中和”研究中心计划派4名专家分别到三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派特1名专家．则分派方法的种数为 ．（用数字作答） 5．（22-23高二下·天津·期末）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有 种不同的染色方案. 6．（22-23高二下·天津·期末）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种 ．（以数字作答） 概率 7．（22-23高二下·天津·期末）深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2．当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为 . 8．（22-23高二下·天津·期末）天津相声文化是天津具有代表性的地域文化符号，天津话妙趣横生，天津相声精彩纷呈，是最具特色的旅游亮点之一.某位北京游客经常来天津听相声，每次从北京出发来天津乘坐高铁和大巴的概率分别为0.6和0.4，高铁和大巴准点到达的概率分别为0.9和0.8，则他准点到达天津的概率是 （分数作答）.若他已准点抵达天津，则此次来天津乘坐高铁准点到达比乘坐大巴准点到达的概率高 （分数作答）. 9．（22-23高二下·天津·期末）设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为 ． 10．（22-23高二下·天津滨海新·期末）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，某支深受大家喜爱的足球队在对球员的使用上进行数据分析，根据以往的数据统计，A运动员能够胜任中锋、边锋及前腰三个位置，且出场率分别为0.3，0.5，0.2，当该运动员担当中锋、边锋及前腰时，球队输球的概率依次为0.3，0.2，0.2.当A球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为 . 11．（22-23高二下·天津·期末）某单位有，两个食堂，小李周一随机选择一个食堂用餐．如果周一去食堂，那么周二去食堂的概率为0.4；如果周一去食堂，那么周二去食堂的概率为0.6．小李周二去食堂的概率为 ． 12．（22-23高二下·天津西青·期末）主人出差，委托邻居浇水，设已知如果浇水，则树活着的概率为0.85：如果不浇水，树活着的概率为0.2，邻居很善于助人，有0.9的把握确定邻居记得浇水．那么主人出差回来树还活着的概率为 ． 13．（22-23高二下·天津·期末）某厂有甲、乙两条生产线，甲生产线产出“高品质产品”的概率为0.6，乙生产线产出“高品质产品”的概率为0.5，已知两条生产线产量相同，现从该厂产品中任取一件，则它是“高品质产品”的概率为 . 14．（22-23高二下·天津南开·期末）已知袋中有4个白球2个黑球，现从袋中任取2个球，则取出的2个球为同色球的概率为 . 随机变量及其分布列 15．（22-23高二下·天津·期末）重庆八中某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率是 . 16．（22-23高二下·天津·期末）某校高二年级一次数学考试的成绩服从正态分布.若平均分为100，120分以下人数概率为0.8，理论上说在80~120分数段人数概率为 . 17．（22-23高二下·天津滨海新·期末）如果随机变量，且，那么 . 18．（22-23高二下·天津西青·期末）已知随机变量服从两点分布，，则 ，若随机变量，则 ． 19．（22-23高二下·天津和平·期末）设随机变量服从正态分布，若，则 ． 20．（22-23高二下·天津·期末）设随机变量，若，，则p= . 21．（22-23高二下·天津·期末）已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P= ． 22．（22-23高二下·天津·期末）某品牌手机的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布．且使用寿命不少于1年的概率为0.9，使用寿命不少于9年的概率为，则该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为 ． 23．（22-23高二下·天津·期末）已知随机变量的分布列如下表所示，当取最小值时， ， ． 1 2 3 24．（22-23高二下·天津和平·期末）若随机变量，，则 ． 25．（22-23高二下·天津·期末）若随机变量，，则 . 26．（22-23高二下·天津·期末）一个盒子里装有大小相同的4个黑球，3个红球，2个白球，从中任取2个，其中红球的个数记为，则 二项式定理和统计案例 1．（22-23高二下·天津南开·期末）在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值a，b，c满足. (1)求展开式的第四项； (2)求展开式中各项的系数和. 2．（22-23高二下·天津·期末）为加强素质教育，提升学生综合素养，某中学为高一年级提供了"书法"和“剪纸”两门选修课为了了解选择“书法”或"剪纸"是否与性别有关，调查了高一年级1500名学生的选择倾向，随机抽取了100人，统计选择两门课程人数如下表： 选书法 选剪纸 合计 男生 40 50 女生 合计 30 (1)请将上面列联表补充完整； (2)是否有的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关? 附：，其中. 0.100 0.050 0.025 2.706 3.841 5.024 3．（22-23高二下·天津西青·期末）今年是中国共产党建党102周年，为庆祝中国共产党成立102周年，某高中决定在全校约3000名高中生中开展“学党史，知奋进”党史知识克赛活动，设置一、二、三等奖若干名，为了解学生的获奖情况与选修历史学科之间的关系，在全校随机选取了50名学生作为样本，统计这50名学生的获奖情况后得到如下列联表： 没有获奖 获奖 合计 选修历史 4 20 没有选修历史 12 合计 附： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式： (1)完成上面2×2列联表，并依据的独立性检验，能否认为“党史知识竞赛是否获奖与选修历史学科”有关；（结果保留一位小数） (2)从选修历史且获奖的学生中选取2名男生和4名女生组成“学党史、知奋进宣讲团”，在某次活动中，从这6名学生中随机选取3人为宣讲员，求男生宣讲员人数的分布列和数学期望． 4．（22-23高二下·天津·期末）网购是现代年轻人重要的购物方式，截止：2021年12月，我国网络购物用户规模达8.42亿，较2020年12月增长5968万，占网民整体的81.6%．某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与时间第年进行了统计得如下数据： 1 2 3 4 5 2.6 3.1 4.5 6.8 8.0 (1)依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系？请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合） (2)试用最小二乘法求出利润y与时间t的回归方程，并预测当时的利润额． 附：， ，． 参考数据：，，，． 概率综合 5．（22-23高二下·天津·期末）袋子中有7个大小相同的小球，其中4个白球，3个黑球，从袋中随机地取出小球，若取到一个白球得2分，取到一个黑球得1分，现从袋中任取4个小球. (1)求得分的分布列及均值； (2)求得分大于6的概率. 6．（22-23高二下·天津·期末）甲､乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X表示甲队总得分. (1)求的概率； (2)求甲队和乙队得分之和为4的的概率. 7．（22-23高二下·天津·期末）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率． 随机变量及其分布列 8．（22-23高二下·天津·期末）在中国，大熊猫是每个中国人都非常熟悉的动物，有着不可撼动的地位.随着国宝“萌兰”、“花花”可爱搞笑视频的流行，也掀起了一波热爱、保护动物的热潮.某动物园为了向游客宣传保护动物知识，对来访者开设小型知识问答游戏.游戏规则：每位游客回答判断、选择两组题目，每组题目各有两道题，每道题答对得2分，答错得0分，两组题目得分的和作为该游客的成绩，不低于6分，即可得到一个熊猫玩偶.小明估计答对每道判断题的概率均为，答对每道选择题的概率均为. (1)按此估计求小明判断题得分比选择题得分多2分的概率； (2)估计小明得到熊猫玩偶的概率； (3)记小明在比赛中的得分为，按此估计的分布列和数学期望. 9．（22-23高二下·天津滨海新·期末）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中蛋黄粽4个，豆沙粽2个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个. (1)求选取的3个中至少有1个豆沙粽的概率； (2)用X表示取到的豆沙粽的个数，求X的分布列和数学期望. 10．（22-23高二下·天津滨海新·期末）在一次庙会上，有种“套圈游戏”，规则如下：每组每人3个圆环，向A，B两个目标投掷，先向目标A连续掷两次，每套中一次得1分，没有套中不得分，再向目标B掷一次，每套中一次得2分，没有套中不得分，根据最终得分由主办方发放奖品.已知甲每投掷一次，套中目标A的概率为，套中目标B的概率为，假设甲每次投掷的结果相互独立. (1)求甲在一组游戏中恰好套中一次的概率； (2)求甲在一组游戏中的总分X的分布列及数学期望； (3)甲连续玩了5组套圈游戏，假设甲每组投掷的结果相互独立，求甲恰有3组套圈游戏中得2分或者3分的概率. 11．（22-23高二下·天津·期末）端午节吃粽子是我国的传统习俗，一盘中有8个粽子，其中豆沙粽2个，蜜枣粽6个，这两种粽子的外观完全相同，从中随机取出3个. (1)求既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率； (2)设表示取到豆沙粽的个数，求随机变量的分布列与数学期望. 12．（22-23高二下·天津·期末）为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲队中球员都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为和，且每场比赛中犯规4次以上的概率为． (1)求甲队第二场比赛获胜的概率； (2)用表示比赛结束时比赛场数，求的期望； (3)已知球员在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率． 13．（22-23高二下·天津西青·期末）随着中国羽毛球队第13次捧起苏迪曼杯，2023年世界羽毛球混合团体锦标赛在5月21日落下帷幕．国家羽毛球队在面对东道主和卫冕冠军的双重压力下，多次面临困境，一度濒临绝境但最终都战胜了对手，站上了冠军领奖台，展现了队员们强大的心理素质和永不放弃、顽强，拼搏的中国精神，队员们圆梦经历也告诉我们：人生中会遇到很多逆境，只要逆境中坚定信心，永不放弃，一切皆有可能，就会有奇迹发生．精彩的苏迪曼杯羽毛球比赛激发了某校同学们参加，羽毛球活动的热情，甲、乙两位同学相约打一场羽毛球比赛，若采用五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立. (1)求甲以的比分获胜的概率； (2)设表示比赛结束时进行的总局数，求的分布列及数学期望． 14．（22-23高二下·天津·期末）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有个粽子，其中豆沙粽个，肉粽个，白粽个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取个． （）求三种粽子各取到个的概率． （）设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列与数学期望． 15．（22-23高二下·天津和平·期末）宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市．为了统计智算中心的算力，先从全市n个大型机房和5个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为． (1)求n的值； (2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为，求的分布列和数学期望． 16．（22-23高二下·天津南开·期末）不透明袋中装有质地，大小相同的4个红球，m个白球，若从中不放回地取出2个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为. (1)求白球的个数m； (2)若有放回的取出两个球，记取出的红球个数为X，求. 17．（22-23高二下·天津河北·期末）一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个白球，2个红球，从中摸出2个球. (1)求摸出的2个球中恰有1个白球和1个红球的概率； (2)用表示摸出的2个球中的白球个数，求随机变量的分布列及均值. 18．（22-23高二下·天津河北·期末）我国承诺2030年前达到“碳达峰”，2060年实现“碳中和”，“碳达峰”就是我们国家承诺在2030年前，二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；而到2060年，针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉，这就是“碳中和”，做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.某校为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成良好的垃圾分类的习惯，团委组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛，甲、乙、丙三队参加竞赛，已知甲队通过初赛、复赛的概率均为，乙队通过初赛、复赛的概率均为，丙队通过初赛、复赛的概率分别为p，，其中，三支队伍是否通过初赛和复赛互不影响. (1)求p取何值时，丙队进入决赛的概率最大； (2)在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数X的分布列及均值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 统计概率综合 考点一、计算原理 考点二、概率 考点三、随机变量及其分布列 考点四、二项式定理和统计案例 考点五、概率综合 考点六、随机变量及其分布列 计算原理 1．（22-23高二下·天津·期末）若，则 . 【答案】6 【分析】由求得，由此求得. 【详解】，即， 由题意可得，，解得且， ∴，解得． ∴． 故答案为：6． 2．（22-23高二下·天津·期末）用数字1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个.（用数字作答） 【答案】312 【分析】分两种情况，结合排列数和组合数公式求解. 【详解】偶数包含2，4，6，奇数包含1，3，5，7， 1.若四位数没有偶数，则都是奇数，有个； 2.若四位数有一个偶数，三个奇数，有个， 综上可知，共有个. 故答案为：312 3．（22-23高二下·天津滨海新·期末）新学期开始，学校要求每名学生上3门选修课和参加2种课外活动.学生可从本年级开设的6门选修课中任意选择3门，从5种课外活动小组中选择2种.不同的选法种数是 .（用数字作答）. 【答案】200 【分析】根据组合数的计算，结合分步乘法计数原理即可求解. 【详解】从6门选修课中任意选择3门共有种选法， 从5种课外活动小组中选择2种共有， 根据分步乘法计数原理可得总的选法有种， 故答案为：200 4．（22-23高二下·天津西青·期末）“碳中和”是指通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”，某“碳中和”研究中心计划派4名专家分别到三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派特1名专家．则分派方法的种数为 ．（用数字作答） 【答案】36 【分析】将4名专家分为3组，一组2人，其余2组个1人，然后分到3个地方，结合排列组合数的计算，即得答案. 【详解】由题意可知有2名专家去一个地方，其余2地方各分派一名专家， 故共有种分派方法， 故答案为：36 5．（22-23高二下·天津·期末）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有 种不同的染色方案. 【答案】96 【分析】通过分析题目给出的图形，可知要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，最少需要3种颜色，即同色，同色，同色，由排列知识可得该类染色方法的种数；也可以4种颜色全部用上，即，，三组中有一组不同色，同样利用排列组合知识求解该种染法的方法种数，最后利用分类加法求和． 【详解】解：要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色， 即同色，同色，同色，则从四种颜色中取三种颜色有种取法，三种颜色染三个区域有种染法，共种染法； 第二类是用四种颜色染色，即，，中有一组不同色，则有3种方案不同色或不同色或不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有种染法． 由分类加法原理得总的染色种数为种． 故答案为：96． 【点睛】本题考查了排列、组合、及简单的计数问题，解答的关键是正确分类，明确相邻的两区域不能染相同的颜色，属于中档题． 6．（22-23高二下·天津·期末）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种 ．（以数字作答） 【答案】72 【分析】本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，按照颜色的种数进行分为3种颜色和四种颜色依次讨论即可. 【详解】按照使用颜色的种类分类， 第一类：使用了4种颜色，2,4同色，或3,5同色，则共有(种)， 第二类：使用了三种颜色，2,4同色且3,5同色，则共有(种) 所以共有48+24=72(种) 故答案为：72 概率 7．（22-23高二下·天津·期末）深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2．当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为 . 【答案】0.68/ 【分析】利用条件概率和全概率公式求解. 【详解】解：设A表示“乙球员担当前锋”，设B表示“乙球员担当中锋”，设C表示“乙球员担当后卫”，设D表示“乙球员担当守门员”，设E表示“乙球员参加时，球队输球”， 所以， ， 所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为， 故答案为：0.68 8．（22-23高二下·天津·期末）天津相声文化是天津具有代表性的地域文化符号，天津话妙趣横生，天津相声精彩纷呈，是最具特色的旅游亮点之一.某位北京游客经常来天津听相声，每次从北京出发来天津乘坐高铁和大巴的概率分别为0.6和0.4，高铁和大巴准点到达的概率分别为0.9和0.8，则他准点到达天津的概率是 （分数作答）.若他已准点抵达天津，则此次来天津乘坐高铁准点到达比乘坐大巴准点到达的概率高 （分数作答）. 【答案】 【分析】根据互斥事件的概率公式，求得他准点到达天津的概率，再结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】设事件为他准点到达天津，事件为他乘坐高铁到达天津，事件为他乘坐大巴到达天津， 若他乘坐高铁，且正点到达天津的概率为； 若他乘坐大巴，且正点到达天津的概率为； 则，且, 所以乘坐高铁准点到达比乘坐大巴准点到达的概率高. 故答案为：， 9．（22-23高二下·天津·期末）设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为 ． 【答案】 【分析】由全概率公式即可处理. 【详解】设=“任取一个X光片为次品”，=“X光片为某厂生产”（甲、乙、丙厂依次对应 ）则,且两两互斥. 由题意可得：, 10．（22-23高二下·天津滨海新·期末）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，某支深受大家喜爱的足球队在对球员的使用上进行数据分析，根据以往的数据统计，A运动员能够胜任中锋、边锋及前腰三个位置，且出场率分别为0.3，0.5，0.2，当该运动员担当中锋、边锋及前腰时，球队输球的概率依次为0.3，0.2，0.2.当A球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为 . 【答案】 【分析】根据事件的全概率公式求解. 【详解】该运动员担当中锋，不输球的概率为， 该运动员担当边锋，不输球的概率为， 该运动员担当前腰，不输球的概率为， 所以该球队某场比赛不输球的概率为， 故答案为:. 11．（22-23高二下·天津·期末）某单位有，两个食堂，小李周一随机选择一个食堂用餐．如果周一去食堂，那么周二去食堂的概率为0.4；如果周一去食堂，那么周二去食堂的概率为0.6．小李周二去食堂的概率为 ． 【答案】0.5/ 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】设“周一去食堂”，“周一去食堂”，“周二去食堂”， 则， 由全概率公式得， 故答案为：0.5． 12．（22-23高二下·天津西青·期末）主人出差，委托邻居浇水，设已知如果浇水，则树活着的概率为0.85：如果不浇水，树活着的概率为0.2，邻居很善于助人，有0.9的把握确定邻居记得浇水．那么主人出差回来树还活着的概率为 ． 【答案】0.785/ 【分析】根据全概率公式计算，即可求得答案. 【详解】设事件A表示：树活着，B表示邻居记得浇水， 则，， 故 , 故答案为：0.785 13．（22-23高二下·天津·期末）某厂有甲、乙两条生产线，甲生产线产出“高品质产品”的概率为0.6，乙生产线产出“高品质产品”的概率为0.5，已知两条生产线产量相同，现从该厂产品中任取一件，则它是“高品质产品”的概率为 . 【答案】/ 【分析】根据全概率公式求解即可 【详解】由题意，因为两条生产线产量相同，故从该厂产品中任取一件，抽取到甲、乙两条生产线的概率均为0.5，故从该厂产品中任取一件，则它是“高品质产品”的概率为 故答案为： 14．（22-23高二下·天津南开·期末）已知袋中有4个白球2个黑球，现从袋中任取2个球，则取出的2个球为同色球的概率为 . 【答案】 【分析】根据题意分同为白球和同为黑球两种情况，结合古典概型运算求解. 【详解】取出的2个球共有种， 若同为白球，共有种；若同为黑球，共有种； 可得同色球共有种， 所以取出的2个球为同色球的概率为. 故答案为：. 随机变量及其分布列 15．（22-23高二下·天津·期末）重庆八中某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率是 . 【答案】/0.15625 【分析】结合正态分布特点先求出，再由独立重复试验的概率公式即可求解. 【详解】因学生成绩符合正态分布，故，故任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率为. 故答案为： 16．（22-23高二下·天津·期末）某校高二年级一次数学考试的成绩服从正态分布.若平均分为100，120分以下人数概率为0.8，理论上说在80~120分数段人数概率为 . 【答案】/ 【分析】根据正态分布的性质求解即可. 【详解】由题意得，， 所以 所以， 故答案为： 17．（22-23高二下·天津滨海新·期末）如果随机变量，且，那么 . 【答案】0.8/ 【分析】先得到正态曲线的对称轴是，得到，即可得到要求的结果． 【详解】因为随机变量， 所以正态曲线的对称轴是， 所以， 所以. 故答案为：0.8. 18．（22-23高二下·天津西青·期末）已知随机变量服从两点分布，，则 ，若随机变量，则 ． 【答案】 【分析】根据两点分布的概率的性质即可求得；根据二项分布的期望公式即可求得. 【详解】因为随机变量服从两点分布，， 故，即， 则随机变量，故， 故答案为：； 19．（22-23高二下·天津和平·期末）设随机变量服从正态分布，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【详解】因为且， 所以， 所以. 故答案为： 20．（22-23高二下·天津·期末）设随机变量，若，，则p= . 【答案】/ 【分析】根据二项分布的期望和方差的计算公式，即可解得. 【详解】随机变量，若，，可得,解得. 故答案为: 21．（22-23高二下·天津·期末）已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P= ． 【答案】 【详解】试题分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可． 解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20， 可得np=30，npq=20，q=，则p=， 故答案为． 点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力． 22．（22-23高二下·天津·期末）某品牌手机的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布．且使用寿命不少于1年的概率为0.9，使用寿命不少于9年的概率为，则该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为 ． 【答案】0.4/ 【分析】易得从而正态分布曲线的对称轴为直线，即可得到答案 【详解】由题意知，， ∴ ∴正态分布曲线的对称轴为直线， 因为， ∴， 故该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为0.4， 故答案为：0.4 23．（22-23高二下·天津·期末）已知随机变量的分布列如下表所示，当取最小值时， ， ． 1 2 3 【答案】 【解析】先根据离散型随机变量的分布列的性质求出的关系，再根据基本不等式取等号的条件得出的值，最后根据分布列求出数学期望． 【详解】解：由题意得，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 此时随机变量的分布列为 1 2 3 所以， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列的性质、数学期望及基本不等式的应用，考查考生的运算求解能力． 24．（22-23高二下·天津和平·期末）若随机变量，，则 ． 【答案】 【分析】根据二项分布的期望公式求出，再根据二项分布的方差公式即可得解. 【详解】因为随机变量， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 25．（21-22高二下·重庆沙坪坝·期末）若随机变量，，则 . 【答案】 【分析】由二项分布的期望公式列方程求得，再由对应方差公式求方差即可. 【详解】由题设，则，而. 故答案为： 26．（22-23高二下·天津·期末）一个盒子里装有大小相同的4个黑球，3个红球，2个白球，从中任取2个，其中红球的个数记为，则 【答案】 【分析】先X的可能取值为：0，1，2，分别求出，直接求出数学期望即可. 【详解】红球的个数记为则，X的可能取值为：0，1，2，. 则；；. 所以. 故答案为：. 二项式定理和统计案例 1．（22-23高二下·天津南开·期末）在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值a，b，c满足. (1)求展开式的第四项； (2)求展开式中各项的系数和. 【详解】（1）因为的展开式为， 由题意可知：，，，且，， 则，即，解得或（舍去）， 第四项. （2）由（1）可得二项式， 令，得展开式的各项系数的和为. 2．（22-23高二下·天津·期末）为加强素质教育，提升学生综合素养，某中学为高一年级提供了"书法"和“剪纸”两门选修课为了了解选择“书法”或"剪纸"是否与性别有关，调查了高一年级1500名学生的选择倾向，随机抽取了100人，统计选择两门课程人数如下表： 选书法 选剪纸 合计 男生 40 50 女生 合计 30 (1)请将上面列联表补充完整； (2)是否有的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关? 附：，其中. 0.100 0.050 0.025 2.706 3.841 5.024 【答案】(1)列联表见解析 (2)有的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关 【分析】（1）根据题意与表中数据即可完成列联表； （2）根据公式求出，再对照临界值表，即可得出结论. 【详解】（1）根据题意，一共抽取了100人，补全列联表如下， 选书法 选剪纸 共计 男生 40 10 50 女生 30 20 50 共计 70 30 100 （2）根据列联表数据，得 ， 所以有的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关. 3．（22-23高二下·天津西青·期末）今年是中国共产党建党102周年，为庆祝中国共产党成立102周年，某高中决定在全校约3000名高中生中开展“学党史，知奋进”党史知识克赛活动，设置一、二、三等奖若干名，为了解学生的获奖情况与选修历史学科之间的关系，在全校随机选取了50名学生作为样本，统计这50名学生的获奖情况后得到如下列联表： 没有获奖 获奖 合计 选修历史 4 20 没有选修历史 12 合计 附： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式： (1)完成上面2×2列联表，并依据的独立性检验，能否认为“党史知识竞赛是否获奖与选修历史学科”有关；（结果保留一位小数） (2)从选修历史且获奖的学生中选取2名男生和4名女生组成“学党史、知奋进宣讲团”，在某次活动中，从这6名学生中随机选取3人为宣讲员，求男生宣讲员人数的分布列和数学期望． 【详解】（1）由题意可得列联表： 没有获奖 获奖 合计 选修历史 4 20 24 没有选修历史 14 12 26 合计 18 32 50 则 故依据的独立性检验，能认为“党史知识竞赛获奖与选修历史学科”有关 （2）由题意可知男生宣讲员人数的取值可能为， 则, 故的分布列为： 0 1 2 P 则. 4．（22-23高二下·天津·期末）网购是现代年轻人重要的购物方式，截止：2021年12月，我国网络购物用户规模达8.42亿，较2020年12月增长5968万，占网民整体的81.6%．某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与时间第年进行了统计得如下数据： 1 2 3 4 5 2.6 3.1 4.5 6.8 8.0 (1)依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系？请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合） (2)试用最小二乘法求出利润y与时间t的回归方程，并预测当时的利润额． 附：， ，． 参考数据：，，，． 【详解】（1）由题表，， 因为，，， 所以． 故y与t的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合． （2），， 所以．当时，． 预测该专营店在时的利润为万元． 概率综合 5．（22-23高二下·天津·期末）袋子中有7个大小相同的小球，其中4个白球，3个黑球，从袋中随机地取出小球，若取到一个白球得2分，取到一个黑球得1分，现从袋中任取4个小球. (1)求得分的分布列及均值； (2)求得分大于6的概率. 【详解】（1）由题意可知，随机变量的取值为, 所取小球为1白3黑时， 所取小球为2白2黑时， 所取小球为3白1黑时， 所取小球为4白时， 所以，随机变量的分布列为 5 6 7 8 随机变量的均值为： （2）根据的分布列，可得到得分大于6的概率为 6．（22-23高二下·天津·期末）甲､乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X表示甲队总得分. (1)求的概率； (2)求甲队和乙队得分之和为4的的概率. 【详解】（1），则甲队有两人答对，一人答错， 故. （2）设甲队和乙队得分之和为4为事件A，设乙队得分为Y，则. ， ， ，， ， ∴ . 7．（22-23高二下·天津·期末）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率． 详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为 {A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种． （ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种． 所以，事件M发生的概率为P（M）=． 点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力． 随机变量及其分布列 8．（22-23高二下·天津·期末）在中国，大熊猫是每个中国人都非常熟悉的动物，有着不可撼动的地位.随着国宝“萌兰”、“花花”可爱搞笑视频的流行，也掀起了一波热爱、保护动物的热潮.某动物园为了向游客宣传保护动物知识，对来访者开设小型知识问答游戏.游戏规则：每位游客回答判断、选择两组题目，每组题目各有两道题，每道题答对得2分，答错得0分，两组题目得分的和作为该游客的成绩，不低于6分，即可得到一个熊猫玩偶.小明估计答对每道判断题的概率均为，答对每道选择题的概率均为. (1)按此估计求小明判断题得分比选择题得分多2分的概率； (2)估计小明得到熊猫玩偶的概率； (3)记小明在比赛中的得分为，按此估计的分布列和数学期望. 【详解】（1）事件表示“小明判断题得分比选择题得分多2分”， 则事件包含小明判断题答对1道，选择题答对0道， 或者小明判断题答对2道，选择题答对1道， 则. 所以小明判断题得分比选择题得分多2分的概率. （2）事件表示“小明得到熊猫玩偶”， 则事件包含小明得分6分，或者得分分， 且小明得分6分表示判断题答对2题且选择题答对1题， 或者判断题答对1题且选择题答对2题， 概率为， 小明得分8分表示判断题答对2题且选择题答对2题， 概率为，所以. 所以小明得到熊猫玩偶的概率为. （3）由题意可知，的可能取值有， 则， ， ， ， ， 则分布列为 0 2 4 6 8 则. 9．（22-23高二下·天津滨海新·期末）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中蛋黄粽4个，豆沙粽2个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个. (1)求选取的3个中至少有1个豆沙粽的概率； (2)用X表示取到的豆沙粽的个数，求X的分布列和数学期望. 【详解】（1）设选取的3个中至少有1个豆沙粽为事件A， 则事件A的概率； （2）根据题意，， 又，， ， 故X的分布列如下所示： X 0 1 2 P 则X的数学期望为：. 10．（22-23高二下·天津滨海新·期末）在一次庙会上，有种“套圈游戏”，规则如下：每组每人3个圆环，向A，B两个目标投掷，先向目标A连续掷两次，每套中一次得1分，没有套中不得分，再向目标B掷一次，每套中一次得2分，没有套中不得分，根据最终得分由主办方发放奖品.已知甲每投掷一次，套中目标A的概率为，套中目标B的概率为，假设甲每次投掷的结果相互独立. (1)求甲在一组游戏中恰好套中一次的概率； (2)求甲在一组游戏中的总分X的分布列及数学期望； (3)甲连续玩了5组套圈游戏，假设甲每组投掷的结果相互独立，求甲恰有3组套圈游戏中得2分或者3分的概率. 【详解】（1）设甲恰好套中1次为事件A， （2）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，4. ， ， ， ， ， 故X的分布列是： X 0 1 2 3 4 P 则X的均值为：； （3）设甲在1组中得2分或3分的事件为B， 则 设5组游戏中，甲恰有3组游戏中得2分或3分为事件C， 则， 则. 11．（22-23高二下·天津·期末）端午节吃粽子是我国的传统习俗，一盘中有8个粽子，其中豆沙粽2个，蜜枣粽6个，这两种粽子的外观完全相同，从中随机取出3个. (1)求既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率； (2)设表示取到豆沙粽的个数，求随机变量的分布列与数学期望. 【详解】（1）依题意，既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率为. （2）的可能取值为， 则，，， 所以的分布列如下： 所以. 12．（22-23高二下·天津·期末）为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲队中球员都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为和，且每场比赛中犯规4次以上的概率为． (1)求甲队第二场比赛获胜的概率； (2)用表示比赛结束时比赛场数，求的期望； (3)已知球员在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率． 【详解】（1）设“第i场甲队获胜”，“球员第i场上场比赛”，，2，3． 由全概率公式． （2）的可能取值为2，3． 由题意知，由（1）知， 则，， ， ，． （3），此时， ． 13．（22-23高二下·天津西青·期末）随着中国羽毛球队第13次捧起苏迪曼杯，2023年世界羽毛球混合团体锦标赛在5月21日落下帷幕．国家羽毛球队在面对东道主和卫冕冠军的双重压力下，多次面临困境，一度濒临绝境但最终都战胜了对手，站上了冠军领奖台，展现了队员们强大的心理素质和永不放弃、顽强，拼搏的中国精神，队员们圆梦经历也告诉我们：人生中会遇到很多逆境，只要逆境中坚定信心，永不放弃，一切皆有可能，就会有奇迹发生．精彩的苏迪曼杯羽毛球比赛激发了某校同学们参加，羽毛球活动的热情，甲、乙两位同学相约打一场羽毛球比赛，若采用五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立. (1)求甲以的比分获胜的概率； (2)设表示比赛结束时进行的总局数，求的分布列及数学期望． 【详解】（1）甲以的比分获胜，则甲在前局胜局输局，第局胜利，概率为： （2）可能的取值为， ；； 14．（22-23高二下·天津·期末）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有个粽子，其中豆沙粽个，肉粽个，白粽个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取个． （）求三种粽子各取到个的概率． （）设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列与数学期望． 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望 试题解析：（1）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式有 P（A）＝＝. （2）X的可能取值为0,1,2，且 P（X＝0）＝＝， P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝ 综上知，X的分布列为： X 0 1 2 P 故E（X）＝0×＋1×＋2×＝ （个） 考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式 15．（22-23高二下·天津和平·期末）宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市．为了统计智算中心的算力，先从全市n个大型机房和5个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为． (1)求n的值； (2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为，求的分布列和数学期望． 【详解】（1）设为“一次抽取2个机房，全是小型机房”，则， 故或（舍）. （2）可取， ，，， ， 故的分布列如下： 0 1 2 3 故. 16．（22-23高二下·天津南开·期末）不透明袋中装有质地，大小相同的4个红球，m个白球，若从中不放回地取出2个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为. (1)求白球的个数m； (2)若有放回的取出两个球，记取出的红球个数为X，求. 【详解】（1）由题意知，袋中装有质地，大小相同的4个红球，m个白球， 因为第一个取出的球是红球，第二个取出的球是白球的概率为， 设第一个取出的球是红球为事件，第二个取出的球是白球为事件， 所以 所以，解得. （2）由题意，随机变量X可能为0，1，2， 则， ， ， 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P 则期望为. 17．（22-23高二下·天津河北·期末）一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个白球，2个红球，从中摸出2个球. (1)求摸出的2个球中恰有1个白球和1个红球的概率； (2)用表示摸出的2个球中的白球个数，求随机变量的分布列及均值. 【详解】（1）依题意，3个白球记为，2个红球记为， 则从中摸出2个球的基本事件有，共10件； 其中恰有1个白球和1个红球的基本事件有，共6件； 记“摸出的2个球中恰有1个白球和1个红球”，则， 摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为. （2）依题意，表示摸出的2个球中的白球个数，则的可能取值为， ，，， 则的分布列为 0 1 2 所以. 18．（22-23高二下·天津河北·期末）我国承诺2030年前达到“碳达峰”，2060年实现“碳中和”，“碳达峰”就是我们国家承诺在2030年前，二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；而到2060年，针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉，这就是“碳中和”，做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.某校为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成良好的垃圾分类的习惯，团委组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛，甲、乙、丙三队参加竞赛，已知甲队通过初赛、复赛的概率均为，乙队通过初赛、复赛的概率均为，丙队通过初赛、复赛的概率分别为p，，其中，三支队伍是否通过初赛和复赛互不影响. (1)求p取何值时，丙队进入决赛的概率最大； (2)在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数X的分布列及均值. 【详解】（1）由题知：丙队通过初赛和复赛的概率， 又因为，所以. 所以，当时，丙队进入决赛的概率最大为. （2）由（1）知： 甲､乙､丙三队进入决赛的概率均为， 因为进入决赛的队伍数， 所以； ； ； . 所以，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$